第8章参数估计PPT课件
合集下载
8.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第二课时)课件-人教A版选择性必修第三册
我们将 y
式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 什么是最小二乘估计?
经验回归方程中的参数计算公式为：
n
( xi x )( yi y )
bˆ i 1 n
2
(
x
x
)
i
i 1
aˆ y bx
n
x y
i 1
n
i
i
nx y
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
，
8.
两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
-0.301
-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
0.015
-0.018
式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 什么是最小二乘估计?
经验回归方程中的参数计算公式为：
n
( xi x )( yi y )
bˆ i 1 n
2
(
x
x
)
i
i 1
aˆ y bx
n
x y
i 1
n
i
i
nx y
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
，
8.
两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
-0.301
-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
0.015
-0.018
关于概率密度函数的参数估计课件
a41 a14
a32 a23
v1 b41
a24
v2
b42 b43
w4
v3
a44
a43 a13 a34
b31 v1
w3
b32 b33
a33
v2 v3
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
HMM的工作原理
• 观察序列的产生过程：HMM的内部状态转移过程同 Markov模型相同，在每次状态转移之后，由该状态输 出一个观察值，只是状态转移过程无法观察到，只能 观察到输出的观察值序列。
3.1 最大似然估计
• 独立同分布假设：样本集D中包含n个样本：x1，
x2， …, xn，样本都是独立同分布的随机变量 (i.i.d，independent identically distributed)。
• 对类条件概率密度函数的函数形式作出假设，参 数可以表示为参数矢量θ：
pxi,θi
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
概率密度函数的估计方法
• 参数估计方法：预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知，而具体的参数未 知；
– 最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)；
– 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
• 非参数估计方法。
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
1. begin initialize 样本数n，聚类数K，初始聚类中
心μ1, …, μc；
2. do 按照最近邻μi分类n个样本；
3.
重新计算聚类中心μ1, …, μc；
4. until μi不再改变；
5. return μ1, …, μc;
6. end
第八章 参数估计PPT课件
16
点估计
最大似然估计法
如 果 似 然 函 数 L (x 1 ,x 2 ,...,x n ; )在 ˆ 处 取 得 最 大 值 ,则 称 ˆ 为 总 体 参 数 的 最 大 似 然 估 计 .
由于函数y lnx在定义域内单增,则如果当
ˆ时似然函数L(x1, x2,..., xn;)取得最大值,则 当 ˆ时lnL(x1, x2,..., xn;)也取得最大值;反之 亦然.因此我们只需考虑lnL(x1, x2,..., xn;)的最
(1) X n1 X1 n2 X 2 是的无偏估计 ;
n1 n2
(2)S
2
(n1
1)S12
(n2
1)SLeabharlann 2 2是2的无偏估计
.
n1 n2 2
9
估计量优劣标准
有效估计
设 和 都是的无偏估计，若样本容量为n， 的
方差小于 的方差，则称 是比 有效的估计量。
如果在的一切无偏估计量里中， 的方差达到最小， 则称为的有效估计量。
(1) 设为连续型随机变量 , 其概率密度函数为
( x; ), 其中 为未知参数 ,由于样本的独立性 , 样
本( X 1, X 2 ,..., X n )的联合概率密度函数为
n
L( x1, x2 ,..., xn ; ) ( xi ; ) i 1
对于样本 ( X 1, X 2 ,..., X n )的一组观测值 ( x1, x2 ,..., xn )
是 向 量 ,则 求 偏 导 数 );
第 四 ,令 导 数 等 于 零 ,解 出 即 可 .
18
点估计
最大似然估计法的例题
1. 0—1分布中p的最大似然估计；
2. Poisson分布的参数 的最大似然估计； 3. 指数分布的参数 的最大似然估计;
点估计
最大似然估计法
如 果 似 然 函 数 L (x 1 ,x 2 ,...,x n ; )在 ˆ 处 取 得 最 大 值 ,则 称 ˆ 为 总 体 参 数 的 最 大 似 然 估 计 .
