2019届江苏高考应用题模拟试题选编(三)
2019届江苏省镇江市高三考前模拟(三模)数学试题(解析版)(2021年整理)
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2019届江苏省镇江市高三考前模拟（三模)数学试题一、填空题1．已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B ⋂=____. 【答案】{}|12x x <<【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为:{x |1x 2}<<． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．设复数2(12)z i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为_______。
【答案】34i --【解析】根据复数运算整理出34z i =-+，根据共轭复数定义得到结果. 【详解】14434z i i =+-=-+ z ∴的共轭复数为：34i --本题正确结果：34i -- 【点睛】本题考查复数的运算,共轭复数的求解，属于基础题.3．执行如图所示的伪代码,若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______。
【答案】-1【解析】 执行此程序框图可知,当0x ≥时，121x +=-,此时方程无解； 当0x <时，221x -=-,解得1x =-，所以输入x 的值为1-。
2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(3)(含附加及详细解答)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，∠PBC ＝∠BAD ＝90°.求证： （1）BC ⊥平面P AB ；（2）AD ∥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.（1）求a 的值；（2）设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．18. (本小题满分16分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.（1）若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；（2）如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．20. (本小题满分16分)设函数f(x)的导函数为f′(x)．若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”．（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”；（3）若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求矩阵A .B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．C. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.（1）按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？（2）若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．23. 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.（1）求抛物线C的标准方程；（2）问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1. 2. 22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z |＝22.3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a <0或a >2，∴ “a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k >0且k ×1－1≥2×1－12， ∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴ tan⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a ，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b 4c －a2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e <1， ∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a <7，∴ －6<a <－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t 即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13. 55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55.14. (1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2. 15. 证明：(1) 如图，在平面P AB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ， 因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面P AB ， 所以PH ⊥平面ABCD .(4分)而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC . 由∠PBC ＝90°得PB ⊥BC .又PH ∩PB ＝P ，PH ，PB ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB .(8分)(2) 因为AB ⊂平面P AB ，故BC ⊥AB , 由∠BAD ＝90°，得AD ⊥AB ，故在平面ABCD 中，AD ∥BC .(11分) 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC .(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，S ＝23，S ＝12bc sin A ，∴ 12·4·c sin π3＝23，∴ c ＝2， ∴ a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12，∴ a ＝2 3.(6分)(2) ∵ a sin A ＝b sin B ，∴ 23sinπ3＝4sin B，∴ sin B ＝1.又0<B <π，∴ B ＝π2，C ＝π6，∴ f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴ g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(14分)17. 解：(1) 由∠EOF ＝π4，可得∠COF ＋∠AOE ＝π4，由题意有tan ∠COF ＝x 4，tan ∠AOE ＝y5，则tan(∠COF ＋∠AOE )＝x 4＋y 51－xy 20＝1，即有y ＝20－5x 4＋x，由0≤y ≤4⇒49≤x ≤4，则函数的解析式为y ＝20－5x 4＋x⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4.(6分)(2) 三角形池塘OEF 的面积S ＝S 矩形OABC －S △AOE －S △BEF －S △COF＝4×5－5y 2－4x 2－（4－y ）（5－x ）2＝10＋5x 2－20x 2（x ＋4）⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4，令t ＝x ＋4⎝⎛⎭⎫409≤t ≤8， 即有S ＝10＋12⎝⎛⎭⎫5t ＋160t －60≥202－20， 当且仅当5t ＝160t，即t ＝42时取“＝”，此时x ＝(42－4)m ，∴ 当x ＝(42－4)m 时，△OEF 的面积取得最小值，且为(202－20)m 2.(14分)18. 解：(1) 由e ＝32可得b a ＝12.设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝⎛⎭⎫1，32，得b ＝1，故椭圆方程为x24＋y 2＝1.(4分)(2) ① 由条件知OP ：y ＝x 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则满足x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1， 两式作差，得x 21－x 224＋y 21－y 22＝0， 化简得x 1＋x 24＋(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0.因为AB 被OP 平分，故y 1＋y 2＝x 1＋x 22，当x 1＋x 2≠0即直线l 不过原点时，y 1＋y 2≠0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12；当x 1＋x 2＝0即直线l 过原点时，y 1＋y 2＝0，y 1－y 2x 1－x 2为任意实数，但y 1－y 2x 1－x 2＝12时l 与OP 重合；综上，直线l 的斜率为除12以外的任意实数．(8分)② 当x 1＋x 2＝0时，y 1＋y 2＝0，故P A →·PB →＝(x 1－2)·(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝5－x 21－y 21＝0，得x 21＋y 21＝5，联立x 214＋y 21＝1，得y 21＝－13<0，舍去； 当x 1＋x 2≠0时，设直线l 为y ＝－12x ＋t ，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1可得x 2－2tx ＋2(t 2－1)＝0(*)，所以x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2(t 2－1),y 1＋y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ＋⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝－12(x 1＋x 2)＋2t ＝t ， y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝14x 1x 2－t 2(x 1＋x 2)＋t 2＝12(t 2－1)，(13分) 故P A →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝52(t 2－2t ＋1)＝0 , (15分) 解得t ＝1，此时方程(*)中Δ>0，故所求直线方程为y ＝－12x ＋1.(16分)19. 解：(1) ∵ a 1，a 3＋2，a 5－5成等差数列， ∴ 2(a 3＋2)＝a 1＋a 5－5.又a 1＝1，公比为q ，∴ 2(q 2＋2)＝1＋q 4－5， 即q 4－2q 2－8＝0，∴ q 2＝4，∴ q ＝±2.∵ a n >0，∴ q ＝2，∴ a n ＝2n －1.(4分)(2) ∵ a 2a 4n －2＝a 4n ，数列{a n }是首项为a ，公比为q 的等比数列，∴ a 22n ＝a 4n.又a n >0，∴ a 2n ＝a 2n ，∴ a ·q 2n －1＝a 2n ， ∴ q ＝a ，∴ a n ＝a n .(6分)① 假设{a n }中存在三项a r ，a q ，a p (p >q >r )成等差数列，则2a q ＝a p ＋a r .∵ a ＝2，∴ 2·2q ＝2p ＋2r ，∴ 2q －r ＋1＝2p －r ＋1.∵ q －r ≥1，p －r ≥2，q －r ，p －r 均为正整数，∴ 2q －r ＋1为偶数，2p －r ＋1为奇数，∴ 2q －r ＋1≠2p －r ＋1，矛盾，故{a n }中不存在三项成等差数列．(10分) ② ∵ a n ＝a n ，∴ b n ＝a n lg a n ＝na n lg a . ∵ b n ＋1>b n 恒成立，∴ (n ＋1)a n ＋1lg a >na n lg a 恒成立，显然a ≠1.当0<a <1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a >na n lg a ，得a <1－1n ＋1恒成立，∴ 0<a <12；当a >1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a >na n lg a ，得a >1－1n ＋1恒成立，∴ a >1.综上所述，a 的取值范围是(0，12)∪(1，＋∞)．(16分)20. (1) 解：举例：函数f (x )＝1是“超导函数”， 因为f (x )＝1，f ′(x )＝0，满足f (x )≥f ′(x )对任意实数x 恒成立， 故f (x )＝1是“超导函数”. (4分)(注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分) (2) 证明：∵ F (x )＝g (x )h (x )，∴ F ′(x )＝g ′(x )h (x )＋g (x )h ′(x )，∴ F (x )－F ′(x )＝g (x )h (x )－g ′(x )h (x )－g (x )·h ′(x )＝[g (x )－g ′(x )][h (x )－h ′(x )]－g ′(x )h ′(x )． ∵ 函数g (x )与h (x )都是“超导函数”，∴ 不等式g (x )≥g ′(x )与h (x )≥h ′(x )对任意实数x 都恒成立， 故g (x )－g ′(x )≥0，h (x )－h ′(x )≥0 ①，而g (x )与h (x )一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，故g ′(x )h ′(x )≤0 ②， 由①②得F (x )－F ′(x )≥0对任意实数x 都恒成立， ∴ 函数F (x )＝g (x )h (x )是“超导函数”．(10分) (3) 解：∵ φ(1)＝e ，∴ 方程φ(－x －ln x )＝e －x －ln x 可化为φ（－x －ln x ）e －x －ln x＝φ（1）e 1， 设函数G (x )＝φ（x ）e x，x ∈R ，则原方程即为G (－x －ln x )＝G (1) ③.∵ y ＝φ(x )是“超导函数”，∴ φ(x )≥φ′(x )对任意实数x 恒成立，而方程φ(x )＝φ′(x )无实根，故G ′(x )＝φ′（x ）－φ（x ）e x<0恒成立，∴ G (x )在R 上单调递减，故方程③等价于－x －ln x ＝1，即x ＋1＋ln x ＝0， 设H (x )＝x ＋1＋ln x ，x ∈(0，＋∞)，则H ′(x )＝1＋1x>0在(0，＋∞)上恒成立，故H (x )在(0，＋∞)上单调递增，而H ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1e 2－1<0，H ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e>0， 且函数H (x )的图象在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上连续不间断，故H (x )＝x ＋1＋ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)21. A . 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(10分) B. 解：曲线C ：ρ＝2sin θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，∴ 曲线C 是以(0，1)为圆心，1为半径的圆．(1分)由题可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，则圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2.(4分)∵ AB ＝2r 2－d 2，∴ 3＝21－11＋k2，即k 2＝3，解得k ＝±3，∴ 直线l 的方程为y ＝±3x .(10分)C. 解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，解得－3＜x ≤－2；(3分)当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；(6分)当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2，解得x ≥2，(9分)所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}．(10分)22. 解：(1) 先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法，所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12(种)不同的阵容．(2分)(2) ξ的可能取值是0，2，3，4，5，7. P (ξ＝0)＝64343，P (ξ＝2)＝96343，P (ξ＝3)＝48343， P (ξ＝4)＝36343，P (ξ＝5)＝72343，P (ξ＝7)＝27343. ξ(8分)所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.(10分) 23. 解：(1) 将点(2，1)代入抛物线C 的方程得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y.(2分)(2) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16＞0，x 1＝2k －2k 2－1，x 2＝2k ＋2k 2－1，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14， 于是直线A′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)， 所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝k 2－1x ＋1， 当x ＝0时，y ＝1，所以直线A′B 过定点(0，1)．(10分)。
江苏省苏锡常镇四市2019届高三第三次模拟考试数学Word版含答案
2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝3＋4i5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．3. 已知双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1，则其离心率为________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为________． T←1 i ←2While T<6 T←2T i←i＋2 End While Print i (第4题)5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．6. 口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝2a 2，则S 12S 8＝________．8. 若函数f(x)＝cos (ωx－π3)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________．9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a －2b 2＋4b的最小值为________．10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x 2＋2)的解集为____________．11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________．12. 已知点P 在曲线C ：y ＝12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点．若OP⊥OQ，则点P 的纵坐标为________．13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上．若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为________．14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD⊥AB，垂足为D ，点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB⊥平面PCD.求证：(1) EF∥平面ABC ； (2) CE⊥AB.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C. (1) 求角A 的大小；(2) 若cos(B ＋π6)＝14，求cos C 的值．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若HG⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3) 如果A 1H →＝λA 1P →，试求λ的取值范围．已知函数f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，其中a∈R .(1) 如果曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3) 对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，求实数a 的取值范围．已知数列{a n}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n ＝λ(n－1)a1a n恒成立．(1) 如果1a1，1a2，1a3成等差数列，求实数λ的值；(2) 已知λ＝1.①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n}中，a1≠a2.数列{b n}是公比为q的等比数列，满足b1＝1a1，b2＝1a2，b3＝1a i(i∈N)．求证：q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01，求A 2.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(23，π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b ≥1.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；(2) 已知△A OB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．23. 已知数列{a n}中，a1＝2，且a n＋1＝a2n－a n＋1对任意n∈N恒成立．求证：(1) a n＋1＝a n a n－1a n－2…a2a1＋1(n∈N)；(2) a n＋1>n n＋1(n∈N)．2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1. (0，1)2. 13. 524. 85. 556. 137. 738. 239. 11 10. (－2，－1)∪(1，2) 11. 1212. 1 13. －25314. (－2e －1，0]15. 证明：在三棱锥PABC 中：(1) 因为点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以EF 为△PCD 的中位线，(2分) 则有EF∥CD.(3分) 又EF平面ABC ，CD平面ABC ，所以EF∥平面ABC.(7分)(2) 因为平面PAB⊥平面PCD ，平面PAB∩平面PCD ＝PD ，AB ⊥PD ，AB 平面PAB ，所以AB⊥平面PCD.(11分) 又CE平面PCD ，所以AB⊥CE.(14分)16. 解：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且3a c ＝2－cos Asin C，(1分) 得3sin A sin C ＝2－cos Asin C，(2分)则有3sin A ＝2－cos A ，即3sin A ＋cos A ＝2，2sin(A ＋π6)＝2， 故sin(A ＋π6)＝1.(4分)因为A∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，因为A ＝π3，则B∈(0，2π3)，B ＋π6∈(π6，5π6)，所以sin(B ＋π6)>0.因为cos(B ＋π6)＝14，所以sin(B ＋π6)＝1－cos 2（B ＋π6）＝154.(8分)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，(9分)所以cos C ＝cos(π－A －B)＝－cos(A ＋B)＝－cos(B ＋π3)(10分)＝－cos[(B ＋π6)＋π6]＝－cos(B ＋π6)cos π6＋sin(B ＋π6)sin π6＝－32×14＋12×154＝15－38.(14分) 17. 解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为h 米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V ＝36π.(1) 由r ＝6，得V ＝13πr 2h ＝36π，得h ＝3，(1分)所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝6π62＋32＝185π.