数学物理方程模拟题(考前打印)
运动方程练习题
运动方程练习题1、已知一个小球以初速度v0=10 m/s沿着水平方向运动，在t=3秒时，小球的速度变为v=4 m/s。
求小球受到的加速度。
解析：根据运动方程v = v0 + at，可以得到加速度a = (v - v0) / t。
代入已知数值，加速度a = (4 m/s - 10 m/s) / 3s = -2 m/s²。
2、一架飞机以初速度v0=250 m/s平直地垂直向上起飞，起飞后经过t=10秒时，飞机的速度为v=200 m/s。
求飞机竖直向上运动的平均加速度。
解析：根据运动方程v = v0 + at，可以得到加速度a = (v - v0) / t。
代入已知数值，加速度a = (200 m/s - 250 m/s) / 10s = -5 m/s²。
3、一辆汽车在t=0秒时以速度v0=20 m/s向前行驶，在t=4秒时速度变为v=5 m/s。
求汽车受到的加速度。
解析：根据运动方程v = v0 + at，可以得到加速度a = (v - v0) / t。
代入已知数值，加速度a = (5 m/s - 20 m/s) / 4s = -3.75 m/s²。
4、一个物体以初速度v0=0 m/s沿着正方向匀加速直线运动，经过t=8秒时的位移s为100 m。
求物体的加速度。
解析：根据运动方程s = v0t + (1/2)at²，可以得到加速度a = 2s / t²。
代入已知数值，加速度a = 2 * 100m / (8s)² = 0.39 m/s²。
5、一辆汽车以初速度v0=10 m/s匀加速直线行驶，经过t=5秒时速度变为v=30 m/s。
求汽车行驶的位移。
解析：根据运动方程v = v0 + at，可以得到加速度a = (v - v0) / t。
代入已知数值，加速度a = (30 m/s - 10 m/s) / 5s = 4 m/s²。
数学物理方程考试试题及解答(1)
数学物理方程考试试题及解答(1)数学物理方程考试试题及解答考试题目：求解一阶常微分方程y'+3y=x+e^(-2x)解答：1. 首先我们需要将原方程变形，得到y'和y的系数都为1的形式： y'+3y=x+e^(-2x)y'+3y-1*x= e^(-2x)即：y'+3y-(1*x)= e^(-2x)2. 根据一阶常微分方程的标准形式 y'+p(x)y=q(x) ，我们可以将上述方程的左侧写成d/dx(y*e^(3x))的形式。
具体步骤如下：(y'+3y)e^(3x) - x*e^(3x) = e^(3x)*e^(-2x)即：d/dx(y*e^(3x)) - x*e^(3x) = e^xd/dx(y*e^(3x)) = e^(3x)+x*e^(3x)+e^x3. 将方程两侧的d/dx和e^(3x)去掉，得到最终的含y的方程：y*e^(3x) = ∫(e^(3x)+x*e^(3x)+e^x)dx + C= (1/3)*e^(3x) + (1/2)*x*e^(3x) + e^x + C即：y = (1/3) + (1/2)*x + e^(-3x)*(e^(2x)*C+1)4. 因为是一阶线性齐次方程，存在唯一的初始条件y0，可以将解方程带入初始条件得到C的值。
考试题目：提出热传导方程的边界条件∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)解答：热传导方程描述的是一个物质内部温度分布随时间变化的情况，它可以用数学模型来表示:∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)其中，u(x,t)是时间t和空间x处的温度，a是热传导系数，代表了物质的传热速率。
热传导方程的边界条件通常有如下几种：1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：即在给定的边界上已知温度u，通常写成形式u(x,t)|_∂Ω = f(x,t) 。
在第一类边界上，温度保持不变，而且是已知的，所以我们直接用Dirichlet边界条件就可以描述。
初中物理方程式计算专项练习
初中物理方程式计算专项练习
一、速度计算
速度是物体在单位时间内所走的距离，我们可以通过以下公式来计算速度：
速度 = 距离 ÷时间
例如，如果一个物体在10秒钟内走了100米的距离，我们可以用上述公式来计算速度：
速度 = 100 ÷ 10 = 10 米/秒
二、密度计算
密度是物体单位体积中的质量，我们可以通过以下公式来计算密度：
密度 = 质量 ÷体积
例如，如果一个物体的质量为200克，体积为100立方厘米，我们可以用上述公式来计算密度：
密度 = 200 ÷ 100 = 2 克/立方厘米
三、功率计算
功率是单位时间内所做的功，我们可以通过以下公式来计算功率：
功率 = 功 ÷时间
例如，如果一个机器在2秒钟内做了1000焦耳的功，我们可以用上述公式来计算功率：
功率 = 1000 ÷ 2 = 500 焦耳/秒
四、力的计算
力是物体受到的作用，我们可以通过以下公式来计算力：
力 = 质量 ×加速度
例如，如果一个质量为10千克的物体受到10米/秒²的加速度作用，我们可以用上述公式来计算力：
力 = 10 × 10 = 100 牛顿
五、电功率计算
电功率是电能的转化速率，我们可以通过以下公式来计算电功率：
电功率 = 电能 ÷时间
例如，如果一个电器在2小时内消耗了2000焦耳的电能，我们可以用上述公式来计算电功率：
电功率 = 2000 ÷ 2 = 1000 焦耳/秒
以上是初中物理方程式计算的专项练习，希望对你的学习有所帮助！。
数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案