由于函数y lnx在定义域内单增,则如果当
ˆ时似然函数L(x1, x2,..., xn;)取得最大值,则 当 ˆ时lnL(x1, x2,..., xn;)也取得最大值;反之 亦然.因此我们只需考虑lnL(x1, x2,..., xn;)的最
(1) X n1 X1 n2 X 2 是的无偏估计 ;
n1 n2
(2)S
2
(n1
1)S12
(n2
1)SLeabharlann 2 2是2的无偏估计
.
n1 n2 2
9
估计量优劣标准
有效估计
设 和 都是的无偏估计，若样本容量为n， 的
方差小于 的方差，则称 是比 有效的估计量。
如果在的一切无偏估计量里中， 的方差达到最小， 则称为的有效估计量。
(1) 设为连续型随机变量 , 其概率密度函数为
( x; ), 其中 为未知参数 ,由于样本的独立性 , 样
本( X 1, X 2 ,..., X n )的联合概率密度函数为
n
L( x1, x2 ,..., xn ; ) ( xi ; ) i 1
对于样本 ( X 1, X 2 ,..., X n )的一组观测值 ( x1, x2 ,..., xn )
是 向 量 ,则 求 偏 导 数 );
第 四 ,令 导 数 等 于 零 ,解 出 即 可 .
18
点估计
最大似然估计法的例题
1. 0—1分布中p的最大似然估计；
2. Poisson分布的参数 的最大似然估计； 3. 指数分布的参数 的最大似然估计;
参数估计PPT课件
如何根据数据选择合适的模型，以及如何进行有效的假设检验是 参数估计面临的重要挑战。
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
贾俊平版统计学课件 第8章
▽与原假设对立的假设称备择假设，记为 H1 ,用 、 或 表示。 对于新生儿体重的例子，可以表示为
H 0 : 3190
H1 : 3190
(2)确定检验统计量及其分布
▽用于检验假设的统计量称为检验统计量
▽根据 H 0 及相应条件选择适当的统计量，并确定统计量
的分布 对于新生儿体重的例子，可利用 x 0 构造检验统计量. 若新生儿体重为正态分布 N ( , 2 ) ，且 已知，则在 H 0 为真 时，用 z 作为检验统计量，并且
H 0 : 3190 H1 : 3190
并已知 x 3210, 80, n 100 ，则
z0 x 0
n
3210 3190 80 100
2.5
于是
p 2Pz z0 2 0.00621 0.01242
双侧检验的P值
/ 2
/ 2 拒绝
▽犯第二类错误的概率为 。
表8-1 假设检验中各种可能结果的概率
实际情况
H 0 为真 H 0 不真
决策
接受 H 0
1
拒绝 H 0
1
假设检验中的两类错误（决策结果）
H0: 无罪
假设检验就好像一场审判过程 统计检验过程
陪审团审判
实际情况 裁决 无罪 无罪 有罪 正确 错误 有罪 错误 正确 接受H0 拒绝H0 决策
若p-值 /2, 不能拒绝 H0 若p-值 < /2, 拒绝 H0
8.1.6 假设检验的形式
研究的问题 假设
双侧检验
H0 H1
左侧检验
右侧检验
= 0 ≠0
统计学参数估计PPT课件
实际应用中需要注意的问题
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
第八章8.2一元线性回归模型及其应用PPT课件(人教版)
三、非线性回归
例3 下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
解 作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y不具有线性相关关系，根据已有知识可 以发现样本点散布在某一条指数函数型曲线 y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数.
年份
2015 202X 202X 202X 202X
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元) 5
6
7
8
10
(1)求 y 关于 t 的经验回归方程y^＝b^ t＋a^ ；
n
tiyi－n t y
i＝1
参考公式：b^ ＝
n
t2i －n
t2
，a^ ＝
y
－b^
t
i＝1
解 由题意可知，n＝5， t ＝1nn ti＝155＝3， i＝1
来比较两个模型的拟合效果，R2 越 大 ，模型
n
yi－ y 2
i＝1
拟合效果越好，R2 越 小 ，模型拟合效果越差.
思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 答案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
知识点四 对模型刻画数据效果的分析
1.残差图法
在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以 横轴为对称轴的水平带状
区域内 ，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系.
