2021-2022年高三上学期第十次周考数学理试题 含答案

2021年高三上学期第十次周考数学理试题含答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若复数满足，则的值等于（）

A．1 B． C． D．

2. 设集合，对任意实数恒成立}，则下列关系中成立的是（）

A． B． C． D．

3. 设命题p：，命题q：，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

4. 已知直线平面，直线平面，那么下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5. 设甲、乙两队以“五局三胜”制进行比赛，甲胜乙的概率为，现乙胜第一局，在这种情况下甲取胜的概率是（）

A． B． C． D．

6. 设是连续函数，则的取值是（）

A． B．1 C．2 D．

7. 已知的展开式中各项系数的和为128，则展开式中的系数是（）

A．21 B．35 C．56 D．84

8. 已知椭圆的准线方程为，直线：与该椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点，则该椭圆的方程是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

9. 已知A 、B 是圆C ：上的两点，且弦长，点C 为圆心，则 A ．0 B ． C ． D ． 10. 设等比数列的公比为，前项和为，若、、成等差数列，则（ ） A ．1 B ． C ．或 D ．1或 11. 已知函数1cos sin 2

3

cos 2

1

)(2++

=x x x x f ，下列命题正确的是（ ） A ．解析式看化为： B ．的最小正周期是 C ．的图象关于点对称

D ．当取得最大值时，自变量的集合是

12．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P —ABC 与正三 棱柱ABC —A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几

何体的表面染色（底面A 1B 1C 1不涂色），要求相邻的面均不 同色，则不同的染色方案共有（ ） A ．24种 B ．18种 C ．16种 D ．12种

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

B 1

P

A

B

C

C 1

A 1

13.在正三棱柱中，，且D为的中点，则AD与面所成角的余弦值是___________.

14.已知函数在内有且只有一个极值点，则实数的取值范围是 .

15.设分别是双曲线的左、右两焦点，若线段被抛物线的焦点分成两线段满足，则该双曲线的离心率是 .

16. 已知函数满足，则不等式的解集为 .

三.解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知△ABC的外接圆的半径为3，面积S和三边满足，且

，A、B、C分别为三边a、b、c所对的角。

（1）求；（2）求面积S的最大值。

18.（12分）从网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，某校研究性学

习小组进行验证性实验．若每次只种一粒种子，

（1）求他们实验5次，至少成功4次的概率；

（2）如果实验成功就停止，否则将继续进行下次实验，但实验次数最多不超过4次，求他们所做实验次数的概率分别列和数学期望E.

19.（12分）如图底面ABCD 为梯形，AD ∥BC 、∠ABC ， ，

平面ABCD ，且.

（1）求二面角A -PD -C 的大小；

（2）在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为？

20．（12分）已知向量，，，，且，，，设点的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；

(2)设直线l ：与曲线C 交于两点A 、B ，求当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点.

21.（12分）已知函数，是偶函数，直线l 与函数、的图象都相切，且直线l 与函数图象相切的切点的横坐标为1.

（1）求直线l 的方程及的解析式；

（2）若方程有4个实数解，求实数的取值范围.

P

D

A

C

B

22.（12分）已知数列中，，其前项和为，与2的等差中项等于与2的等比中项． ⑴ 写出数列的前三项，由此推测数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明； ⑵ 设，求的值.

参考答案

一． DBABC ABCCB DD

二．13. 14. 15. 16.

三．17. 解：（1）由已知及余弦定理得：ab C ab ab b a c S 2cos 22222+-=+--=，

又 ∵ ∴ 4

sin 4cos sin 21

cos 22C

C C C -=⇒=-， 代入得： 17

8sin 0sin 8sin 172=⇒=-C C C （2）∵，由正弦定理得：，， ， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴ 17

64

178162

1sin 2

1

=

⨯

⨯≤=C ab S ，即面积S 的最大值是． 18. 解：(1) 他们实验5次，至少成功4次的概率为 243113132315

445=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⨯⎪

⎭⎫ ⎝⎛=

C P

（2）实验次数ξ的取值可以是1，2，3，4，对应的概率分别是： ，，，

故实验次数ξ的概率分布列为：

数学期望27

65

2784274392231E ξ=

⨯+⨯

+⨯+= 19. 解：（1）在梯形ABCD 中，过C 作CH ⊥AD 于D ，，

∴ a DC DC a ADC 5 5

5

sin =⇒==∠

故：，

建立坐标系如图所示，则：， ，，，

，

平面APD 的一个法向量为，设平面CPD

的一个法向量为，则： ，设，则：

∴ ，

即所求二面角A -PD -C 的大小为．

（2）假设存在，设，平面PCF 的一个法向量为， ，则：，设，则：，

∴ ，又 ，

则点A 到平面PCF 的距离为：

a b a b a a b a a b a 2 3

6

)()( 2

222=⇒=

++-+-= 20. 解：(1)

)13 ,()1 ,() ,0(3222+=+==x y y x n m H

D

A

C

B x