数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案成都理工大学《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分?10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件 f u nuS=+??)(σ是第（）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222xu a t u ??=??的傅立叶变换为（） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dxd（） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （）. 8.计算积分=?-dx x P 2112)]([（） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.<<=??===><22222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.===><t u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3.<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：=+=>>===,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=+=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与?无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ??+??+??=?? 3.01)(1222=??+θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -. 7.2x . 8.52. 9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1ln y y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin 32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos(),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+?n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n e C t T π-=，于是,4s i n (),(16122x n eC t x u tn n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、选择题1.在一个匀速运动中，物体的速度v与物体的位移s的关系是：A.v=s/tB.v=s/t^2C.v=s*tD.v=s*t^22.以下哪个物理量属于标量？A.速度B.力C.加速度D.距离3.物体质量为m，重力加速度为g，物体所受重力的大小为：A. mgB. mg/2C. 2mgD. mg^24.物体自由落体下落t秒后的位移s与时间t的关系为：A. s=gtB. s=gt^2C. s=gt^3D. s=1/gt5.以下哪个物理量属于矢量？A.面积B.速度C.力D.质量二、填空题1.一辆车以10m/s的速度匀速行驶了20秒，那么它的位移是_____________米。
2.物体在一个小时内匀速运动40千米，速度为_____________米每秒。
3.物体在水平地面上受到10牛的推力，质量为2千克，加速度为_____________。
4.一个物体从100米高的地方自由落体，下落10秒后的速度是_____________米每秒。
5.物体质量为5千克，重力加速度为10米每秒的平方，所受重力的大小是_____________牛。
三、解答题1.用物理公式解释为什么月亮绕地球运动？答：根据万有引力定律，任意两个物体之间都存在引力。
月球的质量相对较小，在地球的引力作用下，它会受到向地心的引力，从而绕着地球进行运动。
2.一个物体以10m/s的速度沿水平方向运动，另一个物体以5m/s的速度沿同一方向追赶第一个物体，如果第二个物体和第一个物体质量相同，两个物体发生碰撞后，它们的速度是多少？答：根据动量守恒定律，两个物体的总动量在碰撞前后保持不变。
因此，第一个物体的动量为10 kg·m/s，第二个物体的动量为5 kg·m/s。
由于两个物体质量相同，碰撞后它们的速度将相等。
设碰撞后的速度为v，则第一个物体的动量为10v kg·m/s，第二个物体的动量为5v kg·m/s。
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.下列不属于二次方程的是：A.x^2+2x+1=0B.x^2-x-6=0C.x^2+4=0D.x^2-4x+4=02.函数y=2x+3在x=2处的导数为：A.2B.5C.-1D.13. 若a + b + c = 0，则二次方程x^2 + (a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0的一个根为：A.aB.bC.cD. None of the above4.物理中常用的力的单位是：A.米B.秒C.焦耳D.牛顿5.当一个力作用在一个物体上，其背心点的速度为零，则该力对物体的做功为：A.正B.负C.0D.无法确定6.物体在水平地面上匀速运动，它的加速度和速度的关系是：A.加速度等于速度的平方B.加速度等于速度的倒数C.加速度等于速度的倒数的平方D.加速度等于零7. 汽车以50km/h速度行驶10分钟后，停下来。
该汽车的加速度是多少？A.1m/s^2B.5m/s^2C.10m/s^2D.15m/s^28.若两个正电荷间的距离减小为原来的1/4，它们之间的相互作用力将：A.增大为原来的4倍B.增大为原来的2倍C.减小为原来的1/2D.减小为原来的1/49.下列哪个单位不是功的单位？A.焦耳B.瓦特C.牛顿·米D.千瓦时10.静止的物体受到净外力作用，则它：A.静止下来B.匀速直线运动C.匀变速直线运动D.加速直线运动二、填空题（每题3分，共30分）1.已知二次方程x^2-4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为_______。