2.残差平方和法
n
(yi－y^i)2
残差平方和 i＝1
投资学第八章指数模型PPT课件
资产定价与业绩评价
资产定价是指确定不同资产合理价格的过程。
指数模型可以用于分析不同资产的价格行为和 市场效率，以及评估资产的内在价值和市场价 值之间的差异。
指数模型还可以用于业绩评价，比较不同投资 组合的收益和风险水平，以及评估投资组合经 理的管理能力和投资策略的有效性。
05 指数模型的优缺点
优点
学习目标
掌握指数模型的基本原理和计 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法。
了解指数模型在不同投资场景 中的应用。
掌握如何利用指数模型进行资 产配置和风险管理。
了解指数模型的发展趋势和未 来展望。
02 指数模型的基本概念
指数的定义与作用
总结词
指数是一种用于衡量和比较一组数据变化的相对数，通常用于反映市场价格、经济活动等领域的变动情况。
详细描述
指数是一种数学工具，通过将一组数据经过加权平均得到一个相对数，从而帮助我们更好地理解和比较不同时期、 不同地域或不同类别数据的变化趋势。指数的作用在于提供了一种统一的标准，使得不同数据之间可以进行比较 和分析。
指数的编制方法
总结词
指数的编制方法是指根据特定的规则和权重，将一组数据加权平均得到一个相对数的过 程。
拓展应用领域
探索指数模型在金融市场以外的其他领域的应用，如房地产、能源 等。
指数模型与其他金融工具的结合
与金融衍生品的结合
研究如何将指数模型与期货、期权等金融衍生品结合， 开发出新型的金融产品。
与对冲基金的结合
探讨如何利用指数模型为对冲基金提供策略支持，实 现风险控制和收益提升。
与区块链技术的结合
指数模型的参数估计
01
02
03
最小二乘法
通过最小化预测值与实际 值之间的平方误差来估计 参数。
[课件]连续性变量的统计描述与参数估计PPT
![[课件]连续性变量的统计描述与参数估计PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/97556af7b14e852458fb57af.png)
三、均数的适用范围
严格的讲平均数指示用于定距变量。但有时对于定序变量，求平均 等级也可以使用平均数。
2 中位数
中位数（Median）是将总体各单位的标志值按大小顺序排列，处于中间 位置的那个标志。
一、中位数的定义 对于未分组的原始资料，首先必须将标志值按大小顺序。设排序结果为：
X X X X 1 2 3 n
众数（Mode）
年龄
调和均数（Harmonic Mean）
（2）离散趋势（Dispersion Trend）
全距（Range）、标准差（Std. Deviation）和方差（Variance）、百分 位数（Percentile）、四分位数，四分位间距、变异系数
（3）分布特征（Distribution Tendency）
X1 X2 Xn Xi X n n Xi X 0
2 2 i i
X X X a a X
二、均数的意义
任何一个平均数值首先是同类现象的平均数。任何一个平均数总是一 个平衡点。 但平均数在高度概括观测数据从而使问题简化的同时，却丢失了某些 有用的信息，一方面它把各个观测数据之间的差异性掩盖了起来，另 一方面由于平均数对于个别极端值反应比较灵敏，因而平均数在某些 情况下可能具有一定的欺骗性。
连续性变量 的统计描述 与参数估计
5.1 连续变量的统计描述指标体系
（1）集中趋势
年龄
30
（Central Trend）： 均数（Mean）
20
中位数（Median）
截尾均数(Trimmed Mean)
10
几何均数(Geometric Mean)
Std. Dev = 10.23 Mean = 42.7 0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0 55.0 60.0 65.0 70.0 N = 70.00
【高中数学】一元线性回归模型参数的最小二乘估计的应用课件 高二人教A版(2019)选择性必修第三册
②
在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色) 以及经验回归方程①的图象(红色)， 如图 8.2- 16 所示.
发现，散点图中各散点都非常靠近②的图象， 表明非线性经验回归方程② 对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.
【残差分析】下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.
8
8
Q1 (ei )2 0.669, Q2 (ui )2 0. 004, 可知 Q2 Q1 ，
i 1
i 1
因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型
Y E
c2 ln(t 1895) c1 (u) 0, D(u) 2
u
的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.
也可以用决定系数 R2 来比较两个模型的拟合效果， R2 的计算公式为
间的线性相关程度越强，所以 B 是假命题；对于 C，用决定系数 R2 的值判断模型的拟合效果， R2 越
大，模型的拟合效果越好，所以 C 是假命题；由残差的统计学意义知，D 为真命题. 故选 ABC
2. 中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产 总值从 54 万亿元增长到 114 万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总 值为响应变量的一元线性回归模型，现就 2012-2016 某市的地区生产总值统计如下：
将图 8.2-15 与图 8.2-13 进行对比，可以发现 x 和Y 之间的线性相关程度
比原始样本数据的线性相关程度强得多.
