C圆的基本知识和垂径定理

学科教师辅导讲义讲义编号_09sh1sx000812

（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．

(4)圆心角与圆周角的关系．

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

3．三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

4.与圆有关常用的公式

周长：2

c R

π

=面积2

s R

π

=弧长

180

n R

lπ

=扇形面积2

360

n R

lπ

=

二、典型例题

【例1】如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长交⊙O于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为。

（该提主要考查的是圆中弦心距的求解方法）

练习：1.（08上海统一学业）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA PB

，，切点分别为A B

，．如果60

APB

∠=o，8

PA=，那么弦AB的长是（）

A．4 B．8 C．43D．83P

B

A

O

2. 在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝_____

3.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求：

（1）CD 的长；

（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。

【例2】（06上海中考）本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。

（该题主要考查了学生对垂径定理的掌握情况，要学会针对实际问题通过建立数学模型来求解，数形结合的思想）

练习：1.（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆

形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块

D ．第④块

A B

C

•例1图

H E F

G

O D

C B A

2.在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中

点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。

3.在⊙O中，OA是半径，弦AB＝3

10cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。

4.（2006年广东省）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，•且AE=BF，请你找出AC

与BD的数量关系，并给予证明．

【点评】该题是一道变式题，主要考查圆心角、弧和垂径定理的综合应用.

【例3】等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是（）

A.63

B.33

C.3

D.

3

3

(该题主要考查了学生对三角形内心和外心的掌握情况，培养数形结合的思想)

练习：在△ABC中，∠ABC＝600，∠ACB＝800，点O是内心，则∠BOC的度数为 __________.

O

A B

C D