Cramer法则

其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 阶行列式， 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 L a1 , j −1
b1
a1 , j + 1 L a 1 n
D j = LLLLLLLLLLL a n1 L a n , j −1 bn a n , j +1 L a nn
= −27,
= −108,
2 1 −5 8 1 −3 0 9 D4 = 0 2 −1 −5 1 4 −7 0
= 27,
D1 81 ∴ x1 = = = 3, D 27
D3 − 27 x3 = = = −1, D 27
D2 − 108 x2 = = = −4, D 27
D4 27 x4 = = = 1. D 27
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (1)方程个数等于未知量个数; 方程个数等于未知量个数 (2)系数行列式不等于零. (2)系数行列式不等于零. 系数行列式不等于零 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
例3 若n次多项式 次多项式
f ( x ) = c 0 + c1 x + c 2 x 2 + L + c n x n
个不同的x值都是零 对n+1个不同的 值都是零，证明此多项式恒等于零 个不同的 值都是零，证明此多项式恒等于零.
分析： f ( x ) 对 n + 1个不同 x 的值都是零 ∃ x i , f ( x i ) = 0 ( i = 0 ,1, 2 , L , n + 1)
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
a11
(1)
a12 L a1 n
的系数行列式不等于零， 的系数行列式不等于零，即 D = a 21 a 22 L a 2 n ≠ 0
LLLLLLL a n1 a n 2 L a nn
那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解 有解，并且解是唯一的， 可以表为
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L , x n = . D D D D
1 1 QD = 1 M 1
x1 x2 x3 M x n +1
2 x1 2 x2 2 x3 M 2 x n +1
L L M L
n x1 n x2 n x3 M n x n +1
≠0
由 cramer 法则 c i = 0 , ( i = 0 ,1, L , n ), ∴ f ( x) ≡ 0
三、小结
二、重要定理
定理1 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 一定有解, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 (1) 无解或有两个不同的 定理2 则它的系数行列式必为零. 解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = 0 a x + a x + L+ a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = 0
有非零解. 有非零解.
例1 用克拉默则解方程组 2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x2 − x3 + 2 x4 = −5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
2 1 1 −3 D= 0 2 1 4
3
−2 3−λ 1
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )(− 3 + λ ) = (1 − λ ) + 2 (1 − λ ) + λ − 3
3 2
齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解
定理
(2 )
如果齐次线性方程组 (2 ) 的系数行列式 D ≠ 0 则齐次线性方程组 (2 ) 没有非零解. 没有非零解.
有非零解, 定理 如果齐次线性方程组 (2 ) 有非零解,则它 的系数行列式必为零. 的系数行列式必为零. 系数行列式 D = 0
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0
c + c x + c x 2 + L + c x n = 0 1 1 2 1 n 1 0 L ⇔ c 0 + c1 x n + c 2 x n 2 + L + c n x n n = 0 c 0 + c1 x n + 1 + c 2 x n + 1 2 + L + c n x n + 1 n = 0
−5 1 0 −6 = 27, −1 2 −7 6
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = − 5 2 −1 2 0 4 −7 6
2 8 −5 1 1 9 0 −6 D2 = 0 − 5 −1 2 1 0 −7 6
= 81, 2 1 8 1 1 −3 9 −6 D3 = 0 2 −5 2 1 4 0 6
⇔
f ( x ) ≡ 0 ⇔ c i = 0 ( i = 0 ,1, 2 , L , n );
解： f ( x ) 对 n + 1个不同 x 的值都是零 ∃ x i , f ( x i ) = 0 ( i = 0 ,1, 2 , L , n + 1)
⇔
c + c x + c x 2 + L + c x n = 0 1 1 2 1 n 1 0 L ⇔ c 0 + c1 x n + c 2 x n 2 + L + c n x n n = 0 c 0 + c1 x n + 1 + c 2 x n + 1 2 + L + c n x n + 1 n = 0
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默 法则解方程组?为什么 此时方程组的解为何? 法则解方程组 为什么?此时方程组的解为何 为什么 此时方程组的解为何
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解 不能 此时方程组的解为无解或有无穷多解. 此时方程组的解为无解或有无穷多解
例2 问 λ 取何值时，齐次方程组 取何值时，
(1 − λ ) x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , 2 x 1 + (3 − λ ) x 2 + x 3 = 0 , x + x + (1 − λ ) x = 0 , 1 2 3
有非零解？ 有非零解？
解
1− λ D= 2 1