(2分)又底面积为πr 2＝36π(平方米)，(3分)故该容器的表面积为(185π＋36π)＝18(2＋5)π(平方米)．(4分) 答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(5分)(2) 因为V ＝13πr 2h ＝36π，得r 2＝3×36ππh ＝108h ，其中h>0，所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝πr 4＋r 2h 2＝π1082h 2＋108hh 2＝π1082h2＋108h ＝π108108h2＋h.(8分) 记f(h)＝108h 2＋h ，令f′(h)＝－216h 3＋1＝h 3－216h3＝0，得h ＝6.(10分) 当h∈(0，6)时，f ′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h∈(6，＋∞)时，f ′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．(12分) 所以，当h ＝6时，f(h)最小，此时S 最小．(13分)答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．(14分)18. 解：(1) 由椭圆C 的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4，得a ＝2，a 2c ＝4，故c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1 ①.(3分)(2) 设直线A 1D ：y ＝k(x ＋2)(k>0) ②，则与右准线x ＝4的交点D(4，6k)． 又A 2(2，0)，所以设直线A 2D ：y ＝3k(x －2)，联立①，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3k （x －2），解得G(24k 2－21＋12k 2，－12k1＋12k2)，(5分)则直线OG 的斜率为k OG ＝－6k12k 2－1 ③.因为OG⊥A 1D ，故－6k 12k 2－1·k ＝－1.又k>0，解得k ＝66，(7分)则直线A 1D 的方程为y ＝66(x ＋2)．(8分) (3) 由(2)中③可设直线OG ：y ＝－6k12k 2－1x ，联立②，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6k 12k 2－1x ，y ＝k （x ＋2），解得H(－24k 2＋212k 2＋5，12k12k 2＋5)．(10分) 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋2），解得P(6－8k 23＋4k 2，12k3＋4k2)．(12分)因为AH →＝λAP →，所以(x H ＋2，y H )＝λ(x P ＋2，y P )，则y H ＝λy P ， λ＝y H y P ＝f(k)＝12k 12k 2＋512k 3＋4k 2＝3＋4k 212k 2＋5＝112k 2＋9－43＋4k 2＝13－43＋4k 2.(14分) 因为f(k)在(0，＋∞)上为减函数，(15分) 所以λ∈(13，35)．(16分)19. 解：因为f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，所以f′(x)＝（x ＋1）（2x －a ）x 2.(1分) (1) 因为曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1， 所以f′(1)＝2(2－a)＝1，解得a ＝32.(2分)(2) ① 当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故函数f(x)不存在极值．(3分) ②当a>0时，令f′(x)＝0，得x ＝a2.x (0，a 2)a 2 (a2，＋∞) f′(x) －0 ＋f(x)极小值(5分)则f(x)min ＝f(a 2)＝a －a 24－aln a 2≤a 2.因为a>0，则12－a 4－ln a2≤0.令g(a)＝12－a 4－ln a 2＝12＋ln 2－a 4－ln a ，则g′(a)＝－14－1a<0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递减．(7分)又g(2)＝0，所以g(a)≤g(2)＝0，则a≥2，则实数a 的最小值为2.(8分) (3) 记f(x)在[1，2]上的值域为A ，在[4，8]上的值域为B ，“任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立”等价于“A B ”． ①当a 2≤1或a2≥8，即a≤2或a≥16时，由(2)知f(x)在[1，8]上为单调函数，不合题意；(9分)②当1<a 2≤2，即2<a≤4时，由(2)知f(x)在(0，a 2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f(a 2)∈A ，但f(a2)B ，不合题意；(10分)③当2<a2≤4，即4<a≤8时，A ＝[f(2)，f(1)]，B ＝[f(4)，f(8)]，由A B ，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥f（4），f （1）≤f（8），则⎩⎪⎨⎪⎧8－2a －aln 2≥24－4a －2aln 2，3－a≤80－8a －3aln 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥162＋ln 2，a ≤777＋3ln 2.(11分) 因为0<ln 2<1，则2<2＋ln 2<3，即4<163<162＋ln 2<8.因为e>2.7，计算得e 3>24，则e 72>e 3>24，即72>ln 24＝4ln 2，即7>8ln 2，也即21>24ln 2，则777＋3ln 2－8＝21－24ln 27＋3ln 2>0，即777＋3ln 2>8.所以162＋ln 2≤a ≤8.(13分)④当4<a2<8，即8<a<16，由A B ，得f(8)≥f(1)，得a ≤777＋3ln 2<777＝11<16，则8<a≤777＋3ln 2.(15分) 综上，162＋ln 2≤a ≤777＋3ln 2.(16分)20. (1) 解：因为n≥3且n∈N *时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝λ(n－1)a 1a n 恒成立，所以n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2λa 1a 3 (*)． 因为数列{a n }各项都不为0，所以(*)式两边同除以a 1a 2a 3，得2λa 2＝1a 1＋1a 3.(1分)因为1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，则2a 2＝1a 1＋1a 3.(2分)比较得2λa 2＝2a 2，所以λ＝1.(3分)(2) 证明：① 当λ＝1，n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2a 1a 3 (i)，整理，得1a 1＋1a 3＝2a 2，则1a 2－1a 1＝1a 3－1a 2(ii)．(4分) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＝3a 1a 4 (iii)． (iii)－(i)，得a 3a 4＝3a 1a 4－2a 1a 3，得1a 1＝3a 3－2a 4.又1a 1＋1a 3＝2a 2，所以1a 4－1a 3＝1a 3－1a 2 (iv)．(5分) 当n≥3时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝(n －1)a 1a n ， a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减，得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n .因为a n ≠0，所以1a 1＝n a n －n －1a n ＋1，(6分)所以1a 1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，所以n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，整理，得1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，即1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n(n≥3) (v)．(7分)由(ii)(iv)(v)，得1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n 对任意的正整数n≥1恒成立，(8分)所以数列{1a n}成等差数列．(9分)②设数列{1a n }的公差为d ，令c n ＝1a n ，c 1＝1a 1＝c(c≠0)，则b 1＝c 1＝c ，b 2＝c 2＝c ＋d ，d ＝c 2－c 1＝b 2－b 1＝cq －c.当i ＝2时，b 3＝c 2＝b 2，从而q ＝1，b 2＝b 1，得a 1＝a 2，与已知不符．(10分)当i ＝3时，由b 3＝c 3，cq 2＝c ＋2d ＝c ＋2c(q －1)，得q 2＝1＋2(q －1)， 得q ＝1，与已知不符．(11分)当i ＝1时，由b 3＝c 1，cq 2＝c ，得q 2＝1，则q ＝－1(上面已证q≠1)为整数． 数列{b n }为c ，－c ，c ，…；在数列{c n }中，c 1＝c ，c 2＝－c ，公差d ＝－2c. 数列{b n }每一项都是{c n }中的项(c ＝c 1，－c ＝c 2)．(12分)当i≥4时，由b 3＝c i ，cq 2＝c ＋(i －1)d ＝c ＋(i －1)c(q －1)，得q 2－(i －1)q ＋(i －2)＝0，得q ＝1(舍去)，q ＝i －2(i≥4)为整数．(14分) 因为cq ＝c ＋d ，b 3＝c i ，对任意的正整数k≥4，欲证明b k 是数列{c n }中的项，只需b k ＝cq k －1＝c i ＋xd ＝b 3＋x(cq －c)＝cq 2＋x(cq －c)有正整数解x.等价于qk －1＝q 2＋x(q －1)，x ＝qk －1－q2q －1为正整数． 因为x ＝qk －1－q 2q －1＝q 2（q k －3－1）q －1表示首项为q 2，公比为q ＝i －2(i≥4)， 共k －3(k≥4)项的等比数列的和，所以x 为正整数． 因此，{b n }中的每一项都是数列{c n }也即{1a n }中的项．(16分)2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解： 因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(2分)即a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，(5分)则A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4301.(10分)B. 解：由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M(2，0，)N(3，3)， 则直线l ：y ＝3(x －2)，(2分)曲线C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，圆心为(2，－3)，半径r ＝2， 则圆心到直线l 的距离d ＝|0－3|2＝32，(6分)则直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝13.(10分)C. 证明：因为a>0，b>0，c>0，a ＋b ＋c ＝2，由柯西不等式，得 [(b ＋c)＋(c ＋a)＋(a ＋b)](a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b )＝[(b ＋c)2＋(c ＋a)2＋(a ＋b)2][(a b ＋c )2＋(b c ＋a)2＋(c a ＋b)2]＝(b ＋cab ＋c ＋c ＋abc ＋a ＋a ＋bca ＋b)2(5分) ＝(a ＋b ＋c)2＝22，(8分)则a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥22（b ＋c ）＋（c ＋a ）＋（a ＋b ）＝44＝1. 所以a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥1.(10分)22. 解：因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以F(1，0)．(1分) (1) 设M(x ，y)，A(x 0，y 0)．因为点M 为线段AF 的中点，则x ＝x 0＋12，y ＝y 02，(2分)则x 0＝2x －1，y 0＝2y ，代入抛物线方程，得y 2＝2x －1，即点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0， 设△AOB 和△BOF 的面积分别为S 1，S 2.因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，即S 1＋S 2＝3S 2，所以S 1＝2S 2. 因为S 1＝12OF ·y 1，S 2＝12OF ·|y 2|＝－12OF ·y 2，则y 1＝－2y 2 ①.(6分)设直线AB ：x ＝ty ＋1(t>0) ②，与y 2＝4x 联立，消去x ，得y 2－4ty －4＝0， y 1，2＝2t±2t 2＋1，y 1＋y 2＝4t ③，y 1y 2＝－4 ④.(8分)由①③④可得t ＝122，代入②，得直线l ：y ＝22(x －1)；同理当y 1<0，y 2>0时，得直线l ：y ＝－22(x －1)． 综上，直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．(10分)23. 证明：(1) 当n ＝1时，a 2＝a 1(a 1－1)＋1＝3＝a 1＋1成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＋1＝a k a k －1…a 2a 1＋1.当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＝a k ＋1(a k a k －1…a 2a 1＋1－1)＋1 ＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1.则当n ＝k ＋1时，命题成立．综上，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1.(4分)(2) 要证a n ＋1>n n＋1，由(1)a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1，只需证a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n.下用数学归纳法证明：当n ＝1，2，3时，a 1＝2，a 2＝3，a 3＝7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33.假设n ＝k(k≥3)时，结论成立，即a k a k －1a k －2…a 2a 1>k k，(6分) 则n ＝k ＋1时，a k ＋1a k …a 2a 1＝(a k a k －1…a 2a 1＋1)a k a k －1…a 2a 1>(a k a k －1a k －2…a 2a 1)2>k 2k.(7分)设f(x)＝2xln x －(x ＋1)ln(x ＋1)(x≥3)，则f′(x)＝ln x 2x ＋1＋1>ln x 2－1x ＋1＋1＝ln(x －1)＋1≥ln 2＋1>0，所以f(x)为增函数，则f(x)≥f(3)＝2(3ln 3－2ln 4)＝2ln 2716>0，则2kln k>(k ＋1)ln(k ＋1)，ln k 2k>ln(k ＋1)(k ＋1)，即k 2k>(k ＋1)(k ＋1)．即a k ＋1a k …a 2a 1>(k ＋1)k ＋1，则n ＝k ＋1时，命题成立．(9分)综上，a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n ，所以a n ＋1>n n＋1.(10分)。
江苏省2019年高三数学模拟测试卷(三)
2019暑期高三数学能力测试（三）试题纸2019.07一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 已知集合}3,2,1{=A ，集合,4,5}2{=B ，则=B A ▲ ． 2. 已知复数iiz +-=15（i 为虚数单位），则||z = ▲ ． 3. 已知向量)2,2(=，向量)6,8(-=，则><,cos = ▲ ． 4. 命题“若2,1>>b a ，则3>+b a ”的否命题为 ▲ ． 5. 函数x x f -=2)(在区间]4,3(上的值域为 ▲ ．6. 某健康协会从某地区睡前看手机的居民中选取了270人进行调查，得到了如下图所示的频率分布直方图，则可以估计睡前看手机在40~50分中的人数为 ▲ ．7. 在△ABC 中，已知1=AB ，2=AC ，︒=45B ，则BC 的长为 ▲ ． 8. 已知正实数b a ,满足102=+b a ，则当ab 取最大值时，a 的值为 ▲ ．9. 等比数列}{n a 中，4a 和8a 是关于x 的方程04102=+-x x 的解，则1062a a a 的值为 ▲ ．10. 已知矩形ABCD 的四个顶点都在半径为4，球心为O 的球的球面上，且6=AB ，32=BC ，则棱锥ABCD O -的体积为 ▲ ．11. 在正方形ABCD 中，M 和N 分别为BC 和CD 的中点，设μλ+=，若以λ和μ的值作为一个闭区间的两个端点，则该闭区间为 ▲ ．12. 过圆222)1()1(r y x =-+-外一点)2,3(P 作圆的两条切线，切点为A 和B ，若53cos =∠APB ，则此圆的半径为 ▲ ．13. 平面内与两定点),0(1a A -、),0(2a A （0>a ）连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 和2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．给出以下四个结论： ①当1-=m 时，曲线C 是一个圆； ②当2-=m 时，曲线C 的离心率为22； ③当2=m 时，曲线C 的渐近线方程为x y 22±=； ④当),0()1,(+∞--∞∈ m 时，曲线C 的焦点坐标分别为)11,0(m a +-和)11,0(ma +． 其中正确结论的序号为 ▲ ．14. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,340,22)(2x x x x x f ，若函数a ax x x f x x f x g 42|1)(|1)()(22+---+-+=有三个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. （本小题满分14分）如图所示，圆O 在平面α内，AB 为其直径，且⊥PA 平面α．设C 为圆周上不同于A 和B 的任意一点，Q N M 、、分别是PB PC PA 、、的中点．求证：（1）MN ∥平面α；（2）平面MNQ ∥平面α；（3）⊥BC 平面PAC ．16.（本小题满分14分）已知函数2cos 2)6sin()6sin()(2xx x x f ωπωπω--++=，其中R x ∈，0>ω．（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f y =的图象与直线1-=y 的两个相邻交点之间的距离为2π，求)(x f 的单调增区间．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的上顶点为)3,0(A ，圆O ：4222a y x =+经过点)1,0(M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于Q P 、两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．18. （本小题满分16分）如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD ，上部是圆弧AB ，该圆弧所在圆的圆心为O ．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH （其中F E 、在圆弧AB 上，H G 、在弦AB 上）．过O 作AB OP ⊥交AB 于M ，交EF 于N ，交圆弧AB 于P ．已知10=OP ， 6.5=MP （单位：m ），记通风窗EFGH 的面积为S ．（1）按下列要求建立函数关系式：①设)(rad POF θ=∠，将S 表示成θ的函数； ②设)(m x MN =，将S 表示成x 的函数；（2）当通风窗的高度MN 为多少时，通风窗的面积S 最大？此时POF ∠满足何条件？19. （本小题满分16分）已知函数)(ln 2)(2R a x ax x x f ∈+-=． （1）讨论函数)(x f 的单调区间； （2）设320)(21<<+-a e e ，且)(x f 有两个极值点21x x 、（21x x <），求)()(21x f x f -的取值范围．已知数列}{n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，满足)(212*2N n a a S n n n ∈+=+． （1）①求数列}{n a 的通项公式； ②若对于任意的*N n ∈，不等式M S ni i<∑=11恒成立，求实数M 的最小值； （2）记数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足)(24*12N n T n a n ∈-=-λ．试判断是否存在非零常数λ，使得数列}{n b 是等比数列，并说明理由．2019暑期高三数学能力测试（三）答题纸2019.07一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. _____________2. _____________3. _____________4. _____________5. _____________6. _____________7. _____________8. _____________9. _____________ 10. _____________11. _____________ 12. _____________13. _____________ 14. _____________二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）16.（本小题满分14分）。
江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：应用题(含答案)
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应用题
1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,
)3OAB παα∠=∈.问：对于任意α，上述
设计方案是否均能符合要求？。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(3)(含详细答案)
