2015年静安区数学一模试卷(含参考答案)
2015年上海市静安(青浦)区初三一模数学试卷和参考答案
BA D CO（第6题图）S 1S 2S 3S 4静安区/青浦区2015年中考一模模数学试卷（完成时间：100分钟满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各式中与32)(a -相等的是（A ）5a ；（B ）6a ；（C ）5a -；（D ）6a -．2．下列方程中，有实数解的是（A ）12-=-x ；（B ）x x -=-2；（C ）0242=--x x ；（D ）0422=--x x ．3．将抛物线2)1(-=x y 向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（A ）2)1(+=x y ；（B ）2)3(-=x y ；（C ）2)1(2+-=x y ；（D ）2)1(2--=x y ．4．如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（A ）两条直角边成正比例；（B ）两条直角边成反比例；（C ）一条直角边与斜边成正比例；（D ）一条直角边与斜边成反比例．5．在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 平分∠DAB ，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，那么还需满足下列条件中的（A ）CD=CB ；（B ）OB=OD ；（C ）OA=OC ；（D ）AC ⊥BD ．6．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（A ）S 1=S 3；（B ）S 2=2S 4；（C ）S 2=2S 1；（D ）4231S S S S ⋅=⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：02144+-=▲．8．使代数式12-x 有意义的实数x 的取值范围为▲．9．如果关于x 的方程032=+-m x x 有相等的实数根，那么m 的值为▲．10．布袋中有两个红球和两个白球它们除了颜色外其他都相同，从中摸出两个球，那么“摸到一红一白两球”的概率为▲．11．如果抛物线5)3(2-+=x a y 不经过第一象限，那么a 的取值范围是▲．12．已知二次函数的图像经过点（1，3），对称轴为直线1-=x ，由此可知这个二次函数的图像一定经过除点（1，3）外的另一确定的点，这点的坐标是▲．13．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ∶CD 应等于▲.14．已知点G 是面积为27cm 2的△ABC 的重心，那么△AGC 的面积等于▲cm 2.15．已知在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线．设BA a = ，BC b = ．那么AD=▲．（用向量a 、b的式子表示）；16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是AB 的中点，如果BC=3，CD=2，那么=∠DCB cos ▲．17．已知不等臂跷跷板AB 长为3米．当AB 的一端点A 碰到地面时（如图1），AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时（如图2），AB 与地面夹角的正弦值为31，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH=▲米18．把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，放大或缩小后的三角形与原三角形对应边的比称为T-变换比．已知△ABC 在直角坐标平面内，点A （0，-1），B （-3，2），C （0，2），将△ABC 进行T-变换，T-变换中心为点A ，T-变换角为60°，T-变换比为32，那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为▲．BA CED（第13题图）（第17题图1）（第17题图2）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）化简：221212222-++++--x x xx x x x ，并求当3=x 时的值．20．（本题满分10分）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+.022,4222y x y xy y x 21．（本题满分10分）已知直线)0(>=m m x 与双曲线xy 6=和直线2--=x y 分别相交于点A 、B ，且AB=7，求m 的值．22．（本题满分10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ．小明在离旗杆下方的大楼底部E 点24米的点A 处放置一台测角仪，测角仪的高度AB 为1.5米，并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°，上端D 的仰角为45°，求旗杆CD 的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 到点F ，使得EF=DE ，联结BF ，交边AC 于点G ，联结CF ．（1）求证：CGEGAC AE =；（2）如果FB FG CF ⋅=2，求证：DE BC CE CG ⋅=⋅．A DBC FE G（第23题图）（第22题图）24．（本题满分12分，其中每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数bx ax y +=2的图像经过点（1,-3）和点（-1,5）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，请用m 的代数式表示平移后函数图像顶点M 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P 的坐标为（2,3），CM 平分∠PCO ，求m 的值．25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得∠ABE=∠CBP ．如果AB=2，BC=5，AP=x ，PM=y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP 的正切值；（3）如果△EBC 是以∠EBC 为底角的等腰三角形，求AP 的长．ABCDPME（第25题图）Oxy123412345-1-2-3-1-2-3（第24题图）静安区/青浦区2015年中考一模模数学试卷参考答案一、选择题：1．D ；2．C ；3．A ；4．B ；5．C ；6．B ．二、填空题：7．23；8．21≥x ；9．49；10．32；11．a<-3；12．（-3,3）；13．35；14．9；15．b a 21+-；16．43；17．53；18．（-3,0）．三、解答题：19．解：原式＝)1)(2()2()1()1)(1(2-+++-+-x x x x x x x ……………………………………………（4分）＝111-+-+x x x x ＝112-+x x ．…………………………………………………（1+1分）当3=x 时，原式＝2337)13)(13()13)(132(13132+=+-++=-+．………………（1+1+2分）20．解：由（2）得0)1)(2(=--y y x ,0102=-=-y y x 或,……………………………（4分）原方程可化为⎩⎨⎧==+⎩⎨⎧=-=+.1,4,02,42222y y x y x y x …………………………………………（2分）解得原方程的解是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,552,55411y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,552,55422y x ⎪⎩⎪⎨⎧==,1333y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,333y x ……………（4分）21．解：点A 、B 的坐标分别为（mm 6,）、（2,--m m ）．……………………………（2分）7)2(6=---m m，…………………………………………………………………（3分）0652=+-m m ，……………………………………………………………………（2分）3,221==m m .………………………………………………………………………（2分）经检验它们都是原方程的根，且符合题意，………………………………………（1分）所以m 的值为2或3.22．解：过点B 的水平线交直线CD 于点H ．由题意，得BH=AE=24，∠CBH=40°，∠DBH=45°，∴CH=24tan40°，DH=BH=24．……………………………………………………（6分）∴CD=24-24tan40°≈3.8．…………………………………………………………（3分）答：旗杆CD 的长度约为3.8米．…………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵DE ∥BC ，∴BC DE AC AE =，BCEFCG EG =．…………………………（各2分）∵EF=DE ，∴CGEGAC AE =．…………………………………………………………（1分）（2）∵FB FG CF ⋅=2，∴FBCFCF FG =．…………………………………………（1分）∵∠CFG=∠BFC ，∴△CFG ∽△BFC ．…………………………………………（1分）∴∠FCG=∠FBC ．…………………………………………………………………（1分）∵DE ∥BC ，∴∠FEC=∠ECB ．∴△CEF ∽△BCG ．…………………………………………………………………（1分）∴CGEFBC CE =．………………………………………………………………………（1分）而EF=DE ，∴CGDEBC CE =．…………………………………………………………（1分）∴DE BC CE CG ⋅=⋅．……………………………………………………………（1分）24．解：（1）∵二次函数bx ax y +=2的图像经过点（1,-3）和点（-1,5），∴⎩⎨⎧-=+=-.5,3b a b a ………………………………………………………………………（1分）解得⎩⎨⎧-==.4,1b a …………………………………………………………………………（2分）∴这个二次函数的解析式是x x y 42-=．………………………………………（1分）（2）∵将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，∴这个二次函数的解析式是m x x y +-=42．……………………………………（1分）4)2(422-+-=+-=m x m x x y ．………………………………………………（2分）∴这个二次函数图像的顶点M 的坐标为（2，m–4）．…………………………（1分）（3）∵点P 的横坐标与顶点M 的横坐标都为2，∴PM ∥y 轴．………………（1分）∴∠PMC=∠OCM ．∵CM 平分∠PCO ，∴∠PCM=∠OCM ．∴∠PMC=∠PCM ．∴PC=PM ．…………………………………………………………………………（1分）∴222)7()3(2-=-+m m ．………………………………………………………（1分）解得m=29．…………………………………………………………………………（1分）25．解：（1）在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠CBP ．∵∠ABE=∠CBP ，∴∠APB=∠ABE ．∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△AMB ．…………………………………………………（1分）∴APABAB AM =．∵AB=2，AP=x ，PM=y ，∴x y x 22=-．…………………………………………（1分）∴所求函数的解析式为xx y 4-=．………………………………………………（1分）定义域为52≤<x ．…………………………………………………………………（1分）（2）∵AP=4，∴MP=3．…………………………………………………………（1分）∵AP=4，AD=5，∴PD=1．∴CDPDAP AB =．∵∠A=∠D ，∴△ABP ∽△DPC ．∴∠APB=∠DCP ．∵∠DPC+∠DCP=90°，∴∠DPC+∠APB=90°．∴∠BPE=∠BPC=90°．……………………………………………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴BC MPEC EP =，即535=+EP EP ．解得523=EP ．……………………………………………………………………（1分）又∵AP=4，AB=2，∴52=BP ．∴43tan ==∠BP EP EBP ．……………………………………………………………（1分）另解：作MH ⊥BP ，垂足为点H ．∵AP=4，∴MP=3．…………………………………………………………………（1分）∵AP=4，AB=2，∴52=BP ．由△BPM 的面积，可得AB MP MH BP ⋅=⋅，即2352⨯=⋅MH ．解得553=MH ．…………………………………………………………………（1分）∵AM=1，AB=2，∴5=BM ．∴554=BH ．………………………………………………………………………（1分）∴43tan ==∠BH MH EBP ．…………………………………………………………（1分）（3）（i ）当∠EBC=∠ECB 时，可得∠AMB=∠DPC ，△AMB ≌△DPC ．∴AM=DP ．…………………………………………………………………………（1分）∴x+x-y=5，即54=+xx ．…………………………………………………………（1分）解得x=4或x=1（不符合题意，舍去）．…………………………………………（1分）（ii ）当∠EBC=∠BEC 时，可得EC=BC=5，PE=PM=y ．………………………（1分）∴2222)5()5(+-=-x y ．整理，得3x 2-10x-4=0．……………………………………………………………（1分）解得3375+=x或3375-=x（不符合题意，舍去）．………………………（1分）综上所述，AP的长为4或3375+．。
一模题选用2015文解
静安区2015学年第一学期期末高三年级教学检测文科数学试卷参考答案及评分标准 2016.01说明：内容与理科相同一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.4x =- 2．2025 3. 40π；4. 6x =5.17- 6. 48(,)55-7. 17z = 8.280 9. 1396810. 225561810x y x y ++--= 11.121n n a -=+（n N *∈） 12.1 13．2 14.115. 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. A; 16. D ; 17.C; 18.B三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19． 已知O 为坐标原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =，(3cos ,sin )OB x x =，)0,3(=,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求证：()OA OB OC -⊥;⑵ 若ABC ∆是等腰三角形，求x .19． 解：⑴ ∵02x π<<， ∴ 3sin sin x x > ，∴0OA OB -≠ 又()0,2sin OA OB x -=∴ ()032sin 00OA OB OC x -⋅=⨯+⨯= ∴()OA OB OC -⊥ 。
（2）若ABC ∆是等腰三角形，则AB=BC ，222)(sin )3cos 3()sin 2(x x x +-=∴22cos 3cos 0x x -=,所以23cos 0cos ==x x 或， 02x π<<，6,23cos π=∴=∴x x20. 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 。
2015学年上海数学学科第一次联考卷答案 (1)
t （天）3040图（b ）2015学年第一学期第一次数学联考考卷参考答案和评分标准一、选择题)2126('='⨯1---6：BAD DCC二、填空题：)63312('='⨯ 7. 5； 8. 9-； 9.2； 10． 5log 13+=x ； 11. + ； 12.31； 13. 0； 14. ()()∞+- ,20 ,2U ； 15. 2425-；16. π ； 17. 2； 18. 17 三、解答题（本大题6题，共52分，解题时必须写出必要的步骤） 19. 求下列不等式的解集（本题8分，每小题4分） （1）(][)+∞-∞-∈,13,U x ； （2）⎪⎭⎫⎝⎛∈121,0x 20．（本大题8分） 由23sin sin 21=⇒=C C ab S )2('21cos =⇒C )3('，由余弦定理得21=c )3(' 21. （本大题8分）4=a )3('，22=b )3('， ()2,0∈x )2(' 22. （本大题8分） 由题意得3322,2=⇒===ωπωπT A )2('，22sin sin 22-=⇒=-∴ϕϕ πϕπϕ45,20=∴<<或π47)2('， 则)453sin(2π+=x y 或)473sin(2π+=x y )2('23.（本大题10分，第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题2分）（1） 由图像得：⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+=**),3052( 100),250( 20N t t t N t t t P （2）),300( 40*∈≤<+-=N t t t Q )2('图正确 )2('（3）设日销售金额为y （元）观察图像得：1575⋅=⋅=Q P y MAX 1125=（元） 答：第15天的销售量最大，最大金额为1125元。
2015年上海市静安区高考数学一模试卷(文科)含详解
