信息光学原理第一章习题答案

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光学信息技术原理及应用(第二版)课后答案汇总

第一章习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g c o m b =系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。

若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。

并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。

1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零，（1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？答：不能。

因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f W f L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。

（必要时，可取合理近似）（1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π, 答：()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comby x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f com b y 7x sin y rect x rect x com by x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331= 对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

信息光学习题详细标准答案

信息光学习题答案第一章线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变；（2）线性、平移不变；（3）非线性、平移不变；（4）线性、平移不变；（5）线性、非平移不变. 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等.1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式地δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0地根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处地导数.于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示地两函数地一维卷积.解：设卷积为g(x).当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示，⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示，⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(x x x d x x g ααα即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g1.5 计算下列一维卷积. （1）⎪⎭⎫⎝⎛-*-21)32(x rect x δ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x rect x rect （3）)()(x rect x comb * 解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ （2）设卷积为g(x)，当x ≤0时，如图题1.2(a)所示，2)(2+==⎰+x d x g x α当0 < x 时，如图题1.2(b)所示图题1.2x d x g x-==⎰2)(2α⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,210,212)(x xx xx g即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∧=22)(x x g （3）1)()(=*x rect x comb1.6 已知)ex p(2x π-地傅立叶变换为)ex p(2πξ-，试求（1）(){}?ex p 2=-℘x（2）(){}?2/ex p 22=-℘σx解：设ξππ==z x y ,即 {})ex p()ex p(22πξπ-=-℘y由坐标缩放性质{}⎪⎭⎫⎝⎛=℘b a F ab by ax f ηξ,1),( 得（1）(){}{})ex p()ex p(/ex p(ex p 22222ξπππππ-=-=-℘=-℘z yx（2）(){}(){}22222/ex p 2/ex p πσσyx -℘=-℘)2ex p(2)2ex p(22222ξπσσππσσπ-=-=z1.7 计算积分.（1）()⎰∞∞-=?sin 4dx x c（2）()⎰∞∞-=?cos sin 2xdx x c π 解：应用广义巴塞伐定理可得（1）32)1()1()()()(sin )(sin 121222=-++=ΛΛ=⎰⎰⎰⎰-∞∞-∞∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Λ=⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 221212121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ=1.8 应用卷积定理求()()()x c x c x f 2sin sin =地傅里叶变换.解：{}{}{}⎪⎭⎫ ⎝⎛*=℘*℘=℘2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c 当2123-<≤-ξ时，如图题1.3(a)所示， ξξξ+==⎰+-2321)(211du G当2121<≤-ξ时，如图题1.3(b)所示， 121)(2121==⎰+-ξξξdu G当2321<≤ξ时，如图题1.3(c)所示， ξξξ-==⎰-2321)(121du G2G(ξ)地图形如图题1.3(d)所示，由图可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∧-⎪⎭⎫ ⎝⎛∧=2/1412/343)(ξξξG图题1.31.9 设()()x x f β-=exp ，0>β，求(){}()⎰∞∞-==℘??dx x f x f解：{}⎰⎰∞∞---+-=-℘00)2ex p()ex p()2ex p()ex p()ex p(dx x j x dx x j x x πξβπξβββπξβββπξββξ2)2(2)exp()2(202222=+=-+==∞∞-⎰dx x1.10 设线性平移不变系统地原点响应为()()()x step x x h -=ex p ，试计算系统对阶跃函数()x step 地响应.解：由阶跃函数定义⎩⎨⎧<>=0,00,1)(x x x step 得线性平移不变系统地原点响应为()()()()0,ex p ex p >-=-=x x x step x x h所以系统对解阶跃函数()x step 地响应为⎰∞>--=--=*=00),ex p(1)](ex p[)()()(x x d x x h x step x g αα1.11 有两个线性平移不变系统，它们地原点脉冲响应分别为()()x c x h sin 1=和()()x c x h 3sin 2=.试计算各自对输入函数()x x f π2cos =地响应()x g 1和()x g 2.解：1.12 已知一平面波地复振幅表达式为)]432(exp[),,(z y x j A z y x U +-=试计算其波长λ以及沿z y x ,,方向地空间频率.解：设平面波地复振幅地表达式可以表示成以下形式)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=∙=由题可知，4cos ,3cos ,2cos =-==γβαk k k又因为1cos cos cos 222=++γβα 所以29=k波长为 2922ππλ==k 沿z y x ,,方向地空间频率为πλγζπλβηπλαξ2cos ,23cos ,1cos ==-====1.13 单色平面波地复振幅表达式为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x j A z y x U 143142141exp ,,求此波在传播方向地空间频率以及在z y x ,,方向地空间频率. 解：设单色平面波地复振幅地表达式可以表示成以下形式)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=∙=由题可知，143cos ,142cos ,141cos ===γβαk k k又因为1cos cos cos 222=++γβα 所以1=k 波长为ππλ22==k沿z y x ,,方向地空间频率为1423cos ,141cos ,1421cos πλγζπλβηπλαξ======第三章光学成像系统地传递函数3.1 参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数(3.1.5)式时，对于积分号前地相位因子()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2220202002exp 2exp M y x d k j y x d k j i i 试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+202002exp y x d k j 相对于它在原点之值正好改变π弧度？（2）设光瞳函数是一个半径为a 地圆，那么在物平面上相应h 地第一个零点地半径是多少？（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和d o 之间存在什么关系时可以弃去相位因子()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+202002exp y x d k j 解：（1）由于原点地相位为零，于是与原点相位差为π地条件是o o oo o o o d r d kr y x d k λπ===+,2)(2222 （2）根据⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=dxdy y y y x x x d j y x P d d dxdy y My y x Mx x d j y x P d d y x y x h o i o i i i o o i o i i io i i o o ])~()~[(2exp ),(1])()[(2exp ),(1),;,(22λπλλπλ相干成像系统地点扩散函数是透镜光瞳函数地夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点)~,~(o o y xρρπλλλπλ)2(1~1])~()~[(2exp ),(1),;,(122222a aJ d d a r circ B d d dxdy y y x x d j y x P d d y x y x h io i o o i o i i io i i o o =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=⎰⎰∞∞-式中22y x r +=，而2222~~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=i o i i o i dy y dx x λληξρ （1）在点扩散函数地第一个零点处0)2(1=o a J ρπ，此时应有83.32=o a ρπ，即ao 61.0=ρ (2) 将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点)0(==i i y x ，于是得ad r oo λ61.0=(3) （3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上地点扩散函数对于原点地贡献)0,0;,(o o y x h .按照上面地分析，如果略去h 第一个零点以外地影响，即只考虑h 地中央亮斑对原点地贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近a d r o o /61.0λ=范围内地小区域.当这个小区域内各点地相位因子]2/ex p[2o o d jkr 变化不大，而降它弃去.假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，则16/,162/22o o o o d r d kr λπ≤≤，也即o d a λ44.2≥ （4）例如λ ＝600nm , d o = 600mm ，则光瞳半径a ≥1.46mm ，显然这一条件是极易满足地.3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为()o o o o x f y x t π2cos 2121,+=放在图3.1.1所示地成像系统地物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波地传播方向在z x o 平面内，与z 轴夹角为θ.透镜焦距为f ,孔径为D.（1）求物体透射光场地频谱；（2）使像平面出现条纹地最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；（3）若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹地最大光栅频率是多少？与θ＝0时地截止频率比较，结论如何？解：（1）斜入射地单色平面波在物平面上产生地场为)sin ,ex p(0θjkx A ，为确定起见设θ> 0，则物平面上地透射光场为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛==λθπλθπλθπθsin 2exp 21sin 2exp 21sin 2exp 2),()sin ,exp(),(o o o o o o o o o o o f x j f x j x j A y x t jkx A y x U 其频谱为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=℘=λθξδλθξδλθξδηξsin 21sin 21sin 2)},({),(o o o o o f f A y x U A 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sin θ/λ距离.（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统.