第12课初等变换与初等矩阵.
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
初等变换与初等矩阵
1 (k 1,2,, r) ，然后再对矩阵作第三种
bk
初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶 梯形
0 0
1 0
0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r4 12r3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初
等行变换 1 3 2 2 1
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
1 3 0 6 3
( 12)rr13, r2112r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 13
Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B
若记P= P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt ， 则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵， 于是得到
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶 可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必 存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使 得
外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，
且所在列的其它元素都为零，
则称 A为简化阶梯形矩阵.
例如
0 2 1 4 A 0 0 5 7
0 0 0 0
1 2 0 5 3
B
0 0 0
0 0 0
4 0 0
8 3 0
3 10
为阶梯形矩阵；
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
Processing math: 100%。
第十二讲 矩阵的初等行变换
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
r3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
0 0 2 18 8 12
0 0 1 9 4 6
r1 + r3 1 0 0 6 3 4
r1 r2
0 0
1 0
0 1
4 9
2 4
3 6
特别要注意将元素化为零 的先后顺序.
12
所以
6 3 4
A1
c
就称矩阵 A 与 B 列等价，记作 A～ B．
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
7
等价关系的性质： (i) 反身性 A~A (ii) 对称性 若 A~B 则 B~A (iii)传递性 若 A~B B~C 则A~C
8
三、利用初等变换求矩阵的逆的方法
变换 ri rj 的逆变换为 ri rj ;
变换 ri k
的逆变换为
ri
(1 k
)
或
ri
k;
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (k)rj 或 ri krj .
5
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
r1
r3
a 31 a21
a11
a
32
a22
r1
r3
10
例2.设
A
0 3
2 0
12，求 A1.
2 3 0
解:
0 2 1 1 0 0
( A, E) 3 0 2 0 1 0
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
矩阵的初等变换与初等矩阵
Er O
O O
0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0
0
0
1
0
0 0 0 1
1 2 1 0
E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．
矩阵的初等变换与初等矩阵
定义3 ：如果行阶梯型矩阵满足下列两个 条件，则称其为行最简阶梯型矩阵
非零行的首非零元都是1 b 首非零元所在列的其余元素都 是零
a
例
1 0 0 r r 1 1 3 A 0 2 0 0 1 0 3 0
0 0 1 r2 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 r3 0 0 1 0 3
0 3 2 2 A与B之间用记号 或 0 0 0 0 连接。
2 3
定义2：满足下列条件的矩阵称为行阶梯型矩阵
a 矩阵的零行（元素全为零的行）在非 零行（元素不全为零的行）的下方 b 矩阵的每一个非零行的非零首元都出 现在上一行非零首元的右边 1 2 1 3 0 3 2 0 例 0 6 4 8
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
1 1 2.B 3 1 1 1 ( )r 2 0 0 0
2
2 3 0 1 1 1 2 0 2 3 1 1 7 10 0 3
2 1 0 0 3 1 3 0
例:求矩阵的秩:
2 2 3 8 1. A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 A 2 12 2 12 r1 r3 2 3 8 2
3 r2 r3 2
1 4 1 3 ( 2 ) r1 r2 0 6 4 4 ( 2 ) r1 r3 0 9 6 6
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初 等变换：
(i ) 对换矩阵中第 , j两行(列)的位置，记作 i rij (cij )或ri rj (ci c j )
【实用】矩阵的初等行变换与初等矩阵PPT文档
