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第四章相似图形培优讲义 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第四单元相似图形培优讲义知识点一．比例的性质1．若，则的值为（）A．B．C．1D．32．已知，则的值为（）A．B．C．D．3．已知，则＝（）A．B．C．D．4．若＝，则的值为．5．已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝．6．已知，则的值为．7．已知，则＝．8．已知：＝k，则k＝．知识点二．比例线段9．下列各组线段中是成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cmC．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm知识点三．平行线分线段成比例10．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，若，则＝．11．如图，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是．12．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD 与AC交于点N，则FN：ND＝．13．如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝3：4，DF ＝12，求EF的长．14．如图，AB∥CD∥EF．若AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，求线段BE的长．知识点四．相似多边形的性质15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝4，则矩形ABCD的面积为．知识点五．相似三角形的性质16．已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为．17．如果两个相似三角形的最长边分别是35cm和14cm．它们的周长之差为60cm，那么这两个三角形的周长之和是cm．18．两三角形的相似比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较小三角形的周长为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．20．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长．21．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）直接写出：OA＝，OB＝；（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．知识点六．相似三角形的判定22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（）A．1B．2C．3D．423．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C．D．24．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠D C．＝D．∠C＝∠AED25．如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．26．如图，在△ABC中，BA＝BC＝10cm，AC＝15cm，点P从点A出发，沿AB方向以4cm/s的速度向点B 运动；同时点Q从点C出发，沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x（x＞0）s，当△APQ与△CQB相似时，x的值为．27．如图：点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B、C重合的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，这样的直线共有条．28．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．29．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x s．（1）当PQ∥BC时，求x的值．（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝7cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向终点B运动，连接PQ．如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t s．（1）当t为多少时，PQ的长度等于cm？（2）当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？31．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在BD上移动，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．知识点七．相似三角形的判定与性质32．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝4，点D在BC上，连接AD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝2BE，AF＝2DF，则在△AEF中，EF边上的高为（）A．B．C．2D．433．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，若BF＝2，则BD的长度是（）A．4B．5C．6D．834．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1B．C．﹣1D．+135．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝3BD，，则的值为（）A．1B．3C．D．36．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．37．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，则FC的长是．38．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．39．如图，在▱ABCD中，，连接BE，交AC于点F，AC＝10，则CF的长为．40．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点D是边AC上一动点，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，当最大时，AD的长为．41．如图，在菱形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，∠AEB＝∠C．（1）求证：△ABE∽△BEC；（2）若AE＝4，BE＝8，求CE的长．42．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△AGE∽△AFB．（2）若，GE＝2，求BF的长．知识点八．相似三角形的应用（共9小题）43．小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度．如图，小雅把高度为0.4米的支架（CD）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点D处，再把镜子水平放在支架上的点C处，小希站在F处，眼睛到地面的距离EF＝1.65米，这时恰好在镜子里看到树的顶端A．小组其他同学用皮尺分别量得BD＝6米，DF＝2AB，CD，EF均垂直于地面BD，且B，D，F在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树AB的高度．44．为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.6米，DF为3.5米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算AB的高度．45．学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行1.2米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离DE＝1.6米；然后小辰继续后退34.2米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即∠AFD）是45°．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG，求合十舍利塔的高度AB．46．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆AB的高度．如图，他们在广场上的D处放置了一根垂直于地面的标杆CD，然后小明笔直地站在F处，小亮在F和D之间找到一个合适的位置P，并在P点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点A和点C重合．已知，点F、P、D、B在同一条直线上，通过测量，BD＝8.8m，FD＝2.2m，CD＝1.8m，小明的眼睛离地面的高度EF＝1.5m．求旗杆AB的高度．47．周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、PQ的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树MN的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A 观察到木棍顶端点C与树MN的底端点N在同一直线上．已知MN⊥NQ，CD⊥NQ，AB⊥NQ，AB＝1.6m，CD＝1.2m，BD＝3m，图中所有点均在同一平面内，求树MN的高．（光的反射角等于入射角）48．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．49．某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．【测量方案】在地面上选一点A，垂直地面竖立标杆AB，后退2m到E处，此时M、B、E在一直线上；另选一点C，后退4m到F处，此时M、D、F三点也在一直线上．【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为1.5m，且N、A、E、C、F在同一直线上．请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．50．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM 垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB．51．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．他们的身高分别是1.6m，1.8m（EB＝1.6m，FC＝1.8m），小明在距离树0.3m的B处（AB＝0.3m），看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC＝9.5m．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD．知识点九．作图-相似变换52．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△DAC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）53．如图，在△ABC中，点D在AB边上，请用尺规作图法在边AC上求作点E．使得△ADE∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）54．如图，在△ABC中，∠C＝90°．在AB边上找一点P，使得△PBC∽△PCA．（不写作法，保留作图痕迹）知识点十．位似变换55．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，2），B（6，1），以原点O为位似中心，相似比为3，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是．56．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O．若，四边形ABCD的面积为27，则四边形EFGH的面积为．57．△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是．58．以坐标原点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF且相似比为1：2，点C（2，3）的对应点F在第一象限，则点F的坐标为．59．△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为．知识点十一．作图-位似变换60．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）．（1）点B关于原点对称的点的坐标为；（2）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．。

《相似》全章讲义人教版

第二十七章相似27.1图形的相似第1课时相似图形例1下列各图中哪组图形是相似图形(C)A B C D【跟踪训练1】下列图形中，不是相似图形的是( )A BC D【跟踪训练2】如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？04巩固训练1.如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是( )A BC D2.下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.其中相似的组数有( )知识点二相似多边形与比例线段预习:①对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如a b ＝cd (即ad ＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例.②相似多边形的对应角相等，对应边成比例.③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等.④用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是( ) A.角A 是原来的5倍 B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对例1 下列图形中，不一定相似的是( ) A.任意两个等腰直角三角形 B.任意两个等边三角形 C.任意两个正方形 D.任意两个菱形【跟踪训练1】下列四组图形中，一定相似的是( ) A.正方形与矩形 B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形例2 如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【跟踪训练2】如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似.例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是多少？【跟踪训练3】在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离.巩固训练1.下列各组线段中，成比例线段的是( )A.1，2，3，4B.1，2，2，4C.3，5，9，13D.1，2，2，3 2.下列各组图形中，必定相似的是( ) A.两个等腰三角形 B.各有一个角是40°的两个等腰三角形 C.两条边之比都是2∶3的两个直角三角形 D.有一个角是100°的两个等腰三角形 3.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为 . 4.把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为5.已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 .6.在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？知识点三：相似三角形的判定 1平行线分线段成比例①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k.②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与对应，BC 与对应，DF 与对应； AB BC ＝（DE ）（EF ），AB（AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形 .例1 如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是( )A.AD AB ＝AE ACB.DE BC ＝EC ACC.AD DB ＝AE ECD.BC DE ＝AC AE 【跟踪训练1】如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )AD BC BC DF CD BC CD AD例2 如图，ED ∥BC ，EC ，BD 相交于点A ，过A 的直线交ED ，BC 分别于点M ，N ，则图中有相似三角形( )A.1对B.2对C.3对D.4对【跟踪训练2】如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？04 巩固训练1.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为( )A.28°B.32°C.42°D.52°2.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE ，BA 交于点F ，下列等式成立的是( )A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长.2相似三角形的判定定理1，2预习①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，ACIJ≠ABHJ≠BCHI，所以他们不相似.乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确.例1(教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm.【跟踪训练1】如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20，在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.例2根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm.【跟踪训练2】如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形.(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；(2)求∠1＋∠2的度数.巩固训练1.在△ABC和△A′B′C′中，AB＝9 cm，BC＝8 cm，CA＝5 cm，A′B′＝4.5 cm，B′C′＝2.5 cm，C′A′＝4 cm，则下列说法错误的是( )A.△ABC与△A′B′C′相似B.AB与B′A′是对应边C.两个三角形的相似比是2∶1D.BC与B′C′是对应边2.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB·B′C′＝BC·A′B′，若使△ABC∽△A′B′C′，还应增加的条件是( )A.AC＝A′C′B.∠A＝∠A′C.∠B＝∠B′D.∠C＝∠C′3.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例.4.右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例.5.如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？3相似三角形的判定定理3预习①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB.理由是两角分别相等的两个三角形相似. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长.【跟踪训练1】如图，∠1＝∠3，∠B＝∠D，AB＝DE＝5，BC＝4.(1)△ABC∽△ADE吗？说明理由；(2)求AD的长.例2(教材补充例题) 已知：如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【跟踪训练2】在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )A.∠B＝∠B1B.ABA1B1＝ACA1C1 C.ABA1B1＝BCB1C1 D.ABB1C1＝ACA1C1巩固训练1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是( )A.都含有一个40°的内角B.都含有一个50°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角2.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)ABA′B′＝BCB′C′；(2)BCB′C′＝ACA′C′；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( )A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.4.如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线.求证：△ABC∽△BCD.4相似三角形的性质预习(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比. (2)如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ⊥BC 于点D ，A′D′⊥B′C′于点D′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？ ②△ABC 与△A′B′C′中，C △ABC C △A′B′C′＝k ，S △ABCS △A′B′C′＝k 2.03例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积.【跟踪训练】如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？04 巩固训练1.若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为( )A.2∶1B.1∶ 2C.1∶4D.1∶52.如图，在▱ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( )A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶13.如果△ABC ∽△DEF ，A ，B 分别对应D ，E ，且AB ∶DE ＝1∶2，那么下列等式一定成立的是( ) A.BC ∶DE ＝1∶2B.△ABC 的面积∶△DEF 的面积＝1∶2C.∠A 的度数∶∠D 的度数＝1∶2D.△ABC 的周长∶△DEF 的周长＝1∶24.如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是 .5.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，BE ，B 1E 1分别是它们对应边上的中线，且BE ＝6，则B 1E 1＝ .6.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM ，EN 分别是斜边AB ，DF 上的中线，已知AC ＝9 cm ，CB ＝12 cm ，DE ＝3 cm.(1)求CM 和EN 的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？5相似三角形应用举例例1 (教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R.已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ.【跟踪训练1】如图，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1千米，AN ＝1.8千米，AB ＝54米，BC ＝45米，AC ＝30米，求M ，N 两点之间的直线距离.例2小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA ＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【跟踪训练2】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上.已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度.04巩固训练1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m，已知网高为0.8 m，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m的位置，则球拍击球时的高度h为m.2.如图，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求河宽.3.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D，然后测出两人之间的距离CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8 m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？6位似预习(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.(2)下列说法正确的是(D)A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在( )A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【跟踪训练1】如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.例2请画出如图所示两个图形的位似中心.图1图2【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心.巩固训练1.在下列图形中，不是位似图形的是( )A BC D2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为( )A.1∶3B.1∶2C.1∶ 3D.1∶93.如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为4.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比.5.如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上.(1)找出位似中心点O；(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O为位似中心画出△ABC的另一个位似图形△A″B″C″.7平面直角坐标系中的位似预习(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为 (3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是 (4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1 ，B 1 ，C 1 .03例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【跟踪训练】在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3). (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.04 巩固训练1.某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的12，连接各点所得图形与原图形相比( )A.完全没有变化B.扩大成原来的2倍C.面积缩小为原来的14D.关于纵轴成轴对称2.如图所示的△ABC ，以A 点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标.。

