实验校八下数学第十六讲
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边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点．（１）请探究四边形 ＥＦＧＨ的形状；（２）直接写出当题目还满足什么条件 时，四边形 ＥＦＧＨ为正方形？
１１．已知，如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是边 ＡＢ上一点，将线段 ＥＣ绕点 Ｅ逆时针旋转 ９０°到 ＥＦ的位 置，连接 ＡＦ，ＣＦ，ＢＤ，且 ＣＦ与 ＢＤ交于点 Ｇ．请探究 ＡＦ，ＤＧ，ＢＣ的数量关系．
１６．如图，边长为 ４的正方形 ＡＢＣＤ的对角线交于点 Ｏ，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＢＣ上（ＡＥ＜ＢＥ），且∠ＥＯＦ ＝９０°，ＯＥ，ＤＡ的延长线交于点 Ｍ，ＯＦ，ＡＢ的延长线交于点 Ｎ，连接 ＭＮ，Ｅ为 ＯＭ 的中点．求 ＭＮ 的长．
１７．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｅ为 ＡＤ上一点，ＢＦ平分∠ＣＢＥ． （１）若 Ｅ为 ＡＤ的中点，求 ＣＦ的长； （２）请直接写出 ＡＥ，ＣＦ和 ＢＥ之间的数量关系．
∠ＨＯＥ＝１３５°，ＧＨ＝４槡５，ＤＣ＝８，求 ＥＦ的长．
变式三：在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＢＣ，ＣＤ上，∠ＥＡＦ＝４５°． （１）当点 Ｆ是 ＣＤ中点时，求证：ＣＥ＝２ＢＥ； （２）当 ＣＥ＝２ＢＥ时，求证：ＤＦ＝ＣＦ．
变式四：如图，在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（０，１２），四边形 ＯＡＢＣ为正方形，Ｄ为 ｘ轴上一 点，且 ＯＤ＝８，Ｑ为 ｙ轴正半轴上一点，且∠ＤＢＱ＝４５°，求点 Ｑ的坐标．
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八下数学实验校满分能力提升 主 编 徐采钰 徐 鸣 变式五：在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，Ｅ，Ｆ分别为边 ＣＤ，ＢＣ边上的点，且∠ＢＡＤ＝２∠ＥＡＦ，试探究当
∠Ｂ与∠Ｄ满足什么关系时，ＤＥ＋ＢＦ＝ＥＦ？
１５．已知，如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＡＤ的中点，Ｆ为 ＡＤ上一点，连接 ＢＥ，ＢＦ，且 ＢＥ＝２槡５，∠ＦＢＣ ＝２∠ＡＢＥ．求 ＤＦ的长．
７．如图，菱形 ＡＢＣＤ的面积为 ２０，点 Ｅ，Ｆ在对角Βιβλιοθήκη Baidu ＢＤ上，正方形 ＡＥＣＦ的面积为 １０，则菱形的边长是 ．
第 ７题图
第 ８题图
第 ９题图
８．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＢＤ＝２０槡２，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，对角线 ＢＤ上，ＡＥ＝３，ＤＦ＝８槡２，点 Ｇ在边 ＢＣ上，ＦＧ＝ＦＥ，则 ＢＧ长为 ．
八下数学实验校满分能力提升 主 编 徐采钰 徐 鸣
第十六讲 正方形（一）
知识点：１．正方形的四条边都相等，两组对边分别平行；２．正方形四个角都相等，都为 ９０°；３．正方 形对角线互相平分且相等，每一条对角线平分一组对角；４．正方形是轴对称图形，有四条对称轴． １．正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ为边 ＢＣ的上一动点，点 Ｆ是边 ＣＤ上一动点，ＡＦ⊥ＤＥ于点 Ｇ．若点 Ｅ是 ＢＣ
５．将 ｎ个边长都为 １ｃｍ的正方形按如图所示的方法摆放，点 Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ分别是正方形的中心，则 ｎ 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ．
第 ４题图
第 ５题图
第 ６题图
６．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｇ是边 ＢＣ上的一点，且 ＢＧ＝３，连 ＡＧ，过 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＧ于点 Ｅ， ＢＦ／／ＤＥ交 ＡＧ于点 Ｆ，则 ＥＦ的长为 ．
（１）如图 １，求证：ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ（或△ＣＥＦ的周长是正方形 ＡＢＣＤ周长的一半）； （２）如图 ２，连接 ＢＤ，分别交 ＡＥ于点 Ｇ，交 ＡＦ于点 Ｈ，求证：ＢＧ２＋ＤＨ２＝ＧＨ２； （３）如图 ３，直线 ＥＦ与 ＡＢ，ＡＤ的延长线分别交于点 Ｍ，Ｎ，若∠ＣＥＦ＝４５°，求证：ＥＦ２＝ＭＥ２＋ＮＦ２； （４）如图 ４，将（３）中的正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段 ＥＦ， ＢＥ，ＤＦ之间的数量关系．
的中点，则 ＤＦ＝ ＣＤ；若 ＢＣ＝ｎＢＥ，则 ＤＦ＝ ＣＤ．
第 １题图
第 ２题图
第 ３题图
２．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ的平分线交于点 Ｄ，过 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＣ 于 Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于 Ｆ，则四边形 ＤＥＣＦ的面积为 ．