系统地截至频率f D c λρ4/=，于是要求fD f f D f D o λλθλλλθ4sin 4,4sin ≤+-≤-≤由此得fD f D f o 4sin 4≤≤-θλ （1） θ角地最大值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=f D4arcsin max θ （2）此时像面上复振幅分布和强度分布为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f A y x I f x j f D x j A y x U o i i i o i i i i i ππλπ2cos 454),()]2ex p(211[42ex p 2),(2（3）照明光束地倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得fDf D f o 44≤-λ 即 fDf fD f o o λλ22max =≤或(3) θ＝0时，系统地截止频率为f D c λρ4/=，因此光栅地最大频率fDf c o λρ2max == (4) 比较(3)和(4)式可知，当采用倾角地平面波照明时系统地截止频率提高了一倍，也就提高了系统地极限分辨率，但系统地通带宽度不变.3.3 光学传递函数在0==ηξ处都等于1，这是为什么？光学传递函数地值可能大于1吗？如果光学系统真地实现了点物成点像，这时地光学传递函数怎样？解：在⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞--==ℵiiiiIiiiiiiII I dydx y x h dydx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()0,0(),(),(ηξπηξηξ （1）式中，令 ⎰⎰∞∞-=iiiiIi i I i i dydx y x h y x h y x h ),(),(),(为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成⎰⎰∞∞--=ℵi i i i i i dy dx y x j y x h )],(2exp[),(),(ηξπηξ而 ⎰⎰∞∞-==ℵiiiidydx y x h ),(1)0,0(即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源地总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数地意义. （2）不能大于1.（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率地传递都是无损地.3.4 当非相干成像系统地点扩散函数()i i I y x h ,成点对称时，则其光学传递函数是实函数.解：由于),(i i I y x h 是实函数并且是中心对称地，即有),(),(i i I i i I y x h y x h *=，),(),(i i I i i I y x h y x h --=，应用光学传递函数地定义式⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞--==ℵiiiiIiiiiiiII I dydx y x h dydx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()0,0(),(),(ηξπηξηξ易于证明),(),(ηξηξ*ℵ=ℵ，即),(ηξℵ为实函数3.5 非相干成像系统地出瞳是由大量随机分布地小圆孔组成.小圆孔地直径都为2a ，出瞳到像面地距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波.系统地截止频率近似为多大？解：用公式0),(),(S S ηξηξ=ℵ来分析.首先，由于出瞳上地小圆孔是随机排列地，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统地截止频率在任何方向上均相同.其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身地重叠情况，而不计及和其它小孔地重叠.这时N 个小孔地重叠面积除以N 个小孔地总面积，其结果与单个小孔地重叠情况是一样地，即截至频率约为i d a λ/2，由于2a 很小，所以系统实现了低通滤波.第四章部分相干理论4.1 若光波地波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证明：λλ∆=∆v v .设光波波长为nm nm 8102,8.632-⨯=∆=λλ，试计算它地频宽Δν = ? 若把光谱分布看成是矩形线型，则相干长度?=c l 证明：因为频率与波长地关系为 λv c =(其中c 为光速)对上式两边求导得 0=+=dv vd dc λλ 所以λλλλλλ∆=∆⇒∆-=∆⇒-=v v v v d v dv 因nm nm 8102,8.632-⨯=∆=λλc v v v v c 2λλλλλ∆=∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫∆=∆=所以赫4105.1⨯=∆v 有因为相干长度 c c ct l =)(100.24m vcl c ⨯=∆=4.2 设迈克耳孙干涉仪所用光源为nm nm 6.589,58921==λλ地钠双线，每一谱线地宽度为0.01nm .（1）试求光场地复相干度地模；（2）当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解：假设每一根谱线地线型为矩形，光源地归一化功率谱为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=℘v v v rect v v v rect v v δδδ2121)(ˆ （1）光场地复相干度为)]2ex p(1)[2ex p()(sin 21)2ex p()(ˆ)(10τπτπτδτπτγv j v j v c dv v j v ∆+=℘=⎰∞式中12v v v -=∆，复相干度地模为)cos )(sin )(τπτδτγv v c ∆=由于，故第一个因子是τ地慢变化非周期函数，第二个因子是τ地快变化周期函数.相干时间由第一个因子决定，它地第一个零点出现在v c δτ/1=地地方，τc 即为相干时间，故相干长度δλλδλλδτ22≈===v c c l c c (2) 可见到地条纹总数 589301.05893===δλλλcl N （3）复相干度地模中第二个因子地变化周期 v ∆=/1τ，故可见度地变化周期 601.06==∆=∆==δλλδττv v n c 每个周期内地条纹数9826058930===n N 4.3 假定气体激光器以N 个等强度地纵模振荡.其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑---=∆+-=ℑ2/12/11ˆN N n v n v v Nv δ式中，Δν是纵模间隔，v 为中心频率.为简单起见，假定N 为奇数.（1）证明复相干度地模为)sin()sin()(τπτπτγv N v N ∆∆=（2）若N ＝3，且0≤τ≤1/Δv ，画出()τγ与Δντ地关系曲线. （1）证明：复相干度函数为⎰∞ℑ=0)2exp()(ˆ)(dv v j v τπτγ 得 ()()()()())2exp(sin sin )2exp()2exp()2exp(1)(2/12/12/12/10τπτπτπτπτπτπδτγv j v N v N v n j N v j dv v j v n v v N N N n N N n ∆∆=∆-=∆+-=∑∑⎰---=---=∞所以复相干度得模为)s i n ()s i n ()(τπτπτγv N v N ∆∆=（2）当N=3时，复相干度地模为)sin(3)3sin()(τπτπτγv v ∆∆=4.4 在例4.7.1所示地杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为a ，强度相等地准单色点光源代替，试计算此时地复相干系数.解：应用范西泰特－策尼克定理得⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞∞-∞∞-z d a d a a I d d z j a a I d λπααδαδααλπαδαδμcos 222exp 22)(004.5 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z 地平面上任意两点P 1和P 2之间地复相干系数μ(P 1 ,P 2) .解：设光源所在平面地坐标为α ，β；孔平面地坐标为x ,y.点P 1和P 2地坐标为(x 1 ,y 1)和(x 2 ,y 2).对于准单色点光源，其强度可表为),(),(110ββααδβα--=I I在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆---=⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-)(2exp )(2exp ),()(2exp ),()exp(),(11212122221111021βαλπλπβαββααδβαβαλπββααδϕμy x z j y x y x z j d d I d d y x z j I j P P因为1),(21=P P μ,由点光源发出地准单色光是完全相干地，或者说x,y 面上地相干面积趋于无限大.第六章计算全息6.1 一个二维物函数f ( x, y)，在空域尺寸为10×10mm ，最高空间频率为5线/mm ，为了制作一张傅里叶变换全息图：(1) 确定物面抽样点总数.(2) 若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (3) 若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？解：(1)假定物地空间尺寸和频宽均是有限地.设物面地空间尺寸为Δx,Δy ；频宽为2B x ,2B y .根据抽样定理，抽样间距δx,δy 必须满足δx ≤1/2B x , δy ≤1/2B y 才能使物复原.故抽样点总N(即空间带宽积SW)为410)52()52(1010)2)(2(=⨯⨯⨯⨯⨯==∆∆=∆∙∆=SW B B y x yy y x N y x δδ (2)罗曼计算全息图地编码方法是在每一个抽样单元里用开孔地大小和开孔地位置来编码物光波在该点地振幅和相位.根据抽样定理，在物面上地抽样单元数应为物面地空间带宽积，即410==SW N .要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上地抽样点数仍应为410=N .(3)对于修正离轴参考光地编码方法，为满足离轴地要求，载频α应满足α≥B x为满足制作全息图地要求，其抽样间隔必须满足δx ≤1/2B x , δy ≤1/2B y .因此其抽样点数为410210201010)2)(4(⨯=⨯⨯⨯=∆∆=∆∙∆=y x B B y x yy y x N δδ(4)两种编码方法地抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数.修正离轴加偏置量地目地是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实地非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码地方法简便.但由于加了偏置分量，增加了记录全息图地空间带宽积，因而增加了抽样点数.避免了相位编码是以增加抽样点数为代价地.6.2 对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息图地抽样频率.解：设物地频宽为)2,2(y x B B(1)对于频宽α地选择光学离轴，由图6.2.5(b)可知，x B 3≥α 修正离轴，由图6.2.5(d)可知，x B ≥α 载频地选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠.(2)对于制作计算全息图时抽样频率地选择光学离轴全息，由图6.2.5(c)可知：在x 方向地抽样频率应x B 8≥，即x 方向地抽样间距x B x 8/1≤δ. 在y 方向地抽样频率应y B 4≥，即x 方向地抽样间距y B y 4/1≤δ.修正离轴全息，由图6.2.5(e)可知：在x 方向地抽样频率应x B 4≥，即x 方向地抽样间距x B x 4/1≤δ. 在y 方向地抽样频率应y B 2≥，即x 方向地抽样间距y B y 2/1≤δ.6.3 一种类似傅奇型计算全息图地方法，称为黄氏(Huang)法，这种方法在偏置项中加入物函数本身，所构成地全息函数为{})],(2cos[1),(21),(y x ax y x A y x h φπ-+=(1) 画出该全息函数地空间频率结构，说明如何选择载频.(2) 画出黄氏计算全息图地空间频率结构，说明如何选择抽样载频. 解：把全息函数重写为)2exp()],(exp[),(41)2exp()],(exp[),(41),(21),(x j y x j y x A x j y x j y x A y x A y x h παφπαφ-+-+=物函数为 )],(exp[),(),(y x j y x A y x f φ=并且归一化地，即1),(max =y x A ，参考光波R ＝1.经过处理后地振幅透过率为+-'+'+=)2exp()],(exp[),(41),(21),(x j y x j y x A y x A t y x t o παφββ )2exp(),(41)2exp(),(41),(21)2exp()],(exp[),(41x j y x f x j y x f y x A t x j y x j y x A o παβπαββπαφβ*'+-'+'+=-'其频谱为),(41),(41),(21),(),(ηαξβηαξβηξβηξδηξ---''+-''+''+=F F F t T o (1)设物地带宽为y x B B 2,2，如图题6.3(a)所示.全息函数地空间频谱结构如图题6.3(b)所示，载频x B 2≥α.(2)黄氏全息图地空间频率结构如图题6.3(c)所示，由此可得出：在x 方向地抽样频率应x B 6≥，即x 方向地抽样间距x B x 6/1≤δ. 在y 方向地抽样频率应y B 2≥，即x 方向地抽样间距y B y 2/1≤δ. 抽样点数即空间带宽积为y x B xyB yyx x SW N 12===δδ. 黄氏计算全息图地特点：(1)占用了更大地空间带宽积(博奇全息图地空间带宽积y x B xyB SW 8 )，不具有降低空间带宽积地优点.(2)黄氏全息图具有更高地对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度地要求.6.4 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成地方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码地.解：对于Ⅰ型和Ⅲ型，是用x A δ来编码振幅A(x,y)，用x d δ来编码相位),(y x φ，在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题6.4(a).对于罗曼Ⅱ型是用两个相同宽度地矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中地一个矩孔.两矩孔之间地距离x A δ是变化地，用这个变化来编码振幅A(x,y).在复平面上反映为两个矢量夹角地变化.两个矩孔中心距离抽样单元中心地位移量x d δ用作相位),(y x φ地编码.在复平面上两矢量地合成方向即表示了),(y x φ地大小，如图题6.4(b)所示.第八章空间滤波8.1 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜地最小分辨距离公式，并同非相干照明下地最小分辨距离公式比较.解：显微镜是用于观察微笑物体地，可近似看作一个点，物近似位于物镜地前焦点上.设物镜直径为D ，焦距为f ，如图8.1所示.对于相干照明，系统地截止频率由物镜孔径地最大孔径角θo 决定，截止频率为λθ/sin o .从几何上看，近似有f D o 2/sin ≈θ.截止频率地倒数地倒数即为分辨距，即Dfo c λθλδ2sin ==对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距为oθλδsin 61.0= 非相干照明时显微镜地分辨率大约为相干照明时地两倍.8.2 在4f 系统输入平面放置40mm -1地光栅，入射光波长632.8nm.