1 2 5 第1行 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行
3矩、阵把某主一对行角的线 倍上数第加二到个另元一素行变上为的1变换称为倍加变换
02 37 4 第2行 由定单义位将矩单阵位第矩 i行阵乘作k一得次到初，等记行作变Ei换(k得) 到的矩阵，称为初等矩阵
三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到
0
1
0
2
0
0
1
1 0 0
0 3
1 0
0 1
三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到
定义 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称为初 等矩阵
初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵
由单位矩阵第i,行j行乘对k得换加到得，到第记，j行作记得E作到i(Ek，i)j 记作Eij(k)
因此有： A1A I
假设Pt,Pt1, ,P2,P1都是初等矩阵，根据初等行变换的原理
A P P P t Pt 1
21
I
结论：
初等行变换中省略的初等
A 1
矩阵的乘积就是逆矩阵
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用初等行变换法求逆矩阵
A I 初 等 行 变 换 IA 1
0 2 0
例1（续）：用初等行变换求矩阵
1
0
0 0 1
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初等行变换的练习
0 1 2
练习．运用初等行变换将矩阵
A
1
1
4
转化成单位矩阵
2 1 0
1、把主对角线上第一个元素变为1 2、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0 3、把主对角线上第二个元素变为1
4、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0
5、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为1
2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵
~
3 0 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 9 4 0 2 3
3 0 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0 r3 9 r2 0 0 1 9 4 6 3 0 0 18 9 12 r1 2 r3 0 2 0 8 4 6 ~ r2 r3 0 0 1 9 4 6
4 1 2 1
00 00 11 00
0 0 10 20 30 00 00 00 00
9 4 6 0 0 0 2 0 8 3 0 00
矩 阵 A 的 标 准 型
例4.2
设
1 1 2 1 A 1 1 1 0 2 0 1 1
的等价标准形.
求
A
注:
1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；
3.任一矩阵都可经初等变换r
Er 0, E r 都是 0
0 的特殊情况. 0
O Er 。 O O
行阶梯形矩阵
也就是指可以画一条阶梯折线，
折线的下方元素全为零；并且每个阶梯只有一行，
阶梯数即为非零行的行数，阶梯线每一竖线后面第
一个元素为非零元.
3 3 2 1 0 1 0 , B 0 0 1 2 5 如: A 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 0 8 0 0 2 5 0 0 5 2 4 0 2 1 0 4 , C 0 3 0 0
0 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 8 1 3 0 0
为行阶梯矩阵.
行最简形矩阵
是指行阶梯形矩阵中除每一竖线后面的第一个
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
矩阵初等变换与初等
且所有 r1阶子式 (如果存在的 )全话 等于 0,那么 D称为矩A阵 的最高阶非零,数子 r称式为矩A阵 的秩 ,记作 R(A).并规定零矩阵的0秩 . 等于
1
0 5 3 0
2 2 1 1
0 0 1 0
~ 0
2 1 0
r 2 1
r 2 2r 3
r
4
r
1
1 1 2 0
0 1 3 0
1 0 1 0
0 2 1 0
0 0 1
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0
从而得到方程组的通解 为
x 1 0
x
x2
x x
3 4
k
1 0
,
1
k为任意常数 .
解法二 用初等行变换把系数矩阵 A化为阶梯形
1 1 1 1
A
1 1
2 1 2 1 a 1
3 2 3 a
二、求解线性方程组
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解．
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则．
例２ 求非齐次线性方程组的通解．
x1 2 x2 3 x3 x4 1,
3 2
x1 x1
矩阵的初等变换
(1)交换E的第i、j行（列）（i<j),得到的初等矩阵计作P(i,j)，
演示
1
P(i,
j)
0
0 LL M 1 LL
0
1
M
0
1
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(2) 用非零常数k乘以E的第i行(列),得到的初等矩 阵记作 P(i(k)),
n阶初等矩阵Q1,Q2,L Qt ,使得
P1P2 L
Ps AQ1Q2 L
Qt
Er 0
0 0 .
推论2 对于任意m n矩阵A, 存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆
矩阵Q,
使得PAQ
Er 0
0 0
.
推论3 n阶矩阵A可逆的充要条件是 A的等价标准形为En.