第7题PD A BCE 江苏省高考数学模拟试卷（3）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 已知集合{1234}A =，，，，{147}B =，，，则A B = ▲ ．2． 已知复数z 满足i i z =（i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ．3． 已知样本数据12,,n x x x 的均值5x =，则样本数据131,x +231,,31n x x ++的均值为 ▲ ．4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．5． 随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为 ▲ ．6． 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．则数列第10项10a = ▲ ． 7． 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E －P AB 的体积为4，则PA 的长为 ▲ ．8． 函数2log y x =，1,324x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为 ▲ ．9． 如果函数3sin(2)y x ϕ=+的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,OA t =-，()2,2OB =，若OBA ∠为直角三角形，则实数t 的值为 ▲ ．11．若存在实数x ，使不等式2e 2e 10x x a +≥-成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 12．已知正数,ab 满足13a b+=，则ab 的最小值为 ▲ ． 13．已知点(2,3)A ，点(6,3)B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足等式20AP BP λ⋅+=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ▲ ．14．设函数()33,2,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩，，若关于x 的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，3B π=． （1）若AC =2BC =，求AB ；（2）若cos 13A =，求tan C ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//2DC AB DC AB =，,E 为棱PA 上一点. （1）设O 为AC 与BD 的交点, 若2PE AE =, 求证://OE 平面PBC ； （2）若DE AP ⊥, 求证：PB DE ⊥．DOPB 第16题ACE南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于t的近似函数的关系为321124100010(t)4(t10)(3t41)1001012t t t tVt⎧-+-+<=⎨--+<⎩，≤，，≤．（1）该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以1i t i-<<表示第i月份（1212i=，，，），问一年内哪几个月是衰退期？（2）求一年内该地区冰川的最大体积．18．(本小题满分14分）已知圆222:(0)O x y r r+=>与椭圆:C22221(0)x ya ba b+=>>相交于点()0,1M,()01N-，，且椭圆的离心率为22.（1）求r值和椭圆C的方程；（2）过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于A B，两点．①若23MB MA=，求直线l的方程；②设直线NA的斜率为1k，直线NB的斜率为2k，问:21kk是否为定值,如果是,求出定值; 如果不是，请说明理由．ANBO xyM第18题设函数()e ||x f x x a =--，其中a 是实数．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 各项均为正数，2122a a ==，且312n n n na a a a +++=对*n ∀∈N 恒成立，记数列{}n a 的 前n 项和为n S . （1）证明：数列212{}n n a a -+为等比数列；（2）若存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区．．．．．．．．域．内作答．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅． B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵12-14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算3A α．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ∈R ，e a b >>(其中e 是自然对数的底数)，求证:b a a b >．(第21－A 题)【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局比赛中小明获胜的概率为34．(1)求第三局结束后小明获胜的概率；(2)设比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()nn m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；（2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．2018年江苏省高考数学模拟试卷（3）参考答案一、填空题1.{1,4}2.23.164.115.1106.227.48.[0,5]9.3π. 由题意可知当56x π=时，0y =，即有5sin()03πϕ+=，解得5,3x k k Z ππ=-∈，化简得()2,3x k k Z ππ=-+∈，所以ϕ的最小值为.3π10.5. OBA ∠为直角，有0OB AB ⋅=，即有()0OB OB OA ⋅-=，所以2OA OB OB ⋅=;代入坐标得228t -+=，所以 5.t =11.[1,)-+∞ 12.因为,a b 为正数，13a b =+≥化简得≥，即有ab ≥1313a ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即a b ==时，取“=”.13. (,2)-∞.设(,)P x y ，则()2,3AP x y =--，()6,3BP x y =-+，根据20AP BP λ⋅+=，带入坐标化简有()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭.由题意圆：()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭圆与直线3430x y -+=相交，圆心到直线的距离3d ==< 2.λ<14.()1,72⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭.当1a ≤-，函数()f x 有最大值2a -，此时24a a ->， 解得0a <，又因为1a ≤-，所以1a ≤-；当12a -<≤，函数()f x 有最大值2，此时24a >解得12a <， 又12a -<≤，所以112a -<<当2a >，函数()f x 无最大值，因为取不到33a a -，所以334a a a ->即370a a ->解得0,a <<或a >又因为2a >，所以a >综上所述，a 的取值范围是()1,72⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，3B π=,AC =2BC =. 由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅,得21242AB AB =+-，即2280AB AB --= 解之得4AB =，2AB =-（舍去）．（2）cos 013A =>，得 02A π<<，sinA 13==tan cos SinA A A ==，又3B π=,所以tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B +=-+=--==． 16．（1）在AOB ∆与COD ∆中， 因为//,2DC AB DC AB =， 所以12AO AB CO CD ==，又因为2PE AE =， 所以在APC ∆中,有12AO AE CO PE ==，则//OE PC . 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//OE 平面PBC ． （2）因为AB ⊥平面PAD ，DE ⊂平面PAD ， 所以AB DE ⊥.又因为AP DE ⊥,AB ⊂平面PAB ,AP ⊂平面PAB ,AP AB A =，所以DE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAD ，所以.DE PB ⊥17. (1)当010t <≤时，32(t)1124100100V t t t =-+-+<，化简得 211240t t -+> ，解得3t <或8t > ，又010t <≤，故04t <<或810t <≤，当1012t <≤时， (t)4(t 10)(3t 41)100100V =--+<，解得 41103t <<，又1012t <≤，故1012t <≤． 综上得 04t <<，或812t <≤．所以衰退期为1月，2月，3月，4月， 9月，10月，11月，12月共8个月． (2)由(1)知：(t)V 的最大值只能在()4,9内取到． 由()''32V (t)1124100t t t =-+-+232224t t =-+- 令`(t)0V =，解得6t = 或43t =(舍去)． 当t 变化时，`(t)V 与(t)V 的变化情况如下表：由上表，(t)V 在t ＝6时取得最大值 (6)136V = (亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．（1）因为圆222:O x y r +=与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于点()0,1M所以1b r == . 又离心率为c e a ==,所以a =所以椭圆22:12x C y +=． （2）因为过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于,A B 两点，所以设直线l 的方程 为()10y kx k =+≠，由22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()222140k x kx ++=，所以222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 同理2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩得到()22120k x kx ++=， 所以22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 因为23MB MA =， 则24221k k -=+因为0k ≠，所以2k =±l的方程为12y x =±+. ②根据①222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 221211121A N NAA N k y y k k k k x x k -++-+===--+ 1k =-，222221121421B NNB B N k y y k k k k x x k -++-+===--+12k =-， 所以2112k k =为定值. 19．（1）因为e ()e ||e x xx x a x a f x x a x a x a ⎧-+⎪=--⎨+-<⎪⎩，≥，=，，则e 1()e 1x x x a f x x a ⎧-⎪'⎨+<⎪⎩，≥，=，，因为()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥恒成立，当x a <时，()e 110x f x '+>=≥恒成立，当x a ≥时，()e 10x f x '-=≥恒成立， 故应()0f a '≥，即0a ≥．（2）由（1）知当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，不符题意，所以有0a <． 此时，当x a <时，()e 110x f x '+>=≥，()f x 单调递增，当x a ≥时，()e 1x f x '-=，令()0f x '=，得0x =，所以()0f x '<在(),0a 上恒成立，()f x 在(),0a 上单调递减，()0f x '>在()0,+∞恒成立，()f x 在上单调()0,+∞递增.所以 ()=()e a f x f a =极大，()=(0)1+f x f a =极小，即0a <符合题意.由2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，可得e 1a a ka --≥对任意0a <恒成立， 设()e (1)1a g a k a =-+-，求导，得()e (1)a g a k '=-+，① 当1k -≤时，()0g a '≥恒成立，()g a 在(0)-∞，单调递增，又因为1(1)0eg k -=+<，与()0g a >矛盾；②当0k ≥时，()0g a '≤在(0)-∞，上恒成立，()g a 在(0)-∞，单调递减， 又因为(0)0g =，所以此时()0g a ≥恒成立，符合题意；③当10k -<<时，令()0g a '>在(0)-∞，上的解集为(ln(1)0)k +，，即()g a 在(ln(1)0)k +，上单调递增，又因为(0)0g =，所以)(ln(1)0g k +<不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0)+∞，． 20．（1）证明：由312n n n n a a a a +++=，可知323311n n n na a a a a a a +++====， 所以212232123212212()n n n n n n n na a a a a a a a a a ++---++==++，当1n =时，123a a +=，即数列212{}n n a a -+是以3为首项，3a 为公比的等比数列．（2）法一, 由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列．故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++．333(1)1k a a -=-故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++．333(2)(1)11k a a a +-=+-． 又因为{}n S t +为等比数列，故有()()()221n n n S t S t S t ++++=+,对n +∀∈N 恒成立，所以()()()222221k k k S t S t S t ++++=+和()()()2212322k k k S t S t S t +++++=+对k +∀∈N 恒成立，即()()()2133********333333332(1)3(1)3(1)11112(1)2(1)3(1)11111k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a +++⎧⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫--⎪++=++ ⎪⎪⎪---⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+-+-⎛⎫-++++=+⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩对k +∀∈N 恒成立, 解得34a =，1t =，此时()()()2132111S S S ++=+也成立. 所以34a =，1t =，即21nn S =-得到12n n a -=．法二,由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列． 故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++333(1)1k a a -=- 333311k a a a =--- 要使得{}n S t +为等比数列必有2{}k S t +为等比数列,即有331t a =-成立①故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++．333(2)(1)11k a a a +-=+-． 333322111k a a a a a ++=-+-- 要使得{}n S t +为等比数列必有21{}k S t ++为等比数列,即有33211a t a +=--成立② 联立①②得31,4t a ==以下同解法一法三,由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列． 故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++．333(1)1k a a -=-故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++．333(2)(1)11k a a a +-=+-． 要使得{}n S t +为等比数列必有()()()2243S t S t S t ++=+和()()()2132S t S t S t ++=+ 解得31,4t a ==,通过验证31,1t a ==时, {}n S t +为等比数列. 以下同解法一第II 卷（附加题，共40分）21.A . 连接AD ，因为AB 为圆O 的直径， 所以0=90ADB ∠,又0=90EF AB AFE ⊥∠，，则,,,A D E F 四点共圆，,BD BE BA BF ∴⋅=⋅,又ABC ∆～AEF ∆，即AB AF AE AC ⋅=⋅. BE BD AE AC BA BF AB AF ∴⋅-⋅=⋅-⋅()AB BF AF =⋅-2AB =.B ．因为212()5614f λλλλλ--==-+- ，由()0f λ=，得=2λ或=3λ． 当=2λ时，对应的一个特征向量为12=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当=3λ时，对应的一个特征向量为21=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦．设321=211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩, 所以()3312A A ααα=+3312A A αα=+332143=12+13=1135⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦C ．因为直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ，所以直线l的直角坐标方程为y =， 又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩所以曲线C 的普通方程为[]212,2,22y x x =-+∈-,联立解方程组2122y y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ .解得3x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩3x y ⎧=⎪⎨=--⎪⎩所以点P的直角坐标为(3-+. D ．0,0a b b a >>， ∴要证b a a b >，只要证ln ln a b b a > 只要证ln ln b a b a >， 构造函数()()ln ,,xf x x e x =∈+∞.()()21ln ,,xf x x e x-'=∈+∞， ()0f x '<在区间(),e +∞恒成立， 所以函数(),x e ∈+∞在上是单调递减， 所以当e a b >>时，有()()f b f a >即ln ln b ab a>，得证. 22．(1) 记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464P A ==．(2) 由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()+()4416P X ===，131333311345(4)()()+()()4444128P X C C ===，27(5)1(3)(4)128P X P X P X ==-=-==． 所以比赛局数74527483()345.16128128128E X =⨯+⨯+⨯=23．（1）当1m =时，1100111(1)(1)(1)111nn kk k k nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，，又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，.（2）0()(1)nk knk m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k n n n k m mC C m k m k----==+-++-++∑1111111(1)(1)n nkkk k n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑111(1,)(1)nk k n k mP n m C m k--==-+-+∑ 0(1,)(1)n k knk m m P n m C n m k==-+-+∑(1,)(,)mP n m P n m n=-+即()(1)nP n m P n m m n=-+，，， 由累乘，易求得!!1()(0)()!n n mn m P n m P m n m C +==+，，，又()nn m Q n m C +=，，所以()()1P nm Q n m ⋅=，，．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(三)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S 7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，∠PBC＝∠BAD＝90°.求证：(1) BC⊥平面P AB；(2) AD∥平面PBC.在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.(1) 求a 的值；(2) 设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .(1) 试用解析式将y 表示成x 的函数；(2) 求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.(1) 若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；(2) 如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．设函数f(x)的导函数为f′(x)．若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”．(1) 请举一个“超导函数”的例子，并加以证明；(2) 若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”；(3) 若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x>12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1. 2.22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z|＝22. 3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a<0或a>2，∴ “a>2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16 解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k>0且k ×1－1≥2×1－12，∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a ，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b 4c －a2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e<1，∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a<7，∴ －6<a<－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13.55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55. 14. (1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x＋4，x ＜0，ln x ＋1x ，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2.15. 证明：(1) 如图，在平面PAB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面PAB ， 所以PH ⊥平面ABCD.(4分)而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC. 由∠PBC ＝90°得PB ⊥BC.又PH ∩PB ＝P ，PH ，PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB.(8分)(2) 因为AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥AB, 由∠BAD ＝90°，得AD ⊥AB ， 故在平面ABCD 中，AD ∥BC.(11分) 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC.(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，S ＝23，S ＝12bc sin A ，∴ 12·4·c sin π3＝23，∴ c ＝2， ∴ a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12，∴ a ＝2 3.(6分) (2) ∵a sin A ＝b sin B ，∴ 23sinπ3＝4sin B，∴ sin B ＝1. 又0<B<π，∴ B ＝π2，C ＝π6，∴ f(x)＝2(cos C sin x －cos A cos x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12，得g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴ g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(14分)17. 解：(1) 由∠EOF ＝π4，可得∠COF ＋∠AOE ＝π4， 由题意有tan ∠COF ＝x 4，tan ∠AOE ＝y5，则tan (∠COF ＋∠AOE)＝x 4＋y51－xy 20＝1，即有y ＝20－5x 4＋x，由0≤y ≤4⇒49≤x ≤4，则函数的解析式为y ＝20－5x 4＋x ⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4.(6分)(2) 三角形池塘OEF 的面积S ＝S 矩形OABC －S △AOE －S △BEF －S △COF ＝4×5－5y 2－4x 2－（4－y ）（5－x ）2＝10＋5x 2－20x 2（x ＋4）⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4， 令t ＝x ＋4⎝⎛⎭⎫409≤t ≤8，即有S ＝10＋12⎝⎛⎭⎫5t ＋160t －60≥202－20， 当且仅当5t ＝160t，即t ＝42时取“＝”，此时x ＝(42－4)m ，∴ 当x ＝(42－4)m 时，△OEF 的面积取得最小值，且为(202－20)m 2.(14分) 18. 解：(1) 由e ＝32可得b a ＝12. 