无界函数的反常积分.
反常积分判敛法
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
2012高数 反常积分
微积分部分
第六章
定积分
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例4. 证明反常积分 时发散 . 证: 当 q = 1 时, 当 q≠1 时
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
=[ ln x −a ]
1q −
b a+
= +∞
(x −a) = 1−q
(b−a)1−q , q <1 b 1−q a+= +∞, q >1
(6) 若在 [a, + ∞) 上 f ( x) ≤ g ( x) , 则
∫
+∞ a
f ( x) d x ≤ ∫
+∞ a
g ( x) d x .
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微积分部分
第六章
定积分
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例4 解
计算
∫
+∞
1
ln x d x. 2 x
ln x
运用分部积分法
+∞
1 x
1 x2 1 − x
ln x ln x + ∞ + ∞ 1 ∫1 x 2 d x = − x 1 + ∫1 x 2 d x +∞ d x =∫ 罗 ln x 1 1 x2 lim = lim = 0 x → +∞ x x → +∞ x 1 +∞ =− 1 x
注意: 注意 若瑕点 c∈(a,b), 则
f (x)dx = F(b) −F(c+) + F(c−) −F(a)
可相消吗? 可相消吗
第六章 定积分
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微积分部分
例1 解
计算
∫
1 0
dx . 2 1− x 1 = +∞ , 所以 , 2 1− x 1 的瑕点 . 2 1− x
反常积分
同理
b f xdx lim
b
f (x)dx
a
0 a
b f xdx lim
c
f (x)dx lim
b
f (x)dx
a
0 a
0 c
小结
广义积分的定义及计算
注意 与定积分的区别与联系；
有时题目可能含两类广义积分，要会处理
f (x)dx F(x) F() F()
二、无界函数的反常积分
引例2 如图所示曲线y 1 和直线 x 1及 y 轴所
x
围成的开口曲边梯形的面积记为:
A 1 1 dx
0x
y
可将其理解为
y 1 x
11
A lim
dx
x 0
围成的开口曲边梯形的面积记为:
A 1 dx
1 x2
可将其理解为
A lim
b1 dx
x b 1 2
y 1
y x2
01
b x
定义 设 f (x)在[a,)上连续，取 b a，如果
极限 lim b f (x)dx 存在，则称此极限值为函数 f (x) b a
函数 f (x)在(,)上反常积分定义为：
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
例1 解
计算 ex dx 0
ex dx lim b exdx lim (ex ) b
0
b 0
b
0
lim (1 eb ) 1 0 1 b
在[a,
反常积分
∫a
+∞
+ f (x)dx=[F(x)]a∞ = lim F(x)−F(a) . x→+∞
+∞
例3 计算反常积分 ∫ 解
1
dx . 2 x( x + 1)
∫
+∞
1
2 2 +∞ x + 1 − x dx =∫ dx 2 2 1 x( x + 1) x( x + 1)
=∫
18
1
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结束
铃
三、Γ−函数
• Γ−函数
Γ(s) = ∫ e−x xs−1dx (s > 0)
0
+∞
(1) Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
+∞
(2) Γ( s ) = 2∫ e u 2 s −1du.
−u2 0
+∞
1 dx (a>0)的敛散 性. p x +∞ 1 +∞ 1 解 当 p=1 时 ∫ , a p dx=∫a dx =[ln x] +∞ =+∞ . a x x +∞ 1 当 p<1 时, ∫ dx=[ 1 x1− p] +∞ =+∞ . a a xp 1− p +∞ 1 1 x1− p] +∞ = a1− p . 当 p>1 时, ∫ dx=[ a p a x 1− p p−1 a1− p ; 因此, 当 p>1 时, 此 反常积 分收 , 其 敛 值为 p−1 当p≤1时, 此反常积分发散.
含参量无界函数的反常积分_OK
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在
J上一致收敛于I(x), 或简
单地说含参量积分(1)在
J 上一致收敛.
2021/8/27
3
注1 由定义,
I( x) f ( x, y)dy在 J上一致收敛的 c
充要条件是
(A) sup xJ
证 由于反常积分
sin xdx 收敛(当然, 对于参量y,
0x
它在 [0, d ] 上一致收敛), 函数
g( x, y) e xy 对每一
个 x [0, d ] 单调, 且对任何
0 y d , x 0 都有
g( x, y) e xy 1 .
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25
故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在 上一致收敛.
n1
n1
An1 f ( x, y)dy .
An
由(9)式知存在正数
0 , 对任何正整数N, 只要
就有某个 x0 J , 使得
n N,
u2n( xn )
A2 n1 A2 n
f ( xn,
y)dy
0
.