2.函数y=x^3-2x^2-x的导函数为_______。
3.自由下落物体的加速度大小是_______。
4.一个木块沿着水平面上大理石的方向移动，摩擦力的方向是_______。
5.用力F通过一个水平距离d将一个物体从静止推到速度为v，则F的大小为_______。
6.在同一介质中，两个等电荷的电荷量都加倍，它们之间的相互作用力将变为原来的_______。
数学物理方程练习题
σf 4dSdt.
根据热量平衡有 故所求边界条件为
−k
∂u ∂n
dSdt
=
σu4dSdt
−
σf
4dSdt.
−k
∂u ∂n
=
σ(u4
− f 4).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 49
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0,
⇒ Q(t) = Q0e−βt.
易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 Ω 中的热量的增加等于从 Ω 外部流入 Ω 的热量及砼中的水化热之和, 即
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 7 / 49
热传导方程及其定解问题的导出
∫ t2 cρ ∂u dtdxdydz =
.
热传导方程
.
Heat Equations
齐海涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 1 / 49
目录
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
热传导方程及其定解问题的导出
.E.xample 1.2
.试直接推导扩散过程所满足的微分方程.
解: 设 N(x, y, z, t) 表示在时刻 t, (x, y, z) 点处扩散物质的浓度, D(x, y, z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为
数学物理方程题库
()()22221211*********cos 3sin 0cos 3sin 40.2cos 2cos 2sin x x y a a a x x xx y x −−+−=∆=−=−++=>⎧⎪==−⎪⎨⎪==−−⎪⎩=−xx xy yy y ，指出下列方程的类型并化为标准形式。
1） u u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx该方程的一组特征微分方程为dy dx 积分得到特征曲线为1112222211122222111222sin 2sin 2sin 2sin 2sin 082x c c y x xy x x c c y x xy x xy x x U U UB a a a x x x y y x y y a a x x y ξηξηξηξηξηξηξηξξ+=−+⎧⎧⇒⎨⎨=−−+=++⎩⎩−+⎧⎨=++⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂=+∂∂∂1211121=于是令此时原方程可以转化为2A A 其中，A A ()()2221222211122212222sin 2sin 00a b y xy y B a a a b y xx x y y yU U Uu u u ξξηηηηξηξηξηξηξηξηξη∂∂++=−−∂∂∂∂∂∂=+++=−−∂∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠1所以16y+sinx y+sinx +由于y+sinx=，所以上式可以变为关于，得标准方程2+32()22222121122121122211122200.,().02xy y a a a xy x y a y a xyy cx c x x u u uB a a x x y ξηηξηηηη++=∆=−=−=====∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂⎛⎞=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠2xx xy yy 221122） x u u u 解：方程的判别式所以方程为抛物型。
数学物理方程模拟试卷
数学物理方程模拟试卷一. 写岀定解问题(10分)设枢轴长为1,建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程：(a) 在x=0固泄，在x=l 作用力F,在t=0时刻作用力突然停止 <b) 在x=l 一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力F(t)d 2u. 小—一 ,(0<x</7>0dt 1dx 2 Fn(x,0)=—“(儿0) = 0,(0 < x < /) E“(0」) = 0“；(/j)= 0,(10)d 2u d 2u M. 八\ —-=cr — . (0 < A < l.t > 0) 6 广 dx^ M (X ,0) = 0“(x，0) = 0,(0 < x<l)"(0,r) = 0,“；(/,/) = —，(/ > 0)E其中E 为扬氏系数。
二、判定方程的类型并化简(20分)解：已知 d = l.b = l,c = 一3 特征方程为dy _b± y/b 2 -ac _ 1 ± 2例.化简 d 2u a?+ 2业oxdydx+ 2色(1)解:dx a 1dy:.—=_1 t y = + Qdx ・空=3_〉，= -“5 dx= 3x- yJ = h© = 1 侥=爲=^yy = 0f ?x = 3昇7\, = _1,〃“ = f]xy = /]yy = 0M x =“点+“w 严局 +M.V% = % §2 + 2"応 z + %於 + u ^xx + 叽=叱纟禺+"为(轨+©久)+ "加〃"+“禺+"馮ll yy =畑空+ 2唏、小+【伽〃；+化齐+«皿〉、将(2)代入(3),可得u 2 = ig +3知U y =出一知 ll xx =叱+ 6“切+ 9"加 lt xy=乜+2怜一31饬% •“怯一 2伽+知〃 把(4)代入(1),可得% + 叫 + % + 2% + 4“为 一 6% 一 3乜 + 6怜 一 3% + 2叫 + 6卩 + 6叫 一 6知=016—〃 +&〈 = 0 L!卩 II 切 H — u t — 0 2这就是我们所求的标准的双曲型方程。