设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝⎛⎭⎫1，32，得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2) ① 由条件知OP ：y ＝x 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则满足x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1， 两式作差，得x 21－x 224＋y 21－y 22＝0，化简得x 1＋x 24＋(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0. 因为AB 被OP 平分，故y 1＋y 2＝x 1＋x 22， 当x 1＋x 2≠0即直线l 不过原点时，y 1＋y 2≠0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12； 当x 1＋x 2＝0即直线l 过原点时，y 1＋y 2＝0，y 1－y 2x 1－x 2为任意实数，但y 1－y 2x 1－x 2＝12时l 与OP 重合；综上，直线l 的斜率为除12以外的任意实数．(8分) ② 当x 1＋x 2＝0时，y 1＋y 2＝0，故PA →·PB →＝(x 1－2)·(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝5－x 21－y 21＝0，得x 21＋y 21＝5，联立x 214＋y 21＝1，得y 21＝－13<0，舍去； 当x 1＋x 2≠0时，设直线l 为y ＝－12x ＋t ，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1可得x 2－2tx ＋2(t 2－1)＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2(t 2－1),y 1＋y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ＋⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝－12(x 1＋x 2)＋2t ＝t ， y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝14x 1x 2－t 2(x 1＋x 2)＋t 2＝12(t 2－1)，(13分) 故PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝52(t 2－2t ＋1)＝0 , (15分) 解得t ＝1，此时方程(*)中Δ>0，故所求直线方程为y ＝－12x ＋1.(16分) 19. 解：(1) ∵ a 1，a 3＋2，a 5－5成等差数列，∴ 2(a 3＋2)＝a 1＋a 5－5.又a 1＝1，公比为q ，∴ 2(q 2＋2)＝1＋q 4－5，即q 4－2q 2－8＝0，∴ q 2＝4，∴ q ＝±2.∵ a n >0，∴ q ＝2，∴ a n ＝2n －1.(4分)(2) ∵ a 2a 4n －2＝a 4n ，数列{a n }是首项为a ，公比为q 的等比数列，∴ a 22n ＝a 4n .又a n >0，∴ a 2n ＝a 2n ，∴ a ·q 2n －1＝a 2n ，∴ q ＝a ，∴ a n ＝a n .(6分)① 假设{a n }中存在三项a r ，a q ，a p (p>q>r)成等差数列，则2a q ＝a p ＋a r .∵ a ＝2，∴ 2·2q ＝2p ＋2r ，∴ 2q －r ＋1＝2p －r ＋1.∵ q －r ≥1，p －r ≥2，q －r ，p －r 均为正整数，∴ 2q －r ＋1为偶数，2p －r ＋1为奇数，∴ 2q －r ＋1≠2p －r ＋1，矛盾，故{a n }中不存在三项成等差数列．(10分)② ∵ a n ＝a n ，∴ b n ＝a n lg a n ＝na n lg a.∵ b n ＋1>b n 恒成立，∴ (n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a 恒成立，显然a ≠1.当0<a<1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a ， 得a<1－1n ＋1恒成立，∴ 0<a<12； 当a>1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a ， 得a>1－1n ＋1恒成立，∴ a>1. 综上所述，a 的取值范围是(0，12)∪(1，＋∞)．(16分) 20. (1) 解：举例：函数f(x)＝1是“超导函数”，因为f(x)＝1，f ′(x)＝0，满足f(x)≥f′(x)对任意实数x 恒成立，故f(x)＝1是“超导函数”. (4分)(注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分)(2) 证明：∵ F(x)＝g(x)h(x)，∴ F ′(x)＝g′(x)h(x)＋g(x)h ′(x)，∴ F(x)－F′(x)＝g(x)h(x)－g′(x)h(x)－g(x)·h ′(x)＝[g(x)－g′(x)][h(x)－h′(x)]－g′(x)h′(x)． ∵ 函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，∴ 不等式g(x)≥g′(x)与h(x)≥h′(x)对任意实数x 都恒成立，故g(x)－g′(x)≥0，h(x)－h′(x)≥0 ①，而g(x)与h(x)一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，故g ′(x )h ′(x )≤0 ②， 由①②得F (x )－F ′(x )≥0对任意实数x 都恒成立，∴ 函数F (x )＝g (x )h (x )是“超导函数”．(10分)(3) 解：∵ φ(1)＝e ，∴ 方程φ(－x －ln x )＝e －x －ln x 可化为φ（－x －ln x ）e x ln x＝φ（1）e 1， 设函数G (x )＝φ（x ）e x，x ∈R ， 则原方程即为G (－x －ln x )＝G (1) ③.∵ y ＝φ(x )是“超导函数”，∴ φ(x )≥φ′(x )对任意实数x 恒成立，而方程φ(x )＝φ′(x )无实根，故G ′(x )＝φ′（x ）－φ（x ）e x<0恒成立， ∴ G (x )在R 上单调递减，故方程③等价于－x －ln x ＝1，即x ＋1＋ln x ＝0，设H (x )＝x ＋1＋ln x ，x ∈(0，＋∞)，则H ′(x )＝1＋1x>0在(0，＋∞)上恒成立， 故H (x )在(0，＋∞)上单调递增，而H ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1e 2－1<0，H ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e>0， 且函数H (x )的图象在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上连续不间断， 故H (x )＝x ＋1＋ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根．(16分)。
2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷
2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，则A∩B=________．【答案】(0,1)【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，∴A∩B=(0,1)．故答案为：(0,1).2. 已知复数z=3+4i5i，其中i是虚数单位，则|z|=________．【答案】1【考点】复数的模【解析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=3+4i5i，∴|z|=|3+4i5i |=|3+4i||5i|=55=1．故答案为：1.3. 已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的离心率【解析】直接利用双曲线的标准方程，求出a，c，即可求解离心率．【解答】解：双曲线C的方程为x24−y2=1，可得a=2，b=1，则c=√a2+b2=√5，所以双曲线的离心率为e=ca =√52．故答案为：√52.4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．【答案】8【考点】伪代码【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的i值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下，T=1，i=2，满足T<6；T=2，i=4，满足T<6；T=4，i=6，满足T<6；T=8，i=8，不满足T<6，输出i=8．故答案为：8.5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________．【答案】55【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高三的人数之比也为4:4:3可得．【解答】解：依题意得抽取的样本容量为：1534+4+3=55.故答案为：55.6. 口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．【答案】13【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有2个，由此能取出的两个球的编号之积大于6的概率． 【解答】解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4， 从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有： (2, 4)，(3, 4)，共2个，∴ 取出的两个球的编号之积大于6的概率为P =26=13． 故答案为：13.7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=2a 2，则S12S 8=________．【答案】 73【考点】等比数列的前n 项和 【解析】设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 6a 2=q 4＝2，所以S12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1+q 4+q 81+q 4，将q 4＝2代入即可． 【解答】解：因为数列{a n }是等比数列，设其公比为q ．所以a6a 2=q 4=2，所以q ≠1， 所以S 12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1−(q 4)31−(q 4)2=1−81−4=73．故答案为：73.8. 函数f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，则ω的最小值为________． 【答案】 23【考点】余弦函数的对称性根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，∴π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k+83，∵ω>0，∴当k=−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.9. 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为________．【答案】11【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b=2+1a+4b，∵1a +4b=(1a+4b)(a+b)=1+4+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=5+4=9，当且仅当ba =4ab时，即a=13，b=23时取等号，故2a2+1a +2b2+4b≥2+9=11.故答案为：11.10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0, +∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2+ 2)的解集为________．【答案】(−2, −1)∪(1, 2)【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，f(3x)>f(x2+2)⇒f(|3x|)>f(x2+2)⇒|3x|>x2+2，由绝对值的定义可得{3x>x 2+2x≥0或{−3x>x2+2x<0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且其定义域为R ，且在[0, +∞)上为增函数， 则f(3x)>f(x 2+2)⇒f(|3x|)>f(x 2+2)⇒|3x|>x 2+2，则有{3x >x 2+2x ≥0 或{−3x >x 2+2x <0，解得：−2<x <−1或1<x <2， 即不等式的解集为(−2, −1)∪(1, 2). 故答案为：(−2, −1)∪(1, 2).11. 过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为________． 【答案】12【考点】 圆的切线方程 【解析】由题意画出图形，可得切线最小时的P 点，进一步求得PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90∘，则答案可求． 【解答】解：根据题意，如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O 作直线y =x −2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|=√2， ∴ A ，B 为圆C:x 2+y 2=1与两坐标轴的交点， 则PA =PB =1，∠APB =90∘， ∴ △PAB 的面积为12×1×1=12． 故答案为：12.12. 已知点P 在曲线C:y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________． 【答案】 1【考点】直线与抛物线结合的最值问题 简单复合函数的导数 平面向量数量积的运算【解析】 设P(m, m 22)，求出直线PQ 的方程，根据根与系数的关系和OP →⋅OQ →=0列方程计算m 的值即可得出答案． 【解答】 解：由y =x 22可得y′=x ，设P(m, m 22)，则切线l 的斜率为m ，故直线PQ 的方程为：y −m 22=−1m (x −m)联立方程组{y −m 22=−1m (x −m)y =x 22 ， 消去y 可得：x 2+2m x −m 2−2=0， 设Q(n, n 22)，则mn =−m 2−2，∵ OP ⊥OQ ， ∴ OP →⋅OQ →=0， 即mn +m 2n 24=0，∴ mn =0（舍）或mn =−4， ∴ −m 2−2=−4，即m 2=2． ∴ P 点纵坐标为m 22=1．故答案为：1.13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB =90∘，AB =2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →⋅AQ →=83，则AQ →⋅CP →的最小值为________．【答案】−2√53【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 数量积的坐标表达式平面向量的坐标运算 【解析】以O 为原点建立直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，以及直线BC 的方程，设出Q 的坐标，由数量积的坐标表示，解得Q 的坐标，再设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，由数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，余弦函数的值域可得最小值． 【解答】解：如图，以O 为原点建立直角坐标系，可得A(−1, 0)，B(1, 0)，C(−1, −2)， 即有直线BC 的方程为y =x −1， 可设Q(m, m −1)，∵ AB →⋅AQ →=83，即(2, 0)⋅(m +1, m −1)=2(m +1)=83，解得m =13，即Q(13, −23)， 设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，可得AQ →⋅CP →=(43, −23)⋅(cosα+1, sinα+2)=43cosα+43−23sinα−43=23(2cosα−sinα)=2√53cos(α+θ)，θ∈(0, π2)，当cos(α+θ)=−1即α+θ=π时， 可得AQ →⋅CP →的最小值为−2√53． 故答案为：−2√53.14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(−2e, 0] 【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】将函数f(x)＝e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方转化为e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，然后分a >0，a ＝0，a <0分别求解． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，∴ e x −ax 2−32ax >0对一切实数x 恒成立，即e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立， 设g(x)=e x ，ℎ(x)=ax 2+32ax ，则①当a >0时，ℎ(x)开口向上，根据ℎ(x)和g(x)的图象易知，当a >0时g(x)>ℎ(x)不恒成立，②当a =0时，g(0)=1>ℎ(0)=0，因此g(x)>ℎ(x)恒成立③当a <0时，e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，即1a <x 2+32xe x对一切实数x 恒成立， 令F(x)=x 2+32xex ，则F ′(x)=−2x 2+x+32e x =−(2x−3)(x+1)2e x，令F(x)=0，则x =−1或x =32， ∴ 当x <−1或x >32时，F ′(x)<0， 当−1<x <32时，F ′(x)>0，∴ F(x)在(−∞, −1)和(32, +∞)上单调递减，在(−1, 32)上单调递增， 又当x >0时，F(x)>0， ∴ F(x)min =F(−1)=−e2， ∴ 要使1a<x 2+32xe x对一切实数x 恒成立，只需1a <F(x)min =−e2，∴ a >−2e ，又a <0，∴ −2e <a <0， 综上，a 的取值范围为(−2e , 0]． 故答案为：(−2e , 0].二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱锥P −ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．(1)求证：EF // 平面ABC；(2)求证：CE⊥AB．【答案】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）推导出EF是△PCD的中位线，从而EF // CD，由此能证明EF // 平面ABC．（2）推导出AB⊥PD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CE．【解答】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3ac =2−cosAsinC．(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cosC的值．【答案】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．【考点】两角和与差的余弦公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)＝1，结合范围A∈(0, π)，可得A+π6=π2，从而解得A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin(B+π6)的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值．【解答】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？【答案】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V=13⋅π⋅62⋅ℎ=36π，解得ℎ=3．∴圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米．(2)由V=13πr2ℎ=36π可得r2=108ℎ，故圆锥的母线l=√r2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2，∴容器的侧面积S=πrl=π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号，∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】（1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可； （2）用高ℎ表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应的ℎ的值即可． 【解答】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V =13⋅π⋅62⋅ℎ=36π， 解得ℎ=3．∴ 圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴ 圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米． (2)由V =13πr 2ℎ=36π可得r 2=108ℎ，故圆锥的母线l =2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2， ∴ 容器的侧面积S =πrl =π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵ 108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号， ∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3)如果A 1H →=λA 1P →，试求λ的取值范围．【答案】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c =4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．【考点】椭圆的准线方程直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 平面向量的坐标运算 直线的斜率 【解析】（1）由题意可得a ＝2，a 2c=4，故c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3，可得椭圆方程，（2）设直线A 1D:y ＝k(x +2)，再设直线A 2D:y ＝3k(x −2)，求出点G 的坐标，根据HG ⊥A 1D ，可求出k 的值，即可求出直线方程，（3）分别求出点H ，P 的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出． 【解答】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c=4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．已知函数f(x)=x 2+(2−a)x −alnx ，其中a ∈R ．(1)如果曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1，求实数a 的值；(2)若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3)对任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2 ， ∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a 2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）对f(x)求导后，由导数的几何意义可得f ′(1)＝2(2−a)＝1，从而求出a 的值； （2）根据函数f(x)的极小值不超过a2，对a 分类讨论，将问题转化为解关于a 的不等式，从而求出a 的最小值；（3）设f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，根据任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，知A ⊆B ，然后分情况求解可得a 的范围． 【解答】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2，∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]．已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N ∗，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立． (1)如果1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，求实数λ的值；(2)已知λ=1．