这与级数(7)在
J 上一致收敛的假设矛盾. 故含参量
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17
反常积分在
J 上一致收敛.
[0 ,d]
例5 证明: 若
f ( x, y)在[a, b][c, )上连续, 又
c f ( x, y)dy
在 [a, b)上收敛, 但在 处x发散, b则
c f ( x, y)dy
在 [a, b)上不一致收敛.
2021/8/27
第四节 反常积分
f ( x )dx 都收敛，则称
+∞
上述两反常积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的反常积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim f ( x )dx + lim ∫0 ∫ a a → −∞ b→ +∞
高等数学
17/17
1 1 1 Q e ⋅ x = 1− s ⋅ x < 1− s , x e x 而 1 − s < 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛 .
−x s −1 s +1 x ( 2) Q lim x 2 ⋅ ( e − x x s −1 ) = lim x = 0, x → +∞ x → +∞ e
+∞
f ( x )dx .
b b→ +∞
∫a
+∞
f ( x )dx = lim ∫a f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
高等数学
3/17
类似地，设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ , b] 上连续，取
a < b ，如果极限 lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极 ∫ a a → −∞
b
限 为函数 f ( x ) 在 无穷区间 ( −∞ , b] 上 的反 常积 分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx
b
= lim
f ( x )dx ∫ a a → −∞
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
4.7反常积分
a
f ( x )dx F ( x ) a lim F ( x ) F (a )
x
类似的
b
f ( x )dx F ( x ) F (b) lim F ( x )
x x x
b
f ( x )dx F ( x ) lim F ( x ) lim F ( x )
例3 计算反常积分 解
2
1 1 sin dx . 2 x x
2
1 1 1 1 sin dx 2 2 sin x d x x x
lim
b
b
2
1 1 cos 1 sin d lim x x b x 2
b
设函数f(x)在区间 , 上连续，c为
常数，若反常积分 f ( x )dx、
c
c
f ( x )dx 同时
收敛，则称上述两反常积分之和为函数f(x)在 无穷区间 , 上的反常积分，记作
f ( x )dx, 即
f ( x )dx
1 例 5 证明反常积分 0 q dx 当 q 1时收敛， x 当 q 1时发散.
1
11 1 1 证 (1) q 1, 0 q dx 0 dx ln x 0 , x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 ,q1 0 x 1 q 0 1 q 因此当 q 1时反常积分收敛，其值为 1 ；当 q 1时反常积分发散. 1 q 1
无界函数的反常积分
无界函数的反常积分无界函数是指在某一点的邻域内，函数的值没有上下界限的函数。
它在数学领域中具有重要的应用和研究价值。
而反常积分则是无界函数的一个重要概念，它对于解决一些特殊问题以及在物理学、工程学等领域中的应用都具有重要意义。
反常积分是指对于某些无界函数，在某一区间内进行积分运算时，所得到的结果可能是无穷大或者不存在的情况。
这种情况常常出现在函数在积分区间某些点上的奇异性或者发散性导致的。
因此，对于这类函数的积分计算，需要采用一些特殊的方法和技巧来处理。
我们需要了解反常积分的分类。
反常积分可以分为第一类和第二类反常积分。
第一类反常积分是指当积分区间的一个端点是无穷大时，或者函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
而第二类反常积分则是指当积分区间为有限区间时，函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
对于第一类反常积分，常用的处理方法是通过取极限的方式进行计算。
例如，对于无界函数f(x)在区间[a,b]上的积分∫[a,b]f(x)dx，如果在x=a处存在极限lim(x→a)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→a)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→a)∫[x,b]f(t)dt。
同样的，如果在x=b处存在极限lim(x→b)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→b)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→b)∫[x,b]f(t)dt。
通过这种方式，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
对于第二类反常积分，常用的处理方法是通过分部积分、换元积分等技巧进行计算。
通过这些技巧，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
同时，对于某些特殊的无界函数，还可以利用级数展开的方法进行计算。
除了以上的处理方法，还有一些特殊的无界函数的反常积分计算方法。
四、含参量无界函数的反常积分解读
c), 函数项级数
n1
An1 An
f (x
,
y ) dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有
I( x) c f ( x, y)dy
(1)
都收敛，则 I( x) 是 J 上的函数.
称(1)为定义在 J上的含参量 x 的无穷限反常积分,
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
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注1 由定义, I( x)
f ( x, y)dy在 J上一致收敛的
4-4反常积分
f (x) R[a,b],
如果极限
lim
a
b f (x)dx 存在，则称
a
此极限为函数 f(x) 在(- b]上的反常积分，记作
b
f (x)dx . 即
b
f (x)dx lim
b
f (x)dx
a a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在
时，称反常积分发散.