数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ其中)0()0(ψϕ=。
解：设⎩⎨⎧+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得：)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+由)0()0(ψϕ=即得：)0()2()2(),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。
二、利用变量分离法求解方程。
（15分）⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ其中l x ≤≤0。
0>a 为常数解：设)()(t T x X u =代于方程得：0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos21+=，at C at C T λλsin cos 21+=由边值条件得：21)(,0ln C πλ== lx n at A at B u n n n πλλsin)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ，⎰=ln dx lx n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设u e v ct -=代入方程：⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。
数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分, 共20分）1.长为 的两端固定的弦的自由振动, 如果初始位移为 , 初始速度为x 2cos 。
则其定解条件是2.方程.的通解................3.已知边值问题 , 则其固有函数 =4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分, 共15分）1. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 2.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3.理想传输线上电压问题( 其中CL a 12=)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω1. 三.解下列问题2. ( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x ex u yu x u 38)0,(03的解3. ( 本题8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u...本题8分.求问. 的解1. 四.用适当的方法解下列问题2. ( 本题8分) 解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=∂∂=∂∂2222321)0,(x x x u x u a t u 2.( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t uxz y u z u y u x u a t u t t 五. ( 本题10分)解混合问题:六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 一.单项选择题（每小题4分, 共20分）1.（D..2.（B..3.（D..4.（D ）二.填空题（每空4分, 共24分）1....2...3.. ，4.)(x X n =cos ,(0,1,2,3,)2n n x B n π= 5.通解为223(,)()()2u x t x y f x g y =++ 三.解下列问..本题7分.1. 求问题 的解解: 设 （2分）代入方程,330,1m m +==- （6分）所以解为 3(,)8x y u x t e -= （7分）2． ( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=20222223,2sin )0,(x t ux x u x u a t u t 的解 解: 由达朗贝尔公式, 得211(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d aξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）四.用适当的方法解下列问题1. .本题7分.解问.解: 设代入方程,令 2066A A a x''=⎧⎨=+⎩ 显然成立 解为 22(,)12366u x t x x a t xt =-+++2.