一对一个性化辅导教案相似(1)

大都教育一对一个性化辅导教案相似（1）——相似三角形判定和性质的应用一、考点分析：图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．二、重点：通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；三、难点：通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题；四、内容讲解：1、如何证明三角形相似(1)证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。

找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

练习1、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD(2)有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。

A B C D E F G 1234A BCD例1、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC练习1、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义

相似之类比探究（讲义）一、知识点睛● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提．● 类比探究中的常见结构平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型；直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形．二、精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AFEF=，求CD CG 的值．（1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数量关系是_____________，CDCG的值是_________．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m >0），则CD CG的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．图3BFE CDA图2ADE F G图1ABCDE F G（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若ABa CD=，BCb BE=（a >0，b >0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________；②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图2l图1图4图3图3FECDA3. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BCD FGG FD CBAEEACD FG (B )图1图2图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m =1，n =1时，EF 与EG 的数量关系是 ____________．（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是______________，并证明你的结论．（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是______________．（写出关系式，不必证明）三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________D A B图1GC E图2G D FEC图3C GBA D F E【参考答案】1.（1）AB =3EH ；CG =2EH ；32（2）2m；提示：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H （3）ab ；提示：过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H2.（1）①1；②2x（2）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以212AM AG DM DE ===（3）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2AM AG xDM DE ==．3.（1）提示：证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA)，所以EF =EG ；（2）成立．理由如下：证明：如图，I HEAB CD FG过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为H ，I ，证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA)，所以EF =EG ；（3）解：如图，MN G (B )FD CAE过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明△GME ∽△FNE ，所以EF bEG a． 4. （1）EF =EG ．（2）EF =1nEG ；作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点NN MEC FAG（3）EF =1mnEG ． I H C EF DA BG相似之类比探究（每日一题）姓名_________1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211==+AE AC 时，有22321==+AO AD ；（2）当11312==+AE AC 时，有22422==+AO AD ；（3）当11413==+AE AC 时，有22523==+AO AD ；（4）当11=+AE AC n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．OE D CBA2．在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°．（1）如图1，若AO =OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系．（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO =OB ．求证：AC =BD ，AC ⊥BD ．（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求BDAC的值． ABD OM NC 1221NM O D BA21C NMO D BA图1图2图33．已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当D 为OA 中点时，求APPC 的值；（2）如图2，当AD :DO =1:m 时，求APPC的值；（3）如图3，把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”，当AD :DO =1:m 时，直接写出APPC的值． ABC DOPPODC BA PODC BA 图1图2图34．（1）如图1，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF ，GH 交于点O ，∠EOH =∠C ．求证：EF =GH ．（2）如图2，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且AD =mAB ，其他条件不变，探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明．（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．A BCD EFG HOOHG F EDCBA图1图25．在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，作EM ⊥AE 交CM 于点M ．（1）如图1，当AB =BC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明；（2）如图2，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明；（3）如图3，把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明．图3图2图1ABCDFEM ABCDFE MME FDCBA【参考答案】1．解：当11=+AE AC n 时，2=2AO AD n+ FOEDCBA证明如下：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 11=+AE AC n ∴1AE EC n =∵ AF ∥BC∴ △AEF ∽△CEB ，△AOF ∽△DOB ∴1AF AE BC EC n ==，AF AOBD OD =∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC∴2212AF AF AFBD BC nBC===∴2=AOOD n，即：2=2AOAD n+2．解：（1）由题意知∠BOD=∠1=45°，此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD，OB⊥BD∴AO=BD，AO⊥BD（2）如图2，EFC21NMODBA图2过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED，△FCD是等腰直角三角形∴BD=BE，AC⊥BD∵AO=BO∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE∴AC=BD，AC⊥BD（3）如图3，EF21CNMODBA图3过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形，且△AOC∽△BOE∴BD=BE，BE OB AC OA=∵OB是OA的k倍∴BE AC=k∴BDk AC=3．解：（1）如图1，E图1BPODCA过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO∴△ADE∽△AOC∴12 AE AD DE DE AC AO OC BC====又∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴12 EP DE PC BC==∴AP PC=2（2）如图2，E图2OADPB过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC∴11AE AD DE DEAC AO OC BC m====+，1AE ADEC DO m==∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴11 EP DEPC BC m==+∴12 EPEC m=+设AE =k ，则EC =mk ∴ EP =2mkm + ∴ AP =AE +EP =2222mk mk kk m m ++=++，PC =EC －EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴AP PC =2m（3）1n m+ 4．证明：（1）如图1，Q N MR 图1OHG FED C BA过点F 作FM ⊥AD 于M ，过点G 作GN ⊥CD 于N则FM =GN =CD =BC ，且GN ⊥FM ，设它们的垂足为Q ，EF ，GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°，∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM ． ∵ ∠GNH =∠FME =90°，FM =GN ， ∴ △GNH ≌△FME ． ∴ EF =GH（2）GH=mEF证明如下：如图2，MNRQ图2AB CDEFGHO过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R，GN，MF交于点Q∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°，∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM．∵∠GNH=∠FME=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH ADEF AB=m，即：GH=mEF（3）A E M DHNCQORFGB如图，已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R、GN，MF交于点Q，在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°∴∠ADC+∠MQN=180°．∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF．∵∠ORG=∠QRF，∴∠HGN=∠EFM．∵∠FME=∠GNH=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH GN EF MF=∵AB⋅GN=AD⋅MF∴GN AD FM AB==m∴GHmEF=，即：GH=mEF5．解：（1）AE=EM，理由如下：如图1，G图1ME FDCBA取AB的中点G，连接GE．∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC∵△BGE是等腰直角三角形∴∠AGE=135°∵CM平分∠DCF∴∠ECM=135°∴△AEG≌△EMC∴AE=EM（2）当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：如图2，G图2AB CDFEM在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE ∴AG+BG=2nEC∴AG=(2n-1)EC∴AE AGEM EC==(2n-1)∴AE=(2n-1)EM（3）当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：如图3，ME FDCBA图3G在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵BE=mEC∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC，BG=BE∴AG+BG=n(m+1)EC∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC∴AE AGEM EC==(mn+n-m)∴AE=(mn+n-m)EM相似之类比探究（随堂测试）1．已知：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =30°，点P 在AC 上，且∠MPN =90°．当点P 为线段AC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证Rt △PME ∽Rt △PNF ，得出PN（不需证明）．当PCP A ，点M ，N 分别在线段AB ，BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN ，PM 之间的数量关系，并任选一种情况给予证明．图3B NAPMC【参考答案】如图2，如图3中都有结论：PNPM ．理由略HG AMBPCI QC MPANB图1AEFMCPB 图2CPBMA相似之类比探究（作业）2. 原题：如图1，D 是△ABC 的边BC 上一点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ．若BD =CD ，CF =2AF ，则EAEB的值是_____________．（1）如图2，在原题的条件下，若BD =CD ，CF =mAF ，则EAEB的值是__________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（2）如图3，若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ，交AB 于点E ”，且BD =aCD ，CF =bAF ，则EAEB的值是__________（用含a ，b的代数式表示）．图1BD FEA图2FAE B 图3BCD E A3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：△ABF ∽△COE ；（2）如图2，当O 为边AC 中点，2AC AB =时，求OFOE的值；（3）如图3，当O 为边AC 中点，ACn AB=时，请直接写出OFOE的值．DEFBA图2A CED F B图3图1BF D O ECA4. 如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高．求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）BC =2ED ．DCAEB【参考答案】1. 原题：12；（1）1m ；（2）1ab；2. 解：（1）略（2）2OF OE=．提示：如图，过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ，证明△AOF ∽△GOEGDEOCFBA（3）OFn OE = 3.（1）略；（2）略；（3）略。

相似三角形的培优讲义

相似21、数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为米．2、（2009年淄博市）如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（）A ．9B ．10.5C ．12D ．153、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（）A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 4、（2009年重庆市江津区）在△ABC 中，BC =10，B 1 、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中921921;C 、C C B 、、B B 分别是AB 、AC的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是（）A . 30B . 45C .55D .60① ② ③5、(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB ．A BCD EF P6、如图,已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点E 、F 在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF ∽△BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证:AF ·BE=2S.7、如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC,DE ⊥AC,M 为DE 的中点,AM 与BE 相交于N,AD 与BE 相交于F.求证:（1）DE CE =AD CD ；（2）△BCE ∽△ADM ；（3）AM 与BE 互相垂直.45°A EFBC ADBFE N MC8、（2009年中山）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．9．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F. （1）求证：△APE ∽△ADQ ；（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）A BCD PEFQ10、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN图（2）NM B E C DFG图（1）A巩固练习1、(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张2、（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=40cm，BC=48cm，动点P从A开始沿AD边向D以每秒2cm的速度运动，动点Q开始沿CB边向B以每秒6cm的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，设运动时间为t秒，则（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时四边形PQCD为等腰梯形？4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°P为下底BC上一点（不与B,C重合），连接AP,过点P作PE交DC于E，使∠APE=∠B(1)求证：△AB P∽△PCE (2)求等腰梯形的腰AB的长（3）在底边BC上是否存在点P，使得DE：EC=5:3，如果存在，求BP的长，如果不存在，说明理由PAB CDQ证:△ABP∽△DPC；（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，求关于的函数解析式,并写出函数的取值范围.6、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段DA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P、Q移动的时间为t秒，(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标；(3)当t为何值时，△APQ的面积为245个平方单位?B CDAPEQB CDA P。