2015年上海市静安区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：=．2．（4分）已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N=．3．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n=．4．（4分）一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）．5．（4分）不等式的解集是．6．（4分）设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=．7．（4分）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是．8．（4分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x（x≤0）上，则sin2α=．9．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若=0，则t=．10．（4分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．11．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=．12．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是．13．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．14．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣2B．C．D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S=，求a+c的值．△ABC20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a=14，b=2.4，c=3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）．21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y=f ﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2=1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．2015年上海市静安区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】利用数列极限的运算法则即可得出．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．（4分）已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N=（0，2）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】利用交集的定义和对数函数的性质求解．【解答】解：∵集合M={y|y=2x，x≥0}={y|y≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N=（0，2）．故答案为：（0，2）．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．3．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n= 2n2+n．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意代入等差数列的求和公式可得．【解答】解：由题意可得a1=3，公差d=4，∴S n=na1+d=3n+2n（n﹣1）=2n2+n故答案为：2n2+n．【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题．4．（4分）一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有45种不同结果（用数值作答）．【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可得共有种不同结果．【解答】解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有=45种不同结果．故答案为：45．【点评】本题考查了组合数的计算公式，属于基础题．5．（4分）不等式的解集是（，4）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】不等式即为或，分别求出它们，再求并集即可．【解答】解：不等式即为或，即x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．【点评】本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=256．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值．【解答】解：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，故答案为：256．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．7．（4分）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是3π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据已知中圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，计算出圆锥母线的长度，进而可得该圆锥的侧面积．【解答】解：∵圆锥底面的半径r=1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，故圆锥的母线l满足：，解得：l=3，∴该圆锥的侧面积S=πrl=3π．故答案为：3π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的侧面积，其中根据，求出圆锥的母线长度，是解答的关键．8．（4分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x（x≤0）上，则sin2α=．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由题意根据任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而确定出sin2α的值．【解答】解：根据题意得：tanα=﹣2，sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣2××=．故答案为：．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若=0，则t=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】运用向量的数量积的定义，求得向量a，b的数量积，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到．【解答】解：向量，的夹角为30°，，为单位向量，则有=||•||•cos30°==，由于，若=0，则t+（1﹣t）=0，即有t+1﹣t=0，解得，t=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．10．（4分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，再利用两条直线的夹角公式求得这两条直线的夹角大小．【解答】解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，故答案为：．【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数，属于基础题．11．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=﹣．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围【解答】解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=﹣3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ=﹣3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=﹣．故答案为﹣【点评】此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方12．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．【考点】IT：点到直线的距离公式．【专题】5B：直线与圆．【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l；kx﹣y+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+2k+1=0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴=1，解得k=，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2] ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，设z=，则y=zx+2，将问题转化为求直线的斜率的范围，通过图象求出答案．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，考查了转化思想，是一道中档题．14．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是1＜S＜2．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】设等比数列的公比为q，则q＜0，由题意可得S==，可得＜0，从而可求S的范围【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵各项和为S，∴﹣1＜q＜0，∴S==＞1，∴＜0∴1＜S＜2故答案为：1＜S＜2【点评】本题主要考查了无穷等比数列的各项和公式的应用，属于基础试题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣2B．C．D．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由幂函数的奇偶性和单调性，以及定义，对选项加以判断，即可得到是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的函数．【解答】解：对于A．有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选：D．【点评】本题考查幂函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义和性质，属于基础题和易错题．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据3（2k﹣3）+（k+2）k=0得出k=﹣9或k=1，分别判断当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，l1∥l2，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0k2+8k﹣9=0，k=﹣9或k=1，当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，∴l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了直线与直线平面的平行条件，充分必要条件的定义，属于中档题．17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：由图可知：z=3+i．∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解．【解答】解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线共垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C．【点评】本题考查了空间四点问题，当不共面时构成三棱锥，由几何体的特征再分类讨论进行判断，考查了分类讨论思想和空间想象能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S=，求a+c的值．△ABC【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（1）由正弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）由三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，即可确定出a+c的值．【解答】解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S=acsinB=，sinB=，△ABC∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a=14，b=2.4，c=3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）．【考点】5B：分段函数的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可知，这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，两者相加即是小明应付的车费；（2）分三种情况：前3公里、超过3公里而10公里以内、大于10公里，分别写出函数的表达式，最后用分段函数表示．【解答】解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，总共收费14+12=26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是a元，即0＜x≤3时，y=a（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y=a+（x﹣3）b=bx+a﹣3b （元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y=a+7×b+（x﹣10）c=cx+a+7b﹣10c（元）．∴，【点评】本题考点是分段函数的应用，分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型，其特点是在不同的自变量取值范围内，函数解析式不同．21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）判断出∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN 为直角，，求解得出异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2）BN=，运用，求解得出体积．【解答】解：（1）∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，∴PM为△ADD1的中位线，得PM=1，又∵MN⊥BD，∴，∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，∴MN∥AC，又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，∴．即异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2），，代入数据得三棱锥P﹣BMN的体积为．【点评】本题考查了空间直线的夹角问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y=f ﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；（2）根据反函数的定义，反解x，主要x的取值范围；（3）根据两函数在闭区间上分离的概念课求得【解答】解：（1）∵，∴函数y=f（x）的定义域为R，又∵==0，∴函数y=f（x）是奇函数．（2）由，且当x→﹣∞时，，当x→+∞时，，得的值域为实数集．解得，x∈R．（3）在区间[1，2]上恒成立，即，即a x+a﹣x＞4在区间[1，2]上恒成立，令a x=t，∵a＞1，∴t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]上单调递增，∴，解得，∴．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、反函数以及新概念的题目．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2=1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用n=1求出数列的首项．（2）利用递推关系式和叠乘法求数列的通项公式．（3）存在性问题的判断，先假设存在，然后利用函数的单调性判断存在有序实数对．【解答】解：（1）因为，令n=1，得，所以a1=0；或者令n=2，得，所以：a1=0（2）当n≥2时，，，，推得，利用叠乘法求出数列a n=n﹣1又a2=1，a3=2a2=3，=n，所以a n+1当n=1，2时也成立，所以a n=n﹣1，（n∈N*）（3）假设存在正整数p，q使得b1，b p，b q成等比数列，则：lgb1，lgb p，lgb q成等差数列．则：①由于等式右边大于，故则：下面考察数列d的单调性．因为：故数列是单调递减数列．当p=2时，代入①式得：解得：q=3当故存在（p，q）为（2，3）使得b1，b p，b q成等比数列．【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式和叠乘法求数列的通项公式，利用函数的单调性判断存在性问题．属于中等题型．。
上海市静安区2015届高三一模数学(理)试卷含答案
静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（理）试卷（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M . 答案：)2,0(考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。
2．设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 答案：25628=考点：二项式定理解法：将1x =-代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。
3．不等式01271<--x 的解集是 . 答案：)4,21(考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。
4．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 . 答案：12考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。
5．已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n nn a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S .答案：)212(4n n -考点：数列分组求和，等比数列求和。
A BCDP备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。
同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。
6．已知两个向量，的夹角为303=，b 为单位向量，b t a t c )1(-+=, 若c b ⋅=0，则t = . 答案：-2考点：向量的数量积：解法：由于b 与c 、a 、b 的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个b 。
2015年上海市静安区中考一模数学试卷(解析版)