为了使频谱面上至少能够获得±5级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mm ，求透镜地焦距和直径.解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d ，透光部分为a ，则其透过率函数可表为()⎪⎭⎫ ⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛=-*⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑d x comb d a x rect md x a x rect a md x rect x f m m1)(111δ其频谱为{}∑∑⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘=℘=m m d m d ma c d a d m a c d a d comb a c a d x comb d a x rect x f F ξδξδξξξξ)(sin )(sin )()(sin 1)()(`111即谱点地位置由d m f x //2==λξ决定，即m 级衍射在后焦面上地位置由下式确定：d f m x /λ=相邻衍射斑之间地间距 d f x /λ=∆ 由此得焦距f 为 )(7910632840/27mm xdf =⨯=∆=-λ物透明片位于透镜地前焦面，谱面为后焦面，谱面上地±5级衍射斑对应于能通过透镜地最大空间频率应满足dD 52/1sin ===λλλθξ 于是求得透镜直径)(201010mm x dfD =∆==λ8.3 观察相位型物体地所谓中心暗场方法，是在成像透镜地后焦面上放一个细小地不透明光阑以阻挡非衍射地光.假定通过物体地相位延迟<<1弧度，求所观察到地像强度(用物体地相位延迟表示出来).解：相位物体地透过率为),(1)],(ex p[),(111111y x j y x j y x t φφ+≈=其频谱为 {}),(),(),(1),(11ηξηξδφηξΦ+=+℘=j y x j T 若在谱平面上放置细小地不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过地频谱为 ),(),(ηξηξΦ=j TM再经过一次傅里叶变换(在反演坐标系)得 ),(),(3333y x j y x t Mφ=强度分布为因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布地光强分布，实现了将相位转换为强度分布地目地.不过光强不是相位地线性函数，这给分析带来困难.8.4 当策尼克相衬显微镜地相移点还有部分吸收，其强度透射率等于α (0< α <1)时，求观察到地像强度表示式.解：相位物体地频谱为现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个±π/2地相移，即滤波器地透过率表达式为⎩⎨⎧==±=其它的小范围内在,10,),(ηξαηξj H于是 ),(),(),(),(),(ηξηξαδηξηξηξΦ+±==j j T H TM像地复振幅分布为 ),(),(3333y x j j y x t Mφα+±=像强度分布为),(2),(),(2),(),(),(33233233223323333y x y x y x y x y x j j y x I αφαφαφαφαφα±≈+±=+=+±=像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析.8.5 用CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间地间隔为0.2mm ，图像最高空间频率为10mm -1.如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器地形状和尺寸应当如何设计？输出图像地分辨率如何(设傅立叶变换物镜地焦距f ＝1000mm ,λ=632.8nm).解：扫描点地表达式为()∑∑--=mnny y mx x y x f 010111,),(δ其频谱为∑∑∑∑∑∑--=--=+-=mnmnmny n f y x m f x y x yn x m y x ny mx j F ),(1)/,/(1)](2exp[),(02020000000λλδηξδηξπηξ在上式地化简中应用了公式∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=±n n a n x a nax j δπ1)2ex p( 由此可见，点状结构地频谱仍然是点状结构，但点与点之间地距离不同.扫描点频谱出现地位置为202,y n f y x m f x ==λλ 点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉.低通滤波器圆孔半径为)(164.32.01000106328702mm x fx r =⨯⨯===-λ能传递地最高空间频率为mm x x f f f r /1511sin 00==∙===λλλλθξ 即高于5 1/mm 地空间频率将被滤掉，故输出图像地分辨率为5 1/mm.8.6 某一相干处理系统地输入孔径为30m m ×30mm 地方形，头一个变换透镜地焦距为100mm ，波长是632.8nm.假定频率平面模片结构地精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上地定位必须精确到何种程度？解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数P(x,y), 根据题意其表达式为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030),(y rect x rect y x P设系统地输入面位于透镜地前焦面，物透明片地复振幅分布为),(11y x f ，它地频谱分布为),(ηξF ，透镜后焦面上地场分布)](2exp[)30(sin )30(sin ),(9003030),(),(221111y x j c c F C y rect x rect y x f C U f ηξπηξηξηξ+*'=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛℘'= 式中f y f x ληλξ/,/22==.由f U 地表达式可见，频谱面上能分辨地细节由)30(sin ξc )30(sin ηc 决定.取一个方向来看，将sinc 函数由最大降为零地宽度取为最小分辨单元，即要求满足1/301302=∆=∆f x λξ或，于是有m mm fx μλ1.2)(101.23010010632830372=⨯=⨯⨯==∆--因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它地一半，约1μm.第九章相干光学处理9.1 参看图9.1.1，在这种图像相减方法地编码过程中，如果使用地光栅透光部分和不透光部分间距分别为a 和b ，并且a ≠b.试证明图像和地信息与图像差地信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频地调制.解：如图题9.3所示，先将t (x)展开成傅立叶级数∑∞=++++=102sin 2cos 2)(n n n ba x nb b a x n a a x t ππ式中,2cos )(2)(sin 2,)(2)(cos 2sin 22200=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==+=n n b n n b a b a n n n b a b a n n n a R ba a a 偶奇ππππππ 所以 2100)(2cos )(2)(sin 2cos 2)(2cos )(2)(cos 2sin 2)(R R R b a x n b a b a n n n b a x n b a b a n n n R x t ++=++-+++-+=∑∑ππππππππ 第一次曝光得210)(R I R I R I x t I A A A A ++=对于)(x t '是将光栅向x 地负方向移动半个周期即(a+b) /2，将它展开成傅立叶级数得第二次曝光得120210)())(()(R I I R R I I R I R I R I x t I B A B A B B B B -++++-=总曝光量＝即图像和地信息受到光栅偶数倍频地调制，图像差地信息受到光栅奇数信频地调制.9.2 用Vander Lugt 方法来综合一个平年元平面滤波器，如图9.1(左)所示，一个振幅透射率为s(x,y)地“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜地前面，用照相底片记录后焦面上地强度，并使显影后底片地振幅透射率正比于曝光量.这样制得地透明片放在图题9.1(右)地系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面地适当部位，问输入平面和第一个透镜之间地距离d 应为多少，才能综合出：（1）脉冲响应为s(x,y)地滤波器？（2）脉冲响应为s * (x,y)地“匹配”滤波器？解：（1）参看图题9.1左，设物面坐标为x 1, y 1；胶片坐标为x 2, y 2.则参考光波在记录胶片上造成地场分布为)2ex p(),(222y j A y x U r πα-= （1）式中A 为常数，α ＝sin θ/λ为空间频率.物透明片在记录胶片上造成地场分布为),()(exp ),(2222221ηξλπS y x f j C y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= 式中S(ξ,η)为s(x 1, y 1)地频谱，且ξ＝x 2/λf ，η=y 2/λf.胶片上地光强分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+=*22222222222222221222222exp ),(22exp ),(),(),(),(),(y f y x j CAS y f y x j CAS S C A y x U y x U y x I r αλπηξαλπηξηξ (2) 将曝过光地胶片显影后制成透明片，使它地复振幅透过率正比于照射光地强度，即 ),(),(2222y x I y x t ∝ （3）将制得地透明片作为频率平面模片，放在图题9.1右所示地滤波系统中.要综合出脉冲响应s(x , y)或s *(-x , -y)，只要考察当输入信号为单位脉冲δ (x , y) 时，在什么条件下系统地脉冲响应为s(x , y)或s *(-x , -y).参看右图，当输入信号为δ (x 1 , y 1)时，在L 2地后焦面上形成地光场复振幅分布，根据公式[]⎰⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-'=o o o o o o o o o o o dy dx fd d f q y y x x f jk y x t fd d f q y x d f jk c y x U )()(exp ),()(2))((exp ),(22得)4(212exp )(2exp ),(212exp ),(2222111212112222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰∞∞-f y x f d j dy dx y y x x f j y x f y x f d j y x U λπλπδλπ 透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)和(4)式得)5(222exp ),(22exp ),(212exp ]),([),(),(),(2222222222*22222222222222⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∝='y f y x f d j CAS y f y x f d j CAS f y x f d j S C A y x t y x U y x U αλπηξαλπηξλπηξ 如果要使系统是脉冲响应为s(x , y)地滤波器，应当利用(5)式中含有S(ξ,η)地第三项，应要求该项地二次相位因子为零，即有 d =2f (6)这时地输出为（在反演坐标系中）),(),(33333f y x S y x U αλ+= （7）（2）若要使系统地脉冲响应为s *(-x , -y)地匹配滤波器，应当利用(5)式中地第二项，要求d = 0，则在输出面上形成地光场复振幅分布为（在反演坐标系中）)](,[),(33333f y x s y x U αλ---=* （8）9.3 振幅透射率为h(x,y)和g(x,y)地两张输入透明片放在一个会聚透镜之前，其中心位于坐标（x = 0, y=Y/2）和(x =0, y = -Y/2)上，如图题9.2所示，把透镜后焦面上地强度分布记录下来，由此制得一张γ为2地正透明片.把显影后地透明片放在同一透镜之前，再次进行变换.试证明透镜地后焦面上地光场振幅含有h 和g 地互相关，并说明在什么条件下，互相关可以从其它地输出分量中分离出来.解：参见图题9.2，设用单位振幅地平面波垂直照明两张振幅透过率为),(11y x h 和),(11y x g 地输入透明片，则透过两张透明片地光场地复振幅分布在透镜L 2地后焦面上形成地强度分布为(略去了二次相位因子))2ex p(),(),()2ex p(),(),(),(),()2,()2,(),(222111122ηπηξηξηπηξηξηξηξY j G H Y j G H G H Y y x g Y y x h y x I -+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-℘=** （1）式中f y f x ληλξ/,/22==.用照相胶片记录(1)式所表达地强度分布，从而可制得γ＝2地正透明片，它地复振幅透过率为),(),(2222y x I y x t β= （2）将制得地正透明片置于透镜前再次进行傅里叶变换，若同样用单位振幅地单色平面波垂直照明，则透过透明片光场地复振幅分布在透镜后焦面形成地光场地复振幅分布，略去二次相位因子后，在反演坐标系中可表示为(3)第三项和第四项是h 和g 地互相关，只是中心分别在(0, -Y)和(0, Y).设函数h 在y 3方向地宽度为W h ，函数g 在y 3方向地宽度为W g ，并且假定g h W W ≥，则由(3)式所表达地U 中各项在x 3y 3平面上所处地位置，要使自相关和互相关分开，显然应满足g h W W Y 2123+≥ 9.4 在照相时，若相片地模糊只是由于物体在曝光过程中地匀速直线运动，运动地结果使像点在底片上地位移为0.5mm.试写出造成模糊地点扩展函数h(x,y)；如果要对该相片进行消模糊处理，写出逆滤波器地透过率函数.解：由于匀速运动，一个点便模糊成了一条线段，并考虑到归一化，具有模糊缺陷地点扩散函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=5.05.011x rect a x rect a h I 带有模糊缺陷地传递函数为)5.0(sin )(sin 1)(ξξξc a c a x rect aH c ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘= 滤波函数地透过率为)5.0(sin /1)(/1)(ξξξc H H c ==版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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信息光学习题答案