( 本题7分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t u yz y x u z u y u x u a t u t t 解: 设 （2分）代入方程22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++∆++∆ （4分）令 , 显然成立, 解为322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=五. ( 本题7分)解混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(222 解1(,){(,)}u x t L U x s -=222sin a t e x ππ-= 六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 解: 设 代入方程及边界200(0)()0T a T X X X X λλπ''⎧+=⎪''+=⎨⎪==⎩22(),sin n n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞==+∑其中 3028[1(1)]()sin n n C x x nxdx n ππππ--=-=⎰ 00(2)23sin 2sin 3(2)n n D x nxdx n aππ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩⎰ 所以解为3138[1(1)](,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞=--=+∑2009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、 填空题（每小题4分, 共24分）1.方程.的特征线..........2.长为 的弦做微小的横振动, 、 两端固定, 且在初始时刻处于水平状态, 初始速度为 .则其定解条件.................3.方程 的通解.........4.已知边值问. .. 则其固有函数)(x X n =5.方程 的通解............6...........二. 单项选择题（每小题4分, 共20分）1.微分方程.是..）（A ）三阶线性偏微分方程 （B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方.....（D ）三阶非线性常微分方程2. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 3.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 4.理想传输线上电压问题（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω5.单位半径的圆板的热传导混合问题⎪⎩⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(,),(,0),1()1()1(222ρρρρρρρf u M t u t u u u a t u 有形如（ ）的级数解。
物理方程测试题及答案
物理方程测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个方程是描述牛顿第二定律的？A. F=maB. F=G*(m1*m2)/r^2C. E=mc^2D. v=u+at答案：A2. 光速在真空中的速度是多少？A. 299,792,458 m/sB. 300,000,000 m/sC. 299,792,458 km/sD. 300,000,000 km/s答案：B3. 以下哪个单位是力的国际单位？A. 牛顿（N）B. 帕斯卡（Pa）C. 焦耳（J）D. 瓦特（W）答案：A4. 根据能量守恒定律，下列哪个说法是正确的？A. 能量可以被创造B. 能量可以被消灭C. 能量既不会被创造也不会被消灭D. 能量可以转化为质量答案：C5. 以下哪个是描述动量守恒定律的方程？A. p=mvB. F=maC. ΔU=QD. W=Fd答案：A二、填空题（每空1分，共10分）6. 根据万有引力定律，两个物体之间的引力与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，其公式为：F=________*(m1*m2)/r^2。
答案：G7. 根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，其公式为：F=________*(q1*q2)/r^2。
答案：k8. 根据欧姆定律，导体两端的电压与通过它的电流成正比，其公式为：V=________*I。
答案：R9. 根据焦耳定律，电流通过导体产生的热量与电流的平方、电阻和通电时间成正比，其公式为：Q=________*I^2*R*t。
答案：1/210. 根据开普勒第三定律，行星绕太阳公转周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比，其公式为：T^2=________*a^3。
答案：4π^2/GM三、计算题（每题10分，共20分）11. 一辆汽车以15m/s的速度行驶，突然刹车，加速度为-5m/s^2，求汽车完全停止所需的时间。
答案：t=(0-15)/(-5)=3s12. 一个物体从10m高处自由落下，忽略空气阻力，求物体落地时的速度。
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、常微分方程(1)证明椭圆线方程$x^2+y^2=1$的曲率半径是无穷的证明：曲线的曲率半径R为曲线点处的法线与曲率半径的夹角$\frac{1}{R}$的反正切值，其表达式为$\frac{，y'，}{\sqrt{1+y'^2}}$，其中$y'$为曲线其中一点处的导数值。
而椭圆线方程$x^2+y^2=1$的一阶导数分别为$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$以及$\frac{dx}{dy}=\frac{x}{y}$，这里可以得到$y' = \frac{-x}{y}=\frac{-1}{x}$。
此时曲率半径表达式变为$\frac{x}{，x，\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$，表达式中的$，x，$可以去掉，并且$x$取任意值，故椭圆线方程$x^2+y^2=1$的曲率半径是无穷的。