2015年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各式中与（﹣a2）3相等的是（）A．a5B．a6C．﹣a5D．﹣a62．（4分）下列方程中，有实数解的是（）A．＝﹣1B．＝﹣x C．＝0D．＝03．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2B．y＝（x﹣3）2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣24．（4分）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（）A．两条直角边成正比例B．两条直角边成反比例C．一条直角边与斜边成正比例D．一条直角边与斜边成反比例5．（4分）在四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，那么还需满足下列条件中的（）A．CD＝CB B．OB＝OD C．OA＝OC D．AC⊥BD 6．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，如果对角线AC 与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1＝S3B．S2＝2S4C．S2＝2S1D．S1•S3＝S2•S4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：+40＝．8．（4分）使代数式有意义的实数x的取值范围为．9．（4分）如果方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．10．（4分）布袋中有两个红球和两个白球除了颜色外其他都相同，从中摸出两个球，那么摸到一红一白两球概率为．11．（4分）如果抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是．12．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x＝﹣1，由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是．13．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE＝2，CE ＝3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于．14．（4分）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于．15．（4分）已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝．那么＝．（用向量、的式子表示）．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，如果BC＝3，CD ＝2，那么cos∠DCB＝．17．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH ＝米．18．（4分）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），将△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为，那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）化简：+，并求当x＝时的值．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知直线x＝m（m＞0）与双曲线y＝和直线y＝﹣x﹣2分别相交于点A、B，且AB＝7，求m的值．22．（10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）23．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m 的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．25．（14分）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP＝4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．2015年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各式中与（﹣a2）3相等的是（）A．a5B．a6C．﹣a5D．﹣a6【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a6．故选：D．2．（4分）下列方程中，有实数解的是（）A．＝﹣1B．＝﹣x C．＝0D．＝0【解答】解：∵，∴x2﹣4＝0，∴x＝﹣2或2；经检验：x＝2是原方程的增根，∴原方程的解为x＝﹣2，故选：C．3．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2B．y＝（x﹣3）2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为y＝（x+1）2．故选：A．4．（4分）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（）A．两条直角边成正比例B．两条直角边成反比例C．一条直角边与斜边成正比例D．一条直角边与斜边成反比例【解答】解：设该直角三角形的两直角边是a 、b ，面积为S ．则S ＝ab ．∵S 为定值，∴ab ＝2S 是定值，则a 与b 成反比例关系，即两条直角边成反比例．故选：B ．5．（4分）在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 平分∠DAB ，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，那么还需满足下列条件中的（ ）A ．CD ＝CB B ．OB ＝ODC ．OA ＝OCD ．AC ⊥BD【解答】解：添加条件AO ＝CO ，∵AB ＝AD ，AC 平分∠DAB ，∴BO ＝DO ，∵AO ＝CO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，故选：C ．6．（4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，如果对角线AC与BD 相交于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（ ）A ．S 1＝S 3B ．S 2＝2S 4C ．S 2＝2S 1D ．S 1•S 3＝S 2•S 4【解答】解：A 、∵△ABD 和△ACD 同底、同高，则S △ABD ＝S △ACD ，∴S1＝S3，故命题正确；B、∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，又∵BC＝2AD，∴＝（）2＝，则S2＝2S4正确．故命题错误；C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M．∵△AOD∽△COB，又∵BC＝2AD，∴＝＝，即＝，∴＝，则设S△OBC＝2x，则S△ABC＝3x，则S△AOB＝x，即S2＝2S1，故命题正确；D、设AD＝y，则BC＝2y，设OM＝z，则ON＝2z，则S2＝×2y×2z＝2yz，S4＝×y×z＝yz，S△ABC＝BC•MN＝×2y•3z＝3yz，则S1＝S3＝3yz﹣2yz＝yz，则S1•S3＝y2z2，S2•S4＝y2z2，故S1•S3＝S2•S4正确．故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：+40＝．【解答】解：原式＝+1＝+1＝．故答案是：．8．（4分）使代数式有意义的实数x的取值范围为．【解答】解：依题意得2x﹣1≥0，解得．故答案是：．9．（4分）如果方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＝0，解得：m＝．故答案为：．10．（4分）布袋中有两个红球和两个白球除了颜色外其他都相同，从中摸出两个球，那么摸到一红一白两球概率为．【解答】解：画树形图得：共有4×3＝12种可能，所以摸到一红一白两球概率为＝．故答案为：11．（4分）如果抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3．【解答】解：∵抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a ＜﹣3．12．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x ＝﹣1，由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是 （﹣3，3） ．【解答】解：点（1，3）关于直线x ＝﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3）， 所以这个二次函数的图象一定点（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．13．（4分）如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE ＝2，CE＝3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于 ．【解答】解：∵DE ∥AB ， ∴＝＝＝＝． 故答案为．14．（4分）已知点G 是面积为27cm 2的△ABC 的重心，那么△AGC 的面积等于9cm 2 ．【解答】解：如图，∵点G 是△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于点D ， ∴AG ：GD ＝2：1，∴S △AGC ＝2S △CGD ，S △AGC ＝S △ACD ，∵D 为BC 中点，∴S △ACD ＝S △ABC ，∴S △AGC ＝×S △ABC ＝S △ABC ＝×27＝9（cm 2）．故答案为：9cm 2．15．（4分）已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝．那么＝﹣．（用向量、的式子表示）．【解答】解：如图，∵在△ABC中，AD是边BC上的中线，＝，∴＝＝，∴＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，如果BC＝3，CD＝2，那么cos∠DCB＝．【解答】解：如图，∵∠BCA＝90°，BC＝3，CD＝2，∴BD＝AD＝4，∵BD＝CD，∴∠DCB＝∠DBC，∴cos∠DCB＝cos∠DBC＝＝．故答案为．17．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝米．【解答】解：设OH＝x，∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，∴AO＝2xm，∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO＝3xm，则AO+BO＝2x+3x＝3m，解得；x＝．故答案为：．18．（4分）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），将△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为，那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为（﹣，0）．【解答】解：∵B（﹣，2），C（0，2），∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝30°，绕点A逆时针旋转60°后，B′A⊥y轴，则点C′在x轴上，T﹣变换比为，AC＝3，∴AC′＝2，OC′＝，∴经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为（﹣，0）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）化简：+，并求当x＝时的值．【解答】解：原式＝+＝+＝．当x＝时，原式＝＝＝．20．（10分）解方程组：．【解答】解：，由（2）得（x﹣2y）（y﹣1）＝0，x﹣2y＝0或y﹣1＝0，原方程可化为．解两个方程组得：．21．（10分）已知直线x＝m（m＞0）与双曲线y＝和直线y＝﹣x﹣2分别相交于点A、B，且AB＝7，求m的值．【解答】解：∵直线x＝m（m＞0）与双曲线y＝和直线y＝﹣x﹣2分别相交于点A、B，∴点A、B的坐标分别为（）、（m，﹣m﹣2），∵AB＝7，∴，整理得m2﹣5m+6＝0，解得m1＝2，m2＝3．经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以m的值为2或3．22．（10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【解答】解：过点B作BF⊥DE于点F，则四边形ABFE为矩形，在△BCF中，∵∠CBF＝40°，∠CFB＝90°，BF＝AE＝24m，∴＝tan40°，∴CF＝0.84×24≈20.16（m），在△BDF中，∵∠DBF＝45°，∴DF＝24m，则CD＝DF﹣CF＝24﹣20.16＝3.84≈3.8（m）．故旗杆CD的长为3.8m．23．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴＝，＝，又∵DE＝EF，∴＝，∴＝；（2）∵CF2＝FG•FB，∴＝，又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∠FCE＝∠CBF，又∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠CBF，∴∠FCE＝∠EFG，又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴＝＝，∴＝，即CG•CE＝BC•DE．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m 的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5），得，解得．二次函数的解析式y＝x2﹣4x；（2）y＝x2﹣4x的顶点M坐标（2，﹣4），这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，顶点M坐标向上平移m，即M（2，m﹣4）；（3）由待定系数法，得CP的解析式为y＝x+m，如图：作MG⊥PC于G，设G（a，a+m）．由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM＝MG．在Rt△DCM和Rt△GCM中，Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．CG＝DC＝4，MG＝DM＝2，，化简，得8m＝36，解得m＝．25．（14分）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP＝4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．∵∠ABE＝∠CBP，∴∠ABM＝∠APB．又∵∠A＝∠A，∴△ABM∽△APB，∴＝，∴＝，∴y＝x﹣．∵P是边AD上的一动点，∴0≤x≤5．∵y＞0，∴x﹣＞0，∴x＞2，∴函数的定义域为2＜x≤5；（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．∵AP＝x＝4，∴y＝x﹣＝3，∴MP＝3，AM＝1，∴BM＝＝，BP＝＝2．＝MP•AB＝BP•MH，∵S△BMP∴MH＝＝，∴BH＝＝，∴tan∠EBP＝＝；（3）①若EB＝EC，则有∠EBC＝∠ECB．∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠EBC，∠DPC＝∠ECB，∴∠AMB＝∠DPC．在△AMB和△DPC中，，∴△AMB≌△DPC，∴AM＝DP，∴x﹣y＝5﹣x，∴y＝2x﹣5，∴x﹣＝2x﹣5，解得：x1＝1，x2＝4．∵2＜x≤5，∴AP＝x＝4；②若CE＝CB，则∠EBC＝∠E．∵AD∥BC，∴∠EMP＝∠EBC＝∠E，∴PE＝PM＝y，∴PC＝EC﹣EP＝5﹣y，∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2＝22，∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）＝4，∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）＝4，整理得：3x2﹣10x﹣4＝0，解得：x3＝，x4＝（舍负）．∴AP＝x＝．终上所述：AP的值为4或．。
上海市静安区高三数学上学期期末教学质量检测(一模)试题(含解析)
上海市静安区2015届高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：= ．考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：原式==．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N=（0，2）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的定义和对数函数的性质求解．解答：解：∵集合M={y|y=2x，x≥0}={y|y≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N=（0，2）．故答案为：（0，2）．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．3．设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|= 256 ．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值．解答：解：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，故答案为：256．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．4．已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n= 2n2+n ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意代入等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意可得a1=3，公差d=4，∴S n=na1+ d=3n+2n（n﹣1）=2n2+n故答案为：2n2+n．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．5．不等式1﹣＜0的解集是（，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：原不等式即为或，分别解出它们，再求交集即可．解答：解：不等式1﹣＜0即为＜0，即为或，即有x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．6．一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有45 种不同结果（用数值作答）．考点：组合及组合数公式．专题：概率与统计．分析：由题意可得共有种不同结果．解答：解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有=45种不同结果．故答案为：45．点评：本题考查了组合数的计算公式，属于基础题．7．（4分）理：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，PA=1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的性质得出Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，AC=，运用体积公式求解即可．解答：解：∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，∴Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，AC=，∵底面ABCD是正方形，∴AB=，V=×1=故答案为：；点评：本题考查了空间直线平面的几何性质，夹角，体积计算问题，属于中档题．