①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n }中，a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1=1a 1，b 2=1a 2，b 3=1a i(i ∈N ∗)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【答案】(1)解：∵ n ≥3，且n ∈N ∗时，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立， 则n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2λa 1a 3，∵ 数列{a n }各项都不为0，同除a 1a 2a 3，得：2λa 2=1a 1+1a 3，又∵ 1a 1,1a 2,1a 3成等差数列，则2a 2=1a 1+1a 3，联立得2λa 2=2a 2，∴ λ=1．(2)证明：①当λ=1，n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2a 1a 3，① 整理，得：1a 1+1a 3=2a 2，∴ 1a 2−1a 1=1a 3−1a 2，②当n =4时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4=3a 1a 4，③③-①，得：a 3a 4=3a 1a 4−2a 1a 3，∴ 1a 1=3a 3−2a 4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列【解析】（1）n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n＝λ(n−1)a1a n恒成立，n＝3时，a1a2+a2a3＝2λa1a3，同除a1a2a3，得2λa2=1a1+1a3，由1a1⋅1a2⋅1a3成等差数列，得2a2=1 a1+1a3，由此能求出λ的值．（2）①当λ＝1，n＝3时，1a1+1a3=2a2，从而1a2−1a1=1a3−1a2，当n＝4时，1a1=3a3−2 a4，从而1a4−1a3=1a3−1a2，当n≥3时，推导出1a1=na n−n−1a n+1，由此能证明数列{1an}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1＝c1＝c，b2＝c2＝c+d，d＝c2−c1＝b2−b1＝cq−c，推导出cq＝c+d，b3＝c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd＝b3+x(cq−c)＝cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1＝q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，由此能证明q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1an}中的项．【解答】(1)解：∵n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=λ(n−1)a1a n恒成立，则n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，∵数列{a n}各项都不为0，同除a1a2a3，得：2λa2=1a1+1a3，又∵1a1,1a2,1a3成等差数列，则2a2=1a1+1a3，联立得2λa2=2a2，∴λ=1．(2)证明：①当λ=1，n=3时，a1a2+a2a3=2a1a3，①整理，得：1a1+1a3=2a2，∴1a2−1a1=1a3−1a2，②当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4，③③-①，得：a3a4=3a1a4−2a1a3，∴1a1=3a3−2a4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题0分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[210a ]，其逆矩阵A −1=[b c01]，求A 2．【答案】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】本题先根据公式AA −1＝E 可将具体矩阵进行代入计算得到a 、b 、c 的值，即可得到矩阵A ，则A 2即可求出． 【解答】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ （θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2, 0)，(2√3, π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【答案】解：由x =ρcosθ，y =ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)， 则直线l:y =√3(x −2)，曲线C ：(x −2)2+(y +√3)2=4， 则圆心C(2, −√3)，半径r =2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．【考点】圆的极坐标方程点到直线的距离公式【解析】将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．【解答】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)，则直线l:y=√3(x−2)，曲线C：(x−2)2+(y+√3)2=4，则圆心C(2, −√3)，半径r=2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．[选修4-5：不等式选讲]已知正数a，b，c满足a+b+c=2，求证：a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【答案】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】不等式两边同乘(2a+2b+2c)，利用柯西不等式证明．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【必做题】第22，23题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【答案】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=22=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题三角形的面积公式圆锥曲线的轨迹问题直线的斜率【解析】（1）设M(x, y)，表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为x＝my+1，联立方程组可得则y1y2＝−4，三角形的面积比得出y1＝−2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．【解答】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)， 设M(x, y)，则A(2x −1, 2y)， 把A(2x −1, 2y)代入y 2=4x可得：4y 2=8x −4，即y 2=2x −1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1y 2=−4， ①若A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1>0，y 2<0， 则S △AOB =12⋅OF ⋅(y 1−y 2)，S △BOF =12⋅OF ⋅(−y 2)， ∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 1−y 2=−3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4，∴ y 1=2√2，y 2=−√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, 2√2)代入x =my +1可得m =2√2=√24， ∴ 直线l 的方程为x −√24y −1=0，即4x −√2y −4=0．②若A 在第四象限，B 在第一象限，则y 1<0，y 2>0， S △AOB =12⋅OF ⋅(y 2−y 1)，S △BOF =12⋅OF ⋅y 2，∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 2−y 1=3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4， ∴ y 1=−2√2，y 2=√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, −2√2)代入x =my +1可得m =2√2=−√24， ∴ 直线l 的方程为x +√24y −1=0，即4x +√2y −4=0．综上，直线l 的方程为：4x −√2y −4=0或4x +√2y −4=0．已知数列{a n }，a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立．(1)求证：a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1(n ∈N ∗)；(2)求证：a n+1>n n +1(n ∈N ∗)． 【答案】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3， 则f ′(x)=lnx 2+1x+1+1>lnx 2−1x+1+1=ln(x −1)+1≥ln2+1>0，∴ f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln 2716>0，则2klnk >(k +1)ln(k +1)，∴ lnk 2k >ln(k +1)k+1，即k 2k >(k +1)k+1， ∴ a k+1a k a k−1...a 2a 1>(k +1)k+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， ∴ a n+1>n n +1. 【考点】 数列递推式对数函数的单调性与特殊点 【解析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；（2）要证：a n+1>n n +1，由（1）a n+1＝a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，可用数学归纳法证明． 【解答】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3，则f′(x)=ln x2+1x+1+1>ln x2−1x+1+1=ln(x−1)+1≥ln2+1>0，∴f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln2716>0，则2klnk>(k+1)ln(k+1)，∴lnk2k>ln(k+1)k+1，即k2k>(k+1)k+1，∴a k+1a k a k−1...a2a1>(k+1)k+1，则当n=k+1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a2a1>n n，∴a n+1>n n+1.。
江苏省2019年高考数学模拟试题及答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)23,(m P ，则αtan ． 【答案】3-4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】32π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】43π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】17．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y8．实数1-=k 是函数xxk k x f 212)(⋅+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要9．在ABC ∆中，060,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若⋅=⋅2，则AD ．【答案】332 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则=d ．【答案】6π 11．如图，在四边形ABCD 中，060,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=，CD CF λ=其中0>λ，若15=⋅AD EF ，则λ的值为 ．【答案】2512．已知函数x m x e m x x f x)1(21)()(2+--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ．【答案】}1{-13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中211-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列}{n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5(14．在ABC ∆中，3tan -=A ，ABC ∆的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00⋅≥⋅，则线段BC 的长为 ． 【答案】6二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3sin()(>>++=b a b ax x f π的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求b a ,的值；（2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的最大值和最小值.16．（本小题满分14分）已知命题p ：函数m mx x x f +-=2)(2的图像与x 轴至多有一个交点，命题q ：1|1log |2≤-m ； （1）若q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围；17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知abC C 3sin cos 3=-； （1）求角A 的大小；（2）若6=+c b ，D 为BC 中点，且22=AD ,求ABC ∆的面积.18．（本小题满分16分）如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G ，为参观方便，现在新建两条道路CB CA ,，分别与圆O 相切于E D ,两点，同时与PQ 分别交与B A ,两点，其中G O C ,,三点共线且满足CB CA =，记道路CB CA ,长之和为l ； （1）①设θ=∠ACO ，求出l 关于θ的函数关系式)(θl ； ②设x AB 2=米，求出l 关于x 的函数关系式)(x l ；（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.19．（本小题满分16分）已知正项数列}{n a 的首项，前n 项和n S 满足n n n S a a 22=+（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 是公比4为的等比数列，且332211,,a b a b a b ---也是等比数列，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n b a λ单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列}{n b ，}{n c 都是等比数列；且满足n n n a b c -=，试证明数列}{n c 中只存在三项.20．（本小题满分16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得最大值或最小值，则称0x 为函数)(0x f y =的极值点.设函数b a bx ax x x f ---++=1)(23，)1()(-=x k x g ，R k b a ∈,,（1）若函数)(x g 为)(x f 在1=x 处的切线，①当)(x f 有两个极值点1x 、2x ，且满足121=x x 时，求b 的值及a 的取值范围； ②当)(x g 与)(x f 的图像只有一个交点，求a 的值；（2）若对满足“函数)(x g 与)(x f 的图像总有三个交点R Q P ,,”的任意实数k ，都有QR PQ =成立，求k b a ,,满足的条件．。
江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题(三)
江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（三）数 学 试 题数学Ⅰ注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合(,0]B =-∞，则AB = ▲ ．{}3,1--2.若复数(1)(2)z i i m =-+是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ．2-3.若执行图中的框图，输入19N =，则输出的S 的值为▲ ．19204.某老师从星期一到星期五收到的电子邮件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s = ▲ ．1655.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是 ▲ ． 126.已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于 ▲ ． 15π.7.已知43tan =x ，则=+)42sin(πx ▲．508.已知双曲线2221(0)y x m m-=>的一条渐近线方程为0x +=，则m = ▲．9.已知函数2()2f x x x =-+，若2(2)(log )f f x >，则实数x 的取值集合为 ▲ ．(0,1)(2,)+∞10．设直线:l y x b =+与y x ,轴分别交于不同两点B A ,，（O 为原点），当l 与函数x y sin = 的图像相切时，AOB ∆面积的最小值为 ▲ ．22π 11．如图在平行四边形ABCD 中，3,2,AB AD ==，E 是DC 的中点，AE 交BD 于M ，则AM BE ⋅= ▲ ．7612. 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，点B 为椭圆第一象限上的点，直线OB 交椭圆于另一点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为 ▲ ．13.13. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，其公差60,9d a ≠=，若无穷数列1236,,,,,,t n n n a a a a a 12(5n n <<)t n <<<成等比数列，则1n 的值为 ▲ ．1514．已知函数x x x f 2)(2-=，若关于x 的方程|()||(2)|0f x f a x t +--=有四个不同的实数根，且四根之和为4，若函数()|()||(2)|g x f x f a x kx =+--有两个零点，则k 的取值范围为 ▲ ．(,3)(1,)-∞-+∞二、解答15.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .（1）若23C π= ,并且三边长构成公差为4的等差数列，求ABC ∆的面积；（2）若1=a ，2=b ，41cos =C ，求()C A -cos 的值. 解：（1) ∵设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为C ，由余弦定理得2222(4)(4)2(4)cos 3a a a a a π+=+---，则10a =，∴三边长为6,10,14. ……………………4分 ∴△ABC 的面积为1610sin120152S =⨯⨯⨯=……………………7分 （2）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=C C ，……………………10分∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A……………………12分∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=.……………14分16. （本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,AC 与BD 交于H ，且平面PAC ⊥ 底面ABCD .（1）证明: 平面PAC⊥平面PBD ；（2）若2AB CD =，点E 为棱PA 上一点，满足2AE EP =,证明：//EH 平面PBC . 证明：（1）∵平面PAC ⊥ 底面ABCD ，平面PAC 底面ABCD AC =，BD AC ⊥，BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥平面PAC 又∵BD ⊂平面PBD ∴平面PBD⊥平面PAC . ……………………6分（2）∵//AB CD ，2AB CD =，AC 与BD 交于H ，A∴::1:2CH HA CD AB == 又∵2AE EP = ∴::CH HA PE EA = ∴//EH PC又∵PC ⊂平面PBC ，EH ⊄平面PBC ，∴//EH 平面PBC . ……………………14分 17. （本小题满分14分）已知圆222:(0)O x y r r +=>，过点(2,1)P 且斜率为2-的直线l 与圆O 交于,R S 两点，且25RS =. （1）求圆O 的方程；（2）若T 为圆O 上异于,R S 的一点，连接,TR TS 分别交直线OP 于,M N 两点,设,M N 的横坐标分别是,s t ，试探究s t ⋅是否是定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由？解：（1）根据题意得：12OP k = ,所以OP l ⊥ ,且点P 为弦RS 的中点， 所以，r ==所以圆O 的方程为2210x y += . ……………………4分 (2)由l OP ⊥，所以2l k =-，l 的方程是25y x =-+联立方程组222510y x x y =-+⎧⎨+=⎩解得：13,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，所以(1,3),(3,1)R S - ………………6分 设00(,)T x y ，则220010x y +=，1:2OP y x =003:3(1)1y TR y x x --=--，由0033(1)112y y x x y x -⎧-=-⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩解得00002(3)25y x s y x -=--001:1(3)3y TS y x x ++=--,由0011(3)312y y x x y x +⎧+=-⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩解得00002(3)25x y t y x +=-+………………10分由220010x y +=得220010x y =-，所以,s t ⋅=22200000000000222000000000002(3)2(3)4(338)4(6830)8252544253415y x x y y x x y y x y y x y x y x x y y x y -+----⋅===---++---- 故8s t ⋅=为定值. ……………………14分 18. （本小题满分16分）墙上有一壁画，最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米，距离墙1.2米处设有防护栏，观察者从离地面高(02)a a << 米的C 处观赏它. （1）当1.5a =时，观察者离墙多远时，视角θ最大？ （2）若12a <<，视角θ的正切值恒为12，观察者离墙的距离应在什么范围内？解：（1）当1.5a =时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则0.5BD =，且A C D B C D θ=∠-∠，设观察者离墙x 米，则 1.2x >，且0.5 2.5tan ,tan ,BCD ACD x x ∠=∠=……………4分所以，222.50.522tan tan() 2.50.5 1.25 1.2511x x x ACD BCD x x x x θ-=∠-∠===≤=⨯+++当且仅当x ==时取等号.米时，视角θ最大. ……………………8分 （2）由（1）知，21tan (2)(4)2a a x x θ==-⋅-+……………………10分所以，(2)(4)4a a x x-⋅-+=，即22684a a x x -+=-+当12a <<时，20683a a <-+<，所以2043x x <-+<即2240430x x x x ⎧-<⎨-+>⎩ ，解得01x <<或34x <<， ……………………14分 又因为 1.2x >，所以34x <<所以观察者离墙的距离应在3至4米范围内. ……………………16分19. （本小题满分16分）设函数)2)(1(ln )(--+=x x a x x f ，)1(>x .