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１２．已知，如图，点 Ｐ，Ｑ为正方形 ＡＢＣＤ内两点，ＡＢ＝ＢＱ，且∠ＡＢＱ＝３０°，ＢＰ平分∠ＱＢＣ，ＢＰ＝ＤＰ，若 ＢＣ＝槡３＋１，求线段 ＰＱ的长．
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八下数学实验校满分能力提升 主 编 徐采钰 徐 鸣 １３．在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ，ＣＤ上，且∠ＥＡＦ ＝４５°．
— ４５—
八下数学实验校满分能力提升 欢迎加入实验校初中数学满分群 １３９２３４３２２ ９．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，延长 ＡＢ至点 Ｅ，使得 ＢＥ＝１，ＥＦ⊥ＡＥ，ＥＦ＝ＡＥ．分别连接 ＡＦ，ＣＦ，
Ｍ为 ＣＦ的中点，则 ＡＭ的长为 ． １０．如图，点 Ｐ是四边形 ＡＢＣＤ内一点，且满足 ＰＡ＝ＰＢ，ＰＣ＝ＰＤ，∠ＡＰＢ＝∠ＣＰＤ，点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为
变式一：如图，点 Ｅ，Ｇ分别是正方形 ＡＢＣＤ的边 ＣＤ，ＢＣ上的点，连接 ＡＥ，ＡＧ分别交对角线 ＢＤ于点 Ｐ，Ｑ．若∠ＥＡＧ＝４５°，ＢＱ＝４，ＰＤ＝３，求正方形 ＡＢＣＤ的边长．
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八下数学实验校满分能力提升 欢迎加入实验校初中数学满分群 １３９２３４３２２ 变式二：如图，已知点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别在正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，ＥＦ和 ＧＨ交于点 Ｏ，
３．如图，在边长为 ６的正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｆ为 ＣＤ上一点，Ｅ是 ＡＤ的中点，ＤＦ＝２，点 Ｇ在 ＢＣ上，且 ＥＧ⊥ＡＦ，则 ＢＧ的长是 ．
４．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＞ＢＣ，分别以 ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ为一边向△ＡＢＣ外作正方形 ＡＢＤＥ， ＢＣＭＮ，ＣＡＦＧ，连接 ＥＦ，ＧＭ，ＮＤ，设△ＡＥＦ，△ＣＧＭ，△ＢＮＤ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，则 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的大 小关系是 ．
１１．已知，如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是边 ＡＢ上一点，将线段 ＥＣ绕点 Ｅ逆时针旋转 ９０°到 ＥＦ的位 置，连接 ＡＦ，ＣＦ，ＢＤ，且 ＣＦ与 ＢＤ交于点 Ｇ．请探究 ＡＦ，ＤＧ，ＢＣ的数量关系．
１６．如图，边长为 ４的正方形 ＡＢＣＤ的对角线交于点 Ｏ，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＢＣ上（ＡＥ＜ＢＥ），且∠ＥＯＦ ＝９０°，ＯＥ，ＤＡ的延长线交于点 Ｍ，ＯＦ，ＡＢ的延长线交于点 Ｎ，连接 ＭＮ，Ｅ为 ＯＭ 的中点．求 ＭＮ 的长．
１７．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｅ为 ＡＤ上一点，ＢＦ平分∠ＣＢＥ． （１）若 Ｅ为 ＡＤ的中点，求 ＣＦ的长； （２）请直接写出 ＡＥ，ＣＦ和 ＢＥ之间的数量关系．
∠ＨＯＥ＝１３５°，ＧＨ＝４槡５，ＤＣ＝８，求 ＥＦ的长．
变式三：在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＢＣ，ＣＤ上，∠ＥＡＦ＝４５°． （１）当点 Ｆ是 ＣＤ中点时，求证：ＣＥ＝２ＢＥ； （２）当 ＣＥ＝２ＢＥ时，求证：ＤＦ＝ＣＦ．
变式四：如图，在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（０，１２），四边形 ＯＡＢＣ为正方形，Ｄ为 ｘ轴上一 点，且 ＯＤ＝８，Ｑ为 ｙ轴正半轴上一点，且∠ＤＢＱ＝４５°，求点 Ｑ的坐标．
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八下数学实验校满分能力提升 主 编 徐采钰 徐 鸣 变式五：在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，Ｅ，Ｆ分别为边 ＣＤ，ＢＣ边上的点，且∠ＢＡＤ＝２∠ＥＡＦ，试探究当
∠Ｂ与∠Ｄ满足什么关系时，ＤＥ＋ＢＦ＝ＥＦ？
１５．已知，如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＡＤ的中点，Ｆ为 ＡＤ上一点，连接 ＢＥ，ＢＦ，且 ＢＥ＝２槡５，∠ＦＢＣ ＝２∠ＡＢＥ．求 ＤＦ的长．
７．如图，菱形 ＡＢＣＤ的面积为 ２０，点 Ｅ，Ｆ在对角Βιβλιοθήκη Baidu ＢＤ上，正方形 ＡＥＣＦ的面积为 １０，则菱形的边长是 ．
第 ７题图
第 ８题图
第 ９题图