将 x ln(t 1 895 ) 代人(*)式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程
y2 0.426 439 8 ln(t 1 895 ) 11.801 265 3
统计学(参数估计)ppt课件
相应地，用最大似然法求得的估计量称为 最大似然估计量，简记为MLE。
13
令最大似然估计的求法
14
3、矩法和最大似然法的比较
令矩估计法是采用样本矩替换总体矩来估 计参数，相当于使用了分布函数的部分信息；
令最大似然估计法是采用似然函数来求得 参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的 全部信息；
在已知总体分布的前提下，采用最大似然 估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知 但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法 更合适。
通常可以认为，区间估计是在点估计的基 础上，给出未知总体参数的一个取值范围，及 这个范围的可靠程度。
24
区间估计——就是用一个区间去估计未知 总体参数，把未知总体参数值界定在两个数值 之间。即根据样本估计量，以一定的置信度估 计和推断总体参数的区间范围。
令总体参数的估计区间，通常是由样本统 计量加减抽样极限误差而得到的。
44
【解】 本题的总体方差未知，但属于大样本 抽样极限误差为： 所以，在90%的置信水平下，置信区间为：
表明在90%的置信水平下，投保人的平均年龄在 37.37至41.63岁之间。
45
【练习2】在大兴安岭林区，随机抽取了100块面 积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林 地平均出材量为88m3 ，标准差为10m3。
17
一、无偏性
无偏性——是指样本估计量抽样分布的均 值等于被估总体参数的真实值。
无偏性实际是指：不同的样本，会有不同 的估计值。虽然从某一个具体样本来看，估计 值有时会大于 θ ，有时会小于 θ ，有误差。但 从所有可能样本的角度来看，估计值的平均水 平等于总体参数的真实值，即平均说来，估计 是无偏的。
令样本均值、样本方差和样本比率，分别 是总体均值、总体方差和总体比率的无偏、有 效和一致的优良估计量；
13
令最大似然估计的求法
14
3、矩法和最大似然法的比较
令矩估计法是采用样本矩替换总体矩来估 计参数，相当于使用了分布函数的部分信息；
令最大似然估计法是采用似然函数来求得 参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的 全部信息；
在已知总体分布的前提下，采用最大似然 估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知 但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法 更合适。
通常可以认为，区间估计是在点估计的基 础上，给出未知总体参数的一个取值范围，及 这个范围的可靠程度。
24
区间估计——就是用一个区间去估计未知 总体参数，把未知总体参数值界定在两个数值 之间。即根据样本估计量，以一定的置信度估 计和推断总体参数的区间范围。
令总体参数的估计区间，通常是由样本统 计量加减抽样极限误差而得到的。
44
【解】 本题的总体方差未知，但属于大样本 抽样极限误差为： 所以，在90%的置信水平下，置信区间为：
表明在90%的置信水平下，投保人的平均年龄在 37.37至41.63岁之间。
45
【练习2】在大兴安岭林区，随机抽取了100块面 积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林 地平均出材量为88m3 ，标准差为10m3。
17
一、无偏性
无偏性——是指样本估计量抽样分布的均 值等于被估总体参数的真实值。
无偏性实际是指：不同的样本，会有不同 的估计值。虽然从某一个具体样本来看，估计 值有时会大于 θ ，有时会小于 θ ，有误差。但 从所有可能样本的角度来看，估计值的平均水 平等于总体参数的真实值，即平均说来，估计 是无偏的。
令样本均值、样本方差和样本比率，分别 是总体均值、总体方差和总体比率的无偏、有 效和一致的优良估计量；
2020_2021新教材高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用课件新人教A版
有5名学生的数学和化学成绩如表所示：
学生学科
A B CDE
数学成绩(x) 87 76 73 66 63
化学成绩(Y) 78 66 71 64 61
(1)如果Y与x具有相关关系，求经验回归方程 ＝ x＋ ；
(2)预测如果某学生数学成绩为79分，他的化学成绩为多少？(结果取整数)
n
（xi－ x ）（yi－ y ）
＝1－（－2.8）2＋（－01..625）1 2＋0.52＋1.52＋22 ＝1－01.56.5718 ≈0.9587. (4)经验回归方程 ＝1.23x＋0.08，所以当 x＝10 年时， ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万 元)， 即估计使用 10 年时维修费是 12.38 万元．
【类题通法】建立线性回归模型的基本步骤： (1)确定研究对象，明确解释变量和响应变量； (2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关 系等)； (3)由经验确定回归方程的类型； (4)按一定的规则估计回归方程的参数； (5)对所建立的模型进行残差分析，判断拟合效果．
【解析】由题意e为随机变量，e称为随机误差．根据随机误差的意义，可得E(e) ＝0. 答案：0
主题2 经验回归方程的求解 如何对具有线性相关关系的两个变量进行分析？
提示：对具有线性相关关系的变量，利用回归分析的方法进行研究．其步骤为 画散点图，求经验回归直线方程，并利用经验回归方程对模型刻画数据的效果 进行分析，借助残差分析对模型进行改造，使我们能够根据改进模型作出符合 实际的预测和决策．
为研究质量x(单位：克)对弹簧长度Y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物 体进行测量，数据如表所示：
x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
这方面的工作称为残差分析.