任意c,如果反常积分
p 1
p1时反常积分发散.
练习1 计算
若F(x)是f(x)的一个原函数，且 lim F(x) 存在，并 x
分别记 lim F(x) F(), lim F(x) F(). 这样
x
x
a
f
( x)dx
[F (x)]a
F ()
F (a)
b
f
( x)dx
[F (x)]b
F (b)
F ()
f
1 xq
因此x=0是被积函数的
瑕点.
q=1
时，
1 0
1 xq
dx
1 0
1 x
dx
ln
x
1 0
q1
时，
1 0
1 xq
dx
1 1 q
x1q
1 0
1 1 q
,
,
q 1 q 1
因此，当0<q<1时收敛； q 1时发散.
例4
证明积分
2 1
dx x(ln x)a
,
当0<a<1时收敛；
a1时发散.
证 x=1是被积函数的瑕点.
c
a
f
( x)dx
和
b
f (x)dx
关于无穷限反常积分与无界函数反常积分的研究
10101.ln 1ln A B A 00A B 00B A xdx B dx xx x x x ======⎰⎰关于无穷限反常积分和无界反常积分的研究判断无界反常积分(暇积分)和定积分请分别判断，是定积分还是反常积分因为中处被积函数无界，所以是它的暇点，所以是反常积分。
因为中处被积函数有界为0，所以不是它的暇点，所以是定积分。
2.无穷限反常积分与无界反常积分的审敛法比较a.无穷限反常积分(书上的结论全部是在当f(x)>00()()()()()()()a a p f x g x a x g x f x M M f x f x x x+∞+∞≤≤≤≤+∞≤≤⎰⎰的情况下给出的，至于f(x)<0时会怎么样呢？)反常积分的审敛首先要清楚的一点是，被积函数收敛性与反常积分收敛性的关系。
收敛函数的反常积分也收敛，发散函数的反常积分也发散。
比较审敛原理：时，若收敛，则比较审敛法和极限审敛法，这两个其实是一回事，都是将被积函数和p 级数进行比较。
时收敛 ()().1()()p q bq a x f x xf x b x a dx x a +≤-∞-⎰时发散存在时收敛 存在时发散无界函数反常积分(暇积分)能不能也将被积分函数和p 级数比较呢？是不是也有q 1时发散，p>1时收敛呢的结论呢？ 答案是否定的！！！因为无穷限反常积分和幂级数里面都是x->,所以审敛法与级数审敛法很接近，很好理解，而无界函数在暇点处则不是趋近于无穷而是0。
所以审敛法有些不一样。
现在考虑这个暇积分()11()0()()11q p b q b q a a x a p x x a dx x a x a q +--∞-->⎡⎤-⎢⎥--⎣⎦≥⎰被积函数为，暂且把它叫作q 级数，它和级数有些相似，但p 级数中x->而q 积数中。
正是因为这个区别导致=的敛散性与p 级数有着相反的结论: 当q<1时积分收敛，当q 时积分发散。
10.2无界函数的反常积分
(
0
1
3
)
0
1
dx ( x 1)
2 3
lim 0
0
1
dx ( x 1)
2 3
3
3 3 2,
1
3
dx ( x 1)
3
2 3
lim 1
0
3
dx ( x 1)
3
2 3
0
dx ( x 1)
2 3
3(1
2 ).
10.2 无界函数的反常积分
一、无界函数的反常积分 二、无界函数敛散性判别法 三、反常积分的主值
一、无界函数的广义积分
定义: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的 右邻域内无界, 取 > 0.如果极限
0 a
b
lim
b
f ( x)dx
存在,
则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的广义积分.
.
故原广义积分发散.
例5. 讨论瑕积分
解:
1 0
1 dx ( p > 0)的收敛性 . p x被积函数 f在(0,1] 连续,x = 0 是瑕点.由于.