８．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＢＤ＝２０槡２，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，对角线 ＢＤ上，ＡＥ＝３，ＤＦ＝８槡２，点 Ｇ在边 ＢＣ上，ＦＧ＝ＦＥ，则 ＢＧ长为 ．
八下数学实验校满分能力提升 主 编 徐采钰 徐 鸣
第十六讲 正方形（一）
知识点：１．正方形的四条边都相等，两组对边分别平行；２．正方形四个角都相等，都为 ９０°；３．正方 形对角线互相平分且相等，每一条对角线平分一组对角；４．正方形是轴对称图形，有四条对称轴． １．正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ为边 ＢＣ的上一动点，点 Ｆ是边 ＣＤ上一动点，ＡＦ⊥ＤＥ于点 Ｇ．若点 Ｅ是 ＢＣ
５．将 ｎ个边长都为 １ｃｍ的正方形按如图所示的方法摆放，点 Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ分别是正方形的中心，则 ｎ 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ．
第 ４题图
第 ５题图
第 ６题图
６．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｇ是边 ＢＣ上的一点，且 ＢＧ＝３，连 ＡＧ，过 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＧ于点 Ｅ， ＢＦ／／ＤＥ交 ＡＧ于点 Ｆ，则 ＥＦ的长为 ．
（１）如图 １，求证：ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ（或△ＣＥＦ的周长是正方形 ＡＢＣＤ周长的一半）； （２）如图 ２，连接 ＢＤ，分别交 ＡＥ于点 Ｇ，交 ＡＦ于点 Ｈ，求证：ＢＧ２＋ＤＨ２＝ＧＨ２； （３）如图 ３，直线 ＥＦ与 ＡＢ，ＡＤ的延长线分别交于点 Ｍ，Ｎ，若∠ＣＥＦ＝４５°，求证：ＥＦ２＝ＭＥ２＋ＮＦ２； （４）如图 ４，将（３）中的正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段 ＥＦ， ＢＥ，ＤＦ之间的数量关系．
的中点，则 ＤＦ＝ ＣＤ；若 ＢＣ＝ｎＢＥ，则 ＤＦ＝ ＣＤ．
第 １题图
第 ２题图
第 ３题图
２．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ的平分线交于点 Ｄ，过 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＣ 于 Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于 Ｆ，则四边形 ＤＥＣＦ的面积为 ．
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１２．已知，如图，点 Ｐ，Ｑ为正方形 ＡＢＣＤ内两点，ＡＢ＝ＢＱ，且∠ＡＢＱ＝３０°，ＢＰ平分∠ＱＢＣ，ＢＰ＝ＤＰ，若 ＢＣ＝槡３＋１，求线段 ＰＱ的长．
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八下数学实验校满分能力提升 主 编 徐采钰 徐 鸣 １３．在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ，ＣＤ上，且∠ＥＡＦ ＝４５°．
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八下数学实验校满分能力提升 欢迎加入实验校初中数学满分群 １３９２３４３２２ ９．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，延长 ＡＢ至点 Ｅ，使得 ＢＥ＝１，ＥＦ⊥ＡＥ，ＥＦ＝ＡＥ．分别连接 ＡＦ，ＣＦ，
Ｍ为 ＣＦ的中点，则 ＡＭ的长为 ． １０．如图，点 Ｐ是四边形 ＡＢＣＤ内一点，且满足 ＰＡ＝ＰＢ，ＰＣ＝ＰＤ，∠ＡＰＢ＝∠ＣＰＤ，点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为
变式一：如图，点 Ｅ，Ｇ分别是正方形 ＡＢＣＤ的边 ＣＤ，ＢＣ上的点，连接 ＡＥ，ＡＧ分别交对角线 ＢＤ于点 Ｐ，Ｑ．若∠ＥＡＧ＝４５°，ＢＱ＝４，ＰＤ＝３，求正方形 ＡＢＣＤ的边长．
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八下数学实验校满分能力提升 欢迎加入实验校初中数学满分群 １３９２３４３２２ 变式二：如图，已知点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别在正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，ＥＦ和 ＧＨ交于点 Ｏ，
３．如图，在边长为 ６的正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｆ为 ＣＤ上一点，Ｅ是 ＡＤ的中点，ＤＦ＝２，点 Ｇ在 ＢＣ上，且 ＥＧ⊥ＡＦ，则 ＢＧ的长是 ．
４．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＞ＢＣ，分别以 ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ为一边向△ＡＢＣ外作正方形 ＡＢＤＥ， ＢＣＭＮ，ＣＡＦＧ，连接 ＥＦ，ＧＭ，ＮＤ，设△ＡＥＦ，△ＣＧＭ，△ＢＮＤ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，则 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的大 小关系是 ．