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2a14
a24
a34
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1
O
1L 0
E
MO M
0L 1
O
1
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a23
a13
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二、求逆矩阵的初等变换法 1. 矩阵的等价标准形
定义1.15 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变 换得到，则称A与B等价。
定理1.7 任意矩阵A都与一个形如
Er 0
0
0
的矩阵等价，这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。
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2
1 的逆。
3 4 3
解 1 2 3 1 0 0
1 2 3 1 0 0
2 3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 2r1 r3 3r1
0
0
2 2
5 6
2 3
1 0
0
1
r1 r2
r3 r2
1 0 0
r2 (2)
r3 (1)
0 2 0
2 5 1
1 2 1
1 1 1
0
0
1
r1 r2
定理1.5 方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限
个初等矩阵的乘积。
1.2.3 用初等行变换求逆矩阵
由定理1.5可知，可逆矩阵A可以分解成若干初等矩 阵的乘积。设
A=P1P2…Pt 则有 Pt-1…P2-1P1-1A=E 且 Pt-1…P2-1P1-1 E = A-1
上面两个式子表明，对矩阵A与E施行同样的行变换， 在把A化成单位阵时，E同时就化成A-1。 即得
2r3 5r3
1
0
0
0 2 0
0 0 1
1 3 1
3 6 1
2
5
1
1 0 0 1 3 2
0
1
0
3
3
5
2
2
0
0
1
1
1 1
1 3 2
A1
3
3
5
2
2
1 1 1
3 2 1
求矩阵
A
3
1
5 的逆。
3 2 3
第2节 初等变换与初等矩阵
1.2.1 矩阵的初等变换 1.2.2 初等矩阵 1.2.3 用初等行变换求逆矩阵
线性方程组的同解变换
对于线性方程组，可以做如下的三种变换： （1）互换两个方程的位置；
（2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c； （3）将某一个方程加上另一个方程的k倍。
这三种变换都称为初等变换。如上的变换是可逆的。 也就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一 个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型 的变换变为原方程组(1.1)。 定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一 个方程组，则新方程组与原方程组同解。
Pt-1…P2-1P1-1（AE） （E A-1）
用初等变换求逆矩阵：
把可逆矩阵A与同阶单位矩阵并行摆放，得到
(A E)
对这个矩阵实施行的初等变换，最终使左半部分变成E
，则右半部分就变成 A1
1 5 2
例1.7 设 A= 1 3
1
3 4 1
求A－１.
解
1 1
5 3
2 1
1 0
0 1
0 0
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？
用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变 换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列 变换。（见书P14）
定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆。
定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换后的矩阵仍然是可逆阵。 定理1.4 可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。
1.2.2 初等矩阵
定义1.9 由单位阵E经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种类型:
(1)对调E中的第i,j行，得到的矩阵记为Rij； 对调E中的第i,j列，得到的矩阵记为Cij。
(2)用不为零的数乘以E中的第i行，得到的
矩阵记为Ri()；用不为零的数乘以E中 的第i列，得到的矩阵记为Ci()。
(3)以数乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的 矩阵记为Rij()；以数乘以E中的第i列加到第j列 上去，得到的矩阵记为Cij()。
具体情况见书（p11）。
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一 类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
5 1
2 0
1 2
0 501 Nhomakorabea0 0 1 5 11 2
0 0 1 5 11 2
rr11 52rr2310
0 1
0 0
1 2
3 5
1
1
0 0 1 5 11 2
1 3 1
所以
A－1=
2
5
1
5 11 2
注意 在求逆矩阵的过程中，初等行变换与初等列变换不能混用。
例
1 2 3
求矩阵
A
2
此性质在矩阵中如何体现呢？
1.2.1 矩阵的初等变换
初等行变换
交换i, j两行 数乘第 i 行
ri rj k ri
row
数乘第 i行 加到第 j 行
rj kri
初等列变换 column
交换i, j两列 数乘第 i 列
数乘第 i 列 加到第 j 列
见书p11例7
ci c j
k ci c j kci
rr323rr1110
5 2
2 1
1 1
0 0 1 0
3 4 1 0 0 1
0 11 5 3 0 1
r3 5r210
5 2
2 1
1 1
0 1
0 0
r2 r310
5 1
2 0
1 2
0 5
0 1
0 1 0 2 5 1
0 2 1 1 1 0
r3 2r2 10
5 1
2 0
1 2
0 5
0 1
r3 (1)10