1 1 p 1 1 1 p (1 u ), p 1, (0 u 1), 0 x p dx ln u, p 1
例4 解
计算广义积分
2
1
2
dx 2 dx lim 1 0 x ln x x ln x
2
1
dx . x ln x
lim 1
0
lim ln(ln x )
0
0
无界函数的反常积分
无界函数的反常积分
无界函数是指在某个区间上，它的积分没有定义或者为无穷大的
函数。
而反常积分是对无界函数在某个区间上的积分求解。
对于无界函数的反常积分，我们需要进行一定的处理才能求解。
一种常见的方法是通过限制区间的上下限，形成有界区间，并在该区
间上求解函数的积分。
然后再取极限，得到无界函数的反常积分结果。
例如，考虑函数 f(x) 在区间[a, +∞) 上的积分。
我们可以选
择取一个有界的区间 [a, R]，其中 R 是一个趋近于无穷的实数。
然
后求解 f(x) 在该区间上的定积分，即∫[a, R] f(x) dx。
接着，在
计算结果中取极限当 R 趋近于无穷时，即可以得到函数 f(x) 在区间[a, +∞) 上的反常积分。
在计算无界函数的反常积分时，我们还需要考虑函数在无穷远处
的行为。
常见的情况有：
1. 如果函数在无穷远处趋于有界值，那么我们可以在计算时忽
略无穷远处的影响，仅考虑积分限的变化。
2. 如果函数在无穷远处趋于无穷大，那么我们需要对函数进行
适当的变换或分解，以便在有限的区间上求解。
综上所述，无界函数的反常积分是对无界函数在某个区间上的积
分进行求解，需要限定区间并处理无穷远处的行为。
这种求解方法可
以帮助我们处理无界函数在特定区间上的积分问题。
高等数学B教学课件：反常积分
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
b
a
(
dx xa)q
当q1时
收敛；当q1时
发散。
3
例 9．计算广义积分： 2 1
2
dx . x x2
解：∵ lim
x1
∵
1
1
2
1 ， ∴ x1 是瑕点。
x x2
dx lim 11
x x2 10 1
2
d(x1) 2
(1)2 (x 1)2
2
2
lim arcsin(2x1)
10
11
1 2
, 2
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
4
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
1
1 1
x
lim arcsinx 1 lim [arcsin(1)0] arcsin1 .
0
0 0
2
它的几何解释是：由曲线 y 1 ，x 轴, y 轴及
无界函数反常积分计算方法
无界函数反常积分计算方法
“无界函数反常积分计算方法”是数学上的一个重要概念，是反常积分的一种。
反常积分是数学中经常出现的概念，它与定积分的区别在于定积分是对一个有限区间内的函数进行积分，而反常积分则是对一个无界函数的积分。
特别是在物理学、工程学等学科中，反常积分的应用非常广泛，需要我们掌握反常积分的计算方法。
那么，无界函数反常积分怎样计算呢？其主要的计算分为两个步骤，下面我们分别来详细讲解。
一、分离极限值
无界函数反常积分中，存在着无穷大的量，因此我们需要将无穷大转化为极限的形式。
具体的做法是，将积分区间中无穷远处的点作为无穷大的代表点，然后将积分区间从正负无穷分别向无穷大的代表点缩小。
这样，我们就得到了一个有限的区间，可以对其进行反常积分的计算。
二、研究极限值是否存在
在分离极限值之后，我们需要对极限值进行进一步的研究，是否存在。
如果存在，则我们可以将积分进行化简；如果不存在，则我们需要通过极限的定义来进行计算。
具体地，对于存在极限值的情况，我们需要使用积分的标准公式来进行化简。
而对于不存在极限值的情况，则需要使用极限的定义来进行计算。
需要注意的是，在计算不存在极限值的情况时，往往需要使用微积分中的一些工具和技巧。
总之，无界函数反常积分的计算方法非常重要，我们需要掌握其基本的计算步骤。
在具体的应用中，我们还需要根据不同的问题来选择不同的计算方法，才能得到准确的答案。
因此，我们需要在平时的学习中多加练习，提高自己的计算水平。
无界函数反常积分计算方法
无界函数反常积分计算方法
无界函数反常积分是数学中的一个重要概念，它是指在某些情况下，被积函数在积分区间上存在无界的情况，从而导致积分无法收敛的情况。
在这种情况下，我们需要采用一些特殊的方法来计算这种反常积分。
我们需要了解什么是无界函数。
无界函数是指在某些情况下，函数在定义域内存在无限大的值，例如f(x)=1/x，当x趋近于0时，f(x)的值趋近于无限大。
这种情况下，我们需要采用一些特殊的方法来计算反常积分。
对于无界函数反常积分的计算方法，我们可以采用以下两种方法： 1.极限比较法
极限比较法是一种常用的计算无界函数反常积分的方法。
它的基本思想是将被积函数与一个已知的函数进行比较，从而确定积分的收敛性。
具体来说，我们可以将被积函数f(x)与一个已知的函数g(x)进行比较，如果存在一个正常数M和一个正常数a，使得在x>a时，有|f(x)|≤M|g(x)|，那么当g(x)的反常积分收敛时，f(x)的反常积分也收敛，反之亦然。
2.分部积分法
分部积分法是另一种常用的计算无界函数反常积分的方法。
它的基
本思想是将被积函数分解成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式将积分转化为另一个积分的形式。
具体来说，我们可以将被积函数f(x)分解成u(x)v'(x)的形式，然后利用分部积分公式将积分转化为v(x)u'(x)的形式。
这样，我们就可以将原来的积分转化为一个更容易计算的积分。
无界函数反常积分的计算方法是数学中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用。
通过采用极限比较法和分部积分法等方法，我们可以有效地计算无界函数反常积分，从而为实际问题的解决提供了有力的数学工具。
二无界函数反常积分-PPT课件
b
则定义 若 f ( x ) C ( , ) ,
)d x f (x)d x lim f (x f (x)dx alim b c a
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称
c
b
f (x) dx 发散 .