相似提优讲义

初三数学提优讲义1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数x y 1=的图像上，第二象限内的点B 在反比例函数xk y =的图像上，连接OA ，OB ，若OB OA ⊥,OA OB 22=，则=k .2.如右图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x-y ）的最大值是 .3.如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦．过点B 作BC ∥AD ，交⊙O 于点C ，连接AC ，过点C 作CD ∥AB ，交AD 于点D ．连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的直线于点P ，且∠BCP=∠ACD ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC 的长．\4.已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ．①求证：△OCP ∽△PDA ；②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．5.对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是．（填写所有符合要求的序号）．（2）如图③在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上(不与点A，B，C重合)．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．。

初三下册数学直升班培优讲义学生版第3讲相似三角形(一)

模块一比例的性质和成比例线段的概念比例的性质示例剖析(1)基本性质： a c ad bc(bd ) x y x yb d(2)反比性质： a c b d , —(abcd )x y .—(xy )b d ac x y(3)更比性质： a c a 一或b dcd x y x —或丄—(xy )d c (abcd ) y xb a(4)合比性质： a c a b c d (bd ) x x y (y )b d b d y y(5)分比性质： a c a b c d (bd ) y y x (x )b d b d x x(6)合分比性质 a c a b c d x x yb d a bcd —(y ,x y)(bd ,a b,c d)y x y(7)等比性质：a c m 已——=,则当x y z 时，—(b d n ) x y zb d na c m a(b d L n ) x y z x y zb d n b1. 比例的项：在比例式a:b c:d (即- —)中，a, d称为比例外项，b, c称为比例内项.特别地,b da b在比例式a :b b: c (即一一)中，b称为a, c的比例中项，满足 b ac .b c2. 成比例线段：四条线段a, b, c, d中，如果a和b的比等于c和d的比，即--，那么这四条线b d段a, b, c, d叫做成比例线段，简称比例线段.第3讲相似三角形(一)3 •黄金分割：如图，若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC （AC BC ）,且使AC 是AB和BC的比例中项（即AC AB BC ），则称线. 會. 段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点， A C B其中r、厂AC ---------- AB . AB，BC ---------------------- AB . AB , AC与AB的比叫做黄金比.（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个.）模块二平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定2.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如AF AE AF BE CFFC，AB AC，AB AC平行线分线段成比例定理的推论的逆定理注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立, 对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行.【教师备课提示】推论也简称“ A ”和“ 8 ”，逆定理的证明可以通过同一法，做EF'//BC交AC于F'点，再证明F'与F重合即可.模块三相似三角形的定义、性质和判定1•相似图形①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形. 对应边的比例叫做相似比. 相似图形是形状相同，大小不一定相同•相似图形间的互相变换称为相似变换.DEDF【教师备课提示】若将所截出的小线段位置靠上的两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为AB）称为上，位置靠下的称为下，上上上上下下'全全'图：如果EF//BC，则AEEBAEEBAF 或AEFC 或AB圧或坐 ,则有EF//BC . AC AB AC反例：任意四边形中一对DE ABEF，AC13BC EF②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.(1)已知x:y:z ::，则x一仝二的值是 _____________________x y z(3)若a b c ,且abc，则—_一的值是 __________c b(2)若一一「则 zx y例2(1 )设ab c e 4，则毎 a 2c 3ed f b 2d 3f(2)已知：—丄上—k，则k _______________________a b c(3)如果a: b c: d，则下列成立的等式是a c B. -(1 )已知线段a , b ，线段c是a、b的比例中项，那么c等于(2)如图，C是AB的黄金分割点，且CA为边的正方形的面积为S，以BC、S，则S _______ S (填“”、“”模块二平行线分线段成比例定理(1)如图4-1，已知I // I // I，用面积法证明:(2)如图4-2, AD // BE // CF，若AB , AC AB DEBC EFDE ，贝U DF,BC , DF ，贝U DE _______ , EF 以为(3)I3AB图4-3(1)如图5-1 , △ ABC 中，BE 平分ABC , DE // BC,若DE 2AD , AE 2，那么EC .模块三相似三角形的定义、性质和判定(1)下列命题正确的是( )A .有一个角对应相等的平行四边形都相似C .有一个角对应相等的两个等腰梯形相似(2)一个矩形剪去一个宽为边长的正方形后,与长的比是( )B .对应边成比例的两个平行四边形相似D .有一个角对应相等的两个菱形相似所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽(2)如图5-2, E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点, CE交AD于点F，下列各AE EF AE EF A .B.AB CF BE CE AF BC如图所示，AE EC , AH 证：GH与EF互相平分. HD , BG GC , BF FD，连接EF, GH相交于点0.求式中错误的是( )A C. AB 址D.代AB DF AB例 8 ______________________ •(1) △ ABC A'B'C'且相似比为，△ A'B'C'A"B"C"且相似比为—，则厶ABC △ A"B"C ”的相似比为 _____________点E , EC 与AD 相交于点F .求证： △ ABC FCD .BD CE - BC ，求证： △ ACE DBA .(2)如图8-1，在正方形网格上有两个相似三角形 △ ABC 和厶DEF 的周长比为 ______△ ABC 和△ DEF ，贝U BAC 的度数为面积比为 __________ .(3) -一占8-2,在平行四边形 ABCD 中，AB , 如图 F ，使△ CBF CDE ，贝U BF ADE 是AD 的中点，在AB 上取如图 8-3,在△ ABC 和△ BDC 中， ABC D 90 AC 10 , BC 8，若这两个FEB(1 )下列所给条件中，可以判断 △ ABC 与厶DEF 相似的是( )A . A 90 , F 90 , AC 5 , BC 13, DF 10 , EF 26AC DE B . C 85 , E 85 ,BC DFC . AB 1 , AC 1.5, BC 2,EF 8 , DE 10, FD 16D . A 46 , B 80 , E45 , F 80AD AC , DEBC ，交BA 于CA 图8-1 (4) 三角形相似，则 BD 的长为D图8-2 图8-3例9(2)如图9-1，在△ ABC 中，点D 是BC 边上的中点，且图9-1 图9-2复习巩固模块一比例的性质和成比例线段的概念(2)如图，乐器上的一根弦 AB cm ,两个端点A , B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点B 的黄金分割点(即 AC 是AB 与BC 的比例中项)，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，贝H ACcm ,DC ____________________ cm .« ---- « • ------ »AD CB2yac e2 -,求值： ①a c:②2a c 3e bd 3 b d2b d3f(3)已知b c aacab ba b c 求(a b)(b c)(a c)的值 c abc27, 则它们的比例中项为y 3 2:3 ,则下列各式不成立的是(2)已知:(1)已知两个数a 3 , b模块二平行线分线段成比例定理演练3(1)如图3-1 ,直线I // I // I ,已知AG cm,BG .cm,CD .cm , CH(2) 如图3-2，在△ ABC中，D、E分别为AB、AC 边上的点, AD -, AE ，则BDAC如图所示，在△ ABC的边BC上BE EF图3-3CD ，贝U CE FC，边AC 上AG模块三相似三角形的疋义、性质和判疋(1)手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )(2)已知△ ABC s^ A'B'C 且Q ABC ：S S B'C' 1： 2，则AB: A'B'△ ABC与厶A'B'C相似，那么△ A'B'C的第三边长应该是(C .亠2Z DFC Z AEB .(1)求证：△ ADF CAE .(2 )当AD , DC ，点E、F分别是BC、的中点时，求直角梯形ABCD的面积.如图，直角梯形ABCD中，Z ADC AD II BC，点E在BC上，点F在AC上, (3)已知△ ABC的三边长分别为-、6、2, △ A'B'C的两边长分别是1和，如果。