（1）若12a =-，证明：函数)(x f 只有一个零点；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意的(1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）当12a =-时，11(2)(21)()(23)2x x f x x x x -+'=--=-因为1x >所以，当12x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<所以，()f x 在(1,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减……………………2分 所以，当2x = 时，()f x 有最大值(2)ln 20f => 又因为(1)0,(4)ln 430f f ==-<所以，函数)(x f 只有一个零点. ……………………4分（2）21231()(23)ax ax f x a x x x-+'=+-=当0a =时，1()0f x x'=>，此时，()f x 在(1,)+∞上单调递增 ……………………5分 当0a >时，由()0f x '=得，22310ax ax -+=，298a a ∆=- 当2980a a -≤，即809a <≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(1,)+∞上单调递增 当2980a a ->，即89a >时，方程22310ax ax -+=有两个不相等的实根12,x x且12x x ==显然11x <，由21x >得，1a >于是，当1a >时，()f x 在2(1,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增. 当819a <≤时，()f x 在(1,)+∞上单调递增. ……………………8分 当0a <时，2980a a ∆=->恒成立，此时210,1x x <> 于是()f x 在1(1,)x 上单调递增，在1(,)x +∞上单调递减. 综上所述，当01a ≤≤时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞；当1a >时，()f x 的单调增区间为)+∞，单调减区间为当0a <时，()f x 的单调增区间为，单调减区间为)+∞ ……………………10分（3）由（2）知，当01a ≤≤时，()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=恒成立. 当1a >时，()f x 在2(1,)x 上单调递减，所以当2(1,)x x ∈时，()(1)0f x f <=，此时不满足题意. ……………………12分 当0a <时，令()ln (1),(1)g x x x x =-->，则1()0xg x x-'=< 于是()g x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0g x g <=，即ln 1x x <-所以()ln (1)(2)(1)(1)(2)(1)[1(2)]f x x a x x x a x x x a x =+--<-+--=-+- 当12x a>-时，有1(2)0a x +-<，所以()0f x <，不满足题意. 综上所述，当01a ≤≤时，对任意的(1,),()0x f x ∈+∞>恒成立. ……………………16分 20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 满足122n n n a a a k ++=++，k R ∈. （1）若10,25,0743=+==a a a k ，求数列{}n a 的前n 项的和n S ； （2）若3,221==a a ，求数列{}n a 的前项的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在k ，使13,,(4)n a a a n ≥成等比数列. 解：（1）当0k =时，122n n n a a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-所以，数列{}n a 是等差数列. ……………………2分设数列{}n a 公差为d ，则115222910a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以，21(1)(1)2222n n n n n n n S na d --=+=+= ……………………4分（2）由122n n n a a a k ++=++得， 211()()n n n n a a a a k +++---=- 于是数列{}1n n a a +-是以21a a -为首项，k -为公差的等差数列. 所以121()(1)1(1)n n a a a a n k n k +-=---=--……………………6分当2n ≥时，有11(2)n n a a n k --=--于是，122332211(3),1(4),,1,1n n n n a a n k a a n k a a k a a -----=---=---=--=，叠加得，(2)(1)(1)(2)2n n n a n k n --=+-≥ ……………………8分又当1n =时，12a =也适合. 所以，*(2)(1)(1)()2n n n a n k n N --=+-∈. ……………………10分（3）假设存在k ，使13,,(4)n a a a n ≥成等比数列， 由（2）知，34a k =-，由231n a a a =⋅得，2(4)22(1)(1)(2)n k a n n n k -==+---整理得，22(36)2140k n n k n +---+= ……………………12分 由22(36)8(7)n n n ∆=--+-可知， 当7n ≥时，0∆>，又当6n =时，1360∆=>，当5n =时，0∆=，当4n =时，160∆=-<，所以，当5n ≥时，存在k ，使13,,(4)n a a a n ≥成等比数列. ……………………16分江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（三）数学试题数学Ⅱ（附加题）注意事项1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。
2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷
2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，则A∩B=________．【答案】(0,1)【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，∴A∩B=(0,1)．故答案为：(0,1).2. 已知复数z=3+4i5i，其中i是虚数单位，则|z|=________．【答案】1【考点】复数的模【解析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=3+4i5i，∴|z|=|3+4i5i |=|3+4i||5i|=55=1．故答案为：1.3. 已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的离心率【解析】直接利用双曲线的标准方程，求出a，c，即可求解离心率．【解答】解：双曲线C的方程为x24−y2=1，可得a=2，b=1，则c=√a2+b2=√5，所以双曲线的离心率为e=ca =√52．故答案为：√52.4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．【答案】8【考点】伪代码【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的i值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下，T=1，i=2，满足T<6；T=2，i=4，满足T<6；T=4，i=6，满足T<6；T=8，i=8，不满足T<6，输出i=8．故答案为：8.5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________．【答案】55【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高三的人数之比也为4:4:3可得．【解答】解：依题意得抽取的样本容量为：1534+4+3=55.故答案为：55.6. 口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．【答案】13【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有2个，由此能取出的两个球的编号之积大于6的概率． 【解答】解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4， 从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有： (2, 4)，(3, 4)，共2个，∴ 取出的两个球的编号之积大于6的概率为P =26=13． 故答案为：13.7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=2a 2，则S12S 8=________．【答案】 73【考点】等比数列的前n 项和 【解析】设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 6a 2=q 4＝2，所以S12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1+q 4+q 81+q 4，将q 4＝2代入即可． 【解答】解：因为数列{a n }是等比数列，设其公比为q ．所以a6a 2=q 4=2，所以q ≠1， 所以S 12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1−(q 4)31−(q 4)2=1−81−4=73．故答案为：73.8. 函数f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，则ω的最小值为________． 【答案】 23【考点】余弦函数的对称性根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，∴π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k+83，∵ω>0，∴当k=−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.9. 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为________．【答案】11【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b=2+1a+4b，∵1a +4b=(1a+4b)(a+b)=1+4+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=5+4=9，当且仅当ba =4ab时，即a=13，b=23时取等号，故2a2+1a +2b2+4b≥2+9=11.故答案为：11.10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0, +∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2+ 2)的解集为________．【答案】(−2, −1)∪(1, 2)【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，f(3x)>f(x2+2)⇒f(|3x|)>f(x2+2)⇒|3x|>x2+2，由绝对值的定义可得{3x>x 2+2x≥0或{−3x>x2+2x<0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且其定义域为R ，且在[0, +∞)上为增函数， 则f(3x)>f(x 2+2)⇒f(|3x|)>f(x 2+2)⇒|3x|>x 2+2，则有{3x >x 2+2x ≥0 或{−3x >x 2+2x <0，解得：−2<x <−1或1<x <2， 即不等式的解集为(−2, −1)∪(1, 2). 故答案为：(−2, −1)∪(1, 2).11. 过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为________． 【答案】12【考点】 圆的切线方程 【解析】由题意画出图形，可得切线最小时的P 点，进一步求得PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90∘，则答案可求． 【解答】解：根据题意，如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O 作直线y =x −2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|=√2， ∴ A ，B 为圆C:x 2+y 2=1与两坐标轴的交点， 则PA =PB =1，∠APB =90∘， ∴ △PAB 的面积为12×1×1=12． 故答案为：12.12. 已知点P 在曲线C:y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________． 【答案】 1【考点】直线与抛物线结合的最值问题 简单复合函数的导数 平面向量数量积的运算【解析】 设P(m, m 22)，求出直线PQ 的方程，根据根与系数的关系和OP →⋅OQ →=0列方程计算m 的值即可得出答案． 【解答】 解：由y =x 22可得y′=x ，设P(m, m 22)，则切线l 的斜率为m ，故直线PQ 的方程为：y −m 22=−1m (x −m)联立方程组{y −m 22=−1m (x −m)y =x 22 ， 消去y 可得：x 2+2m x −m 2−2=0， 设Q(n, n 22)，则mn =−m 2−2，∵ OP ⊥OQ ， ∴ OP →⋅OQ →=0， 即mn +m 2n 24=0，∴ mn =0（舍）或mn =−4， ∴ −m 2−2=−4，即m 2=2． ∴ P 点纵坐标为m 22=1．故答案为：1.13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB =90∘，AB =2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →⋅AQ →=83，则AQ →⋅CP →的最小值为________．【答案】−2√53【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 数量积的坐标表达式平面向量的坐标运算 【解析】以O 为原点建立直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，以及直线BC 的方程，设出Q 的坐标，由数量积的坐标表示，解得Q 的坐标，再设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，由数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，余弦函数的值域可得最小值． 【解答】解：如图，以O 为原点建立直角坐标系，可得A(−1, 0)，B(1, 0)，C(−1, −2)， 即有直线BC 的方程为y =x −1， 可设Q(m, m −1)，∵ AB →⋅AQ →=83，即(2, 0)⋅(m +1, m −1)=2(m +1)=83，解得m =13，即Q(13, −23)， 设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，可得AQ →⋅CP →=(43, −23)⋅(cosα+1, sinα+2)=43cosα+43−23sinα−43=23(2cosα−sinα)=2√53cos(α+θ)，θ∈(0, π2)，当cos(α+θ)=−1即α+θ=π时， 可得AQ →⋅CP →的最小值为−2√53． 故答案为：−2√53.14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(−2e, 0] 【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】将函数f(x)＝e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方转化为e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，然后分a >0，a ＝0，a <0分别求解． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，∴ e x −ax 2−32ax >0对一切实数x 恒成立，即e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立， 设g(x)=e x ，ℎ(x)=ax 2+32ax ，则①当a >0时，ℎ(x)开口向上，根据ℎ(x)和g(x)的图象易知，当a >0时g(x)>ℎ(x)不恒成立，②当a =0时，g(0)=1>ℎ(0)=0，因此g(x)>ℎ(x)恒成立③当a <0时，e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，即1a <x 2+32xe x对一切实数x 恒成立， 令F(x)=x 2+32xex ，则F ′(x)=−2x 2+x+32e x =−(2x−3)(x+1)2e x，令F(x)=0，则x =−1或x =32， ∴ 当x <−1或x >32时，F ′(x)<0， 当−1<x <32时，F ′(x)>0，∴ F(x)在(−∞, −1)和(32, +∞)上单调递减，在(−1, 32)上单调递增， 又当x >0时，F(x)>0， ∴ F(x)min =F(−1)=−e2， ∴ 要使1a<x 2+32xe x对一切实数x 恒成立，只需1a <F(x)min =−e2，∴ a >−2e ，又a <0，∴ −2e <a <0， 综上，a 的取值范围为(−2e , 0]． 故答案为：(−2e , 0].二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱锥P −ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．(1)求证：EF // 平面ABC；(2)求证：CE⊥AB．【答案】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）推导出EF是△PCD的中位线，从而EF // CD，由此能证明EF // 平面ABC．（2）推导出AB⊥PD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CE．【解答】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3ac =2−cosAsinC．(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cosC的值．【答案】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．【考点】两角和与差的余弦公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)＝1，结合范围A∈(0, π)，可得A+π6=π2，从而解得A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin(B+π6)的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值．【解答】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？【答案】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V=13⋅π⋅62⋅ℎ=36π，解得ℎ=3．∴圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米．(2)由V=13πr2ℎ=36π可得r2=108ℎ，故圆锥的母线l=√r2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2，∴容器的侧面积S=πrl=π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号，∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】（1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可； （2）用高ℎ表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应的ℎ的值即可． 【解答】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V =13⋅π⋅62⋅ℎ=36π， 解得ℎ=3．∴ 圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴ 圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米． (2)由V =13πr 2ℎ=36π可得r 2=108ℎ，故圆锥的母线l =2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2， ∴ 容器的侧面积S =πrl =π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵ 108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号， ∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3)如果A 1H →=λA 1P →，试求λ的取值范围．【答案】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c =4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．【考点】椭圆的准线方程直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 平面向量的坐标运算 直线的斜率 【解析】（1）由题意可得a ＝2，a 2c=4，故c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3，可得椭圆方程，（2）设直线A 1D:y ＝k(x +2)，再设直线A 2D:y ＝3k(x −2)，求出点G 的坐标，根据HG ⊥A 1D ，可求出k 的值，即可求出直线方程，（3）分别求出点H ，P 的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出． 【解答】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c=4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．已知函数f(x)=x 2+(2−a)x −alnx ，其中a ∈R ．(1)如果曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1，求实数a 的值；(2)若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3)对任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2 ， ∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a 2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）对f(x)求导后，由导数的几何意义可得f ′(1)＝2(2−a)＝1，从而求出a 的值； （2）根据函数f(x)的极小值不超过a2，对a 分类讨论，将问题转化为解关于a 的不等式，从而求出a 的最小值；（3）设f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，根据任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，知A ⊆B ，然后分情况求解可得a 的范围． 【解答】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2，∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]．已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N ∗，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立． (1)如果1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，求实数λ的值；(2)已知λ=1．①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n }中，a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1=1a 1，b 2=1a 2，b 3=1a i(i ∈N ∗)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【答案】(1)解：∵ n ≥3，且n ∈N ∗时，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立， 则n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2λa 1a 3，∵ 数列{a n }各项都不为0，同除a 1a 2a 3，得：2λa 2=1a 1+1a 3，又∵ 1a 1,1a 2,1a 3成等差数列，则2a 2=1a 1+1a 3，联立得2λa 2=2a 2，∴ λ=1．(2)证明：①当λ=1，n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2a 1a 3，① 整理，得：1a 1+1a 3=2a 2，∴ 1a 2−1a 1=1a 3−1a 2，②当n =4时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4=3a 1a 4，③③-①，得：a 3a 4=3a 1a 4−2a 1a 3，∴ 1a 1=3a 3−2a 4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列【解析】（1）n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n＝λ(n−1)a1a n恒成立，n＝3时，a1a2+a2a3＝2λa1a3，同除a1a2a3，得2λa2=1a1+1a3，由1a1⋅1a2⋅1a3成等差数列，得2a2=1 a1+1a3，由此能求出λ的值．