信号与系统课后习题答案-第1章

第1章 习题答案

1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？

解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）；

④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。

1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。

解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性

1）可加性

不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则

y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而

|f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)|

即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。

2）齐次性

由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数）

即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性

由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|，

即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。

依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。

1－3 判定下列方程所表示系统的性质：

)()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()()

(2''''''''0t f t y t y d t f t y t ty t y c t f t f t y t y t y b dx x f dt t df t y a t =+=++-+=+++=⎰

解：（a ）① 线性

1）可加性

由 ⎰+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得⎪⎩⎪⎨⎧→+=→+=⎰⎰t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx

x f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即 则

⎰⎰⎰+++=+++=+t t t dx x f x f t f t f dt

d dx x f dt t df dx x f dt t df t y t y 0212102201121)]()([)]()([)()()()()()( 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。

2）齐次性

由)()(t y t f →即⎰+=t dx x f dt

t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 )(])()([)()()]([)]([000t ay dx x f dt

t df a dx x f a dt t df a dx x af t af dt d t t t =+=+=+⎰⎰⎰

即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。

由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。

② 时不变性

)()(t y t f → 具体表现为：⎰+=t dx x f dt

t df t y 0)()()( 将方程中得f(t)换成f(t-t 0）、y(t)换成y(t-t 0)（t 0为大于0的常数），

即 ⎰-+-=-t dx t x f dt

t t df t t y 0000)()()( 设τ=-0t x ，则τd dx =，因此⎰--+-=-00)()()(00t t t d f dt

t t df t t y ττ 也可写成⎰--+-=-00)()()(00t t t dx x f dt

t t df t t y ， 只有f(t)在t=0时接入系统，才存在)()(00t t y t t f -→-，当f(t)在t ≠0时接入系统，

不存在)()(00t t y t t f -→-，因此，此系统为一时变系统。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。

（b ）① 线性

1）可加性

在由

)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 规定的)()(t y t f →对应关系的前提下，可得 )]

2()2([)]()([)]()([3)]()([2)]()([)2()()(3)(2)()2()()(3)(2)(21'2121'21''212'22'2''21'

11'1''1-+-++=+++++⇒⎭⎬⎫-+=++-+=++t f t f t f t f t y t y t y t y t y t y t f t f t y t y t y t f t f t y t y t y

即由)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋可推出→−−→−⎭

⎬⎫→→，系统满足可加性。 2）齐次性 由

)()(t y t f →，即)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y ，两边同时乘以常数a ，有 )]

2([)]([)]([3)]([2)]([)]

2()([)](3)(2)([''''''''-+=++⇒-+=++t af t af t ay t ay t ay t f t f a t y t y t y a 即)()(t ay t af →，因此，系统具备齐次性。