问题3：儿子身高与父亲身高的关系，运用残差分析所得的一元线性回归模型的有效
性吗？
残差图：作图时纵坐标 为残差,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计
值等，这样作出的图形称为残差图．
从上面的残差图可以看出，残差有正有负，残差点比较均匀地散布在横轴的两边，可
以判断样本数据基本满足一元线性回归模型对于随机误差的假设。所以，通过视察残
i 1
当Q(a, b)取最小时，n[( y bx) a ]2 取最小值0，即a = y bx
n
此时，Q(a, b) [( yi y ) b( xi x)] =b
2
n
2
i 1
(x
i 1
i
n
n
i 1
i 1
x) 2b ( xi x)( yi y ) ( yi y ) 2
图（4）的残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内.
所以，只有图(4）满足一元线性回归模型对随机误差的假设。
随机误差的假定？
(1)
(2)
(3)
(4)
根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为 的
随机变量的观测值.
图（1）显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；
图（2）显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部
分；
图（3）说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；
i 1
n
n
[( yi y ) b( xi x)] 2 [( yi y ) b( xi x)] [( y b x) a ] n[( y b x) a ]2
参数估计PPT课件
参数估计
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
根据中心极限定理得 到的近似结果。
未知时用s来估计。
11
第二节 大样本下总体均值的估计
案例：
益康公司是一家专营体育设备和器材的 邮购公司。该公司为了跟踪服务质量，每 个月选取顾客的邮购订单组成简单随机样 本，公司与样本中每一顾客取得联系并询 问顾客对服务水平等一系列问题的评价。 顾客的回答用于计算样本中每一顾客的满 意得分，得分取值从0（最差等级）到100 （最好等级）。然后计算样本满意得分均 值，并作为该公司所有顾客组成的总体的 满意得分的点估计。
n
30
s
xi x 2
n1
325009260 29
3347.72元
p 19 0.63 30
6
计算结果表明： 新烽电子公司 2500名经理平均年薪的
点估计为51814.00元，每个经理的年薪与他 们平均年薪相差数额的平均数为3347.72元。
新烽电子公司 2500名经理中，参加过 管理培训的人数所占比例的点估计为0.63。
区间估计由于给出了一个区间范围，
它可以包含绝大多数不同随机抽样的点
估计值。因而，它的用途比点估计要广
泛得多。
10
总体均值的 区间估计
是
否
总体正态？
2已知？
是
否
n≥30？
是
否
x Z 2 n
s x t 2
n
x Z 2
n
增大n; 非参 数方法等。
实际中总体方差总是未知的， 因而这是应用最多的公式。在 大样本时t值可以用z值来近似。
12
以往各月调查结果显示，每个月顾客的满 意得分样本均值都在改变，但样本标准差却 趋于稳定在20附近，于是，我们假定总体标
准差 。20
益康公司最近一次对顾客满意程度调查抽 取了100名顾客（ n100 ），满意得分的样
本均值 x 82。
问题：利用上述信息对满意得分的总体 均值给出区间估计。
13
一、抽样误差
2
案例讨论： 1.这个案例都告诉了我们哪些信息？
2.通过阅读这个案例你受到最大的启 发是什么？
3
第一节 点估计和区间估计
在商务与经济统计中，对总体参数 （均值、比例、方差）的估计通常有两 种方法：点估计和区间估计。