教师第2讲相似三角形培优讲义2

第2讲相似三角形培优讲义学习重点：相似三角形综合应用学习难点：应用相似三角形性质判定综合证明几何题的方法学习过程典型例题例1.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD ⊥BC 于D ，E 是AB 上一点，AF ⊥CE 于F ， AD 交CE 于G 点，求证：∠B ＝∠CFD 证明：∵在Rt △AEC 中，AF ⊥EC ，∴AC ²=CF •CE ．【没学射影定理的话也可以根据△ACF ∽△ECA 得到AC/CE=CF/AC 来证】∵在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴AC ²=CD •CB ．∴CF •CE=CD •CB ．∴CF/CB=CD/CE ． ∵∠DCF=∠ECB ，∴△DCF ∽△ECB ．∴∠B=∠CFD ．2例3、如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点AB P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？A B C DE FG若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）∵∴OB2∴OB= ，OA=1．点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，∴A（1，0），B（0，）．（2）由（1），得AC=4，=12+()2=2，=()2+(3)2=2，∴AB2+BC2=22+（2）2=16=AC2．∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ= ，∴S=S△ABC-S△APC= ×4×-×4×= 2-t（0≤t＜23）．（3）P(-3,0), (-1,), (1,), (3, )例4、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，点O是AC边上一点，连接BOxAOCB交AD于F，OE⊥BO交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC边中点，2=ABAC时，如图2，求OEOF的值；（3）当O为AC边中点，nABAC=时，请直接写出OEOF的值．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C =90°∵∠BAC =90°∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∠BOA+∠COE =90°，∴∠BOA+ ∠ABF= 90°∴∠ABF= ∠COE∴△ABF∽△COE．(2)作OG⊥AC，交AD的延长线于G，∵AC= 2AB，O是AC边的中点，∴AB= OC= OA．由(1)有△ABF∽△COE,∴△ABF≌△COE.∴BF= OE，∠BAD+∠DAC =90°，∠DAB+ ∠ABD =90°，∴∠DAC =∠ABD．又∠BAC= ∠AOG= 90°，AB= OA，△ABC≌△OAG.∴OG =AC= 2AB，∵OG⊥OA，∴△ABC≌△OAG.∴OC =AC= 2AB，∵OG⊥OA∴AB∥OG∴△ABF∽△GOF，∴(3)．例5、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在△AEF中作正方形A1B1C1D1，使边A1B1在AF上，其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；（2）求AF的长及正方形A1B1C1D1的边长；（3）在（2）的条件下，取出△AEF，将△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠，求小正方形A1B1C1D1未被两个折叠三角覆BBA ACOEDDECOF图1 图2F盖的四边形面积．解：（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、Rt△ED1C1、Rt△C1B1F．（写出其中三个即可）（2）AF==5过E作EM⊥AF，垂足为M，交D1C1于N，则∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，∴EF=，AE==2，∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF，即5EM=×2，∴EM=2，∵四边形A1B1C1D1是正方形∴D1C1∥AF∴△D1C1E∽△AFE∴设正方形A1B1C1D1的边长为x，则解得x=∴正方形A1B1C1D1的边长为．（3）∵D1C1=，EN=2-=∴S△D1EC1=××=∴=，C1B1=∴B1F=∴S△C1B1F1=××=∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°∴∠3=∠4∴E1点在C1F1上又∵=（）2=∴S未被覆盖四边形=--=．例6、如图，在边长为8厘米的正方形ABCD内，贴上一个边长为4厘米的正方形AEFG，正方形ABCD未被盖住的部分为多边形EBCDGF．动点P从点B出发，沿B?C?D方向以1厘米/秒速度运动，到点D停止，连接PA，PE．设点P运动x秒后，△APE与多边形EBCDGF 重叠部分的面积为y厘米2．（1）当x=5时，求y的值；（2）当x=10时，求y的值；（3）求y与x之间的函数关系式；（4）在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．解：设AP与EF（或GF）交于点Q．（1）在正方形ABCD和正方形AEFG中，E为AB中点，∴EQ∥BP，即EQ为△ABP的中位线．当x=5时，PB=5，∴QE=PB=，∵BE=4，∴y=EQ•EB=×4=5．（2）当x=10时，如图2，PD=6，GQ=3，QF=FG-GQ=1，AE=4．∴S梯形AQFE=×4=10．S△PAE=AE•BC=×4×8=16，∴y=S△PAE-S梯形AQFE=16-10=6．（3）当0≤x≤8时，y=x；当8≤x≤12时，y=-x+16；当12≤x≤16时，y=4．（4）图象如下：分析：（1）由于图1中的重叠部分为△PQE，∴y=S△PQE=12EQ•EB．（2）图2中的重叠部分y=S△PAE-S梯形QFEA．（3）由题意知y与x之间的函数关系式写为0≤x≤8，8≤x≤12，12≤x≤16三段分别求解．（4）根据题意直接作图即可．点评：此题是一个动点问题，考查正方形的性质，中位线的性质及图形面积的求法．作为压轴题，综合了初中阶段的重点知识，能够培养同学们综合运用知识的能力．目标训练一、选择题：1、如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为(- 2,0),点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为( D )A、2-2aB、2+2aC、-2-2aD、-2+2a分析：本题本题可先根据三角函数求出AC和BC的值，由此即可得出B点的坐标．解：∵∠BAC=60°，∠BCA=90°，AB=a，则AC=AB×cos60°=a，BC=AB×sin60°=a，∴点B的横坐标为a-2，纵坐标为a．故选D．2、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．12C．D．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．3、如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．4、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）.BA. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个解：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为7，故x的值可以为5或7.两种情况。

初三-相似三角形培优讲义(教师版)

一对一个性化讲义学生姓名：授课教师：班主任：科目：数学上课时间： 20 年 11 月日教管主任/校长批阅意见/签字：以图形的平移、翻折、旋转、动点问题等为代表的动态几何题，是中考的热点，本文以中考题为例介绍动态几何题中的相似三角形问题．一、平移问题例1（宜宾）如图1，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5．BC ＝6，且△ABC ≌△DEF ．将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． (1)求证：△ABE ∽△ECM ；(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；(3)当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．点评此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．本小题也可以用几何法求解．二、翻折问题例2（徐州）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，拆痕为EF(点E 、F 分别在边AC 、BC 上)． (1)若△CEF 与△ABC 相似，①当AC ＝BC ＝2时，AD 的长为_______； ②当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为_______；(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．解 (1)若△CEF 与△ABC 相似， ①当AC ＝BC ＝2时，△ABC 为等腰直角三角形，如图2所示．此时D 为AB 边中点，AD 2＝；②当AC ＝3，BC ＝4时，有两种情况： (i)若CE ：CF ＝3：4，如图4所示． ∵CE ：CF ＝AC ：BC ，∴EF ∥BC ．由折叠性质，可知CD ⊥EF ． ∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为1.8或2.5．(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似．理由如下：如图5所示，连结CD ，与EF 交于点Q ．2点评本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质，第(1)②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意．三、旋转问题例3（宜昌）如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BF．(1)求证：BE＝BF；(2)如图7，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF的值．疑难点相似三角形与函数等知识的综合6. 如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为(1,1)A ，且与直线2y x =-交于,B C 两点.(1)求抛物线的函数表达式及点C 的坐标; (2)求证: ABC ∆是直角三角形;(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN x ⊥轴与抛物线交于点M ，则是否存在以,,O M N 为顶点的三角形与ABC ∆相似?若存在，请求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由. (1)∵顶点坐标为(1,1)∴设抛物线的函数表达式为2(1)1y a x =-+又∵抛物线过原点 ∴20(01)1a =-+ 解得1a =-∴抛物线的函数表达式为2(1)1y x =--+ 即22y x x =-+联立抛物线和直线的函数表达式可得222y x xy x ⎧=-+⎨=-⎩ 解得20x y =⎧⎨=⎩或13x y =-⎧⎨=-⎩∴(2,0),(1,3)B C --(2)如图，分别过,A C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于,D E 两点则1,213,3AD OD BD BE OB OE EC ====+=+== ∴45ABO CBO ∠=∠=︒ 即90ABC ∠=︒∴ABC ∆是直角三角形.(3)假设存在满足条件的点N ，设(,0)N x ，则2(,2)M x x x -+ ∴2,2ON x MN x x ==-+在Rt ABD ∆和Rt CEB ∆中，易得AB BC ==∵MN x ⊥轴于点N∴90ABC MNO ∠=∠=︒ ∴当ABC ∆和MNO ∆相似时，有MN ON AB BC =或MN ONBC AB=①当MN ONAB BC ==即23x x x -+=∵当0x =时，,,M O N 不能构成三角形 ∴0x ≠∴123x -+=即123x -+=±解得53x =或73x =此时点N 的坐标为5(,0)3或7(,0)3②当MN ONBC AB ==即23x x x -+= ∴23x -+= 即23x -+=±解得5x =或1x =-此时点N 的坐标为(1,0)-或(5,0)综上可知，存在满足条件的点N ，其坐标为5(,0)3或7(,0)3或(1,0)-或(5,0)教案附录2.如图,抛物线y=ax 2+bx −3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x 轴交于A. B 两点,与y 轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线131+-=x y 与y 轴交于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形?若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由。

个性化讲义(模板)解读

少儿个性化教育学科辅导讲义讲义编号班级编号：年级：四年级班主任：学员姓名：辅导科目：语文学科教师：课题语文学习（四年级）授课日期及时段教学目的1.通过注意力训练，提高学生学习效率；2.让学生学会如何通过阅读了解和认识美丽的大自然，并学会按照观察顺序介绍自然景观。

学会在自然段中寻找中心句。

3.考查学生前期知识的掌握情况，注重能力的考查、知识的运用（侧重于阅读写作知识的考察）。

教学内容【课前热身练习】欢迎加入常春藤学习大家庭，希望你在这里学习愉快！今天是我们第一次上课，我们先介绍一下自己。

（师生各自介绍自己）个人的性格、特长、小幽默、最喜欢的一本书、最喜欢的作家、最喜欢的格言……我的窍门：扩大阅读量，多思考，为语文学习打下良好基础。

我的要求：检查上节课所学内容及布置的作业——上课——检查课堂知识学习情况——布置作业【导入热身】学习能力教育训练目的：让学生上课专心听讲，提高听课效率。

训练方法1：老师读一组数字（如2356），学生听完后复述一遍。

例如：老师读：1426895 学生听完就回答：1426895训练方法2：老师读完一组词语和数字后，学生把听到的汉字词语复述出来。

例如：4-大学-1-人民-0-社会-5-进步汉字按照顺序依次为：大学—人民—社会—进步第一组：7-公安-1-小学-3-主人第二组：0-群众-6-变形金刚-4-手机第三组：5-电影-7-越剧-2-下雪听说训练题训练目的：训练理解能力训练方法：老师读下列短文，学生认真听，听完故事后，根据故事的内容回答下面问题，然后把故事复述一遍。

乌鸦和百灵鸟乌鸦真不明白，百灵鸟为什么能够（gou）唱出那么动听的歌来。

人们一谈起百灵鸟，都会称赞它。

乌鸦想：我要是能像百灵鸟那样，有一副天生的嗓（sang）子，那该有多好啊！乌鸦实在想不出什么好办法，只好去找百灵鸟请教，求百灵鸟帮它达到目的。

百灵鸟告诉乌鸦："要想有一副好嗓子，唱出美妙（miao）动听的歌声，得每天清早起得早早的，不管春夏秋冬都要坚持（chi）练习，这样长期不断（duan）地练下去，一定会获得成功。