8．不等式的解集是（，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式即为或，分别求出它们，再求并集即可．解答：解：不等式即为或，即x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．9．文：已知数列{a n}的通项公式a n=22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和S n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用等比数列的前n项和公式进行求解．解答：解：数列数列{a n}的通项公式：整理得：则：+2（21+22+…+2n）=4•+2==故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，等比数列前n项和的应用．属于基础题型．10．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若，则t= ﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用平面向量的数量积的定义和向量垂直的条件即为数量积为0，计算即可得到t．解答：解：两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，则=||•||•cos30°==，由，若，则•（t+（1﹣t））=0，即t+（1﹣t）=0，即有t+1﹣t=0，解得，t=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．11．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是3π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，计算出圆锥母线的长度，进而可得该圆锥的侧面积．解答：解：∵圆锥底面的半径r=1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，故圆锥的母线l满足：，解得：l=3，∴该圆锥的侧面积S=πrl=3π．故答案为：3π点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的侧面积，其中根据，求出圆锥的母线长度，是解答的关键．12．（4分）已知f（x）=x|x﹣1|+1，f（2x）=（其中x＞0），则x= ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得，由此能求出．解答：解：∵f（x）=x|x﹣1|+1，f（2x）=（其中x＞0），∴，∴，∵x＞0，∴（2x）2﹣2x﹣=0，解得2x=，∴．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．13．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x （x≤0）上，则sin2α=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题意根据任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而确定出sin2α的值．解答：解：根据题意得：tanα=﹣2，sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣2××=．故答案为：．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（4分）理：已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC的内角∠BAC 的大小是arccos．（结果用反三角函数值表示）考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由三点坐标，利用两点间的距离公式求出a，b，c的值，利用余弦定理求出cos∠BAC 的值，即可确定出∠BAC的度数．解答：解：∵△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），∴|AB|=c==5，|AC|=b==3，|BC|=a==4，∴cos∠BAC===，则∠BAC=arccos，故答案为：arccos点评：此题考查了余弦定理，两点间的距离公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，则= ﹣．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知结合韦达定理，可得α+β=﹣，α•β=，进而根据=代入可得答案．解答：解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，∴α+β=﹣，α•β=，∴===﹣，故答案为：﹣点评：本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．16．已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：两直线的夹角与到角问题．专题：直线与圆．分析：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，再利用两条直线的夹角公式求得这两条直线的夹角大小．解答：解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，故答案为：．点评：本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数，属于基础题．17．（4分）（2012•绍兴一模）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=﹣．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围解答：解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=﹣3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ=﹣3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=﹣．故答案为﹣点评：此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方18．直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；kx﹣y+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程．解答：解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+2k+1=0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴=1，解得k=，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．19．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，设z=，则y=zx+2，将问题转化为求直线的斜率的范围，通过图象求出答案．解答：解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最小为：﹣2，当直线过（1，0）时，z最大为：2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．点评：本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，考查了转化思想，是一道中档题．21．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是0＜S＜2 ．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：设等比数列的公比为q，则q＜0，由题意可得S==，可得＜0，从而可求S的范围解答：解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵S==∴＜0∴0＜S＜2故答案为：0＜S＜2点评：本题主要考查了无穷等比数列的各项和公式的应用，属于基础试题22．（4分）理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有7或14 名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）考点：组合及组合数公式．专题：概率与统计．分析：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．可得．化为n2+（3﹣2k）n﹣14=0，通过对﹣14分解质因数，利用根与系数的关系即可得出．解答：解：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．∴．化为n2+（3﹣2k）n﹣14=0，∵﹣14=﹣2×7=2×（﹣7）=﹣1×14=1×（﹣14）．当2k﹣3=7﹣2时，可得k=4，此时n=7，当2k﹣3=14﹣1时，可得k=8，此时n=14．而2k﹣3=2﹣7或2k﹣3=1﹣14，k＜0，舍去．综上可得：n=7或14．故答案为：7或14．点评：本题考查了组合的计算公式、分类讨论思想方法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．23．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣2B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由幂函数的奇偶性和单调性，以及定义，对选项加以判断，即可得到是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的函数．解答：解：对于A．有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选D．点评：本题考查幂函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义和性质，属于基础题和易错题．24．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据3（2k﹣3）+（k+2）k=0得出k=﹣9或k=1，分别判断当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，l1∥l2，根据充分必要条件的定义判断即可．解答：解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0k2+8k﹣9=0，k=﹣9或k=1，当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，∴l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了直线与直线平面的平行条件，充分必要条件的定义，属于中档题．25．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=3+i．∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．26．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解．解答：解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C点评：本题考查了空间四点问题，当不共面时构成三棱锥，由几何体的特征再分类讨论进行判断，考查了分类讨论思想和空间想象能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.27．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由正弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）由三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，即可确定出a+c的值．解答：解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．28．（14分）上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）．考点：函数解析式的求解及常用方法；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可知，这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，两者相加即是小明应付的车费；（2）分三种情况：前3公里、超过3公里而10公里以内、大于10公里，分别写出函数的表达式，最后用分段函数表示．解答：解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，总共收费14+12=26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是14元，即0＜x≤3时，y=14（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y=14+（x﹣3）2.4=2.4x+6.8（元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y=14+7×2.4+（x﹣10）3.6=3.6x﹣5.2（元）．∴y=点评：本题考点是分段函数的应用，分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型，其特点是在不同的自变量取值范围内，函数解析式不同．29．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）判断出∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，求解得出异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2）BN=，运用，求解得出体积．解答：解：（1）∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，∴PM为△ADD1的中位线，得PM=1，又∵MN⊥BD，∴，∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，∴MN∥AC，又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，∴．即异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2），，点评：本题考查了空间直线的夹角问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．30．（14分）理：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用；空间角．分析：（1）求出PM，AM，运用余弦定理，求得PN；（2）求出PN的最小值，由于MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，通过解直角三角形PMN，即可得到．解答：解：（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，，在△PMN中，，；（2）当时，PN最小，此时．因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小．点评：本题考查空间异面直线所成的角的求法，考查二次函数的性质和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．31．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．考点：函数奇偶性的性质；反函数．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；（2）根据反函数的定义，反解x，主要x的取值范围；（3）根据两函数在闭区间上分离的概念课求得解答：解：（1）∵，∴函数y=f（x）的定义域为R，（1分）又∵，∴函数y=f（x）是奇函数．（4分）（2）由，且当x→﹣∞时，，当x→+∞时，，得的值域为实数集．解得，x∈R．（8分）（3）在区间[1，2]上恒成立，即，即a x+a﹣x＞4在区间[1，2]上恒成立，（11分）令a x=t，∵a＞1，∴t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]上单调递增，∴，解得，∴．（16分）点评：本题主要考查函数的奇偶性、反函数以及新概念的题目、32．（16分）在数列{a n}中，已知a2=1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）文：求a1；理：求数列{a n}的通项公式；（2）文：求数列{a n}的通项公式；理：求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．考点：数列的求和；极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推关系式求数列的通项公式，对首项进行验证．（2）利用（1）的结论直接求出极限．（3）首先假设存在p和q，进一步进行关系验证求出具体的值．解答：解：文（1）因为，令n=2，得，所以a1=0，当n≥2时，，，推得，又a2=1，a3=2a2=3，所以a n+1=n当n=1，2时也成立，所以a n=n﹣1．（2）直接利用（1）的结论：解得：=（3）文理相同：假设存在正整数p、q，使得b1，b p、b q成等比数列，则lgb1，lgb p、lgb q成等差数列，故，（1）由于右边大于，则，即．考查数列的单调性，因为，所以数列为单调递减数列．当p=2时，，代入（1）式得，解得q=3；当p≥3时，（舍）．综上得：满足条件的正整数组（p，q）为（2，3）．点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，极限的应用，存在性问题的应用．属于中等题型．。
静安区初三数学一模卷
∵EF=DE，∴ AE EG ．…………………………………………………………（1 分） AC CG
（2）∵ CF 2 FG FB ，∴ FG CF ．…………………………………………（1 分） CF FB
2015 年年上海市静安区中考数学一模试卷
考生注意：
（完成时间：100 分钟 满分：150 分 ）
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．下列各式中与 (a 2 )3 相等的是
（A） a5 ；
（B） a6 ；
（C） a5 ；
（D） a6 ．
2．下列方程中，有实数解的是
（A）
x 2 1 ； （B）
x 2 x ；
（C）
x2 4 x2
0；
（D）
x2 x2 4
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▲． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分）
化简：
x2 1 x2 2x 1
x2 2x x2 x 2
，并求当
x
3 时的值．
20．（本题满分 10 分）
解方程组：
x2 xy
y2 2y
4, 2 x
2
y
0.
