2.3.1 离散型随机变量的均值

3
E（X） 2.1
小结：
一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 E（X） np
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球
次数的数学期望是 3 .
例2 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择
题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每 题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。 学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在 测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，分 别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。
2.3.1 离散型随机变 量的均值
数学期望
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2 ··· xi
···
P
p1
p2 ··· pi
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
引入
• 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布 列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实 际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的 某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次 数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分； 要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则 需要考察这个班数学成绩的方差。
可以吗 18+24+36 26 3
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗 糖果所属种类的单价（元 kg）,你能写出X的分布列吗？
• 现在混合糖果中任取一个，它的实际 价格用Ｘ表示，Ｘ的分布列为：
Ｘ １８
1
Ｐ
2
２４
1 3
３６
1 6
合理价格 =18×1 +24× 1 +36× 1 =23
2
3
6
1 10
加 权
平
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
加权平均数
• 权是称锤，权数是起权衡轻重的作 用的数值；
• 加权平均：计算若干数量的平均数 时，考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同，分别给予不同的 权数。
18元/kg
24元/kg
36元/kg
• 按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一 粒糖果的质量都相等，如何给混合糖果 定价才合理？ 定价为
代表X的平均取值，用E（X）表示
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
E（X） x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则E（ξ）= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则E（η）= 5.8
.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
E（ξ）=7.5,则a= 0.1
9
10
b
0.2
b= 0.4 .
例1 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中 的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X， X的均值是多少？
罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.3
2
C
2 3
0.7
2
பைடு நூலகம்
0.3
0.73
(2)
EX
0
0.33
1
C
1 3
0.7
0.32
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3
0.7
aE（X） b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn E（X） x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
X x1
Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
E（Y） (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
X
0
1
p
0.3 0.7
解：该随机变量X服从两点分布:
P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3
所以：E（X） =1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7
归纳： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 E（X） 1 p 0 (1 p) p
例2 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
E（X） x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随 机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） E（Y）=？
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
P
p1
p2
…
p20
Y
5x1
5x2
…
5x20
P
p1
p2
…
p20
解：设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数 则Y1=5X1 Y2=5X2 所以：E（Y1）=E(5X1)=5E（X1）=90 E（Y2）=E(5X2)=5E（X2）=25
例3 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率
为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上 有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000元,遇 到小洪水损失10000元.为保护设备,有以下3种 方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,
解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数它们 都满足二项分布：X1～B(20，0.9) ， X2～B(20，0.25)
所以：E（X1）= n p =20×0.9=18
E（X2）= n p =20×0.25=5
甲所得分数的均值为：18×5=90
乙所得分数的均值为： 5×5=25
X
x1
x2
…
x20
• 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变 量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
问题：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：
X
1
2
3
4 权数
P
4 10
3 10
2 10