新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案

第十一章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分

1. 选择题：

(1) 对弧长的曲线积分的计算公式

⎰

L

ds y x f ),(=⎰'+'β

α

φϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要

求 （C ） .

（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β

(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰

L

ds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π12

2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰

+L

ds y x )(，其中L 为

I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周2

2

2

R y x =+；

解：I ）

111

()()()()(1)13

222

L

OA

AB

BO

x y ds x y ds x y ds x y ds

xdx y dy +=+++++=+++=

++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

II ）

22

()(cos sin [sin cos ]2L

x y ds R t R t R t t R π

π+=+=-=⎰⎰

(2)⎰

L

yds ，其中L 为x y 22

=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；

解：

2

2

23/21

1

[(1)]3

3

L

yds y ===+=⎰⎰

⎰

*(3) ⎰

Γ

+ds y x )(2

2，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；

)20(π≤≤t

解：1/2

222

222222

20

()(sin cos )2x y ds a a t a t b dt

a a π

ππΓ

+=++==⎰⎰⎰

*(4)

⎰

+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；

解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则

ds θ=。

222224sin 8

L

rd d ππ

π

π

π

π

π

π

θθ

θθθ====-=⎰⎰⎰⎰

第二节 对坐标的曲线积分

1．填空题

(1) 对坐标的曲线积分的计算公式

⎰

+L

dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'β

α

φφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{

中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分

⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是

[(,)cos (,)cos ]L

P x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲

线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.

2．选择题：

(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）

（A ）无关， （B ）有关；

(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰

-

+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，

（B ）

⎰

-

+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(.

3．计算下列对坐标的曲线积分：

(1)⎰

+L

dx y x )(2

2，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(2

2

=+-y x

(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；

解：L

的方程为

22

1(1)y x =--，

:01x →，则

1

1

2222

()[1(1)]21L

x y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰

-L

ydx xdy ，其中L 为2

x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；

解：1

1

2

2

1

1

2

23

L

xdy ydx x xdx x dx x dx ---=

-==-⎰

⎰

⎰

g 。

(3)

⎰+L

xdy y ydx x

32

，其中L 为x y =2与1=x 所围成区域的整个边界

（按逆时针方向绕行）；

解：2

1:,:11L x y y =→-, 2:1,:11L x y =-→, 则

1

2

2323231

1

1

55361

1

1

4

(2)27

L

L L x ydx y xdy x ydx y xdy x ydx y xdy y y y dy y dy y dy ---+=+++=++==-

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

g Ñ

*(4)zxdz xydy dx y ++⎰

Γ

2

，其中Γ为从点)0,0,0(O 到点)111(，，C ，沿着

I ）直线段； II ）有向折线OABC ，这里的O 、A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、

)0,0,1(、)011(，，、)111(，，；

解：I ）Γ的参数方程为x t

y t z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

，01t ≤≤，则

原式=

1

2220

()1t t t dt ++=⎰

II ）OA: 0x t y z =⎧⎨==⎩, 01t ≤≤; AB: 1

x y t z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩,01t ≤≤;

BC: 11x y z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

.01t ≤≤.

原式=

11

20

01OA

AB

BC

y dx xydy zxdz tdt tdt +

+

++=++=⎰

⎰

⎰⎰⎰