21．（本题满分 10 分） 已知直线 x m(m 0) 与双曲线 y 6 和直线 y x 2 分别相交于点 A、B，且 AB=7， x
2015年上海市静安区中考数学一模试卷及答案解析(pdf版)
2015年上海市静安区中考数学一模试卷一.选择题（本大题满分4×6=24分）1．（4分）（2015•静安区一模）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）都缩小到原来的2．（4分）（2015•青浦区一模）将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）3．（4分）（2015•魏县二模）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间24．（4分）（2015•鄂城区模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）．5．（4分）（2015•静安区一模）已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么边BC的长等于（）6．（4分）（2015•青浦区一模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）二.填空题（本大题满分4×12=48分）7．（4分）（2015•静安区一模）已知=，那么=．8．（4分）（2015•静安区一模）计算：=．9．（4分）（2002•福州）已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为cm．10．（4分）（2015•静安区一模）二次函数y=﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的交点坐标为．11．（4分）（2015•静安区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA=，那么AC=．12．（4分）（2015•青浦区一模）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于．13．（4分）（2015•青浦区一模）如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是．14．（4分）（2015•青浦区一模）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于．15．（4分）（2015•静安区一模）如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=米．（可以用根号表示）16．（4分）（2015•青浦区一模）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x=﹣1，由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是．17．（4分）（2015•尤溪县校级质检）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米．18．（4分）（2015•青浦区一模）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），将△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为，那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为．三.解答题（本大题满分10+10+10+10+12+12+14=78分）19．（10分）（2015•静安区一模）已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．20．（10分）（2015•静安区一模）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，设=，=；（1）求（用向量，的式子表示）；（2）如果点E在中线AD上，求作在，方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）．21．（10分）（2015•大庆模拟）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）22．（10分）（2015•静安区一模）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：可表示为=sin30°=cos60°=tan45°•sin30°=…；仿照上述材料，完成下列问题：（1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示，即填空：===…；（2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1=．23．（12分）（2015•青浦区一模）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：=；（2）如果CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．24．（12分）（2015•青浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．25．（14分）（2015•青浦区一模）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．2015年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题满分4×6=24分）1．（4分）（2015•静安区一模）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）都缩小到原来的2．（4分）（2015•青浦区一模）将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）3．（4分）（2015•魏县二模）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间24．（4分）（2015•鄂城区模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）．根据平行线分线段成比例得到=，即=∴=，即=BC==5．（4分）（2015•静安区一模）已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么边BC的长等于（）=，6．（4分）（2015•青浦区一模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）∴（∴=，即，∴，=×z=BC×二.填空题（本大题满分4×12=48分）7．（4分）（2015•静安区一模）已知=，那么=．x=x=时，===故答案为：8．（4分）（2015•静安区一模）计算：=．﹣﹣﹣﹣故答案为：﹣﹣9．（4分）（2002•福州）已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为6cm．10．（4分）（2015•静安区一模）二次函数y=﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．11．（4分）（2015•静安区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA=，那么AC=4．cosA=，=AC=AB=12．（4分）（2015•青浦区一模）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于．∴===故答案为13．（4分）（2015•青浦区一模）如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3．14．（4分）（2015•青浦区一模）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC 的面积等于9cm2．====×=15．（4分）（2015•静安区一模）如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=米．（可以用根号表示）故答案为：16．（4分）（2015•青浦区一模）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x=﹣1，由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是（﹣3，3）．17．（4分）（2015•尤溪县校级质检）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A 碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米．与地面的夹角的正弦值为x=故答案为：18．（4分）（2015•青浦区一模）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），将△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为，那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为（﹣，0）．（﹣﹣变换比为所对应的点的坐标为（﹣三.解答题（本大题满分10+10+10+10+12+12+14=78分）19．（10分）（2015•静安区一模）已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．=20．（10分）（2015•静安区一模）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，设=，=；（1）求（用向量，的式子表示）；（2）如果点E在中线AD上，求作在，方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）．上的中线，=，可求得，然后由三角形法则，求得）利用平行四边形法则，即可求得在，上的中线，，∴==∴=﹣﹣则、分别是在，方向上的分向量．21．（10分）（2015•大庆模拟）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）∴22．（10分）（2015•静安区一模）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：可表示为=sin30°=cos60°=tan45°•sin30°=…；仿照上述材料，完成下列问题：（1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示，即填空：=sin60°=cos30°=tan45°•sin60°=…；（2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1=（sin30°+cos60°）•tan45°÷cot45°．=∴）∵23．（12分）（2015•青浦区一模）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：=；（2）如果CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．，证得===，即可证得=∴=，，∴=∴=∴=∴=∴=，∴=24．（12分）（2015•青浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．，解得y=中m=．25．（14分）（2015•青浦区一模）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．∴=∴=．＞﹣=BP==2 MP AB==BH===2x）x+ ==。
2015年上海市各区数学一模18、23、24、25汇编16区1县完整版
综合题讲解18、如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使得点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，那么△EBG 的周长为。
23、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，∠ABC=2∠C ，E 与F 分别为边AD 于DC 上的两点，且有∠EBF=∠C 。
（1）求证：BE:BF=BD:BC（2）当F 为DC 中点时，求AE:ED 的比值。
24、如图，已知抛物线y =58x 2+bx +c 经过直线y =−12x + 1与坐标轴的两个交点A 、B ，点C 为抛物线上的一点，且∠ABC=90°。
（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 坐标；（3）直线y =−12x + 1上是否存在点P ，使得△BCP 和△OAB 相似，若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
25.已知在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，O 为边AB 上一动点（不与A 、B 重合），以O 为圆心OB 为半径的圆交BC 于点D ，设OB x =，DC y =．（1）如图１，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）当⊙O 与线段AC 有且只有一个交点时，求x 的取值范围；（3）如图２，若⊙O 与边AC 交于点E （有两个交点时取靠近C 的交点），联结DE ，当DEC ∆与ABC ∆相似时，求x 的值.C CAD OB · ·· （图1）BCA（备用图1）E CA D OB · ···（图2）BCA（备用图2）18、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE ⊥CD ，垂足为点E ，连接AE ，∠AEB=∠C ，且cos ∠C=25，若AD=1，则AE 的长为。
23、已知，如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且∠ABE=∠ACD ，BE 、CD 交于点G 。
2015年上海市静安区、青浦区中考数学一模试卷及答案解析
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．（4 分）（2015•青浦区一模）下列各式中与（﹣a2）3 相等的是（ ）
A． a5
B． a6
C． ﹣a5
D．﹣a6
2．（4 分）（2015•青浦区一模）下列方程中，有实数解的是（ ）
A．
边的关系中，正确的是（ ）
A． 两条直角边成正比例
B． 两条直角边成反比例
C． 一条直角边与斜边成正比例
D．一条直角边与斜边成反比例
5．（4 分）（2015•青浦区一模）在四边形 ABCD 中，AB=AD，AC 平分∠DAB，AC 与 BD
相交于点 O，要使四边形 ABCD 是菱形，那么还需满足下列条件中的（ ）
解答：解：A、∵△ABD 和△ ACD 同底、同高，则 S△ ABD=S△ ACD， ∴S1=S3，故命题正确； B、∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， 又∵BC=2AD，
∴
=（ ）2= ，
则 S2=2S4 正确．故命题错误； C、作 MN⊥BC 于点 N，交 AD 于点 M． ∵△AOD∽△COB， 又∵BC=2AD，
18．（4 分）（2015•青浦区一模）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这 个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的 T﹣变换，这个顶点称为 T﹣变换中 心，旋转角称为 T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为 T﹣变换比；已知△ ABC 在直角坐标平面内，点 A（0，﹣1），B（﹣ ，2），C（0，2），将△ ABC 进行 T﹣变换，
∴ = = ，即 = ，
∴
=，
则设 S△ OBC=2x，则 S△ ABC=3x，则 S△ AOB=x， 即 S2=2S1，故命题正确； D、设 AD=y，则 BC=2y，设 OM=z，则 ON=2z，
2015年上海市静安区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年上海市静安区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：＝．2．（4分）已知集合M＝{y|y＝2x，x≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N＝．3．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n ＝．4．（4分）一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）．5．（4分）不等式的解集是．6．（4分）设（1﹣x）8＝a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝．7．（4分）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是．8．（4分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则sin2α＝．9．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若＝0，则t＝．10．（4分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1＝0和l2：2x﹣y+2＝0，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．11．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β＝．12．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是．13．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．14．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x﹣2B．C．D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．D＝0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b＝，△ABC的面积S＝，求a+c的值．△ABC20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y＝f（x）．21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y＝f﹣1（x）与g（x）＝a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2＝1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．2015年上海市静安区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：＝．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．2．（4分）已知集合M＝{y|y＝2x，x≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N＝（0，2）．【解答】解：∵集合M＝{y|y＝2x，x≥0}＝{y|y≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝（0，2）．故答案为：（0，2）．3．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n＝2n2+n．【解答】解：由题意可得a1＝3，公差d＝4，∴S n＝na1+d＝3n+2n（n﹣1）＝2n2+n故答案为：2n2+n．4．（4分）一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有45种不同结果（用数值作答）．【解答】解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有＝45种不同结果．故答案为：45．5．（4分）不等式的解集是（，4）．【解答】解：不等式即为或，即x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．6．（4分）设（1﹣x）8＝a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝256．【解答】解：由题意可得（1+x）8＝|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝28＝256，故答案为：256．7．（4分）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是3π．【解答】解：∵圆锥底面的半径r＝1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，故圆锥的母线l满足：，解得：l＝3，∴该圆锥的侧面积S＝πrl＝3π．故答案为：3π8．（4分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则sin2α＝．【解答】解：根据题意得：tanα＝﹣2，sinα＝，cosα＝﹣，∴sin2α＝2sinαcosα＝﹣2××＝．故答案为：．9．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若＝0，则t＝﹣2．