走进重高培优讲义专题集训初中综合教练第22讲图形的相似

第22讲图形的相似1．理解相似图形和相似变换的定义，能判断两个图形是否相似，掌握相似图形、相似变换的特征，并能应用．2．了解线段的比、成比例线段的概念，会判断线段是否成比例，了解黄金分割．3．会灵活使用相似三角形的判定条件判定两个三角形相似，能借助相似三角形的性质解决数学问题或实际问题．4．了解位似图形的相关概念，能利用位似图形等方法将一个图形放大或缩小．5．能综合应用坐标系、相似、全等、特殊的三角形、四边形等知识解决问题，在同一平面直角坐标系中，感受相似变换后的坐标变化．1．解决相似图形的问题，要透彻理解概念，记住基本性质和判定定理，利用概念、判定方法辨别相似变换、相似图形，同时要注意相似与全等的区别与联系，并且注意转化思想的应用，要善于把相似多边形的问题转化为相似三角形的问题来解决．2．相似三角形的判定、性质及应用是本讲重点，要在理解定理的基础上，多应用基本方法、多练习，提高分析问题、解决问题、应用知识的能力，并注意与其他知识的综合应用．应用题应先建立相似模型，进而用相似的知识解决．3．比例线段、黄金分割、位似等知识先要了解概念，严格按概念解题，又要注意这些知识与生活实际的联系，多观察、多分析，作图题还应多动手操作．例1 如图，直线,////321i l l 直线AC 分别交321,,l l i 于点A ，B ，C ，直线DF 分别交321,,i l i 于点D ，E ，F ，AC 与 DF 相交于点G ，且2,1,5,则DE AG GB BC EF===的值为__________.【方法归纳】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．【误区提醒】根据线段成比例写比例式时对应关系一定要搞清楚，例2 如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ，若,CF CD =则=AD AE _________.【方法归纳】线段AB 上的点C 将线段AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC 是BC 和AB 的比例中项，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与BC 的比叫做黄金比，即215-==AC BC AB AC .~618.0【误区提醒】黄金分割问题的实质就是利用方程的思想去解决几何问题，因此，关键是利用相似得到方程．例3 【南京】如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE.过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，⊙0经过点C ，D ，F ，与AD 相交于点G ．(1)求证：△AFG∽△DFC.(2)若正方形ABCD 的边长为4，AE=1，求⊙O 的半径，图1【方法归纳】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型，【误区提醒】证明三角形相似只需要两对角相等，比全等少一个条件，而利用相似的比例关系求线段长也是几何计算的主要方法，利用比例关系时一定要注意对应关系不要搞错．例4 【黄石】在△ABC 中，E ，F 分别为线段AB ，AC 上的点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)如图1，若EF∥BC，求证：ABC AEFS s AE AF AB AC∆∆⋅=⋅⋅ (2)如图2，若EF 不与BC 平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．(3)如图3，若EF 上一点G 恰为△ABC 的重心，,43=AB AE 求AEF ABC s S ∆∆的值．图l 图2 图3【方法归纳】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、面积法和三角形重心的定义及其性质等知识．【误区提醒】三角形的面积问题涉及的知识主要是相似三角形的面积比等于相似比，等底（等高）三角形的面积比等于高（底）的比，以及等积变形面积割补法等．要注意相似三角形的面积比转化为线段比是等于相似比的平方，而等底或等高三角形的面积比转化为线段比不需要平方，例5 如图1，有一块余料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120 mm，高AD = 80 mm.(1)如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，设长方形宽为x(mm)，面积为y(mm2)，则宽为多少时，其面积最大？最大面积是多少？(2)若以BC的中点0为原点建立平面直角坐标系，B(-60，0)，AD=BD，求过A，B，C三点的抛物线的表达式，在此抛物线的对称轴上是否存在一点R，使以A，B，R为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．图1【方法归纳】本题考查相似三角形的应用、矩形的面积、待定乏数法求二次函数表达式以及勾股定理．解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．(2)分90,90=∠=∠ARB ABR和90=∠BAR三种情况列出关于n 的方程．【误区提醒】题(2)是综合题中常见的分类讨论，直角三角形按直角位置分类可以分成三种情况，分类不重不漏是重点．例如图1，在Rt△ABC 中，.8,6,90===∠AC BC C P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ.D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点，HQ⊥AB 于点Q ，交AC 于点H.当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动，设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．(1)求证：△DHQ∽△ABC.(2)求y 关于x 的函数表达式，并求y 的最大值．(3)当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？图1【方法归纳】本题是一个动态图形中的问题，也是一个典型的分类讨论问题，关键是能否考虑全面，如果考虑不全面就解不完整，本题是不可多得的一个分类讨论和动态结合的题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．1．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画．下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )．2．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB∥DE，CF 为AB 边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为( )． 332.A 316.B 310.C 38.D3．-个铝质三角形框架三条边长分别为24 cm ，30 cm ，36 cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm ，45 cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有( )．A ．O 种B ．1种C ．2种D ．3种4．【泸州】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若DF ED AE ,3=,则AG CF GF= 的值是( )． 34.A 45.B 56.C 67.D5．一块含30角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8 cm ，里面空心△DEF 的各边与△ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是lcm ，则△DEF 的周长是( )．cm A 5. cm B 6. cm C )36.(- cm D )33.(+6．在△ABC 中，,5,6cm AC cm AB ==点D ，E 分别在AB ，AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且:ADE S ∆四边形1:8,BCED s = 则=AD _________.Cm7．如图，AD 和AC 分别是半⊙0的直径和弦，且CAD ∠B ,30 =是AC 上的点，AD BH ⊥交AC 于点B ，垂足为H ，且.7:5:=HD AH 若,5=HB 则BC =_________.（第7题）（第8题）8．【葫芦岛】如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF，且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若,71=GA DG 则=AB AD ________.9．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线Z 过点C ，交AB 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N ，则+AM 1=AN 1（第9题）（第10题）10.【宜宾】如图，AB 是半00的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE⊥AB 于点E ，且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若3,则4EF CG AE GB ==________.11.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由.F D P P P P P ,,,,,,)2(54321是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似．（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应的线段，不必说明理由）12．如图，在△ABC 中,90),( =∠>ACB AC BC 点D 在AB 边上，DE⊥AC 于点E.(1)若,2,31==AE DB AD 求EC 的长． (2)设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F ，C ，G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD 于点P.线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．13．如图，正三角形的边长为.33+(1)如图1，正方形EFPN 的顶点E ，F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形////,EF P N 且使正方形////,E F P N 的面积最大（不要求写作法）． (2)求(1)中作出的正方形////,E F P N 的边长．(3)如图3，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE ，EF 在边AB 上，点P ，N 分别在边CB ，CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值．图1 图214．在△ABC 中，D AC AB ,=为BC 边的中点，F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，=∠BAE ,BDF ∠ 点M 在线段DF 上，.DBM ABE ∠=∠(1)如图1，当 45=∠ABC 时，求证：.2MD AE =(2)如图2，当 60=∠ABC 时，线段AE ，MD 之间的数量关系为_______________.(3)在(2)的条件下，延长BM 到点P ，使,BM MP =连接CP ，若ACP AE AB ∠==tan /,72,7的值．图1 图21．【乐山】如图，DE//FG//BC,若 DB=4FB,则EG 与GC 的关系是( )．GC EG A 4.= GC EG B 3.= GC EG C 25.= GC EG D 2.=2．【哈尔滨】如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上，GE∥BD，且交AB 于点E ，GF//AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是( )． AD AG AE AB A =. AD DG CF DF B =. BD EG AC FG C =. DFCF BE AE D =.（第2题）（第3题）3．【达州】如图，E ，F 是DABCD 对角线AC 上两点，AE .41AC CF ==连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGH ss ∆∆的值为( )．21.A 32.B 43.C 1.D 4．【梧州】如图，,3:2:,1:4:==DC BD GD AG 则AE :EC 的值是( )．2:3.A 3:4.B 5:6.C 5:8.D（第4题）（第5题）5．【扬州】如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M.下列结论：①△BAE∽△CAD；.MP ②;ME MA MD ⋅=.22CM CP CB ⋅=③其中正确的是( )．①②③.A ①.B ①②.C ②③.D6．【宁夏】已知22,则32a a b b a b-=+的值是___________.7．【泰安】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H 位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中点，出东门15步的A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木（即点D 在直线AC 上）?请你计算KC 的长为________步．8．【齐齐哈尔】经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，=∠A ,46则∠ACB 的度数为_________.9．【深圳】如图，在Rt△ABC 中，,3,90==∠AB ABC ,4=BC 在Rt△MPN 中，,90=∠MPN 点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当=PE PF 2时，=AP _______.（第9题）（第10题）10.【贵阳】如图，在△ABC 中，BC=6，BC 边上的高为4，在△ABC 的内部作一个矩形DEFG ，使EF 在BC 边上，另外两个顶点分别在AB ，AC 边上，则对角线EG 长的最小值为_________．11．【杭州】如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E.(1)求证：△BDE∽ △CAD.(2)若AB=13，BC=10，求线段DE 的长．12．【梧州】如图，AB 是OM 的直径，BC 是OM 的切线，切点为B ，C 是BC 上（除点B 外）的任意一点，连接CM 交OM 于点G ，过点C 作DC ⊥BC 交BG 的延长线于点D ，连接AG 并延长交BC 于点E ．(1)求证：△ABE∽△BCD．(2)若MB=BE=1,求CD 的长度．13.【大庆】如图，AB 是⊙0的直径，E 为线段OB 上一点（不与点0，B 重合），作EC ⊥OB ，交⊙0于点C ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF⊥PC 交其延长线于点F ，连接CB.(1)求证：AC 平分∠FAB.(2)求证：.2CP CE BC ⋅=(3)当34CF AB CP ==时，求劣弧 BD 的长度.14.【襄阳】如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE⊥BC，垂足为E ，GF⊥CD，垂足为F ．(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形．②推断：BEAG 的值为 (2)探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 按顺时针方向旋转 0(α),45 <<α如图2，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3，延长CG 交AD 于点H.若,22,6==GH AG 则=BC ________.图1 图2 图31．如图，在锐角三角形ABC 中，,60 =∠BAC 分别以AB ，AC 为边向外作正△ABE，△ACD，若CP AP ,4=,5= 则=BP _________.2．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，BC BAC ,90=∠,2=E 为边AB 上任意一点，以CE 为斜边作等腰直角三角形CDE ，连接AD ，下列说法： ;AED BCE ∠=∠①;~ECB AED ∆∆②;//BC AD ③④四边形ABCD 的面积有最大值，且最大值为⋅23其中正确的结论有__________（填序号）．3．【南昌】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1、图2、图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF⊥BE，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均称为“中垂三角形”，设.,,c AB b AC a BC ===特例探索：(1)如图l ，当22,45==∠c ABE 时，=a ________=b _________如图2，当4,30==∠c ABE o 时，=a __________=b _________.图1 图2归纳证明：(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想222,,c b a 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的表达式.图3 图4拓展应用：(3)如图4，在口ABCD 中，E ，F ，G 分别是AD ，BC ，CD 的中点，,3,52,==⊥AB AD EG BE 求AF 的长．4．【杭州】如图的图形既关于点0中心对称，又关于直线AC ，BD 对称，AC=10，BD=6，已知E ，M 是线段AB 上的动点（不与端点重合），点0到EF ，MN 的距离分别为,,21h h △OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形．(1)求蝶形面积S 的最大值．(2)当以EH 为直径的圆与以MQ 为直径的圆重合时，求1h 与2h 满足的表达式，并求2h 的取值范围.答案。

(完整)学生第1讲相似三角形培优讲义1!