（2）①当λ＝1，n＝3时，1a1+1a3=2a2，从而1a2−1a1=1a3−1a2，当n＝4时，1a1=3a3−2 a4，从而1a4−1a3=1a3−1a2，当n≥3时，推导出1a1=na n−n−1a n+1，由此能证明数列{1an}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1＝c1＝c，b2＝c2＝c+d，d＝c2−c1＝b2−b1＝cq−c，推导出cq＝c+d，b3＝c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd＝b3+x(cq−c)＝cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1＝q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，由此能证明q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1an}中的项．【解答】(1)解：∵n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=λ(n−1)a1a n恒成立，则n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，∵数列{a n}各项都不为0，同除a1a2a3，得：2λa2=1a1+1a3，又∵1a1,1a2,1a3成等差数列，则2a2=1a1+1a3，联立得2λa2=2a2，∴λ=1．(2)证明：①当λ=1，n=3时，a1a2+a2a3=2a1a3，①整理，得：1a1+1a3=2a2，∴1a2−1a1=1a3−1a2，②当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4，③③-①，得：a3a4=3a1a4−2a1a3，∴1a1=3a3−2a4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题0分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[210a ]，其逆矩阵A −1=[b c01]，求A 2．【答案】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】本题先根据公式AA −1＝E 可将具体矩阵进行代入计算得到a 、b 、c 的值，即可得到矩阵A ，则A 2即可求出． 【解答】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ （θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2, 0)，(2√3, π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【答案】解：由x =ρcosθ，y =ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)， 则直线l:y =√3(x −2)，曲线C ：(x −2)2+(y +√3)2=4， 则圆心C(2, −√3)，半径r =2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．【考点】圆的极坐标方程点到直线的距离公式【解析】将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．【解答】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)，则直线l:y=√3(x−2)，曲线C：(x−2)2+(y+√3)2=4，则圆心C(2, −√3)，半径r=2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．[选修4-5：不等式选讲]已知正数a，b，c满足a+b+c=2，求证：a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【答案】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】不等式两边同乘(2a+2b+2c)，利用柯西不等式证明．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【必做题】第22，23题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【答案】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=22=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题三角形的面积公式圆锥曲线的轨迹问题直线的斜率【解析】（1）设M(x, y)，表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为x＝my+1，联立方程组可得则y1y2＝−4，三角形的面积比得出y1＝−2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．【解答】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)， 设M(x, y)，则A(2x −1, 2y)， 把A(2x −1, 2y)代入y 2=4x可得：4y 2=8x −4，即y 2=2x −1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1y 2=−4， ①若A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1>0，y 2<0， 则S △AOB =12⋅OF ⋅(y 1−y 2)，S △BOF =12⋅OF ⋅(−y 2)， ∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 1−y 2=−3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4，∴ y 1=2√2，y 2=−√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, 2√2)代入x =my +1可得m =2√2=√24， ∴ 直线l 的方程为x −√24y −1=0，即4x −√2y −4=0．②若A 在第四象限，B 在第一象限，则y 1<0，y 2>0， S △AOB =12⋅OF ⋅(y 2−y 1)，S △BOF =12⋅OF ⋅y 2，∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 2−y 1=3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4， ∴ y 1=−2√2，y 2=√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, −2√2)代入x =my +1可得m =2√2=−√24， ∴ 直线l 的方程为x +√24y −1=0，即4x +√2y −4=0．综上，直线l 的方程为：4x −√2y −4=0或4x +√2y −4=0．已知数列{a n }，a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立．(1)求证：a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1(n ∈N ∗)；(2)求证：a n+1>n n +1(n ∈N ∗)． 【答案】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3， 则f ′(x)=lnx 2+1x+1+1>lnx 2−1x+1+1=ln(x −1)+1≥ln2+1>0，∴ f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln 2716>0，则2klnk >(k +1)ln(k +1)，∴ lnk 2k >ln(k +1)k+1，即k 2k >(k +1)k+1， ∴ a k+1a k a k−1...a 2a 1>(k +1)k+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， ∴ a n+1>n n +1. 【考点】 数列递推式对数函数的单调性与特殊点 【解析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；（2）要证：a n+1>n n +1，由（1）a n+1＝a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，可用数学归纳法证明． 【解答】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3，则f′(x)=ln x2+1x+1+1>ln x2−1x+1+1=ln(x−1)+1≥ln2+1>0，∴f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln2716>0，则2klnk>(k+1)ln(k+1)，∴lnk2k>ln(k+1)k+1，即k2k>(k+1)k+1，∴a k+1a k a k−1...a2a1>(k+1)k+1，则当n=k+1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a2a1>n n，∴a n+1>n n+1.。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(三)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如下所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，∠PBC＝∠BAD＝90°.求证：(1) BC⊥平面P AB；(2) AD∥平面PBC.在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.(1) 求a 的值；(2) 设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .(1) 试用解析式将y 表示成x 的函数；(2) 求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.(1) 若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；(2) 如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．设函数f (x )的导函数为f ′(x )．若不等式f (x )≥f ′(x )对任意实数x 恒成立，则称函数f (x )是“超导函数”． (1) 请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；(2) 若函数g (x )与h (x )都是“超导函数”，且其中一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，求证：函数F (x )＝g (x )h (x )是“超导函数”；(3) 若函数y ＝φ(x )是“超导函数”且方程φ(x )＝φ′(x )无实根，φ(1)＝e(e 为自然对数的底数)，判断方程φ(－x －ln x )＝e －x －ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x>12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1.2.22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z|＝22. 3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a<0或a>2，∴ “a>2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16 解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k>0且k ×1－1≥2×1－12， ∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴ tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b4c －a 2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e<1，∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a<7，∴ －6<a<－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t 即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13.55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55. 14. (1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x ，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2. 15. 证明：(1) 如图，在平面PAB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面PAB ， 所以PH ⊥平面ABCD.(4分)而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC. 由∠PBC ＝90°得PB ⊥BC.又PH ∩PB ＝P ，PH ，PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB.(8分)(2) 因为AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥AB, 由∠BAD ＝90°，得AD ⊥AB ， 故在平面ABCD 中，AD ∥BC.(11分) 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC.(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，S ＝23，S ＝12bc sin A ，∴ 12·4·c sin π3＝23，∴ c ＝2， ∴ a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12，∴ a ＝2 3.(6分) (2) ∵a sin A ＝b sin B ，∴ 23sinπ3＝4sin B，∴ sin B ＝1. 又0<B<π，∴ B ＝π2，C ＝π6，∴ f(x)＝2(cos C sin x －cos A cos x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12，得g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴ g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(14分)17. 解：(1) 由∠EOF ＝π4，可得∠COF ＋∠AOE ＝π4， 由题意有tan ∠COF ＝x 4，tan ∠AOE ＝y5，则tan (∠COF ＋∠AOE)＝x 4＋y51－xy 20＝1，即有y ＝20－5x 4＋x，由0≤y ≤4⇒49≤x ≤4，则函数的解析式为y ＝20－5x 4＋x⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4.(6分)(2) 三角形池塘OEF 的面积S ＝S 矩形OABC －S △AOE －S △BEF －S △COF＝4×5－5y 2－4x 2－（4－y ）（5－x ）2＝10＋5x 2－20x 2（x ＋4）⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4， 令t ＝x ＋4⎝⎛⎭⎫409≤t ≤8， 即有S ＝10＋12⎝⎛⎭⎫5t ＋160t －60≥202－20， 当且仅当5t ＝160t，即t ＝42时取“＝”， 此时x ＝(42－4)m ，∴ 当x ＝(42－4)m 时，△OEF 的面积取得最小值，且为(202－20)m 2.(14分)18. 解：(1) 由e ＝32可得b a ＝12. 设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝⎛⎭⎫1，32，得b ＝1， 故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(4分) (2) ① 由条件知OP ：y ＝x 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则满足x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1， 两式作差，得x 21－x 224＋y 21－y 22＝0， 化简得x 1＋x 24＋(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0. 因为AB 被OP 平分，故y 1＋y 2＝x 1＋x 22， 当x 1＋x 2≠0即直线l 不过原点时，y 1＋y 2≠0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12； 当x 1＋x 2＝0即直线l 过原点时，y 1＋y 2＝0，y 1－y 2x 1－x 2为任意实数，但y 1－y 2x 1－x 2＝12时l 与OP 重合； 综上，直线l 的斜率为除12以外的任意实数．(8分) ② 当x 1＋x 2＝0时，y 1＋y 2＝0，故PA →·PB →＝(x 1－2)·(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝5－x 21－y 21＝0，得x 21＋y 21＝5，联立x 214＋y 21＝1，得y 21＝－13<0，舍去；当x 1＋x 2≠0时，设直线l 为y ＝－12x ＋t ，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1可得x 2－2tx ＋2(t 2－1)＝0 (*)， 所以x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2(t 2－1),y 1＋y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ＋⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝－12(x 1＋x 2)＋2t ＝t ， y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝14x 1x 2－t 2(x 1＋x 2)＋t 2＝12(t 2－1)，(13分) 故PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝52(t 2－2t ＋1)＝0 , (15分) 解得t ＝1，此时方程(*)中Δ>0，故所求直线方程为y ＝－12x ＋1.(16分) 19. 解：(1) ∵ a 1，a 3＋2，a 5－5成等差数列，∴ 2(a 3＋2)＝a 1＋a 5－5.又a 1＝1，公比为q ，∴ 2(q 2＋2)＝1＋q 4－5，即q 4－2q 2－8＝0，∴ q 2＝4，∴ q ＝±2.∵ a n >0，∴ q ＝2，∴ a n ＝2n －1.(4分)(2) ∵ a 2a 4n －2＝a 4n ，数列{a n }是首项为a ，公比为q 的等比数列，∴ a 22n ＝a 4n .又a n >0，∴ a 2n ＝a 2n ，∴ a ·q 2n －1＝a 2n ，∴ q ＝a ，∴ a n ＝a n .(6分)① 假设{a n }中存在三项a r ，a q ，a p (p>q>r)成等差数列，则2a q ＝a p ＋a r .∵ a ＝2，∴ 2·2q ＝2p ＋2r ，∴ 2q －r ＋1＝2p －r ＋1.∵ q －r ≥1，p －r ≥2，q －r ，p －r 均为正整数，∴ 2q －r ＋1为偶数，2p －r ＋1为奇数，∴ 2q －r ＋1≠2p －r ＋1，矛盾，故{a n }中不存在三项成等差数列．(10分)② ∵ a n ＝a n ，∴ b n ＝a n lg a n ＝na n lg a.∵ b n ＋1>b n 恒成立，∴ (n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a 恒成立，显然a ≠1.当0<a<1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a ，得a<1－1n ＋1恒成立，∴ 0<a<12； 当a>1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a ， 得a>1－1n ＋1恒成立，∴ a>1. 综上所述，a 的取值范围是(0，12)∪(1，＋∞)．(16分) 20. (1) 解：举例：函数f(x)＝1是“超导函数”，因为f(x)＝1，f ′(x)＝0，满足f(x)≥f′(x)对任意实数x 恒成立，故f(x)＝1是“超导函数”. (4分)(注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分)(2) 证明：∵ F(x)＝g(x)h(x)，∴ F ′(x)＝g′(x)h(x)＋g(x)h ′(x)，∴ F(x)－F′(x)＝g(x)h(x)－g′(x)h(x)－g(x)·h ′(x)＝[g(x)－g′(x)][h(x)－h′(x)]－g′(x)h′(x)．∵ 函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，∴ 不等式g(x)≥g′(x)与h(x)≥h′(x)对任意实数x 都恒成立，故g(x)－g′(x)≥0，h(x)－h′(x)≥0 ①，而g(x)与h(x)一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，故g ′(x )h ′(x )≤0 ②，由①②得F (x )－F ′(x )≥0对任意实数x 都恒成立，∴ 函数F (x )＝g (x )h (x )是“超导函数”．(10分)(3) 解：∵ φ(1)＝e ，∴ 方程φ(－x －ln x )＝e －x －ln x 可化为φ（－x －ln x ）e －x －ln x＝φ（1）e 1， 设函数G (x )＝φ（x ）e x，x ∈R ， 则原方程即为G (－x －ln x )＝G (1) ③.∵ y ＝φ(x )是“超导函数”，∴ φ(x )≥φ′(x )对任意实数x 恒成立，而方程φ(x )＝φ′(x )无实根，故G ′(x )＝φ′（x ）－φ（x ）e x<0恒成立， ∴ G (x )在R 上单调递减，故方程③等价于－x －ln x ＝1，即x ＋1＋ln x ＝0，设H (x )＝x ＋1＋ln x ，x ∈(0，＋∞)，则H ′(x )＝1＋1x>0在(0，＋∞)上恒成立， 故H (x )在(0，＋∞)上单调递增，而H ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1e 2－1<0，H ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e>0， 且函数H (x )的图象在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上连续不间断，故H (x )＝x ＋1＋ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根．(16分)。
徐州市、宿迁市2019高三三模数学试题及答案