4
一、点估计 （一）点估计的含义 点估计（point estimate），就是用
抽样误差（Sampling error）一个无偏估 计与其所估计的总体参数之差的绝对值。
抽样误差 x
（8.1）
14
[例8.1] 根据益康的案例讨论抽样误差问题。
已知条件：n10， 020
分析依据：根据中心极限定理，x 的抽样分
布大约服从均值是 ，标准差是 20 2
的正态概率分布。
x n 100
z 代表标准正态随机变量相应上侧分布
2
面积为
2
时的值。
当用 x 估计 时，抽样误差大小的精度解
释为：
样本均值的抽样误差小于等于
z
2
x
的概率
为 1
。(
z
2
x
称为边际误差；边际误差,
国内有些教材称为允许误差)。
25
三、大样本且 已知情形下的区间估计 在益康公司的案例中，我们 构造了一个
区间：(x3.92, x3.9)2
19
如果所有的样本均值全部落在 3.92 范 围内，抽样误差就是3.92或更小。
反之，如果样本均值落在 3.92 范围以 外，抽样误差就会比3.92大。
20
抽样问题中有关抽样误差的概率，不同教 科书有很多不同的称谓：
估计的把握程度 精度 估计的可靠程度 置信度 置信水平 ……
21
7
（二）点估计的优良标准
8
二、区间估计
区间估计（interval estimate）是给
出总体参数的一个范围，并确信总体参
数处于这个范围内。
9
三、点估计和区间估计的区别
点估计只对自己的样本具有代表性。
如果从总体中进行不同的随机抽样，这 些样本的点估计就有可能不同。所以， 判断一个点估计是否具有代表性，还要 附有评价标准。
我们可以认为有95%的样本所构建的区 间包含总体均值在内。
15
图8.1 100名顾客的简单随机样本的满意分数均值的抽样分布
16
因 总为体均x 值的抽样分分布布的显。示它了提x供了是样如本何均围值绕
和总体均值之差的信息，所以我们就可以 用这个信息来估计抽样误差，并对其进行 概率陈述。
17
二、关于抽样误差的概率解释
数理统计表明，任何服从正态分布的
随机变量有95%的取值落在均值 1.96倍标
准差范围内。所以，对于益康公司案例中
的抽样分布，所有 x 值中有95%必定落在总
体均值 的 1.96倍标准差范围内。因为，
所1.9 以 有6 x9 51 %.9的 6 样2本3 均.9值2 一定落在总体
均值 的
范围内。
3.92
18
图8.2 的抽样分布：图中显示抽样误差小于等于3.92时,样本均值的位置
来自于样本中的一个具体的统计量的值， 作为总体参数的一个估计值。 [例如]在新烽电子公司问题中，假 定被抽取的经理资料如表7-2所示（见教 科书：P208）。根据样本数据给出总体 均值的点估计和总体比例的点估计。
5
通过表中数据计算的样本均值、标 准差和样本比例分别如下：
x xi 15544205181.400元
0.95的精度在统计推断中经常用到。 对应于0.95精度的数值是 1.96
除此之外，0.90（ 1.645） 和0.99
（ 2.576）的精度也经常用到。
例如，x 所有值的99%在 值附近 2.576个
标准差以内。由于 2 .5 7x 62 .57 2 65 .1，5所
以，样本均值抽样误差小于等于5.15的概率为 99%。
第八章 参数估计
学习目标 了解点估计与区间估计的区别。 掌握总体均值区间估计的方法。 掌握总体比例区间估计的方法。 学会确定样本容量。
1
习题
1. P238-2 5. P244-21 2. P238-5 6. P246-27 3. P239-8 7. P250-33 4. P244-19 8. P250-39
22
图8.3 的抽样分布：图中显示99%的值的位置
23
精度（Precision）抽样误差的概率解释。
用希腊字母 代表抽样误差大于精度解释
所要求的抽样误差的概率或面积；
代表抽样分布上侧或下侧的概率或面积；
2
1 代表样本均值抽样误差小于等于所要求的抽样 误差的解释精度的概率或面积；源自24z代表标准正态随机变量；