【解答】解：向量，的夹角为30°，，为单位向量，则有＝||•||•cos30°＝＝，由于，若＝0，则t+（1﹣t）＝0，即有t+1﹣t＝0，解得，t＝﹣2．故答案为：﹣2．10．（4分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1＝0和l2：2x﹣y+2＝0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ＝||＝||＝，∴θ＝arctan，故答案为：．11．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β＝﹣．【解答】解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ＝﹣3，tanαtanβ＝4，tan（α+β）＝＝又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ＝﹣3，tanα•tanβ＝4，∴α、β同为负角，∴α+β＝﹣．故答案为﹣12．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴＝1，解得k＝，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．13．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2]．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z＝，则y＝zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．14．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是1＜S＜2．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵各项和为S，∴﹣1＜q＜0，∴S＝＝＞1，∴1＜S＜2故答案为：1＜S＜2二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x﹣2B．C．D．【解答】解：对于A．有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）＝f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选：D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．D＝0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k＝0k2+8k﹣9＝0，k＝﹣9或k＝1，当k＝1时，直线l1：x﹣y+2＝0，直线l2：x﹣y+2＝0，∴l1l2重合，当k＝9时，直线l1：3x+7y+6＝0，直线l2：﹣9x﹣21y+2＝0，根据充分必要条件的定义得出：D＝0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B．17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【解答】解：由图可知：z＝3+i．∴复数＝＝＝＝2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个【解答】解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线共垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；＝，求a+c的值．（2）若b＝，△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）由正弦定理：＝，得＝＝，∴sin B＝，又由B为锐角，得B＝；＝ac sin B＝，sin B＝，（2）∵S△ABC∴ac＝3，根据余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝7+3＝10，∴（a+c）2＝a2+c2+2ac＝16，则a+c＝4．20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y＝f（x）．【解答】解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3＝5公里的收费是5×2.4＝12元，总共收费14+12＝26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是a元，即0＜x≤3时，y＝a（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y＝a+（x﹣3）b＝bx+a ﹣3b（元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y＝a+7×b+（x﹣10）c＝cx+a+7b﹣10c（元）．∴，21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．【解答】解：（1）∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，∴PM为△ADD1的中位线，得PM＝1，又∵MN⊥BD，∴，∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，∴MN∥AC，又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，∴．即异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2），，代入数据得三棱锥P﹣BMN的体积为．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y＝f﹣1（x）与g（x）＝a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴函数y＝f（x）的定义域为R，又∵＝＝0，∴函数y＝f（x）是奇函数．（2）由，且当x→﹣∞时，，当x→+∞时，，得的值域为实数集．解得，x∈R．（3）在区间[1，2]上恒成立，即，即a x+a﹣x＞4在区间[1，2]上恒成立，令a x＝t，∵a＞1，∴t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]上单调递增，∴，解得，∴．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2＝1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．【解答】解：（1）因为，令n＝1，得，所以a1＝0；或者令n＝2，得，所以：a1＝0（2）当n≥2时，，，，推得，利用叠乘法求出数列a n＝n﹣1又a2＝1，a3＝2a2＝3，所以a n+1＝n，当n＝1，2时也成立，所以a n＝n﹣1，（n∈N*）（3）假设存在正整数p，q使得b1，b p，b q成等比数列，则：lgb1，lgb p，lgb q成等差数列．则：①由于等式右边大于，故则：下面考察数列d的单调性．因为：故数列是单调递减数列．当p＝2时，代入①式得：解得：q＝3当故存在（p，q）为（2，3）使得b1，b p，b q成等比数列．。
静安区2015学年第二学期高三年级高考模拟数学试卷 市赛一等奖
静安区2015学年第二学期高三年级高考模拟数学试卷（理科）适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题。
1.计算：=____. （4.0分）2.设复数z满足(3-4i)z=5(i为虚数单位)，则z=____. （4.0分）3.若原点（0，0）和点（1，1）在直线的x+y-a=0两侧，则a的取值范围是____. （4.0分）4.函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为____. （4.0分）5.算法流程图如图所示，则输出的k值是____. （4.0分）6.抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是____. （4.0分）7.一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为____. （4.0分）8.关于的函数的最大值记为M（x），则M（x）的解析式为____. （4.0分）9.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长为，侧面积为，则它的体积为____. （4.0分）10.已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为____. （4.0分）11.已知△ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且，，则____. （4.0分）12.若以过（0，0）点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为____.（4.0分）13.已知数列满足，，则数列的前n项和的最大值为____. （4.0分）14.设关于x的实系数不等式对任意x∈[0，+∞)恒成立，则=____. （4.0分）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
1.下列不等式一定成立的是( ). （5.0分）(单选)A.B.C.D.2.在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）. （5.0分）(单选)A. 和B. 和C. 和D. 和3.若函数为奇函数，且 g(x)=f(x)+2，已知f(1)=1,则g（-1）=（）.（5.0分）(单选)A. -1B. 1C. -2D. 24.袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则等于( ). （5.0分）(单选)A. 4B. 4.5C. 4.75D. 5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题。
上海市静安区高三上学期期末——数学(文)数学文
A M上海市静安区2015届高三上学期期末教学质量检测（一模）数 学（文） 试 题（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： .2. 已知集合{|2,0}M y y x x ==≥，2{|lg(2)}N x y x x ==-，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记D A. 充分非必要条件 C. 充要条件 17. 则表示复数的点是（ ）A. B. C. 18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74内写出必要的步骤.B1 BC1CDD1 AA1PMN19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足.（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数()log )a f x x =（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区2014学年第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合{|2,0}M y y x x ==≥，2{|lg(2)}N x y x x ==-，则 .解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 .解：或10y -+-=.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.16. 已知直线：与直线：，记3(2)23k D k k -+=- .是两条直线与直线平行的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 解：B.17. 已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数， 则表示复数的点是（ ）A. B. C. D. 解：D.18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）A. 1个B. 4个C. 7个D. 8个 解：C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分）∴ 222()216a c a c a c +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于. （1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示） （2）求三棱锥的体积. 解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分）（2）22BN ==，（9分） 1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分） 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数()log )a f x x =（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.解：（1）∵||0x x x +>+≥，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=， ∴ 函数是奇函数.（4分）（2）由，且当时，，当时，，得()log )a f x x =的值域为实数集.解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==， ∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即，考查数列的单调性，∵111120333p p p p p p+++--=<， ∴ 数列为单调递减数列.（14分）当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）。
2015年上海市静安区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合M＝{y|y＝2x，x≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N＝．2．（4分）设（1﹣x）8＝a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝．3．（4分）不等式1﹣＜0的解集是．4．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，P A＝1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是．5．（4分）文：已知数列{a n}的通项公式a n＝22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和S n＝．6．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若＝0，则t＝．7．（4分）已知f（x）＝x|x﹣1|+1，f（2x）＝（其中x＞0），则x＝．8．（4分）已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC 的内角∠BAC的大小是．（结果用反三角函数值表示）9．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝．10．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β＝．11．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是．12．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．13．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是．14．（4分）两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x﹣2B．C．D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．D＝0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；＝，求a+c的值．（2）若b＝，△ABC的面积S△ABC20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y＝f（x）．21．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP＝x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断（其中m，n∈R且m+n≠0）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）与g（x）＝a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2＝1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．2015年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合M＝{y|y＝2x，x≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N＝（0，2）．【解答】解：∵集合M＝{y|y＝2x，x≥0}＝{y|y≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝（0，2）．故答案为：（0，2）．2．（4分）设（1﹣x）8＝a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝256．【解答】解：由题意可得（1+x）8＝|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝28＝256，故答案为：256．3．（4分）不等式1﹣＜0的解集是（，4）．【解答】解：不等式1﹣＜0即为＜0，即为或，即有x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．4．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，P A＝1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是．【解答】解：∵P A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，∴Rt△P AC中，P A＝1，∠PCA＝，AC＝，∵底面ABCD是正方形，∴AB＝，V＝××1＝故答案为：；5．（4分）文：已知数列{a n}的通项公式a n＝22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和S n＝．【解答】解：数列数列{a n}的通项公式：整理得：则：+2（21+22+…+2n）＝4•+2＝＝故答案为：6．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若＝0，则t＝﹣2．【解答】解：向量，的夹角为30°，，为单位向量，则有＝||•||•cos30°＝＝，由于，若＝0，则t+（1﹣t）＝0，即有t+1﹣t＝0，解得，t＝﹣2．故答案为：﹣2．7．（4分）已知f（x）＝x|x﹣1|+1，f（2x）＝（其中x＞0），则x＝．【解答】解：∵f（x）＝x|x﹣1|+1，f（2x）＝（其中x＞0），∴，∴，∵x＞0，∴（2x）2﹣2x﹣＝0，解得2x＝，∴．故答案为：．8．（4分）已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC的内角∠BAC的大小是arccos．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：∵△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），∴|AB|＝c＝＝5，|AC|＝b＝＝3，|BC|＝a＝＝4，∴cos∠BAC＝＝＝，则∠BAC＝arccos，故答案为：arccos9．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝﹣．【解答】解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，∴α+β＝﹣，α•β＝，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣10．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β＝﹣．【解答】解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ＝﹣3，tanαtanβ＝4，tan（α+β）＝＝又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ＝﹣3，tanα•tanβ＝4，∴α、β同为负角，∴α+β＝﹣．故答案为﹣11．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴＝1，解得k＝，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．