信息光学习题答案信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?;g?x??????f????h?x????d?;2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。

证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝2所以当n为偶数时，左右两边相等。

n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。

于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。

当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2解：设y??????????? ?x,z??? 即??exp(??y2)??exp(???2) 1????F?,? 得ab?ab?2坐标缩放性质??f(ax,by)???exp?x2???????exp(?y2/??? exp(??z2)??exp(??2?2)2??exp?x/2???2?????exp??y?/2??2 ? ??2??exp(?2??2z2)?2??exp(?2??2?2)计算积分.????sinc?x?dx?? 4??2?x?cos?xdx?? sinc?解：应用广义巴塞伐定理可得? sinc(x)sinc(x)dx?????2222 ?(?)?(?)d??(1?? )d??(1??)d??????103??021???1?1?1?????s inc(x)cos?xdx????(?)?????d????(?)?????d ??2???2?2????????2?1??1??1??1 ??????????? 2??2??2?? 应用卷积定理求f?x??sinc?x?sinc?2x?的傅里叶变换. 3解：??sinc(x)sinc(2x)????sinc(x)????sinc( 2x)??1???rect(?)?rect?? 2?2?当?31????时，如图题(a)所示，2211??3 G(?)??2du??? 2?12当?11???时，如图题(b)所示，2211??2 G(?)??1du?1 2??2当13???时，如图题(c)所示，22113 G(?)??1du??? 2??222G(ξ)的图形如图题(d)所示，图可知G(?)?3???1?????????? 4?3/2?4?1/2? 图题 4 设f?x??exp??x，??0，求??f?x????解：?exp(??x)???????f?x?dx?? ?0?? ?0??exp(?x)exp(?j2??x)dx??exp(??x)exp(? j2??x)dx ?2??2??(2??)2??? exp(??x)dx?2??2?(2??)2???02? 设线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x?，试计算系统对阶跃函数step?x?的响应. 解：阶跃函数定义step(x)??线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x??exp??x?,所以系统对解阶跃函数step?x?的响应为g(x)?step(x)?h(x)??1,?0,x?0得x?0x?0 ??0exp[?(x??)]d??1?exp(?x), x?0 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x??sinc?x?和h2?x??sinc?3x?.试计算各自对输入函数f?x??cos2?x的响应g1?x?和g2?x?. 解：已知一平面波的复振幅表达式为U(x,y,z)?Aexp[j(2x?3y?4z)] 试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。

光学信息技术原理及应用课后重点习题答案

第一章习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = ，系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛bf Λ。

若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。

并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。

因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。

（必要时，可取合理近似）（1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ 1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

信息光学习题答案及解析

于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。

陈家璧版_光学信息技术原理及应用习题解答(1-3章)

证明：假设置于原点的一个孔径表示为，个处于代表孔位置的点上的点光源表示为，则衍射屏的透过率可表示为
，其傅里叶变换可表示为
，该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。
.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数
由题设知，并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为
注意于是得
再考虑到和之间的关系得到
即得到像平面上倒立的，放大倍的像。 3.7 试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数
第一章习题
.1 已知不变线性系统的输入为
系统的传递函数。若b取（1）（2），求系统的输出。并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）图形从略，（2）图形从略。
1.2若限带函数的傅里叶变换在长度为宽度的矩形之外恒为零，（1）如果，，试证明
证明：（2）如果，，还能得出以上结论吗？
答：不能。因为这时。
个实函数，其傅里叶变换是厄米型函数，即：
因此，所以夫琅和费衍射图样有一个对称中心。（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为轴建立坐标系。
有：
因此同时所以可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有个形状和方位都相同的全等形开孔，在每一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。

信息光学原理第一章习题答案

信息光学补充习题0-1. 已知函数U (x )=A exp(j 2πf 0x )，求下列函数，并作出函数的图形(1) | U (x ) |2 (2) U (x ) + U*(x ) (3) | U (x ) + U*(x ) |20-2. 已知函数 f (x )=rect (x +2)+rect (x -2)，求下列函数，并作出函数的图形.(1) f (x-1) (2) f (x )sgn(x )0-3. 画出下列函数的图形(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=2rect 4rect )(x x x f (2))tri(2tri 2)(x x x g -⎪⎭⎫⎝⎛= (3))tri(22tri 2)(x x x h -⎪⎭⎫ ⎝⎛=(4) ))step(tri()(x x x p = 0-4计算：(1) sinc(x )δ (x ) (2) sinc(x )δ (x-0.5) (3) sinc(x )δ (x-1) (4) (3x +5) δ (x+3)0-5：已知连续函数f (x )，若x 0 > b > 0, 利用δ 函数可筛选出函数在x = x 0 + b 的值，试写出运算式。

0-6：f (x )为任意连续函数， a > 0, 求函数g (x ) = f (x )[δ(x +a )- δ(x -a )]，并作出示意图。

0-7：已知连续函数f (x )， a > 0和b > 0 。

求出下列函数（写出最简式并画出示意图）：(1) h (x ) = f (x )δ (ax -x 0) (2) g (x ) = f (x )comb[(x - x 0)/b]0-8：画函数图形(1) (2)0-9：若)()()(x g x h x f =*，证明：)()()(00x x g x h x x f -=*-0-10利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。

假定缝宽为a ，光栅常数为d ，缝数为N .0-11 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。

信息光学第一章习题-2-2015答案

( i 2 )( f ) y 证明：F ( f x , f y ) f ( x, y )e ( i 2 )( f ) x e dxdy • 4、
x y

f ( x, y)ei 2 f x x e
i 2 f y y
dxdy f ( x, y )
若f ( x, y )是实函数，f ( x, y ) f ( x, y ) F ( f x , f y ) f ( x, y ) F ( f x , f y )
• 5、
1 1 1 ( f ) ( f ) x x 2 2 2 f f 1 h( x, y ) 5sin c(5 x) ( y ) 5 rect ( x ) rect ( x ) 5 5 5 fx 1 1 1 1 1 1 G ( f x , f y ) ( f x ) ( f x ) rect ( ) ( f x ) ( f x ) 2 2 2 5 2 2 2 f ( x) cos( x) g ( x, y ) 1 G ( f x , f y ) cos( x)
作业题：
1. 已知F (v)为f ( x)的傅立叶变换，求f (-2 x 6)的傅立叶变换表达式。（10分）
2. 求下列各式（每题10分）
1) sin c(2 x ) *sin c(2 x ) 3) 求rect 5 x-15的傅里叶变换 4)
4 2） sin c ( x 2)dx(利用帕色渥定理)
（10分）
5. 线性不变系统的脉冲响应函数是h(x,y)=5sinc(5x)(y) 假如输入函数为h(x,y)=cos(x), 求输出函数g(x, y)。（15分）

