集合的基本关系及运算

集合的基本关系及运算

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．

2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】

要点一、集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；

子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或

要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”

）． 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系

A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B

要点诠释：

任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆． 要点二、集合的运算 1.并集

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}

Venn 图表示：

要点诠释：

（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).

2.交集

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：

要点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：

要点诠释：

（1）理解补集概念时，应注意补集

U

A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个

确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．

（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．

（3）

U

A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成

相应的集合（即

R

A ）．

4.集合基本运算的一些结论

A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，

U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，

若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立 若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】

类型一、集合间的关系

例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈，集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭

，那么,A B 间的关系是（ ）.

A. A B

B. B A

C. A =B

D.以上都不对

【答案】B

【解析】先用列举法表示集合A 、B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A 是非负偶数集，

即{}0,2,4,6,8,A =⋅⋅⋅.集合B 中的元素2

11(1)(1)8n b n ⎡⎤=--⋅-⎣⎦0()1(1)(1)()4

n n n n ⎧⎪=⎨+-⎪⎩为非负偶数时，

为正奇数时.而1

(1)(1)4n n +-（n 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n =⋅⋅⋅.由1

(1)(1)4

n n +-依次得0,2,6,12，⋅⋅⋅，即{}0261220B =⋅⋅⋅，，，，，. 综上知，B A ，应选B .

【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）.

举一反三：

【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈，则（ ）.

A. A B

B. B A

C. A =B

D.A B Z = 【答案】C

例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.

【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，

b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23

=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，

会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24

=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合

共有2n

个不同的子集.