(2)证明球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率、曲率半径一致证明：根据曲线曲率的定义可知，球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率为$\kappa=\frac{，R_1\cdot R_2，}{R^3}$，其中$R_1$、$R_2$分别为曲线其中一点处的两个切线的曲率半径，$R$为曲线其中一点处的曲率半径。
而对于球面，它的两个曲率半径$R_1$和$R_2$是完全一样的，这是因为在球面其中一点的法线方向没有区别，故$R_1=R_2$。
此时曲率可以表示为$\kappa=\frac{R_1^2}{R^3}=\frac{R^2}{R^3}=\frac{1}{R}$，即曲率等于其曲率半径的倒数，也就是说球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率和曲率半径是一致的。
二、偏微分方程。
数学物理方程复习题
２．问初始条件)(x ϕ与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at)其中F ，G 由初始条件)(x ϕ与)(x ψ决定。
初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何t x ,有 G(x+at)≡常数. 即对任何x, G(x)≡C 0又 G （x ）=⎰-+xx aC d ax 02)(21)(21ααψϕ所以)(),(x x ψϕ应满足 +)(x ϕ⎰=xx C d a1)(1ααψ（常数）或'ϕ(x)+)(1x aψ=03.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x ua t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(xϕ-F(0).且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2atx ++)2(at x -ψ-).0(ϕ即为古尔沙问题的解。
1. 用分离变量法求下列问题的解：(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==<<-=∂∂=∂∂=∂∂==0),(),0()0()1(,3sin 022222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u ot t π解：边界条件齐次的且是第一类的，令)()(),(t T x X t x u =得固有函数x ln x X n πsin)(=，且 t lan B t lan A t T n n n ππsincos)(+=，)2,1( =n于是 ∑∞=+=1sin)sincos(),(n n n x ln t lan B t lan A t x u πππ今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得 ∑∞==1s i n3s i nn n x ln A lx ππ∑∞==-1sin)(n n x ln B lan x l x ππ所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n ⎰-=ln x d x ln x l x an B 0sin)(2ππ⎩⎨⎧ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x l n x n l x l n n lx l n x n l l an πππππππcos sincos 22222)}))1(1(4cos2sin24430333222nlan lxln n lx ln n x l --=--πππππ因此所求解为∑∞=--+=1443s i ns i n)1(143s i n 3c o s ),(n nx ln t lan na lx l t l a t x u πππππ(2) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂==∂∂-∂∂0)0,(,)0,(0),(0),0(022222x tu x l h x u t l tu t u x ua t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u =得：⎩⎨⎧='==+''0)(,0)0(0l X X X X λ (1)及 )2(02=+''X a T λ。
数学物理方程练习题第九版(学生用)汇编
8
= ∆u 0, (x, y, z) ∈ KR \ Kr ,
= u Γr 1,= u ΓR 2, 证明：在 KR \ Kr 内, 1 < u < 2.
3. 用积分变换法求解定解问题：
7
= ut a2u xx +ku, -∞<x < +∞, t > 0, u(x,0) = ϕ(x).
练习十四
1．证明二维调和函数的积分表达式：
u(M 0 )
=
−
1 2π
∫ C u
∂ ∂n
ln
1 r
− ln
1 r
∂u ∂n
ds.
2．在下半平面 y < 0 内求解拉普拉斯方程的边值问
《数学物理方程与特殊函数》习题
练习一
1．写出长为 L 的弦振动的边界条件和初始条件：
（1）端点 x = 0, x = L 是固定的；
（2）初始状态为 f (x) ；
（3）初始速度为 g(x) ； （4）在任何一点上，在时刻 t 时位移是有界的. 2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点 x = 0 处，弦是移动的，由 g(t) 给出；（2） 在端点 x = L 处，弦不固定地自由移动. 3． 验证函数 u = f (xy) 是方程 xux − yu y = 0 的解，其中 f 是任意连续可微函数.
= u t a2u xx ,
x > 0, t > 0,
= u(0,t) u= 0 , u(x,0) 0, u(x,t)有界.