12．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2]．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z＝，则y＝zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．13．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是1＜S＜2．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵各项和为S，∴﹣1＜q＜0，∴S＝＝＞1，∴＜0∴1＜S＜2故答案为：1＜S＜214．（4分）两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有7或14名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）【解答】解：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．∴．化为n2+（3﹣2k）n﹣14＝0，∵﹣14＝﹣2×7＝2×（﹣7）＝﹣1×14＝1×（﹣14）．当2k﹣3＝7﹣2时，可得k＝4，此时n＝7，当2k﹣3＝14﹣1时，可得k＝8，此时n＝14．而2k﹣3＝2﹣7或2k﹣3＝1﹣14，k＜0，舍去．综上可得：n＝7或14．故答案为：7或14．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x﹣2B．C．D．【解答】解：对于A．有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）＝f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选：D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．D＝0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k＝0k2+8k﹣9＝0，k＝﹣9或k＝1，当k＝1时，直线l1：x﹣y+2＝0，直线l2：x﹣y+2＝0，∴l1l2重合，当k＝9时，直线l1：3x+7y+6＝0，直线l2：﹣9x﹣21y+2＝0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D＝0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B．17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【解答】解：由图可知：z＝3+i．∴复数＝＝＝＝2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个【解答】解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线共垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；＝，求a+c的值．（2）若b＝，△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）由正弦定理：＝，得＝＝，∴sin B＝，又由B为锐角，得B＝；＝ac sin B＝，sin B＝，（2）∵S△ABC∴ac＝3，根据余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝7+3＝10，∴（a+c）2＝a2+c2+2ac＝16，则a+c＝4．20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y＝f（x）．【解答】解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3＝5公里的收费是5×2.4＝12元，总共收费14+12＝26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是a元，即0＜x≤3时，y＝a（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y＝a+（x﹣3）b＝bx+a ﹣3b（元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y＝a+7×b+（x﹣10）c＝cx+a+7b﹣10c（元）．∴，21．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP＝x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，，在△PMN中，，；（2）当时，PN最小，此时．因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断（其中m，n∈R且m+n≠0）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）与g（x）＝a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴函数y＝f（x）的定义域为实数集R；又，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数y＝f（x）是奇函数．（2）∵a＞1，∴在[0，+∞）上递增，以下给出证明．证明：任取0≤x1＜x2，设，，则＝，∴0＜u1＜u2，即，．又为奇函数，∴f（﹣n）＝﹣f（n）且在（﹣∞，+∞）上递增．∴m+n＝m﹣（﹣n）与f（m）+f（n）＝f（m）﹣f（﹣n）同号，∴．∴当a＞1时，．（3）∵，x∈R，∴在区间[1，2]上恒成立，即，∴在区间[1，2]上恒成立，令a x＝t∵a＞1，a x＝t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]递增，∴，解得；∴．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2＝1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．【解答】解：（1）因为，①令n＝2，得，所以a1＝0；S n+1＝，②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n③，于是，na n+2＝（n+1）a n+1④，③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1，又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝n﹣1．（6分）（2）∵a n＝n﹣1，∴S n＝0+1+2+…+n﹣1＝＝，∴＝＝…（9分）（3）假设存在正整数p、q，使得b1，b p、b q成等比数列，则lgb1，lgb p、lgb q 成等差数列，故，（**）…（11分）由于右边大于，则，即．因为，所以数列为单调递减数列．…（14分）当p＝2时，，代入（**）式得，解得q＝3；当p≥3时，（舍）．综上得：满足条件的正整数组（p，q）为（2，3）．…（16分）。
2015年上海市松江、青浦、静安区中考数学一模试卷
2015年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题满分4×6=24分）1．（4分）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍B．都缩小到原来的C．都没有变化D．都不能确定【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】容易题【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【解答】C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．2．（4分）将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2B．y=（x﹣3）2C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2【考点】M41A 函数图像的几何变换M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），再利用点平移的规律得到点（1，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2．故选A．【解答】A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．（4分）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米【考点】M443 求二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】容易题【分析】直接利用配方法求出二次函数最值，即：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．【解答】D．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．4．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A．2 B．4 C．D．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】根据平行线分线段成比例得到=，即=，可计算出BC=，则CE=BE﹣BC=12﹣=．故选C．【解答】C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．属于中考高频考点，考生要注意！5．（4分）已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么边BC的长等于（）A．2m•sinαB．2m•cosαC．2m•tanαD．2m•cotα【考点】M339 等腰三角形的性质和判定M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】中等题【分析】过点A作AD⊥BC于点D，构建直角△ABD，通过解该直角三角形得到BD=m•cosα．然后利用等腰三角形“三线合一”的性质来求BC=2BD=2m•cosα．故选：B．【解答】B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确区分正弦余弦三角函数是解决问题的关键．6．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4【考点】M33O 三角形面积M33M 相似三角形性质、判定M345 梯形的概念【难度】较难题【分析】证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的面积公式即可得出：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，则S△ABD=S△ACD，∴S1=S3，故命题正确；B、∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，又∵BC=2AD，∴=（）2=，则S2=2S4正确．故命题错误；C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M．∵△AOD∽△COB，又∵BC=2AD，∴==，即=，∴=，则设S△OBC=2x，则S△ABC=3x，则S△AOB=x，即S2=2S1，故命题正确；D、设AD=y，则BC=2y，设OM=z，则ON=2z，则S2=×2y×2z=2yz，S4=×y×z=yz，S△ABC=BC•MN=×2y•3z=3yz，则S1=S3=3yz﹣2yz=yz，则S1•S3=y2z2，S2•S4=y2z2，故S1•S3=S2•S4正确．故选B．【解答】B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的平方，高线的比等于相似比，正确表示出S1、S2、S3、S4，是解决本题的关键．二.填空题（本大题满分4×12=48分）7．（4分）已知=，那么=．【考点】M33H 比例的性质M215 分式的基本性质【难度】容易题【分析】由比例的性质，得x=．当x=时，===，故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质用y表示x是解题关键．8．（4分）计算：=．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】先去括号，然后直接进行向量的加减运算即：原式=﹣+﹣=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【解答】﹣﹣．【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的运算是关键．9．（4分）已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为cm．【考点】M33H 比例的性质【难度】容易题【分析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=4×9，x=±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．【解答】6．【点评】本题要求理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．10．（4分）二次函数y=﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的交点坐标为．【考点】M416 函数图像的交点问题M417 不同位置的点的坐标的特征M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】根据y轴上点的坐标特征得到二次函数y=﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的交点的横坐标为0，则当x=0时，y=﹣2x2﹣5x+3=3，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故答案为（0，3）．【解答】（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA=，那么AC=．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】容易题【分析】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，∴cosA==，则AC=AB=×6=4，故答案为：4．【解答】4．【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】直接根据平行线分线段成比例进行计算．即：====．故答案为．【解答】．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．（4分）如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是．【考点】M236 解一元一次不等式（组）M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口向下，从而确定a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a＜﹣3．【解答】a＜﹣3．【点评】考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．（4分）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于．【考点】M33O 三角形面积M33H 比例的性质M33L 三角形重心、内心、外心【难度】中等题【分析】首先根据题意画出图形，由三角形重心的性质得出AG：GD=2：1，则S△AGC=2S△CGD，S△AGC=S△ACD，又D为BC中点，则S△ACD=S△ABC，S△AGC=×S△ABC=S△ABC=×27=9（cm2）．故答案为：9cm2．【解答】9cm2．【点评】此题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．根据题意得出S△AGC=S△ABC是解题的关键．15．（4分）如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=米．（可以用根号表示）【考点】M124 实数大小比较M241 一元二次方程的概念、解法M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：5，设AC为x，则BC为5x，利用勾股定理可得x2+（5x）2=262，又x＞0，则x=．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．16．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x=﹣1，由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是．【考点】M417 不同位置的点的坐标的特征M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】先确定点（1，3）关于直线x=﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3），然后根据抛物线的对称性求解得这个二次函数的图象一定点（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．【解答】（﹣3，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．17．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB 与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米．【考点】M232 一元一次方程的概念、解法M362 特殊角的锐角三角函数值M364 解直角三角形【难度】中等题【分析】利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．具体为：设OH=x，∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，∴AO=2xm，∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO=3xm，则AO+BO=2x+3x=3m，解得；x=．故答案为：．【解答】．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解题关键．18．（4分）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），将△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为，那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为．【考点】M33D 直角三角形的性质和判定M372 图形的旋转与旋转对称图形【难度】较难题【分析】根据题意判断△ABC为直角三角形，得到∠BAC=30°，根据T﹣变换角为60°，得到经过T﹣变换后点C所对应的点C′在x轴上，又T﹣变换比为，AC=3，则AC′=2，OC′=，∴经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为（﹣，0）．【解答】（﹣，0）．【点评】本题考查的是坐标与图形变化，理解新定义和旋转的概念是解题的关键，注意旋转中心、旋转方向和旋转角在旋转中的应用．三.解答题（本大题满分10+10+10+10+12+12+14=78分）19．（10分）已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．【考点】M33O 三角形面积M414 用待定系数法求函数关系式M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式【难度】容易题【分析】（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6，即可得出抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；（2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5， (3)所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6； (5)（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；∴A（2，0），B（3，0），C（0，6）， (8)∴S△ABC=×1×6=3． (10)【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．20．（10分）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，设=，=；（1）求（用向量，的式子表示）；（2）如果点E在中线AD上，求作在，方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】（1）由AD是边BC上的中线，=，可求得，然后由三角形法则，求得；（2）利用平行四边形法则，即可求得在，方向上的分向量．