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第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题．学习难点:运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知,如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD,以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD求证:△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点,连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论.下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形(2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC 称为“相交线型" 的相似三角形。

(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF 与△ECA 二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF AC=BC FEABCDEAABBCC DDEEABCD E12AABBCC DD EE12412••ABCDE FADF例4：已知：如图,在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D.求证：(1)MA 2=MD ME ；（2）三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等.例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且。

一对一个性化辅导教案相似(5)

大都教育一对一个性化辅导教案相似（5）一、考点分析：结合等边三角形的性质、菱形的性质、三角形的外接圆与外心以及勾股定理等知识判定三角形相似或全等；二、重点：综合运用所学的知识证明三角形相似或全等；三、难点：构造相似三角形成立的条件；四、内容讲解：1、相似图形与比例性质例1. （2010广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是（）考点：相似图形分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．例2. （2011，台湾省，22,5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）C 、舞蹈社增加，溜冰社减少D 、舞蹈社增加，溜冰社不变分析：若甲：乙：丙=a ：b ：c ，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．点评：本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积．2、相似多边形的性质例1. （2011，台湾省，33,5分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 两点分别在AB、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为何？（）A 、1：2B 、2：3C 、2：5D 、4：9 考点：相似多边形的性质。

分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解．点评：本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键．A ．B ． D ．题3图练习1. （2011贵州毕节，7，3分）两个相似多边形的面积比是16:9，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为( )A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm考点：相似多边形的性质。

分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．3、相似三角形的判定与性质例1、（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60º，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。

相似三角形个性化辅导授课案(二)

相似三角形个性化辅导授课案(二)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2弘宇教育个性化辅导授课案教师：学生时间：2012年 01月 15日第段第次课课题相似三角形（二）考点分析相似三角形、相似三角形的判定、直角三角形相似的判定论证三角形相似，线段的倍分以及等积式，等比式，常以论证题型或计算题型出现；重点难点相似三角形的概念是本节的重点也是本节的难点相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的图形，是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，全等形是相似形的特殊情况，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性一、知识点精析1.相似三角形的性质两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图24．3．9中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？图24.3.9△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形，而∠B ＝∠B ′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么k B A AB D A AD =''='' 由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．图24．3．10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．图24.3.10（2）与（1）的相似比＝__________，（2）与（1）的面积比＝__________；（3）与（1）的相似比＝__________，（3）与（1）的面积比＝__________．从上面可以看出，当相似比＝k 时，面积比＝2k ．我们猜想：相似三角形的面积比等于相似比的平方．例5 已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，AD 、 A ′D ′分别是△ABC 、 △A ′B ′C ′对应边BC 、 B ′C ′上的高，求证：2k S S C B A ABC ='''∆∆．证明 ∵ △ABC ∽△A ′B ′C ′，∴k D A AD =''，k C B BC =''， ∴ 22121k C B D A BC AD S S C B A ABC =''⋅''⋅='''∆∆ 思考图24．3．11中，△ABC 和△A ′B ′C ′相似，AD 、A ′D ′分别为对应边上的中线，BE 、B ′E ′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？图24.3.11可以得到的结论是____________________．想一想：两个相似三角形的周长比是什么？可以得到的结论是____________________．练习1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2．相似三角形对应边的比为0．4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．3．如图，在正方形网格上有111C B A ∆和222C B A ∆，这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出111C B A ∆和222C B A ∆的面积比．(第3题)4．相似三角形的应用人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度．例6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图24．3．12所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB ．如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB ．图24.3.12解 ∵ 太阳光是平行光线，∴ ∠OAB ＝∠O ′A ′B ′．∵ ∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，∴ △OAB ∽△O ′A ′B ′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴ OB ∶O ′B ′＝AB ∶A ′B ′，∴ 13721274=⨯=''''⨯=B A B O AB OB （米），即该金字塔高为137米．图24.3.13例7 如图24．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB ．解 ∵ ∠ADB ＝∠EDC ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°，∴ △ABD ∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴CD BD EC AB =，解得 CDEC BD AB ⨯= 1006050120=⨯=（米）．答：两岸间的大致距离为100米．这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法．例8 如图24．3．14，已知： D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE ＝∠C ．求证： AD ·AB ＝AE ·AC ．图24.3.14证明 ∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．∴ ABAE AC AD =， ∴ AD ·AB ＝AE ·AC ．练习1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BC ＝6，梯形DBCE 面积是△ADE 面积的3倍，求DE 的长．（第2题）习题24．31．判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．（1）如图，DE ∥BC ，△ABC 与△ADE ；（2）如图，∠AED＝∠C，△ABC与△ADE．（第1题）2．已知：△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．3．使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的三角形．4．依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．（1）∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；（2）AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米；（3）∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°，B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．5．已知在等腰△ABC和△A′B′C′中，∠A、∠A′分别是顶角．试依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，如果相似，请写出证明过程．（1）∠A＝∠A′．（2）∠B＝∠B′（或∠C＝∠C′）．6．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．（第6题）三角形中位线（第2课时）如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC．由此可以进一步推知，当点D 是AB 的中点时，点E 也是AC 的中点．现在换一个角度考虑，图24.4.1如果点D 、E 原来就是AB 与AC 的中点，那么是否可以推出DE ∥BC 呢？DE 与BC 之间存在什么样的数量关系呢？从画出的图形看，可以猜想：DE ∥BC ，且DE ＝21BC ．图24.4.2证明如图24．4．2，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，∴ 21==AC AE AB AD ． ∵ ∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ABC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴ ∠ADE ＝∠ABC ，21=BC DE （相似三角形的对应角相等，对应边成比例）， ∴ DE ∥BC 且BC DE 21=．概括我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．图24.4.3已知：如图24．4．3所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC ．求证： AE 、DF 互相平分．证明连结DE 、EF ．因为AD ＝DB ，BE ＝EC ，所以DE ∥AC （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF ∥AB ．所以四边形ADEF 是平行四边形．因此AE 、DF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．例2如图24．4．4，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G ．求证： 31==AD GD CE GE ．图24.4.4证明连结ED ，∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，∴ DE ∥AC ，21=AC DE （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， ∴ △ACG ∽△DEG ，∴21===AC DE AG GD GC GE ， ∴ 31==AD GD CE GE ．图24.4.5拓展如果在图24．4．4中，取AC 的中点F ，假设BF 与AD 交于G ′，如图24.4.5，那么我们同理有31='='BF F G AD D G ，所以有31='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的．于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知：如图24．4．6所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ．求证： EF ∥BC ，EF ＝21（AD ＋BC ）．图24.4.6分析由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF ，并延长AF 交BC 的延长线于G ，证明的关键在于说明EF 为△ABG 的中位线．于是本题就转化为证明AF ＝GF ，AD ＝CG ，故只要证明△ADF ≌△GCF ．思考图24.4.7如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为h l l S )(2121+=．其中1l 、2l 分别为梯形的两底边的长，h 为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？课后作业：学生对于本次课的评价：它的几何意义是什么？练习1．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 相交于点O ，AB ＝6，BC ＝10，AC ＝8．试求出线段DE 、OA 、OF 的长度与∠EDF 的大小．（第1题）（第2题）2．如图所示的梯形梯子，AA ′∥EE ′，AB ＝BC ＝CD ＝DE ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′，AA ′＝0．5m ，EE ′＝0．8m ．求BB ′、CC ′、DD ′的长．3．求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．习题24．41．三角形的周长为56cm ，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm ．2．梯形中位线长为12cm ，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之差是多少？3．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 、G 、H 分别为OA 、OC 、OB 、OD 的中点．求证：四边形EGFH 是矩形．(第3题)（第4题）4．已知：在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点．求证∠PMN ＝∠PNM ．○特别满意○满意○一般○差学生签字：________教师评定：1、学生上次作业评价：○特别满意○满意○一般○差2、学生本次上课情况评价：○特别满意○满意○一般○差教师签字：________教务处审核：教导主任签字：________ 教务主管签字：__________弘宇教育教务处制。