数学物理方程题库
1
2） x 2 u xx + 2 xy u xy + y 2 u yy = 0 解 ： 方 程 的 判 别 式 ∆ = a12 2 − a11 a 22 = ( xy ) − x 2 y 2 = 0. 所以方程为抛物型。 该方程的一组特征微分方程为 dy a12 y = = ,解 这 个 微 分 方 程 得 到 ： dx a11 x
x
' 对上式积分得，a ⎡ f x − f x = − a ϕ ⎤ ( ) ( ) 1 2 ⎣ ⎦ ∫ ( x) dξ + c
x0
⎧ ϕ ( x) 1 x ' c − ∫ ϕ ( x) dξ + ⎪ f1 ( x) = 2 2 x0 2a ⎪ 于是得到， ⎨ x ⎪ f x = ϕ ( x) + 1 ϕ' x dξ − c ( ) ∫ ⎪ 2( ) 2 2 2a x0 ⎩ ⎧ ϕ ( x + at ) 1 x+at ' c f x + at = − ϕ x d ξ + ) ( ) ⎪ 1( ∫ 2 2 2a x0 ⎪ ⇒⎨ x0 c ⎪ f x − at = ϕ ( x − at ) + 1 ' ϕ x d ξ − ( ) ( ) ∫at ⎪ 2 2 2 2a x − ( ) ⎩ ⇒ u ( x,t) = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at ) 1 1 = ⎡ ϕ x + at + ϕ x − at ⎤ − ϕ ' (ξ ) dξ ( ) ( ) ⎣ ⎦ ∫ 2 2 x−at = ϕ ( x − at )
2 ⎧ ⎪utt = a uxx ( −∞ < x < ∞) ⎨ ' u x ,0 = ϕ x ， u x ,0 = − a ϕ ( ) ( ) ( ) ( x) ⎪ t ⎩ 根据题意，令u( x,t) = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at )
数学物理方程期末考试题及答案
数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。
答案：\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程，也称为________方程。
答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。
答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。
答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。
答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。
答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。
在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。
一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。
12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。
答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。
它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。
物理方程测试题及答案
物理方程测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 光在真空中传播的速度是多少？A. 299,792,458 m/sB. 299,792,458 km/hC. 299,792,458 km/sD. 299,792,458 m/h答案：A2. 以下哪个是牛顿第二定律的表达式？A. F = maB. F = mvC. F = m/aD. F = ma^2答案：A3. 一个物体的质量为2kg，受到的力为10N，它的加速度是多少？A. 5 m/s^2B. 10 m/s^2C. 20 m/s^2D. 40 m/s^2答案：A4. 根据动能定理，一个物体的动能与其速度的平方成正比，与其质量成什么关系？A. 正比B. 反比C. 无关D. 无法确定答案：A5. 以下哪个选项是描述电磁波的方程？A. E = mc^2B. E = hνC. F = G*(m1*m2)/r^2D. F = ma答案：B6. 一个物体从静止开始自由下落，其加速度是多少？A. 9.8 m/s^2B. 10 m/s^2C. 0 m/s^2D. 无法确定答案：A7. 以下哪个是描述理想气体状态方程的？A. PV = nRTB. P = ρghC. F = maD. E = mc^2答案：A8. 以下哪个是描述欧姆定律的方程？A. V = IRB. I = V/RC. R = V/ID. A. B. C. 都是答案：D9. 以下哪个是描述电磁感应定律的方程？A. E = F/qB. E = hνC. E = -dΦ/dtD. E = mc^2答案：C10. 以下哪个是描述库仑定律的方程？A. F = G*(m1*m2)/r^2B. F = k*(q1*q2)/r^2C. F = maD. E = mc^2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小________，方向________。
答案：相等；相反2. 光年是光在一年内通过的距离，其值约为________光年。
数学物理方程 练习题
数学物理方程
2012-10-3 14 / 39
二阶线性方程的特征理论
(3)
∂u ∂t
=
∂2u ∂x2
−
∂2u ∂y2
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 15 / 39
二阶线性方程的特征理论
(3)
∂u ∂t
=
∂2u ∂x2
−
∂2u ∂y2
解: 特征方程:
α21 − α22 = 0.
特征方向 l 满足:
2012-10-3 13 / 39
二阶线性方程的特征理论
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (2) ∂t2 = ∂x21 + ∂x22 + ∂x23
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 14 / 39
二阶线性方程的特征理论
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (2) ∂t2 = ∂x21 + ∂x22 + ∂x23
解: 特征方程:
α20 = α21 + α22 + α23.
特征方向 l 满足:
α20 = α21 + α22 + α23,
α20 + α21 + α22 + α23 = 1.
√√
√
√
解得:
l
=
(±
2 2
,
2 2
sin
θ
sin
β,
2 2
sin
θ
cos
β,
2 2
cos
θ),
其中
θ,
β
为任意参数.
