介质中的高斯定律电位移矢量

dQ nql dS np dS P dS 穿出整个S面的电荷量为： Q dQ P dS
S S
在空间中任取体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为
l dS
由电荷守恒和电中性性质，S面所围电荷量为
p
q p Q P dS
2）极化强度矢量
用极化强度矢量 P 表示电介质被极化的程度。
P lim
V 0
Pi V
式中： pi 表示i个分子极矩。
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。 说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即
P e 0 E e : 媒质极化系数 二、极化电荷（束缚电荷）
3º 以上讨论对任何形状的电介质都成立。
2．环路定理
束缚电荷q束产生的电场与 自由电荷q０产生的电场相同 保守力场
E dl 0
电位移线与电场线
性质不同。
电位移线：线上每一点的切线方向和该点电位移 的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上 通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值． 电力线起始于正电荷终止于负电荷。包括自由 电荷和与束缚电荷。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。
+ + + + + + +



+
+
+
电场线
+ + + + + + +



+
+
+
电位移线
2-4-3 有电介质时的静电场的基本方程
积分方程： D dS Q
S
E dl 0
C
微分方程：
D
D r 0 E E
0, r 1
有介质的问题总体上说，比较复杂
但就各向同性线性介质来说，比较简单。
说明： 。 1ºD E , D与E处处对应，且方向一致
2º
D dS q 0 与
D dS q 0
1 E dS o (q自 q束) 等价!
媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会 出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。 由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自 由运动，故也称束缚电荷。
体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表 面上出现的极化电荷称为面极化电荷。
1）体极化电荷
介质被极化后，分子可视作一个电偶极子 设分子的电偶极矩 p=ql 。取如图所示体积 元，其高度 l 等于分子极矩长度。 则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元 dS
0
(q
S内
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
q)
自由电荷
束缚电荷
高斯
考虑关系

P d S q'
S S内
0
把静电场Gauss定理变换一下
E d S q
S 0 S内
1

1
0

1 q' q0 P d S 0 S内 S 内 S
E d S
E 0
本构方程：
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。
（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
3º 解题一般步骤：
由 q自
S S内
0
有电介质时 的高斯定理
如果把真空看作电介质的特例
P0
D 0 E
E d S q0 0
S
D d S q
S S内
0
有电介质时的高 斯定理积分形式

S
D dS DdV
V

高斯散度定理
D

有介质高斯定理微分形式
介质1
sp n (P 1 P 2)
真空、金属
P0

SP P1n P2n 介质2
（1）介质2是电介质而介质1是真空: （2）介质2是电介质而介质1是金属:
sp P2n P 0 1n sp P2n P 1n 0
对介质极化问题的讨论

需要补充D和E的关系式，并且需要已知描述 介质极化性质的极化率e，对于各向同性线性 介质,有 介
P e 0 E
D 0 E P 0 (1 e ) E 0 r E
1 e r
真空中 一般
电 常 数
相对介电常数（与真空相对）
r 1， D 0 E
D d S q
S S内
0
D 0 E P



D的Gauss定理：有电介质存在时，通过电介质 中任意闭合曲面的电位移通量，等于闭合曲面所 包围的自由电荷的代数和，与极化电荷无关 公式中不显含P、q’、E’，可以掩盖矛盾，但没有 解决原有的困难 若q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求出 D，但由于不知道P，仍然无法求出E
1）极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷 2）由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；
3）P=常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极 化电荷只会出现在介质表面上
4）均匀介质内部一般不存在极化电荷
§2-4-2 有电介质时的高斯定理 电位移
同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场 总电场

S
1 E dS
S
p P
PdV
V
2）面极化电荷
在介质表面上，极化电荷面密度为
psp
S
sp dS P dS
S

sp P n
n
式中： P 为媒质极化强度 n 为媒质表面外法向单位矢量 讨论：若分界面两边均为媒质，则
S S
P
0
dS
1
0
q0
S内
S 面内包 围的自 由电荷
D 0 E P
电位移矢量
(
S
0
E P ) d S q0
S内
电位移矢量 通量
D d S q
S S内
0
D 0 E P
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
D d S q