著名机构初中数学培优讲义中考复习.相似.第10讲(通用讲).教师版

内容基本要求略高要求较高要求相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似会用相似多边形的性质解决简单问题一、比例的性质1．,a cad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理);3．a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理);4．a c a b c d b d b d ++=⇔=(合比定理); 5．a c a b c d b d b d --=⇔=(分比定理); 6．a c a b c d b d a b c d ++=⇔=--(合分比定理); 7． (等比定理). 二、相似多边形知识点睛中考要求相似三角形对应角相等、对应边成比例的多边形，叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．三、三角形相似的判定（除相似三角形的定义外）1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．四、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等2．相似三角形的对应边成比例3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．4．相似三角形周长的比等于相似比．5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．五、相似多边形的性质1．相似多边形的对应角相等2．相似多边形的对应边成比例3．相似多边形周长的比等于相似比．4．相似多边形面积的比等于相似比的平方．例题精讲AD=．【例1】在□ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB=7，CF=3，则CE【解析】略4【答案】3【例2】已知：如图，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，3PB=,BF BP⊥于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点,,B M C为顶点的三角形与ABP△相似，作图并指出相似比k的值．【解析】已知，ABP CBF ∠=∠．欲使以点,,B M C 为顶点的三角形与ABP △相似，只要使ABP ∠及CBF ∠的两边对应成比例．【答案】1633k =或【点评】对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先，边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C 可以与点A 对应，点M 与点P 对应，点C 也可以与点P 对应，点M 与点A 对应，因此有两种情形．其中当1k =时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似的一个特例．【例3】已知：如图四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交,AC CD于点,P Q ．R QP D CBA(1)写出图中各对相似的三角形相似比为1的除外． (2)求::BP PQ QR 的值．【解析】略【答案】(1),,,BCP BER PCQ RDQ PCQ PAB PAB RDQ △∽△△∽△△∽△△∽△；(2)::3:1:2BP PQ QR =【例4】在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．【解析】略【答案】（Ⅰ）如图1，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′与x 轴交于点E ，连接DE若在边OA 上任取点E ′（与点E 不重合），连接CE ′、DE ′、D ′E ′ 由DE ′＋CE ′＝D ′E ′＋CE ′＞CD ′＝D ′E ＋CE ＝DE ＋CE 可知△CDE 的周长最小∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点 ∴BC ＝3，D ′O ＝DO ＝2，D ′B ＝6∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BC ，∴BC OE ＝BD OD '' ∴OE ＝BD O D ''·BC ＝62×3＝1 ∴点E 的坐标为（1，0）（Ⅱ）如图2，作点D 关于x 轴的对称点D ′，在CB 边上截取CG ＝2，连接D ′G 与x 轴交于点E ，在EA 上截取EF ＝2，则四边形GEFC 为平行四边形，得GE ＝CF 又DC 、EF 的长为定值，∴此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BG ，∴BG OE ＝BD OD '' ∴OE ＝B D O D ''·BG ＝B D O D ''·(BC －CG )＝62×1＝31∴OF ＝OE ＋EF ＝31＋2＝37∴点E 的坐标为（31，0），点F 的坐标为（37，0）【例5】如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ．（1）当30B ∠=︒时，连结AP ，若AEP ∆与BDP ∆相似，求CE 的长；（2）若2CE =，BD BC =，求BPD ∠的正切值；（3）若1tan 3BPD ∠=，设CE x =，ABC ∆的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．【解析】略【答案】（1）∵∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝60°∵AD ＝AE ，∴∠AED ＝60°＝∠CEP ∴∠EPC ＝30° ∴△BDP 为等腰三角形∵△AEP ∽△BDP ，∴∠EAP ＝∠EPA ＝∠DBP ＝∠DPB ＝30° ∴AE ＝EP ＝1∴在RT △ECP 中，EC ＝21EP ＝21 （2）如图2，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ ＝a ，BD ＝x ∵AE ＝1，EC ＝2，∴QC ＝3－a∵∠ACB ＝90°，∴△ADQ ∽△ABC ∴AB AD ＝ACAQ ，即1x 1+＝3a ，∴a ＝1x 3+ ∵在RT △ADQ 中，DQ ＝22AQ AD－＝21x 31)(+－＝1x 8x 2x 2+-+ ∵BC DQ ＝ABAD，∴x 1x 8x 2x 2+-+＝1x 1+ 解得x ＝4，即BD ＝4过点C 作CF//DP ，则△ADE ∽△AFC∴AC AE ＝AF AD ，∴AF ＝AC ，即DF ＝EC ＝2 ∴BF ＝DF ＝2∵△BFC ∽△BDP ，∴BD BF ＝BP BC ＝42＝21即BC ＝CP ＝4∴tan ∠BPD ＝CP EC ＝42＝21A A E CBPD图2QFB PE CDA 图3（备用）AECBPD图2（备用）A BCPED图1（3）如图3，过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE ∽△PCE设AQ ＝a ，则QE ＝1－a ∴EC QE ＝CP DQ 且tan ∠BPD ＝31，∴DQ ＝3(1－a ) 在Rt △ADQ 中，由勾股定理得：AD2＝AQ2＋DQ2即12＝a2＋[3(1－a )]2，解得a ＝1（舍去）或a ＝54，∴DQ ＝53∵△ADQ ∽△ABC ，∴AB AD ＝BC DQ ＝AC AQ ＝x 154+＝x554+ ∴AB ＝4x 55+，BC ＝4x33+∴三角形ABC 的周长y ＝AB ＋BC ＋AC ＝4x 55+＋4x33+＋1＋x ＝3＋3x即y ＝3＋3（x ＞0）【例6】如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋1与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】略【答案】（1）把A （－1，0），B （1，0）代入y ＝ax2＋bx ＋1得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0a ＋b ＋1＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0 ∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋1（2）令x ＝0，得y ＝1，∴C （0，1）∴OA ＝OB ＝OC ＝1，∴∠BAC ＝∠ACO ＝∠BCO ＝∠ABC ＝45° ∵BD ∥CA ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝45°如图1，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则△EDB 为等腰直角三角形设EO ＝x ，则ED ＝x ＋1，∴D （－x ，－x －1） ∵点D 在抛物线y ＝－x2＋1上，∴－x －1＝－(－x)2＋1解得x 1＝2，x 2＝－1（不合题意，舍去）∴ED ＝3（说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可）∴S 四边形ACBD ＝21AB ·OC ＋21AB ·ED＝21×2×1＋21×2×3 ＝4 （说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）（3）存在∵∠ABC ＝∠ABD ＝45°，∴∠DBC ＝90° ∵MN ⊥x 轴，∴∠MNA ＝∠DBC ＝90°BC ＝22OC OB ＋＝2，BD ＝22EB ED ＋＝23设M 点的横坐标为m ，则M （m ，－m2＋1）①当点M 在y 轴左侧时，如图2，则m ＜－1ⅰ)若△NMA ∽△BCD ，则NA MN ＝BDBC即1 12－－－m m ＝232，整理得3m2＋m －2＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝32（舍去）ⅱ)若△NAM ∽△BCD ，则NA MN ＝BCBD即1 12－－－m m ＝223，整理得m2＋3m ＋2＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝－2∴－m2＋1＝－(－2)2＋1＝－3∴M 1（－2，－3）②当点M 在y 轴右侧时，如图2，则m ＞1ⅰ)若△NMA ∽△BCD ，则AN MN ＝BDBC即1 12＋－m m ＝232，整理得3m2－m －4＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝34∴－m2＋1＝－(34)2＋1＝－97∴M 2（34，－97）ⅱ)若NAM ∽△BCD ，则AN MN ＝BCBD即∴1 1 2＋－m m ＝223，整理得m2－3m －4＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝4∴－m2＋1＝－42＋1＝－15图2图1∴M 3（4，－15）∴存在点M ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似，M 点的坐标分别为：M 1（－2，－3），M 2（34，－97），M 3（4，－15）【例7】如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1．（1）若c ＝a 1，求证：a ＝kc ；（2）若c ＝a 1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数，并加以说明；（3）若b ＝a 1，c ＝b 1，是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2？请说明理由．【解析】略【答案】（1）证：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k （k ＞1），∴1a a＝k ，∴a ＝ka 1 又∵c ＝a 1，∴a ＝kc（2）解：取a ＝8，b ＝6，c ＝4，同时取a 1＝4，b 1＝3，c 1＝2此时1a a ＝1b b ＝1c c＝2，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1且c ＝a 1注：本题也是开放型的，只要给出的△ABC 和△A 1B 1C 1符合要求就相应赋分．（3）解：不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1．理由如下：若k ＝2，则a ＝2a 1，b ＝2b 1，c ＝2c 1 又∵b ＝a 1，c ＝b 1，∴a ＝2a 1＝2b ＝4b 1＝4c ∴b ＝2c∴b ＋c ＝2c ＋c ＝3c ＜4c ＝a ，而b ＋c ＞a 故不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2．注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下k ＝2的情况不可能即可．【例8】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）．