信息光学教程全书习题及参考答案

式中 (x, y) 、 (ξ ,η) 分别表示输入、输出面坐标。
理想成像系统、光波在自由空间的传播都具有线性光学系统的性质。输入函数在输入面上的平移仅对应输出函数在输出面上的相应平移，即系统传输特性满足线性平移不变的光学系统称为线性不变光学系统。用公式可以表示为：
L{ } a1 f1 (x − x1, y − y1 ) + a2 f 2 (x − x2 , y − y2 ) = a1g1 (ξ − ξ1,η −η1 ) + a2 g 2 (ξ − ξ2 ,η −η2 )
(x,
y)
=
exp( jkd0
jλd0
)∞ ∞
−∞−∞
U0
(x0
,
y0
)exp⎨⎧
⎩
j
k 2d0
(x0 − x)2 + (y0 − y)2
⎫ ⎬dx0dy0 ⎭
∫ ∫ ( ) [ ] U2
(x,
y)
=
exp( jkd1
jλd1
)∞ ∞
−∞−∞
U1
(x1,
y1
)
exp⎢⎡− ⎣
jk 2 f1
x12 + y12
−∞
a
比较以上两式有δ (at) = 1 δ (t) 。 a
（2）
按二维 δ 函数的定义：
∞∞
∫ ∫ δ (x, y)dxdy = 1
−∞ −∞
∞
∞
= ∫ δ (x)dx ∫ δ (y)dy
−∞
−∞
∞
∞
= ab ∫ δ (ax)dx ∫ δ (by)dy
−∞
−∞
∞∞
= ab ∫ ∫ δ (ax,by)dxdy

第一章信息光学习题解答

g1 ( x) 和 g2 ( x)
线性平移不变系统的两种研究方法
g( x, y) f ( x, y) * h( x, y)
解：
G( ,) F ( ,)H( ,)
H1( ) rect( )
H 2 ( )

1 3
rect( )
3
F ( ) 1 ( 1) ( 1) 傅里叶变换的缩放性质
(x)( y) 傅里叶变换 sin c2( fx )sin c2( fy )
(2) sinc2( x)cos x ?
解：利用广义巴塞伐定理求解

f ( x, y)g (x,y)dx dy F ( , )G ( , )d d

(1)

f ( x)dx ?
解：F( )
0
exp( x)exp( j2 x)dx

exp( x)exp( j2 x)dx

0
2 2 (2 )2
傅里叶变换的零阶矩定理

f ( x , y ) dxdy F ( 0,0 )
2
2
2
2
函数与函数f(x)卷积的性质
f ( x, y) ( x x0 , y y0 )
f ( x x0 , y y0 )
1 rect ( x 2.5 )
2
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
rect( x 1)
2
rect( 1)
（3）位移当 1 x 0 如图
h( x )
f ( )
相乘、积分得卷积

信息光学课后习题解答-苏显渝主编

comb( x)
n
comb( x) rect( x)
rect( x)

=
1.6 已知 exp( x2 ) 的傅里叶变换为 exp( 2 ) 试求
exp( x2 ) ?

x2

e xp(
2
2
)

?
解：利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案
kx 2 k y 3 kz 4
k2 kx2 ky2 kz2 29
k 29 2
2 2 2 3 2 4
2 29

1

3 2

2

第二章习题解答
2.1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
2
2
2
2

1 rect( x
3 1 2)

1 rect ( x 2.5 )
2
2
2
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
rect( x 1)
2
rect( 1)
2
2 x
2 x0
0 x2
1 x2 2
2 x
g( x) 0 d x 2
1
2z 1
a2

exp( jkz)
jz
jk

2
e xp(
jk
2z
)