徐州市、宿迁市2019高三三模数学试题及答案(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ．2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ． 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． （第3题图）13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或．．．演算步骤．．．．．CE .求证：BCEF ⊥平面平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =．⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面BO C （第17题甲图）BO C（第17题乙图）E （第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ．⑴求直线OP 的方程； ⑵求1PQQA 的值； ⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；（第18题图）⑵设函数()y f x=的图象被点(2,(2))P f分成的两部分为12,c c（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且12,c c分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A，圆B都经过点C，BC是圆A的切线，圆B交AB于点D，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE.求证2DE DC AD DB⋅=⋅.B．选修4-2：矩阵与变换已知,a b∈R，若矩阵13ab-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M所对应的变换把直线l：23x y-=变换为自身，求1-M.EA B CD（第21—A题图）C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值； ⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3. 58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； ； ； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12.； 13.5[,3)4； 14. 4（第22题图） A BC A 1 B 1 C 1 M N二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分 16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分 代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分 由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分代入①，整理得4sin cos 8CC -=． 代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △的面积最大值为2． ………………………………………………………13分因为22916r >，2．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a +， 联立解得2P a x =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，B O C（第17题甲图）B OC （第17题乙图） E所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15， 当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >． 两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg2n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由1n a +212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意； (10)分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+， 所以AE AB ⊥.……………………………………………5分延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒， 所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分FEA BC D （第21—A 题图）所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤， 即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，(1,2,0)N -，M ，1(1,6,0)A ，1(C -所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-. 所以111111cos ,2AM A C AM A C AM A C <>===所以异面直线AM 与11A C ⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m . 设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,5-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n rn n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-=1(1)n n x x --，211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '++-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分 （2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2nn n n n n a a n +++++=⋅， 所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '+-++()f x极大值极小值无极值。
(答案全解全析)普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)模拟试题(三)数学
江苏省镇江市2019届高三数学考前模拟(三模)试题含附加题word版
江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）试题数学试卷第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}1x x >，则A U B ＝ ．2．设复数z ＝(1＋2i)2（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ．6．用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为 ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为 ．8．在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a ++＝ ． 9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0＜ω＜1，0＜ϕ＜2π)的图像过点(0，3)，且关于点(﹣2，0)对称，则(1)f -＝ ．10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA ⊥CB ，则实数a 的值为 ． 11．已知函数ln 0()210x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，，，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ．12．在△ABC 中，AB ＝AC ，AC BC 26+=u u u r u u u r ，则△ABC 面积的最大值为 ．13．若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为 ．14．设()f x t =，若存在实数m ，n (m ＜n )，使得()f x 的定义域和值域都是[m ，n ]，则实数t的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，G 为PO 中点．（1）若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点；（2）若AB ，求证：CG ⊥平面PBD ．16．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若向量m u r ＝(b ，cosB)，n r ＝(cosC ，c ﹣2a )，且m u r ⊥n r ．（1）求角B ；（2）若2m u r ，且ac ＝24，求边a ，c ．17．（本小题满分14分）江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120°角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点P ，Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点E ，F ，用长度为1 km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF ．请分别计算△MPQ ，△EOF 面积的最大值，并比较哪个方案好．方案一图 方案一图18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为y kx =(k ＞0)．（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．(i)OA 2AB =u u u r u u u r ，求直线l 的方程；(ii)直线AM 与直线BN相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得1k ＋2k ＝a 3k 恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()()xf x mx n e -=+（m ，n ∈R ，e 是自然对数的底数）．（1）若函数()f x 在点(1，(1)f )处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 单调区间； （2）①当n ＝﹣1，m ∈R 时，若对于任意x ∈[12，2]，都有()f x ≥x 恒成立，求实数m 的最小值；②当m ＝n ＝1时，设函数()()()x g x xf x tf x e -'=++(t ∈R)，是否存在实数a ，b ，c ∈[0，1]，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若k b ＝max{1a ，2a ，…，k a }﹣min{1a ，2a ，…，k a }，k ＝1，2，3，…，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中max{1a ，2a ，…，k a }，min{1a ，2a ，…，k a }分别表示1a ，2a ，…，k a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．（1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和；（2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+L (n ＝1，2，3，…)且1a ＝1，2a ＝2，求所有满足该条件的{}n a ．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 20 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝ 2 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若直线l ：x ﹣y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标中，过点，4π)作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程．C ．选修4—5：不等式选讲己知x ，y ＞0，且x ＋y ＝1【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某商场进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X ．（1）若取球过程是无放回的，求事件“X ＝2”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设{}n a 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4．（1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）对∀n N *∈，试探究222n n a a +⋅与221n a +的大小关系，并加以证明．。
江苏省苏锡常镇四市2019届高三第三次模拟考试数学试卷(2021年整理)
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2019届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟）2019．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x<1｝,B＝{x｜0〈x〈3}，则A∩B＝________．2。
已知复数z＝3＋4i5i，其中i是虚数单位，则｜z|＝________．3。
已知双曲线C的方程为x24－y2＝1,则其离心率为________．4。
根据如图所示的伪代码，最后输出i的值为________．T←1i←2While T〈6T←2Ti←i＋2End WhilePrint i(第4题）5。
某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15,则抽取的样本容量为________．6。
口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若a6＝2a2，则错误!＝________．8. 若函数f(x）＝cos(ωx－错误!)(ω>0）的图象关于直线x＝错误!对称，则ω的最小值为________．9. 已知正实数a，b满足a＋b＝1，则错误!－错误!的最小值为________．10. 已知偶函数f（x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)〉f(x2＋2)的解集为____________．11. 过直线l：y＝x－2上任意一点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A，B,当切线长最小时，△PAB的面积为________．12。
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2019届江苏省高考应用题模拟试题选编（三）1、如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ．（1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（2）当0120AOC ∠=时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的长是多少？请通过计算说明；（3）在（2）的条件下，求其“最佳视角点”APC ∠的正弦值.2、（江苏省连云港市2019届高三上学期期中考试数学试题）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球 A 是指该球的球心点 A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：(1) 如图1，设母球A 的位置为)0,0(，目标球B 的位置为)0,4(，要使目标球B 向C )4,8(- 处运动，求母球A 球心运动的直线方程；(2) 如图2，若母球A 的位置为)2,0(-，目标球B 的位置为)0,4(，能否让母球A 击打目标B 球后，使目标B 球向)4,8(-)处运动?(3) 若A 的位置为),0(a 时，使得母球A 击打目标球B 时，目标球 B()0,24 运动方向可以碰到目标球 C()25,27-，求a 的最小值（只需要写出结果即可）3、（江苏省无锡市2019届高三上学期期中考试数学试题）有一块圆心角为120度，半径为R 的扇形钢板OAPB (P 为弧AB 的中点)，现要将其裁剪成一个五边形磨具CDEOF ，其下部为等腰三角形OEF ，上部为矩形CDEF .设,POC α∠=五边形CDEOF 的面积为S . （1）写出S 关于α的函数表达式，并写出α的取值范围；（2）当S 取得最大值时，求cos α的值.第3题 第4题4、（江苏省泰州姜堰中学2018—2019学年第一学期高三数学期中试卷）某亲子公园拟建一广告牌，米的正方形ABCD 和边长为1米正方形AEFG 在A 点处焊接，AM 、AN 、GM 、DN 均用加强钢管支撑，其中支撑钢管GM 、DN 垂直于地面于M 点和N 点，且GM 、DN 、MN 长度相等（不计焊接点大小）．（1）若AG ⊥AD 时，求焊接点A 离地面距离；（2）若记∠GAD 为θ，求加强钢管AN 最长为多少？5、（江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高二上学期期中考试 数学）6、（江苏省南通市通州区、海门市2019届高三第二次质量调研联考数学试题）如图为某大江的一段支流，岸线21l l 与近似满足1l ∥2l ，宽度为km 7.圆O 为江中的一个半径为km 2的小岛，小镇A 位于岸线1l 上，且满足岸线1l ⊥OA ，km OA 3=.现计划建造一条自小镇A 经小岛O 至对岸2l 的通道ABC （图中粗线部分折线段，B 在A 右侧）.为保护小岛，BC 段设计成与圆O 相切.设∠ABC =θπ-（0＜θ＜2π） （1）试用通道ABC 的长L 表示成θ的函数，并指出定义域； （2）求通道ABC 的最短长.第6题 第7题7、 （江苏省如皋中学2018—2019学年度高三第一学期期中抽测模拟试卷）如图，现有一块半径为2m ，圆心角为90的扇形铁皮AOB ，欲从其中裁剪出一块内接五边形ONPQR ，使点P 在AB 弧上，点M ，N 分别在半径OA 和OB 上，四边形PMON 是矩形，点Q 在弧AP 上，R 点在线段AM 上，四边形PQRM 是直角梯形．现有如下两种裁剪方案： 第一种：先使矩形PMON 的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM 的面 积也达到最大；第二种：直接使五边形ONPQR 的面积达到最大．试分别求出两种方案裁剪出的五边形的面积，并指出哪种方案原料利用率高？ 8、（南京师大附中2018-2019学年度第一学期高三数学期中试卷）为美化城市环境，相关部 门需对一半圆形中心广场进行改造出新，为保障市民安全，施工队对广场进行围挡施工．如 图，围挡经过直径的两端点A ，B 及圆周上两点C ，D 围成一个多边形ABPQR ，其中AR ， RQ ，QP ，PB 分别与半圆相切于点A ，D ，C ，B ．已知该半圆半径OA 长30米，∠COD 为 60°，设∠BOC 为θ．（1）求围挡内部四边形OCQD 的面积； （2）为减少对市民出行的影响，围挡部分面积要尽可能小．求该围挡内部多边形ABPQR 面积的最小值？并写出此时θ的值．9、（南通市2018-2019学年度高三数学期中五校联谊质量检测试卷）某个公园有个池塘，其形状为直角∆ABC ，∠C =90°，AB =2百米，BC =1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF//AB ，EF ⊥ED ，在∆DEF 喂食，求∆DEF 面积DEF S ∆的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造∆DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使∆DEF 为正三角形，求∆DEF 边长的最小值．10、（2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期中数学试卷）在某海礁A 处有一风暴中心，距离风暴中心A 正东方向200km 的B 处有一艘轮船，正以北偏西α（α为锐角）角方向航行，速度为40km/h ．已知距离风暴中心180km 以内的水域受其影响．（1）若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？1.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ，则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63， DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42． 在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°，∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27，∴点P 在直线PC 上的位置上升了． （3）在直角POC ∆中，249636)320(2222=+=+==OC PC PA PO =398中，和在PAC AOC ∆∆由余弦定理得:APC PC PA PC PA AOC CO AO OC AO ∠⋅⋅-+=∠⋅⋅-+cos 2cos 22222APC ∠⨯⨯-+=⨯⨯⨯-+cos 3203916)320()398(120cos 3624236242222213133sin 13132cos =∠⇒=∠APC APC2、解析：（1）点B （4,0）与点C （8，－4）所石室的直线方程为：x ＋y －4＝0， 依题意，知A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线x ＋y －4＝0上，且在第一象限， 此时｜AB ｜＝2，设A ，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为（a ，b ），则有：4020,0a b a b +-=⎧=>>⎪⎩，解得：4a =，b =，即：A ，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为'A （4，==所以，母球A运动的直线方程为：y x3、（1）如图，设OP 与CD 、AB 交于M ，N 两点，P 为弧AB 的中点，则M 为CD 中点，OP ⊥AB ，OM ＝OCcos α＝Rcos α，CM ＝OCsin α=R sin α，则EF ＝CD ＝2CM ＝2R sin α∠POB ＝12∠AOB ＝60°，∠OBN ＝30°， 所以，ON ＝12OB ＝12R ，CF ＝MN ＝OM －ON ＝Rcos α－12R所以，S ＝CD •CF+12EF •ON ＝2R sin α×（Rcos α－12R ）+12×2R sin α×12R＝12R 2sin α（4cos α－1）（0＜α＜3π）（2）设f （α）＝sin α（4cos α－1），则'()cos (4cos 1)sin (4sin )f ααααα=-+-＝28cos cos 4αα--＝0因为0＜α＜3π，所以，1cos 6α+=由表可知，当S 取得最大值时，cos α=4、5、解（1）在直角PAB ∆中，,4,2==BP AP 由勾股定理得5220222=⇒=+=AP BP AP AB设椭圆方程为12222=+by a x （0＜b ＜a ）由题意得2,552221522==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=b a b a a所以椭圆弧得方程为14522=+y x （20≤≤y ） （2）由于N 到P 得路程相等，所以BP NB AP NA +=+及42+=+NB NA 得2=-NB NA ＜AB 所以N 在以B A ,为焦点且实轴长为2得双曲线上设双曲线得方程为12222=-ny m x （m ＞0，n ＞0）2,152222==⇒⎩⎨⎧=+=n m n m m 所以双曲线得方程为1422=-y x ，即分界线所在的曲线方程为1422=-y x6、解（1）过C 点作1l CD ⊥于D 点， 因为∠ABC =θπ-,21l l 与的距离为km 7 所以θθcos 7,==∠BC CBD 以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，7、解.第一种方案，先求矩形PMON 面积的最大值：设BOP ∠θ=，(0,)2πθ∈，则2cos ,2sin PM PN θθ==， θ2sin 2=⋅=PN PM S PMON ， ∴当22πθ=，即4πθ=时，max 2S =．此时，PM MO ==，4BOP π∠=．再此前提下，过Q 点作QS ⊥OB 垂足为S ， 设BOQ α∠=，(,)42ππα∈．在Rt QOS ∆中， 有2sin ,2cos QS OS αα==，则2cos ,2sin RQ RM αα==∴1(2cos 2QPMR S αα=+梯形2sin cos cos )1αααα=+--令sin cos )t πααα=-=-，∵(,)4ππα∈，∴(0,1)t ∈，此时22sin cos 1t αα=-， 则221(2QPMR S t t =-+=-+梯形，当t =512π时，QPMR S 梯形的最大值为12所以第一种方案裁剪出内接五边形ONPQR 面积最大值为2.52m第二种方案：设BOP ∠θ=，(0,)2πθ∈则2cos ,2sin PM PN θθ==， θ2sin 2=⋅=PN PM S PMON ，过Q 点作QS ⊥OB 垂足为S ，设POQ β∠=，(0,)2πβθ∈-．在Rt QOS ∆中，有2sin(),2cos()QS OS θβθβ=+=+， [][]12cos()2cos 2sin()2sin 2QPMR S θβθθβθ=+++-梯形 sin 2()sin 22sin QPMR S θβθβ=+-+梯形 sin 2sin2()2sin ONPQR S θθββ=+++五边形(1cos 2)sin 2cos 2sin 22sin βθθββ=+++2cos sin(2)2sin βθββ=++ 2cos 2sin ββ≤+)4πβ≤+≤ 当且仅当2,2,42πθβππβ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即,8,4πθπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立． 所以第二种方案裁剪出内接五边形ONPQR 面积最大值为2m ．比较两种方案得，第二种方案原料利用率．8、9、解：（1）Rt ABC ∆中，90,2C AB ∠=︒=百米，1BC =百米.cos ,BC B AB∴=可得60B ∠=︒. //,60,(01)CE EF AB CEF B CBλλ∴∠=∠=︒=<<设， 则100CE CB λλ==百米，∴Rt CEF ∆中，2200EF CE C FE d λ====百米，到的距离百米.2C AB BC =到的距离为)D EF h λ∴==-到的距离为百米可得1(1)2DEF S EF h λ∆=⋅=-百米2211(1)[(1)],44λλλλ-≤+-=当且仅当12λ=时等号成立212DEF E AB S λ∆∴=当时，即为中点时，的最大值为（2）设正DEF ∆的边长为,a CEF α∠=，则sin ,sin CF a AF a αα==，120ADF α∠=︒-，在DEF ∆中，sin sin sin 30sin sin(120)a a a ADF ααα==︒∠︒-，化简得[2sin(120)sin ]a αα︒-+=，7a ∴=≥=（其中ϕ是满足tan ϕ=的锐角）DEF ∴∆ 10、。