【解答】解：（1）∵AD是边BC上的中线，=，∴==， (3)∴=﹣=﹣； (5)（2）如图，过点E作EM∥BC，EN∥AB， (7)则、分别是在，方向上的分向量． (10)【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．21．（10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【考点】M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】过点B作BF⊥DE于点F，可得四边形ABFE为矩形，先在△BCF中求出CF的长度，然后在△BDF中求出DF的长度，最后DF﹣CF可求得CD的长度．【解答】解：过点B作BF⊥DE于点F， (1)则四边形ABFE为矩形，在△BCF中，∵∠CBF=40°，∠CFB=90°，BF=AE=24m，∴=tan40°， (3)∴CF=0.84×24≈20.16（m）， (5)在△BDF中，∵∠DBF=45°，∴DF=24m， (7)则CD=DF﹣CF=24﹣20.16=3.84≈3.8（m）． (9)故旗杆CD的长为3.8m． (10)【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．22．（10分）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：可表示为=sin30°=cos60°=tan45°•sin30°=…；仿照上述材料，完成下列问题：（1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示，即填空：=== =…；（2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1=．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】（1）根据30°、45°、60°这三个特殊角的三角比进行填空；（2）因为该等式的要求是：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，所以首先考虑到tan45°=cot45°=1．【解答】解：（1）∵sin60°=cos30°=，tan45°=1，∴=sin60°=cos30°=tan45°•sin60°=…；故答案是：=sin60°；cos30°；tan45°•sin60°； (5)（2）∵=sin30°=cos60°，tan45°=cot45°=1．∴该等式可以是1=（sin30°+cos60°）•tan45°÷cot45°．故答案是：（sin30°+cos60°）•tan45°÷cot45°（答案不唯一）． (10)【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．23．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：=；（2）如果CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．【考点】M323 平行线的判定、性质M33M 相似三角形性质、判定【难度】中等题【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE=EF即可证得；此问简单（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得=，∠FCE=∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG=∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则==，即可证得=，则所证结论即可得到．此问中等【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴=，=， (2)又∵DE=EF，∴=，∴=； (5)（2）∵CF2=FG•FB，∴=， (6)又∵∠CFG=∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴=，∠FCE=∠CBF， (8)又∵DF∥BC，∴∠EFG=∠CBF，∴∠FCE=∠EFG， (10)又∵∠FEG=∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴==，∴=，即CG•CE=BC•DE． (12)【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，证明∠FEG=∠CEF，证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．【考点】M233 二元一次方程（组）的概念、解法M252 特殊的高次方程（二项方程、双二次方程）M324 角平分线及其性质M33F 全等三角形概念、判定、性质M413 结合图像对函数关系进行分析M414 用待定系数法求函数关系式M41A 函数图像的几何变换M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】中等题【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；此问简单（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；此问简单（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案．此问中等【解答】解：（1）由二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5），得， (1)解得． (3)二次函数的解析式y=x2﹣4x； (4)（2）y=x2﹣4x的顶点M坐标（2，﹣4）， (5)这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，顶点M坐标向上平移m，即M（2，m﹣4）； (7)（3）由待定系数法，得CP的解析式为y=x+m，如图：作MG⊥PC于G，设G（a，a+m）．由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM=MG． (9)在Rt△DCM和Rt△GCM中，Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．CG=DC=4，MG=DM=2， (10)，化简，得8m=36，解得m=． (12)【点评】本题属于二次函数综合题，属于中考常考题型；注意：（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，全等三角形的性质．均属于中考常考知识点，考生要注意掌握25．（14分）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．【考点】M124 实数大小比较M232 一元一次方程的概念、解法M241 一元二次方程的概念、解法M323 平行线的判定、性质M339 等腰三角形的性质和判定M33E 勾股定理M33F 全等三角形概念、判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M711 数学综合与实践【难度】较难题【分析】（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；此问简单（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；此问中等（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x﹣y=5﹣x，即y=2x﹣5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC﹣EP=BC﹣MP=5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．此问较难【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∵∠ABE=∠CBP，∴∠ABM=∠APB． (2)又∵∠A=∠A，∴△ABM∽△APB，∴=，∴=，∴y=x﹣． (4)∵P是边AD上的一动点，∴0≤x≤5．∵y＞0，∴x﹣＞0，∴x＞2，∴函数的定义域为2＜x≤5； (5)（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，∴MP=3，AM=1，∴BM==，BP==2． (6)∵S△BMP=MP•AB=BP•MH，∴MH==，∴BH==，∴tan∠EBP==； (8)（3）①若EB=EC，则有∠EBC=∠ECB．∵AD∥BC，∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，∴∠AMB=∠DPC． (9)在△AMB和△DPC中，，∴△AMB≌△DPC， (10)∴AM=DP，∴x﹣y=5﹣x，∴y=2x﹣5，∴x﹣=2x﹣5，解得：x1=1，x2=4．∵2＜x≤5，∴AP=x=4； (11)②若CE=CB，则∠EBC=∠E．∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E，∴PE=PM=y，∴PC=EC﹣EP=5﹣y， (12)∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）=4，∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）=4，整理得：3x2﹣10x﹣4=0，解得：x3=，x4=（舍负）．∴AP=x=．终上所述：AP的值为4或． (14)【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．。
静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷 省赛一等奖
静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷（理科）适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题。
1.已知抛物线的准线方程是，则____（4.0分）2.在等差数列中，已知公差，则____ （4.0分）3.设,且，则的取值范围是____ （4.0分）4.已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是____cm3. （4.0分）5.方程的解为x=____ （4.0分）6.直线关于直线对称的直线方程是____ （4.0分）7.已知复数z满足,其中i为虚数单位,则____ （4.0分）8.的展开式中项的系数等于____. (用数值作答) （4.0分）9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有____种. (用数值作答) （4.0分）10.经过直线与圆的两个交点,且面积最小的圆的方程是____ （4.0分）11.在平面直角坐标系中，坐标原点、点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量，则点的横坐标是____ （4.0分）12.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，则____. (用数值作答) （4.0分）13.已知各项皆为正数的等比数列，满足，若存在两项使得，则的最小值为____ （4.0分）14.在平面直角坐标系中，将直线沿x轴正方向平移3个单位, 沿y轴正方向平移5个单位,得到直线.再将直线沿x轴正方向平移1个单位, 沿y轴负方向平移2个单位,又与直线重合.若直线与直线关于点对称,则直线的方程是____ （4.0分）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
1.组合数恒等于（）。
（5.0分）(单选)A.B.C.D.2.函数的反函数是（）。
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静安区 2014 学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷参考答 案
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．理： (0,2) ；文：
1 ； 12
2. 理： 2 8 256 ；文： (0,2) 4. 理：
的学生参加比赛. （结果用数值作答） 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15．在下列幂函数中，是偶函数且在 (0,) 上是增函数的是 ( ) A． y x 2 ； B． y x
（1）求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小； （结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥 P BMN 的体积. B1 P A B M N C A1 C1 D D1
理：( 本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AB AD 2 ， AA1 4 ，点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 上的 动点（不包括端点）. PM 平面 ABCD 交 AD 于点 M ， MN BD 于点 N . （1）设 AP x ，将 PN 长表示为 x 的函数； （2）当 PN 最小时，求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） A1 B1 C1 D1
，则该四棱锥的体积 6
P A D C
5．文：不等式
x4 0 的解集是 2x 1
.
B
2n 理 ： 已 知 数 列 a n 的 通 项 公 式 an 2 ，则该数列的前 n 项和 2 n1 （ 其 中 n N * ）
Sn
6．文：同理 2
.
理：已知两个向量 a ， b 的夹角为 30°， a 3 ， b 为单位向量， c t a (1 t )b , 若 b c =0， 则t= .
z 的点是 ( 1 i
)
A． M
B． N
C． P
D． Q ) D．8 个
18．到空间不共面的四点距离相等ห้องสมุดไป่ตู้平面个数为( A．1 个； B．4 个； C．7 个；
三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19 ． (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 . 在锐角 ABC 中，a、b、c 分别为内角 A 、B 、C 所对的边长，且满足 （1）求B 的大小； （2）若 b 7 ， ABC 的面积 SABC
.
10．文：已知两条直线的方程分别为 l1 : x y 1 0 和 l 2 : 2 x y 2 0 ，则这两条直线的夹角大小 为 . （结果用反三角函数值表示）
理：已知 tan 、 tan 是方程 x 2 3 3x 4 0 的两根， 、 (
两条直线 l1 与直线 l 2 平行的(
3 (k 2) .D0是 k 2k 3
)
A 1 Q 1 4 x 1
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件 ； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件
17．已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数 z ，则表示复数
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1
( x) 与 g ( x) a x 在闭区间 [1,2] 上是否分离？若分离，求出实数 a 的
取值范围；若不分离，请说明理由.
23．(本题满分 16 分) 文：本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 7 分. 理：本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 3 分，第 3 小题满分 7 分. 在数列 a n 中，已知 a 2 1 ，前 n 项和为 S n ，且 S n （1）文：求 a1 ； 理：求数列 a n 的通项公式； （2）文：求数列 a n 的通项公式； 理：求 lim
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21 ．文：(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分 . 如图，正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ，点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中点. PM 平面
ABCD 交 AD 于点 M ， MN BD 于点 N .
7．文：已知圆锥底面圆的半径为 1，侧面展开图是一个圆心角为 是 .
2 的扇形，则该圆锥的侧面积 3
5 (其中 x 0) ，则 x . 4 8． 文： 已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合， 始边在 x 轴的正半轴上， 终边在射线 y 2 x ( x 0)
理：已知 f ( x) x x 1 1 ， f (2 x ) 上，则 sin 2 .
理：一个无穷等比数列的首项为 2，公比为负数，各项和为 S ，则 S 的取值范围是 . 14．文：同理 13 理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次， 胜者得 1 分，和棋各得 0.5 分，输者得 0 分，即每场比赛双方的得分之和是 1 分. 两名高一年级的学生共得 8 分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有 名高二年级
2 14. 理： nk 8 C n 2 ．7 或者 14；文： 1 S 2
13. 理： 1 S 2 ；文： [2,2] ；
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的 相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15．D ； 16．B ； 17． D ；18．C
1 ；文：2； 3
2 1 3 10 ；文： arccos （或 arctan ） 3 3 10
文：
11. 理： 3x y 1 2 3 0 或 3x y 1 2 3 0 ； 12．理： [2,2] ； 文：
1 3
3x y 1 2 3 0 或 3x y 1 2 3 0
sin A 3 . a 2b
3 3 ，求 a c 的值. 4
20． ( 本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分. 某地的出租车价格规定:起步费 a 元，可行 3 公里，3 公里以后按每公里 b 元计算，可再行 7 公里； 超过 10 公里按每公里 c 元计算（这里 a 、 b 、 c 规定为正的常数，且 c b ） ，假设不考虑堵车和红绿 灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费 由行车里程唯一确定. （1）若取 a 14 ， b 2.4 ， c 3.6 ，小明乘出租车从学校到家，共 8 公里，请问他应付出租车费多 少元？（本小题只需要回答最后结果） （2）求车费 y （元）与行车里程 x (公里)之间的函数关系式 y f ( x) .
又由角 B 为锐角，得 B （2） S ABC
；…………………………（6 分） 3 3 1 3 ，所以 ac 3 ，…………………………（8 分） ac sin B ，又 SABC 2 4
, ) ，则 = 2 2
.
.
11．文：同理 10 理：直线 l 经过点 P(2,1) 且点 A(2,1) 到直线 l 的距离等于 1，则直线 l 的方程是 12．文：同理 11 理：已知实数 x 、 y 满足 x y 1 ，则 13．文：同理 12
y2 的取值范围是 x
.
n(a n a1 ) . （其中 n N * ） 2
Sn n2
n
；
（3）设 lg bn
，问是否存在正整数 p 、 q （其中 1 p q ） ，使得 b1 ， b p ， bq 成等比数列？ 3n 若存在，求出所有满足条件的数组 ( p, q) ；否则，说明理由.
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2015 年 1 月上海市静安区高三数学 (文理合卷 )一模试卷
一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．文：1．计算： lim
n2 n 12n 2 7
.
理：已知集合 M y y 2 x, x 0 ， N x y lg( 2 x x 2 ) ，则 M N 2．文：同理 1 理：设 (1 x) 8 a0 a1 x a7 x 7 a8 x 8 ，则 a0 a1 a7 a8
1
( x) ；
f (m) f (n) （其中 m, n R 且 m n 0 ）的正负号，并说明理由； mn
（3） 若两个函数 F ( x) 与 G( x) 在闭区间 [ p, q] 上恒满足 F ( x) G( x) 2 ， 则称函数 F ( x) 与 G( x) 在闭 区间 [ p, q] 上是分离的. 试判断 y f ( x) 的反函数 y f
P
A B
M N C
D
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22．( 本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) log a ( x 2 1 x) （其中 a 1 ）. （1）判断函数 y f ( x) 的奇偶性，并说明理由； （2）文：求函数 y f ( x) 的反函数 y f 理：判断