（1）若点P 以43cm/s 的速度运动①当PQ ∥AB 时，求t 的值；B C A A 1 a A b A c B 1 C 1 a 1 b 1 c 1②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请求出运动时间t ；若不能，请说明理由．【解析】略【答案】（1）①如图1，当PQ ∥AB 时，有AC PC＝CBCQ 即3433t＝4t ，解得：t ＝2∴当t ＝2秒时，PQ ∥AB ②解法1：如图2，当t ＝2秒时，PQ ∥AB ，此时PQ 为 △ACB 的中位线，PQ ＝25取PQ 的中点M ，则以PQ 为直径的圆的圆心为M ，半径为21PQ过点M 、C 向AB 作垂线，垂足分别为N 、H则CH ＝512，MN ＝21CH ＝56∵MN ＜21PQ ，∴直线AB 与以PQ 为直径的圆相交解法2：如图3，当t ＝2秒时，PQ ∥AB ，此时PQ 为 △ACB 的中位线，取PQ 的中点M ，分别过点M 、C 向AB 作垂线，垂足分别为N 、H ，CH 交PQ 于点G ，连接CM∵MN ＝21CH ，即MN ＝GH ＝CG在Rt △CGM 中，GC ＜MC ，∴MN ＜MC ∴直线AB 与以PQ 为直径的圆相交解法3：如图4，当t ＝2秒时，PQ ∥AB ，此时PQ 为△ACB的中位线，过点Q 向AB 作垂线，垂足为N ，则Rt △BNQ ∽Rt △BCA ，∴AB BQ ＝AC NQ ，即52＝3NQ ， ∴NQ ＝56 由平行线间的距离处处相等可知，点M 到AB 的距离为56，小于21PQ∴直线AB 与以PQ 为直径的圆相交（2）解法1：如图5，取PQ 的中点M ，作MN ⊥AB 、PG ⊥AB 、QH ⊥AB ，垂足分别为N 、G 、HBB图4BBA CB备用图则由Rt △APG ∽Rt △ABC ，得PG ＝54t 由Rt △BHQ ∽Rt △BCA ，得HQ ＝53(4－t)此时MN 是梯形PGHQ 的中位线，∴MN ＝56＋10t当PQ 2＝4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3－t)2＋t2＝4(56＋10t)2解得：t 1＝3，t 2＝4927解法2：如图6，取PQ 的中点M ，作MH ⊥AB 、MG ⊥AC 、MN ⊥BC ，垂足分别为H 、G 、N 连接AM 、BM 、CM由S △ABC＝S △ACM＋S △BCM ＋S △ABM 可得： 21×3×2t ＋21×4×21(3－t)＋21×5×MH ＝21×3×4 解得：MH ＝56＋10t当PQ 2＝4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3－t)2＋t2＝4(56＋10t)2解得：t 1＝3，t 2＝4927解法3：如图7，取PQ 的中点M ，作MH ⊥AB 、MN ⊥BC ，垂足分别为H 、N ，延长NM 交AB 于点G ，则MN ＝21PC ＝21(3－t)，NQ ＝21CQ ＝2t ，∴NB ＝4－2t由Rt △BGN ∽Rt △BAC ，得GN ＝3－83t ，∴GM ＝3－83t －21(3－t)＝23＋81t又∵Rt △GMH ∽Rt △ABC ，∴BC MH ＝AB GM ，即4MH ＝58123t解得：MH ＝56＋10t当PQ 2＝4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3－t)2＋t2＝4(56＋10t)2解得：t 1＝3，t 2＝4927【例9】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线BB l ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值；（3）以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后图7A B图5图6F B 1的图形为A ′C ′．①当t ＞53时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；②当线段A ′C ′与射线BB 1有公共点时，求t 的取值范围（写出答案即可）．【解析】略【答案】（1）∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB ＝2243＋＝5∵AD ＝5t ，CE ＝3t ，∴当AD ＝AB 时，5t ＝5 ∴t ＝1∴AE ＝AC ＋CE ＝3＋3t ＝6 ∴DE ＝6－5＝1（2）∵EF ＝BC ＝4，G 是EF 中点，∴GE ＝2当AD ＜AE （即t ＜23）时，DE ＝AE －AD ＝3＋3t －5t ＝3－2t若△DEG 与△ACB 相似，则EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝ACBC∴223t -＝43或223t -＝34∴t ＝43或t ＝61当AD ＞AE （即t ＞23）时，DE ＝AD －AE ＝5t －(3＋3t )＝2t －3若△DEG 与△ACB 相似，则EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝ACBC∴232-t ＝43或232-t ＝34∴t ＝49或t ＝617综上所述，当t ＝43或61或49或617时，△DEG 与△ACB 相似（3）①由轴对称变换得AA ′⊥DH ，CC ′⊥DH ∴AA ′∥CC ′易知OC ≠AH ，故AA ′≠CC ′ ∴四边形ACC ′A ′是梯形∵∠A ＝∠A ，∠AHD ＝∠ACB ＝90°∴△AHD ∽△ACB ，AC AH ＝BC DH ＝ABAD∴AH ＝3t ，DH ＝4t∵sin ∠ADH ＝sin ∠CDO ，∴AD AH ＝CDCO即53＝35-t CO ，∴CO ＝3t －59 ∴AA ′＝2AH ＝6t ，CC ′＝2CO ＝6t －518D B HAEG FCB 1C ′ O A ′D B H AEGF C B 1(A ′)∵OD ＝CD ·cos ∠CDO ＝(5t －3)×54＝4t －512 ∴OH ＝DH －OD ＝512∴S ＝21(AA ′＋CC ′ )·OH ＝21(6t ＋6t －518)×512＝572t －25108 ②65≤t≤3043 略解：当点A ′落在射线BB 1上时（如图甲），AA ′＝AB ＝5∴6t ＝5，∴t ＝65当点C ′落在射线BB 1上时（如图乙），易得CC ′∥AB故四边形ACC ′B 是平行四边形∴6t －518＝5，∴t ＝3043故65≤t≤3043 【例10】如图，设抛物线C 1：y ＝a (x ＋1)2－5，C 2：y ＝－a (x －1)2＋5，C 1与C 2的交点为A ，B ，点A 的坐标是（2，4），点B 的横坐标是－2．（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上，过D 作x 轴的垂线，垂足为点H ，在DH 的右侧作正三角形DHG ．记过C 2顶点M 的直线为l ，且l 与x 轴交于点N ．①若l 过△DHG 的顶点G ，点D 的坐标为（1，2），求点N 的横坐标； ②若l 与△DHG 的边DG 相交，求点N 的横坐标的取值范围．【解析】略【答案】（1）∵点A （2，4）在抛物线C 1上，∴把点A 坐标代入y ＝a (x ＋1)2－5得a ＝1 ∴抛物线C 1的解析式为y ＝x2＋2x －4设B （－2，b ），则b ＝－4 ∴B （－2，－4）（2）①如图1∵M （1，5），D （1，2），且DH ⊥x 轴 ∴点M 在DH 上，MH ＝5 过点G 作GE ⊥DH ，垂足为EB HGFB 1（图乙） C ′O由△DHG 是正三角形得EG ＝3，EH ＝1 ∴ME ＝4设N （x ，0），则NH ＝x － 1由△MEG ∽△MHN ，得MH ME＝HN EG ∴54＝13-x ，∴x ＝345＋1 ∴点N 的横坐标为345＋1②当点D 移到与点A 重合时，如图2直线l 与DG 交于点G ，此时点N 的横坐标最大．过点G ，M 作x 轴的垂线，垂足分别为点Q ，F ，设N （x ，0） ∵ A （2，4），∴G （2＋32，2）∴NQ ＝x －2－32，NF ＝x －1，GQ ＝2，MF ＝5∵△NGQ ∽△NMF ，∴NFNQ＝MF GQ ∴1322---x x ＝52，∴x ＝38310+当点D 移到与点B 重合时，如图3直线l 与DG 交于点D ，即点B ，此时点N 的横坐标最小． ∵B （－2，－4），∴H （－2，0），D （－2，－4），设N （x ，0）∵△BHN ∽△MFN ，∴FN NH ＝MFBH∴x x -+12＝54，∴x ＝－32又∵当点D 与原点O 重合时，△DHG 不存在 ∴点N 横坐标的取值范围为：－32≤x≤38310+且x ≠0．1．如图在正方形ABCD 中12AD =，点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点,C D 重合），AE 的垂直平分线FP 分别交,,AD AE BC 于点,,F H G ，交AB 的延长线于点P ．课后作业BA O xyC 1C 2图2GMHNlF Q(D )B A O xyC 1C 2GMD H N l (D )FPBA（1）设(012)DE m m =＜＜，试用含m 的代数式表示FHHG的值；（2）在（1）的条件下，当12FH HG =时，求BP 的长．【解析】（1）过点H 作AB 的平行线交,AD BC 于点,M N ，根据条件易证：FMH GNH △∽△，再根据线段长度可容易得到24FH mHG m=-；（2）根据三角函数可求得：1BP =MAP【答案】24FH mHG m=-；1BP =．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(0,2)，点D 在x 轴的正半轴上，30ODB ∠=︒，OE 为△BOD 的中线，过B 、E 两点的抛物线2y ax c =++与x 轴相交于A 、F 两点（A 在F 的左侧）. （1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，求AE 及AM 的长；（3）点P 为△ABO 内的一个动点，设m PA PB PO =++，请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时，线段AP 的长.【解析】略【答案】(1）过E 作EG ⊥OD 于G ． ∵ 90,BOD EGD ∠=∠=︒D ∠=D ∠， ∴ △BOD ∽△EGD ．∵ 点(0,2)B ，30ODB ∠=︒，可得 2OB =，23OD =．∵ E 为BD 中点， ∴12EG DE GD BO DB OD ===． ∴ 1EG =，3GD =． ∴ 3OG =．∴ 点E 的坐标为(3,1). ∵ 抛物线23y ax x c =++经过(0,2)B 、(3,1)E 两点， ∴ 231(3)32a =+⨯+. 可得12a =-.∴ 抛物线的解析式为21322y x x =-++.（2）∵ 抛物线与x 轴相交于A 、F ，A 在F 的左侧， ∴ A 点的坐标为(3,0)-. ∴ 23,1AG EG ==,∴ 在△AGE 中，90AGE ∠=︒, ()2223113AE =+= .过点O 作OK ⊥AE 于K ，可得△AOK ∽△AEG ．∴OK EG AO AE=．∴313=．∴39. OK=∴22613AK AO OK=-=. ∵△OMN是等边三角形,∴60NMO∠=︒．∴391313tan3OKKMKMO===∠．∴713AM AK KM=+=,或513AM AK KM=-=．（3）m可以取到的最小值为13．当m取得最小值时，线段AP的长为513。

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相似培优个性化讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
个性化辅导教案提纲
教师：学生：时间：年月日学段：
②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． ①它们的对应边成比例，对应角相等；
②它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；ABC ⇒∆∆ABC ⇒∆
E Q M A
B C N P D 已知：c
b b a
c b b a -+==:.45,32求的值. 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边长BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少
如图5－130，在ΔABC ，中∠C=60°，AD ，BE 是ΔABC 的高，DF 为ΔABD 的中线.求证：DE=DF.(提示：证明ΔCDE ∽ΔCAB ，得到2
1=AB DE .)
1、如图，C 为线段AB 上的一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，若AC ＝3，
BC ＝2，则△MCD 与△BND 的面积比为。

2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB ＝1:9，则S △DOC :S △BOC ＝
3、如图,已知点D 是AB 边的中点,AF ∥BC,CG ∶GA=3∶1,BC=8,则AF ＝
已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ，求证：
EF GF CF ⋅=2。

A B C D M N 第15题
A B C D O 第16题 A
B D F G
C E 第17题
，垂足分别为。