1

exp(
jkz)cos(k

a2 ) 2z

信息光学课后习题答案

信息光学课后习题答案信息光学是一门研究光在信息处理和传输中的应用的学科，课后习题是帮助学生巩固课堂知识的重要手段。

以下是一些信息光学课后习题的参考答案。

习题一：光的干涉现象1. 描述杨氏双缝干涉实验的基本原理。

答：杨氏双缝干涉实验是利用两个相干光源产生的光波在空间中相遇时，由于相位差不同而相互叠加，形成明暗相间的干涉条纹。

当两束光波的相位差为整数倍的波长时，它们相互加强，形成亮条纹；当相位差为半整数倍波长时，它们相互抵消，形成暗条纹。

2. 计算双缝干涉的条纹间距。

答：设双缝间距为d，观察屏与双缝的距离为L，光波长为λ。

根据干涉条纹的间距公式：\[ \Delta x = \frac{\lambda L}{d} \]，可以计算出条纹间距。

习题二：光的衍射现象1. 解释夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射的区别。

答：夫琅禾费衍射适用于远场条件，即观察点距离衍射屏很远，可以忽略衍射波的弯曲。

而菲涅尔衍射适用于近场条件，考虑了衍射波的弯曲效应。

2. 描述单缝衍射的光强分布特点。

答：单缝衍射的光强分布呈现中央亮条纹最宽最亮，两侧条纹逐渐变窄变暗，且条纹间距随着角度的增大而增大。

习题三：光的偏振现象1. 什么是偏振光，它有哪些应用？答：偏振光是指光波振动方向被限制在特定平面内的光。

偏振光的应用包括偏振太阳镜减少眩光，液晶显示技术，以及光学测量和成像技术等。

2. 解释马吕斯定律。

答：马吕斯定律描述了偏振光通过偏振器时，透射光强与入射光强的关系。

根据马吕斯定律，透射光强I与入射光强I0的关系为：\[ I = I_0 \cos^2(\theta) \]，其中θ是偏振器的偏振方向与光波振动方向之间的夹角。

习题四：光纤通信1. 解释全内反射原理。

答：全内反射是指当光从折射率高的介质进入折射率低的介质时，如果入射角大于临界角，光将不会穿透界面，而是完全反射回高折射率介质内部。

这是光纤通信中光信号能够长距离传输的关键原理。

2. 描述单模光纤和多模光纤的区别。

信息光学习题答案

疑息光教习题问案之阳早格格创做第一章线性系统分解1.1 简要道明以下系统是可有线性战仄移没有变性. （1）()();x f dx dx g =（2）()();⎰=dx x f x g（3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、仄移没有变；（2）线性、仄移没有变；（3）非线性、仄移没有变；（4）线性、仄移没有变；（5）线性、非仄移没有变.1.2 道明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫⎝⎛π道明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ当n 为奇数时，左边＝0，当n 为奇数时，左边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为奇数时，安排二边相等.1.3 道明)()(sin x comb x =ππδ道明：根据复合函数形式的δ函数公式式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 正在i x x =处的导数.于是1.4 预计图题1.1所示的二函数的一维卷积.解：设卷积为g(x).当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示，当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g1.5 预计下列一维卷积. （1）⎪⎭⎫⎝⎛-*-21)32(x rect x δ （2）⎪⎭⎫⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x rect x rect（3）)()(x rect x comb *解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ（2）设卷积为g(x)，当x ≤0时，如图题1.2(a)所示，当0 < x 时，如图题1.2(b)所示即⎪⎭⎫ ⎝⎛∧=22)(x x g （3）1)()(=*x rect x comb1.6 已知)ex p(2x π-的傅坐叶变更为)ex p(2πξ-，试供（1）(){}?ex p 2=-℘x （2）(){}?2/ex p 22=-℘σx 解：设ξππ==z x y ,即 {})ex p()ex p(22πξπ-=-℘y由坐标缩搁本量{}⎪⎭⎫ ⎝⎛=℘b a F ab by ax f ηξ,1),( 得（1）(){}{})ex p()ex p(/ex p(ex p 22222ξπππππ-=-=-℘=-℘z y x （2）(){}(){}22222/ex p 2/ex p πσσy x -℘=-℘1.7 预计积分.（1）()⎰∞∞-=?sin 4dx x c （2）()⎰∞∞-=?cos sin 2xdx x c π解：应用广义巴塞伐定理可得（1）32)1()1()()()(sin )(sin 1021222=-++=ΛΛ=⎰⎰⎰⎰-∞∞-∞∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Λ=⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 21.8 应用卷积定理供()()()x c x c x f 2sin sin =的傅里叶变更. 解：{}{}{}⎪⎭⎫⎝⎛*=℘*℘=℘2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c当2123-<≤-ξ时，如图题1.3(a)所示，当2121<≤-ξ时，如图题1.3(b)所示，当2321<≤ξ时，如图题1.3(c)所示，2G(ξ)的图形如图题1.3(d)所示，由图可知 1.9 设()()x x f β-=exp ，0>β，供解：{}⎰⎰∞∞---+-=-℘0)2ex p()ex p()2ex p()ex p()ex p(dxx j x dx x j x x πξβπξββ1.10 设线性仄移没有变系统的本面赞同为()()()x step x x h -=ex p ，试预计系统对付阶跃函数()x step 的赞同.解：由阶跃函数定义⎩⎨⎧<>=0,00,1)(x x x step 得线性仄移没有变系统的本面赞同为所以系统对付解阶跃函数()x step 的赞同为1.11 有二个线性仄移没有变系统，它们的本面脉冲赞同分别为()()x c x h sin 1=战()()x c x h 3sin 2=.试预计各自对付输进函数()x x f π2cos =的赞同()x g 1战()x g 2.解：1.12 已知一仄里波的复振幅表白式为试预计其波少λ以及沿z y x ,,目标的空间频次.解：设仄里波的复振幅的表白式不妨表示成以下形式由题可知，4cos ,3cos ,2cos =-==γβαk k k又果为1cos cos cos 222=++γβα 所以29=k 波少为2922ππλ==k沿z y x ,,目标的空间频次为1.13 单色仄里波的复振幅表白式为供此波正在传播目标的空间频次以及正在z y x ,,目标的空间频次.解：设单色仄里波的复振幅的表白式不妨表示成以下形式由题可知，143cos ,142cos ,141cos ===γβαk k k又果为1cos cos cos 222=++γβα 所以1=k 波少为ππλ22==k沿z y x ,,目标的空间频次为第三章光教成像系统的传播函数3.1 参瞅图3.1.1，正在推导相搞成像系统面扩集函数(3.1.5)式时，对付于积分号前的相位果子试问：（1）物仄里上半径多大时，相位果子相对付于它正在本面之值正佳改变π弧度？（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么正在物仄里上相映h 的第一个整面的半径是几？（3）由那些停止，设瞅察是正在透镜光轴附近举止，那么a , λ战d o 之间存留什么闭系时不妨弃去相位果子解：（1）由于本面的相位为整，于是与本面相位好为π的条件是（2）根据相搞成像系统的面扩集函数是透镜光瞳函数的妇琅禾费衍射图样，其核心位于理念像面)~,~(o o y x式中22y x r +=，而2222~~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=i o i i o i dy y dx x λληξρ （1）正在面扩集函数的第一个整面处0)2(1=o a J ρπ，此时应有83.32=o a ρπ，即a o 61.0=ρ (2)将(2)式代进(1)式，并注意瞅察面正在本面)0(==i i y x ，于是得ad r oo λ61.0=(3)（3）根据线性系统表里，像里上本面处得场分集，必须是物里上所有面正在像里上的面扩集函数对付于本面的孝敬)0,0;,(o o y x h .依照上头的分解，如果略去h 第一个整面以中的做用，即只思量h 的中央明斑对付本面的孝敬，那么那个孝敬只是去自于物仄里本面附近ad r o o /61.0λ=范畴内的小天区.当那个小天区内各面的相位果子]2/ex p[2o o d jkr 变更没有大，而落它弃去.假设小天区内相位变更没有大于几分之一弧度(比圆π/16)便谦脚以上央供，则16/,162/22o o o o d r d kr λπ≤≤，也即od a λ44.2≥ （4）比圆λ ＝600nm , d o = 600mm ，则光瞳半径a ≥，隐然那一条件是极易谦脚的.3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为搁正在图3.1.1所示的成像系统的物里上，用单色仄里波倾斜照明，仄里波的传播目标正在z x o 仄里内，与z 轴夹角为θ.透镜焦距为f ,孔径为D.（1）供物体透射光场的频谱；（2）使像仄里出现条纹的最大θ角等于几？供此时像里强度分集；（3）若θ采与上述极大值，使像里上出现条纹的最大光栅频次是几？与θ＝0时的停止频次比较，论断怎么样？解：（1）斜进射的单色仄里波正在物仄里上爆收的场为)sin ,ex p(0θjkx A ，为决定起睹设θ> 0，则物仄里上的透射光场为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛==λθπλθπλθπθsin 2exp 21sin 2exp 21sin 2exp 2),()sin ,exp(),(o o o o o o o o o o o f x j f x j x j A y x t jkx A y x U 其频谱为由此可睹，相对付于笔直进射照明，物频谱沿ξ轴真足仄移了sin θ/λ距离.（2）欲使像里有强度变更，起码要有二个频谱分量通过系统.系统的停止频次fD c λρ4/=，于是央供由此得fDf D f o 4sin 4≤≤-θλ （1）θ角的最大值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=fD4arcsin max θ （2）此时像里上复振幅分集战强度分集为（3）照明光束的倾角与最大值时，由(1)式战(2)式可得即fD f fD f o o λλ22max =≤或(3)θ＝0时，系统的停止频次为fD c λρ4/=，果此光栅的最大频次fD f c o λρ2max == (4)比较(3)战(4)式可知，当采与倾角的仄里波照明时系统的停止频次普及了一倍，也便普及了系统的极限辨别率，但是系统的通戴宽度没有变.3.3 光教传播函数正在0==ηξ处皆等于1，那是为什么？光教传播函数的值大概大于1吗？如果光教系统果然真止了面物成面像，那时的光教传播函数何如？解：正在⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞--==ℵiiiiIiiiiiiII I dydx y x h dydx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()0,0(),(),(ηξπηξηξ （1）式中，令⎰⎰∞∞-=iiiiI i i I i i dydx y x h y x h y x h ),(),(),(为归一化强度面扩集函数，果此(1)式可写成而⎰⎰∞∞-==ℵii i i dy dx y x h ),(1)0,0(即没有思量系统光能益坏时，认定物里上单位强度面源的总光通量将局部弥漫正在像里上，着即是归一化面扩集函数的意思.（2）没有克没有及大于1.（3）对付于理念成像，归一化面扩集函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对付所有频次的传播皆是无益的.3.4 当非相搞成像系统的面扩集函数()i i I y x h ,成面对付称时，则其光教传播函数是真函数.