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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例2. 证明第一类 p 积分a 时发散 .
dx 当 p >1 时收敛 ; p≤1 p x
证:当 p =1 时有 dx a x lnx a 当 p ≠ 1 时有 , 1 p dx x 1 p a x p a 1 p a , p 1
a b
这时称反常积分 就称反常积分
a
a
f (x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,
f (x) dx ] ,则定义 类似地 , 若 f
f ( x ) d x lim f ( x ) d x a a
b
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dx . 例1. 计算反常积分 2 1 x y dx 1 y 解: [arctan x ] 1x2 1 x 2 ( ) o x 2 2 x d x 0对吗 ? 思考: 2 1 x x d x 1 2 ln( 1 x ) 分析: 原积分发散 ! 2 1 x 2
1 lim1 1 b b
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( x ) C [ a , ) , 取 b a ,若 定义1. 设 f
无界函数的反常积分
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
例6. 证明反常积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
y 1 x
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0x1A NhomakorabeaO
x
lim 2(1 ) 2
0
定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
(x a)1q 1 q
b
a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
例7.
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则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
若 a 为瑕点, 则
a a
b
f ( x) dx F (b ) F (a) f ( x) dx F (b) F (a )
b
若 a , b 都为瑕点, 则
a a
b
b
f ( x) dx F (b ) F (a )
y
1 y x
其含义可理解为
A lim
0
1
dx 1 lim 2 x x 0
A
0
lim 2(1 ) 2
0
x
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定义2. 设 f ( x) C (a , b] , 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限 存在 , 则称此极限为函
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
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引入记号
F () lim F ( x) ;
x
F () lim F ( x)
1 0
a f ( x) dx c f ( x) dx c b a f ( x) dx lim 0 c
1 2
c
b
f ( x ) dx
2
无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 为瑕点(奇点) . 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 例如,
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例3. 计算反常积分
t pt 解: 原式 e p
1 pt 2e p 1 2 p
1 p t e dt p 0
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二、无界函数的反常积分
引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的
开口曲边梯形的面积可记作
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C [a , b) , 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
lim
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例1. 计算反常积分
解:
[ arctan x ]
y
y
( ) 2 2
1 1 x 2
o
x
思考: 分析: 原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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例2. 证明第一类 p 积分 时发散 .
当 p >1 时收敛 ; p≤1
证:当 p =1 时有
ln x
当 p ≠ 1 时有
a
x 1 p a
1 p
,
a 1 p , p 1
p 1 p 1
a 1 p ; 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 p 1 当 p≤1 时, 反常积分发散 .
注意: 若瑕点 c (a , b) , 则
f ( x) dx F (b) F (c ) F (c ) F (a)
可相消吗?
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例4. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 a x arcsin 1 原式 arcsin a 0 2 例5. 讨论反常积分 的收敛性 .
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a
f ( x ) dx F ( x)
F () F (a) F (b) F () F () F ()
f ( x) dx F ( x) f ( x) dx F ( x)
b
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(b a)1q ; 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 1 q 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
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若 f ( x) C ( , ) , 则定义
f ( x) dx lim f ( x) dx a a b c lim
0
0 dx 1 dx 1 1 1 下述解法是否正确 : 2 2 解: 1 x 0x x 1 x 0 1 1 dx 2 1 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 发散 1 所以反常积分 .
第四节 反常积分
常义积分
推广
第五章
积分限有限 被积函数有界
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
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一、无穷限的反常积分
引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x 其含义可理解为 A lim
b 1
A
dx 2
b
1
b
1 dx lim 2 b x 1 x
1 y 2 x A
1
b
1 lim 1 1 b b
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定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若
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例6. 证明反常积分 时发散 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
证 : 当 q = 1 时,
当 q≠1 时
ln x a
1 q
a
b
q 1 q 1
( x a) 1 q
(b a)1q , b 1 q a ,