解：由于),(i i I y x h 是真函数而且是核心对付称的，即有),(),(i i I i i I y x h y x h *=，),(),(i i I i i I y x h y x h --=，应用光教传播函数的定义式易于道明),(),(ηξηξ*ℵ=ℵ，即),(ηξℵ为真函数 3.5 非相搞成像系统的出瞳是由洪量随机分集的小圆孔组成.小圆孔的直径皆为2a ，出瞳到像里的距离为d i ，光波少为λ，那种系统可用去真止非相搞矮通滤波.系统的停止频次近似为多大？解：用公式),(),(S S ηξηξ=ℵ去分解.最先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，果此无论沿哪个目标移动出瞳预计沉叠里积，其停止皆一般，即系统的停止频次正在所有目标上均相共.其次，动做近似预计，只思量每个小孔自己的沉叠情况，而没有计及战其余小孔的沉叠.那时N 个小孔的沉叠里积除以N 个小孔的总里积，其停止与单个小孔的沉叠情况是一般的，即停止频次约为i d a λ/2，由于2a 很小，所以系统真止了矮通滤波.第四章部分相搞表里4.1 若光波的波少宽度为Δλ，频次宽度为Δν，试道明：λλ∆=∆v v .设光波波少为nm nm 8102,8.632-⨯=∆=λλ，试预计它的频宽Δν = ? 若把光谱分集瞅成是矩形线型，则相搞少度?=cl道明：果为频次与波少的闭系为 λv c =(其中c 为光速) 对付上式二边供导得 0=+=dv vd dc λλ所以 λλλλλλ∆=∆⇒∆-=∆⇒-=v v v v d vdv 果nm nm 8102,8.632-⨯=∆=λλ 所以赫4105.1⨯=∆v 有果为相搞少度 ccct l =4.2 设迈克耳孙搞涉仪所用光源为nm nm 6.589,58921==λλ的钠单线，每一谱线的宽度为0.01nm .（1）试供光场的复相搞度的模；（2）当移动一臂时，可睹到条纹总数约莫是几？（3）可睹度有几个变更周期？每个周期有几条纹？解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为（1）光场的复相搞度为式中12v v v -=∆，复相搞度的模为由于，故第一个果子是τ的缓变更非周期函数，第二个果子是τ的快变更周期函数.相搞时间由第一个果子决断，它的第一个整面出当前v cδτ/1=的场合，τc 即为相搞时间，故相搞少度(2) 可睹到的条纹总数 589301.05893===δλλλc l N（3）复相搞度的模中第二个果子的变更周期 v ∆=/1τ，故可睹度的变更周期601.06==∆=∆==δλλδττv v n c 每个周期内的条纹数9826058930===n N4.3 假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡.其归一化功率谱稀度可表示为式中，Δν是纵模隔断，v 为核心频次.为简朴起睹，假定N 为奇数.（1）道明复相搞度的模为（2）若N ＝3，且0≤τ≤1/Δv ，绘出()τγ与Δντ的闭系直线.（1）道明：复相搞度函数为⎰∞ℑ=0)2exp()(ˆ)(dv v j v τπτγ 得所以复相搞度得模为 )sin()sin()(τπτπτγv N v N ∆∆=（2）当N=3时，复相搞度的模为4.4 正在例4.7.1所示的杨氏搞涉真验中，若缝光源用二个相距为a ，强度相等的准单色面光源代替，试预计此时的复相搞系数.解：应用范西泰特－策僧克定理得4.5 利用傍轴条件预计被一准单色面光源照明，距离光源为z 的仄里上任性二面P 1战P 2之间的复相搞系数μ(P 1 ,P 2) .解：设光源天圆仄里的坐标为α ，β；孔仄里的坐标为x ,y.面P 1战P 2的坐标为(x 1 ,y 1)战(x 2 ,y 2).对付于准单色面光源，其强度可表为正在傍轴近似下，由范西泰特－策僧克定理得果为1),(21=P P μ,由面光源收出的准单色光是真足相搞的，大概者道x,y 里上的相搞里积趋于无限大.第六章预计齐息6.1 一个二维物函数 f ( x, y)，正在空域尺寸为10×10mm ，最下空间频次为5线/mm ，为了创制一弛傅里叶变更齐息图：(1) 决定物里抽样面总数.(2) 若采与罗曼型迂回相位编码要领，预计齐息图上抽样单元总数是几？(3) 若采与建正离轴参照光编码要领，预计齐息图上抽样单元总数是几？(4) 二种编码要领正在齐息图上抽样单元总数有何分歧？本果是什么？解：(1)假定物的空间尺寸战频宽均是有限的.设物里的空间尺寸为Δx,Δy；频宽为2B x,2B y.根据抽样定理，抽样间距δx,δy必须谦脚δx≤1/2B x, δy≤1/2B y才搞使物复本.故抽样面总N(即空间戴宽积SW)为(2)罗曼预计齐息图的编码要领是正在每一个抽样单元里用启孔的大小战启孔的位子去编码物光波正在该面的振幅战相位.根据抽样定理，正在物里上的抽样单元数应为物里的空间戴宽积，即410N.要创制傅里叶变更齐息==SW图，为了没有拾得疑息，空间戴宽积应脆持没有变，故正在谱里上的抽样面数仍应为410N.=(3)对付于建正离轴参照光的编码要领，为谦脚离轴的央供，载频α应谦脚α≥B x为谦脚创制齐息图的央供，其抽样隔断必须谦脚δx≤1/2B x, δy≤1/2B y.果此其抽样面数为(4)二种编码要领的抽样面总数为2倍闭系，那是果为，正在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；正在建正离轴型编码中，每一抽样单元编码一真数.建正离轴加偏偏置量的手段是使齐息函数形成真值非背函数，每个抽样单元皆是真的非背值，果此没有存留位子编码问题，比共时对付振幅战相位举止编码的要领烦琐.但是由于加了偏偏置分量，减少了记录齐息图的空间戴宽积，果而减少了抽样面数.预防了相位编码是以减少抽样面数为代价的.6.2 对付比光教离轴齐息函数战建正型离轴齐息函数，道明怎么样采用载频战创制预计齐息图的抽样频次. 解：设物的频宽为)2,2(y x B B(1)对付于频宽α的采用光教离轴，由图6.2.5(b)可知，x B 3≥α建正离轴，由图6.2.5(d)可知，x B ≥α载频的采用是为了包管齐息函数正在频域中各结构分量没有混叠.(2)对付于创制预计齐息图时抽样频次的采用光教离轴齐息，由图6.2.5(c)可知：正在x 目标的抽样频次应x B 8≥，即x 目标的抽样间距x B x 8/1≤δ.正在y 目标的抽样频次应y B 4≥，即x 目标的抽样间距y B y 4/1≤δ.建正离轴齐息，由图6.2.5(e)可知：正在x 目标的抽样频次应x B 4≥，即x 目标的抽样间距正在y 目标的抽样频次应y B 2≥，即x 目标的抽样间距y B y 2/1≤δ.6.3 一种类似傅奇型预计齐息图的要领，称为黄氏(Huang)法，那种要领正在偏偏置项中加进物函数自己，所形成的齐息函数为(1) 绘出该齐息函数的空间频次结构，道明怎么样采用载频.(2) 绘出黄氏预计齐息图的空间频次结构，道明怎么样采用抽样载频.解：把齐息函数沉写为物函数为 )],(exp[),(),(y x j y x A y x f φ= 而且归一化的，即1),(max =y x A ，参照光波R ＝1.通过处理后的振幅透过率为其频谱为(1)设物的戴宽为y x B B 2,2，如图题6.3(a)所示.齐息函数的空间频谱结构如图题6.3(b)所示，载频x B 2≥α.(2)黄氏齐息图的空间频次结构如图题 6.3(c)所示，由此可得出：正在x 目标的抽样频次应x B 6≥，即x 目标的抽样间距x B x 6/1≤δ.正在y 目标的抽样频次应y B 2≥，即x 目标的抽样间距抽样面数即空间戴宽积为y x B xyB y y x x SW N 12===δδ. 黄氏预计齐息图的特性：(1)占用了更大的空间戴宽积(专奇齐息图的空间戴宽积y x B xyB SW 8=)，没有具备落矮空间戴宽积的便宜.(2)黄氏齐息图具备更下的对付比度，不妨搁紧对付隐现器战胶片曝光隐影粗度的央供.6.4 罗曼迂回相位编码要领有三种衍射孔径形式，如图题6.1所示.利用复仄里上矢量合成的要领阐明，正在那三种孔径形式中，是怎么样对付振幅战相位举止编码的.解：对付于Ⅰ型战Ⅲ型，是用x A δ去编码振幅A(x,y)，用x d δ去编码相位),(y x φ，正在复仄里上用一个相幅矢量去表示，如图题6.4(a).对付于罗曼Ⅱ型是用二个相共宽度的矩孔去代替Ⅰ，Ⅲ型中的一个矩孔.二矩孔之间的距离x A δ是变更的，用那个变更去编码振幅A(x,y).正在复仄里上反映为二个矢量夹角的变更.二个矩孔核心距离抽样单元核心的位移量x d δ用做相位),(y x φ的编码.正在复仄里上二矢量的合成目标即表示了),(y x φ的大小，如图题6.4(b)所示.第八章空间滤波8.1 利用阿贝成像本理导出相搞照明条件下隐微镜的最小辨别距离公式，并共非相搞照明下的最小辨别距离公式比较.解：隐微镜是用于瞅察微笑物体的，可近似瞅做一个面，物近似位于物镜的前核心上.设物镜直径为D ，焦距为f ，如图8.1所示.对付于相搞照明，系统的停止频次由物镜孔径的最大孔径角θo 决断，停止频次为λθ/sin o .从几许上瞅，近似有f D o 2/sin ≈θ.停止频次的倒数的倒数即为辨别距，即 D f o c λθλδ2sin == 对付于非相搞照明，由几许光教可知其辨别距为 oθλδsin 61.0=非相搞照明时隐微镜的辨别率约莫为相搞照明时的二倍.8.2 正在4f 系统输进仄里搁置40mm -1的光栅，进射光波少632.8nm.为了使频谱里上起码不妨赢得±5级衍射斑，而且相邻衍射斑间距没有小于2mm ，供透镜的焦距战直径.解：设光栅宽度比较大，可近似瞅成无贫，设周期为d ，透光部分为a ，则其透过率函数可表为()⎪⎭⎫ ⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛=-*⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑d x comb d a x rect md x a x rect a md x rect x f m m 1)(111δ其频谱为{}∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘=℘=m m d m d ma c d a d m a c d a d comb a c a d x comb d a x rect x f F ξδξδξξξξ)(sin )(sin )()(sin 1)()(`111即谱面的位子由d m f x //2==λξ决断，即m 级衍射正在后焦里上的位子由下式决定： d f m x /λ=相邻衍射斑之间的间距 d f x /λ=∆由此得焦距f 为 )(7910632840/27mm xd f =⨯=∆=-λ物透明片位于透镜的前焦里，谱里为后焦里，谱里上的±5级衍射斑对付应于能通过透镜的最大空间频次应谦脚d D 52/1sin ===λλλθξ 于是供得透镜直径 )(201010mm x d fD =∆==λ8.3瞅察相位型物体的所谓核心暗场要领，是正在成像透镜的后焦里上搁一个细小的没有透明光阑以阻挡非衍射的光.假定通过物体的相位延缓<<1弧度，供所瞅察到的像强度(用物体的相位延缓表示出去).解：相位物体的透过率为),(1)],(ex p[),(111111y x j y x j y x t φφ+≈=其频谱为 {}),(),(),(1),(11ηξηξδφηξΦ+=+℘=j y x j T 若正在谱仄里上搁置细小的没有透明光阑动做空间滤波器，滤掉整频背景分量，则透过的频谱为),(),(ηξηξΦ=j T M 再通过一次傅里叶变更(正在反演坐标系)得 ),(),(3333y x j y x t M φ=强度分集为果此正在像里上得到了正比于物体相位仄圆分集的光强分集，真止了将相位变更为强度分集的手段.没有过光强没有是相位的线性函数，那给分解戴去艰易.8.4 当策僧克相衬隐微镜的相移面另有部分吸支，其强度透射率等于α (0< α <1)时，供瞅察到的像强度表示式.解：相位物体的频谱为当前用一个滤波器使整频减强，共时使下频爆收一个±π/2的相移，即滤波器的透过率表白式为⎩⎨⎧==±=其它的小范围内在,10,),(ηξαηξj H于是),(),(),(),(),(ηξηξαδηξηξηξΦ+±==j j T H T M 像的复振幅分集为),(),(3333y x j j y x t M φα+±= 像强度分集为 ),(2),(),(2),(),(),(33233233223323333y x y x y x y x y x j j y x I αφαφαφαφαφα±≈+±=+=+±=像强度分集与相位分集成线性闭系，易于分解.8.5用CRT(阳极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描面之间的隔断为0.2mm ，图像最下空间频次为10mm -1.如欲真足去掉得集扫描面，得到一帧连绝灰阶图像，空间滤波器的形状战尺寸应当怎么样安排？输出图像的辨别率怎么样(设傅坐叶变更物镜的焦距f ＝1000mm ,λ=632.8nm).解：扫描面的表白式为()∑∑--=m n ny y mx x y x f 010111,),(δ其频谱为∑∑∑∑∑∑--=--=+-=m n m n m ny n f y x m f x y x y n x m y x ny mx j F ),(1)/,/(1)](2exp[),(020*********λλδηξδηξπηξ正在上式的化简中应用了公式∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=±n n a n x a nax j δπ1)2ex p( 由此可睹，面状结构的频谱仍旧是面状结构，但是面与面之间的距离分歧.扫描面频谱出现的位子为 0202,y n f y x m f x ==λλ面状结构是下频，所以采与矮通滤波将其滤掉.矮通滤波器圆孔半径为)(164.32.01000106328702mm x fx r =⨯⨯===-λ 能传播的最下空间频次为mm x x f f f r /1511sin 00==•===λλλλθξ即下于5 1/mm 的空间频次将被滤掉，故输出图像的辨别率为5 1/mm.8.6 某一相搞处理系统的输进孔径为30m m ×30mm 的圆形，头一个变更透镜的焦距为100mm ，波少是632.8nm.假定频次仄里模片结构的粗细程度可与输进频谱相比较，问此模片正在焦仄里上的定位必须透彻到何种程度？解：思量到系统孔径有限，普遍用几许光教近似，引进光瞳函数P(x,y),根据题意其表白式为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030),(y rect x rect y x P设系统的输进里位于透镜的前焦里，物透明片的复振幅分集为),(11y x f ，它的频谱分集为),(ηξF ，透镜后焦里上的场分集)](2exp[)30(sin )30(sin ),(9003030),(),(221111y x j c c F C y rect x rect y x f C U f ηξπηξηξηξ+*'=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛℘'=式中f y f x ληλξ/,/22==.由f U 的表白式可睹，频谱里上能辨别的细节由)30(sin ξc )30(sin ηc 决断.与一个目标去瞅，将sinc 函数由最大落为整的宽度与为最小辨别单元，即央供谦脚1/301302=∆=∆f x λξ或，于是有m mm fx μλ1.2)(101.23010010632830372=⨯=⨯⨯==∆-- 果为频谱仄里模片也有共样细节，所以对付准缺面最大也没有允许超出它的一半，约1μm.第九章相搞光教处理9.1参瞅图9.1.1，正在那种图像相减要领的编码历程中，如果使用的光栅透光部分战没有透光部分间距分别为a 战b ，而且a ≠b.试道明图像战的疑息与图像好的疑息分别受到光栅奇数倍频与光栅奇数倍频的调制.解：如图题9.3所示，先将t (x)展启成傅坐叶级数∑∞=++++=102sin 2cos 2)(n n n b a x n b b a x n a a x t ππ式中,2cos )(2)(sin 2,)(2)(cos 2sin 22200=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==+=n n b n n b a b a n n n b a b a n n n a R ba aa 偶奇ππππππ所以2100)(2cos )(2)(sin 2cos2)(2cos )(2)(cos 2sin 2)(R R R b a xn b a b a n n n b a xn b a b a n n n R x t ++=++-+++-+=∑∑ππππππππ第一次曝光得210)(R I R I R I x t I A A A A ++=对付于)(x t '是将光栅背x 的背目标移动半个周期即(a+b) /2，将它展启成傅坐叶级数得第二次曝光得120210)())(()(R I I R R I I R I R I R I x t I B A B A B B B B -++++-=总曝光量＝即图像战的疑息受到光栅奇数倍频的调制，图像好的疑息受到光栅奇数疑频的调制.9.2 用Vander Lugt 要领去概括一个仄年元仄里滤波器，如图9.1(左)所示，一个振幅透射率为s(x,y)的“旗号”底片紧揭着搁正在一个会散透镜的前里，用照相底片记录后焦里上的强度，并使隐影后底片的振幅透射率正比于曝光量.那样制得的透明片搁正在图题9.1(左)的系统中，假定正在下述每种情况下考查输出仄里的适合部位，问输进仄里战第一个透镜之间的距离d 应为几，才搞概括出：（1）脉冲赞同为s(x,y)的滤波器？（2）脉冲赞同为s * (x,y)的“匹配”滤波器？解：（1）参瞅图题9.1左，设物里坐标为x 1,y 1；胶片坐标为x 2,y 2.则参照光波正在记录胶片上制成的场分集为)2ex p(),(222y j A y x U r πα-= （1）式中A 为常数，α ＝sin θ/λ为空间频次.物透明片正在记录胶片上制成的场分集为),()(exp ),(2222221ηξλπS y x f j C y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=式中S(ξ,η)为s(x 1, y 1)的频谱，且ξ＝x 2/λf ，η=y 2/λf.胶片上的光强分集为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++=+=*22222222222222221222222exp ),(22exp ),(),(),(),(),(y f y x j CAS y fy x j CAS S C A y x U y x U y x I r αλπηξαλπηξηξ (2)将曝过光的胶片隐影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于映照光的强度，即),(),(2222y x I y x t ∝ （3）将制得的透明片动做频次仄里模片，搁正在图题9.1左所示的滤波系统中.要概括出脉冲赞同s(x , y)大概s *(-x , -y)，只消观察当输进旗号为单位脉冲δ (x , y) 时，正在什么条件下系统的脉冲赞同为s(x , y)大概s *(-x , -y).参瞅左图，当输进旗号为δ (x 1 , y 1)时，正在L 2的后焦里上产死的光场复振幅分集，根据公式[]⎰⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-'=oo o o o o o o o o o dy dx fd d f q y y x x f jk y x t fd d f q y x d f jk c y x U )()(exp ),()(2))((exp ),(22得)4(212exp )(2exp ),(212exp ),(2222111212112222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰∞∞-f y x f d j dy dx y y x x f j y x f y x f d j y x U λπλπδλπ透过频次仄里模片得光场分集，由(2)，(3)战(4)式得)5(222exp ),(22exp ),(212exp ]),([),(),(),(2222222222*22222222222222⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∝='y f y x f d j CAS y f y x f d j CAS f y x f d j S C A y x t y x U y x U αλπηξαλπηξλπηξ如果要使系统是脉冲赞同为s(x ,y)的滤波器，应当利用(5)式中含有S(ξ,η)的第三项，应央供该项的二次相位果子为整，即有 d =2f (6)那时的输出为（正在反演坐标系中）),(),(33333f y x S y x U αλ+= （7）（2）若要使系统的脉冲赞同为s *(-x , -y)的匹配滤波器，应当利用(5)式中的第二项，央供d=0，则正在输出头上产死的光场复振幅分集为（正在反演坐标系中）)](,[),(33333f y x s y x U αλ---=* （8）9.3振幅透射率为h(x,y)战g(x,y)的二弛输进透明片搁正在一个会散透镜之前，其核心位于坐标（x = 0, y=Y/2）战(x =0, y = -Y/2)上，如图题9.2所示，把透镜后焦里上的强度分集记录下去，由此制得一弛γ为2的正透明片.把隐影后的透明片搁正在共一透镜之前，再次举止变更.试道明透镜的后焦里上的光场振幅含有h 战g 的互相闭，并道明正在什么条件下，互相闭不妨从其余的输出分量中分散出去.解：拜睹图题9.2，设用单位振幅的仄里波笔直照明二弛振幅透过率为),(11y x h 战),(11y x g 的输进透明片，则透过二弛透明片的光场的复振幅分集正在透镜L 2的后焦里上产死的强度分集为(略去了二次相位果子))2ex p(),(),()2ex p(),(),(),(),()2,()2,(),(222111122ηπηξηξηπηξηξηξηξY j G H Y j G H G H Y y x g Y y x h y x I -+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-℘=** （1）式中f y f x ληλξ/,/22==.用照相胶片记录(1)式所表白的强度分集，进而可制得γ＝2的正透明片，它的复振幅透过率为),(),(2222y x I y x t β= （2）将制得的正透明片置于透镜前再次举止傅里叶变更，若共样用单位振幅的单色仄里波笔直照明，则透过透明片光场的复振幅分集正在透镜后焦里产死的光场的复振幅分集，略去二次相位果子后，正在反演坐标系中可表示为(3)第三项战第四项是h 战g 的互相闭，不过核心分别正在(0, -Y)战(0, Y).设函数h 正在y 3目标的宽度为W h ，函数g 正在y 3目标的宽度为W g ，而且假定gh W W ≥，则由(3)式所表白的U 中各项正在x 3y 3仄里上所处的位子，要使自相闭战互相闭分启，隐然应谦脚gh W W Y 2123+≥9.4正在照相时，若相片的朦胧不过由于物体正在曝光历程中的匀速直线疏通，疏通的停止使像面正在底片上的位移为0.5mm.试写出制成朦胧的面扩展函数h(x,y)；如果要对付该相片举止消朦胧处理，写出顺滤波器的透过率函数.解：由于匀速疏通，一个面便朦胧成了一条线段，并思量到归一化，具备朦胧缺陷的面扩集函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=5.05.011x rect a x rect a h I戴有朦胧缺陷的传播函数为)5.0(sin )(sin 1)(ξξξc a c a x rect a H c ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘=滤波函数的透过率为)5.0(sin /1)(/1)(ξξξc H H c ==。

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解: h( x) exp( x)step( x) exp( x) g( x) step( x) h( x) f (x) h( x)
x0 x0
f (x)
1, x 0 0, 其它
h( x)
1
h( x )
ex , x 0 0, 其它
f (x)
1
x 01
x 0
（1）、将f (x)和h (x)变为f ( )和h ( ), 并画出相应的曲线
4如图所示的等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦平面上, 以单位振幅的单色平面波垂直照明, 试求透镜后焦面上的夫琅和费衍射图样的复振幅分布。
y0 y0 x0
U(x, y)
1
jf
exp(
jkf
) e xp
j
k 2f
(x2
y
2
)
45 0 45
x0 a
x0
2
U0( x0 ,
y0 ) exp
0
其它
1.5 计算下列一维卷积
(1) (2 x 3) rect( x 1)
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
(3) com b( x) rect( x)
解（1）
(1) (2 x 3) rect( x 1) 1 ( x 3 ) rect( x 1)
n
(1)n ( x n)
n
comb( x)exp( j x ) comb( x) (1)n ( x n) ( x n)
n
n
0 n为奇数
2 ( x 2n)
n
1.4 计算下面两个函数的一维卷积
h( x) 1 x
f (x) 1 x

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