齐海涛 (SDU)
(1.2)
ξ = α1x + α2y, η = α3x + α4y,
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数学与统计学院2007年12月一. (20分) 判断下面方程的类型并通过自变量的变换将其化为标准型二. (15) 利用叠加原理, 齐次化原理(Duhamel 原理) 叙述如下弦振动方程Cauchy 问题的求解过程, 并写出解的表达式.三. (20分) 用傅里叶(Fourier) 变换法求解如下一维热传导方程四. (20分) 用分离变量法求解弦振动方程的初边值问题五. (15分) 对受摩擦力作用且具有固定端点的有界弦振动，满足方程其中常数, 证明其能量是减少的，并由此证明方程的初边值问题解的唯一性.六. (10分) 设为平面上的有界区域, 其边界充分光滑, 考虑方程其中, 为Laplace算子. (1) 证明: 如果是方程的解, 那么, 不能在内部取正的最大值, 也不能在内部取负的最小值; (2) 证明: 上述方程的第一边值问题最多只有一个解.数学与统计学院2007年12月一. 1. (7分) 将方程化成标准型.2. (8分) 求解定解问题二. (15分) 求下述问题的形式解三. (20分) 设是定解问题的古典解, 其中为有界区域, 为其边界, 为外法线方向, , 为已知函数, 且, , 为正常数. 求证在上必有.四. 1. (5分) 写出下述热传导方程初边值问题的解的表达式, 其中为光滑函数, .2. (10分) 证明当时, 上述问题的解关于一致地收敛于零.五. (20分) 证明双曲型方程混合问题解的唯一性, 其中, , 为上的连续函数.六. (15分) 设是以原点为中心, 以为半径的圆域, 在中调和, 且在中一阶连续可微. 试证:数学与统计学院2007年12月一. (18分) (1) 判断下述方程的类型并将其化为标准型:;(2) 判断下述方程类型并求其通解, 其中为常数, 且.二. (18分) 求解下述定解问题三. (18分) 求下述Cauchy 问题的解四. (16分) 设为下述定解问题之解试证明: (1) 当适当大时, ”能量”积分为的单调不增函数; (2) 当时, 能量积分.五. (12分) 求解其中, , 表示单位球边界上的外法向导数.六. (16分) (1) 记为中以原点为中心、以为半径的球, 表示的闭包, 设, 且在中调和, 试证明:, .(2) 利用(1) 证明在全空间中有界的调和函数一定是常数.数学与统计学院2007年12月注意: 以下各题中的小题是分别计分的, 如不能完成上面的小题, 也可以直接完成下面小题.一. (20%) 给出定解问题(P)(i) 作未知函数代换, 其中是新的未知函数, 是待定函数, 使得定解问题(P) 化为关于的定解问题(Q), 而且边界条件是齐次的.(ii) 设(P) 的边界条件是齐次的(即), 求(P) 的解.二. (30%) 给出定解问题（P）(1)(2)(i) 判断方程(1) 的类型;(ii) 通过自变量的变换, 化(1) 为标准型;(iii) 求方程(1) 的通解;(iv) 求(P) 的解.三. (20%) 设区域(i) 求的Laplace 方程第一边值问题的Green 函数;(ii) 求解边值问题其中函数连续, 且有界.四. (30%) 考虑初边值问题(P)其中常数, .(i) 证明: 如果, 则, 其中, , ().(ii) 用上述极值原理证明: (P) 最多只有一个解.(iii) 用能量方法证明: (P) 最多只有一个解.数学与统计学院2007年12月注意: 以下各大题中每小题是独立的, 不回答前面的小题也可以回答后面的小题, 每题都占总分的20%.一. 1. 推导弦振动方程的通解.2. 证明方程(, 为常数) 的通解可以表示为其中, 为任意的二次连续可微函数二. 考虑以下初边值问题1. 引入新的未知函数, 将(P) 化为边界条件是齐次的初边值问题.2. 如果, , 求解问题(P). (问题(P) 中,是常数).三. 用能量方法证明以下初边值问题最多只有一个解其中, , , 是区域的边界, 且充分光滑.四. 设是平面上的有界区域, 其边界充分光滑. 考虑方程其中常数, 是Laplace 算子.1. 证明: 如果是方程的解, 那么, 不能在内部取正的最大值, 也不能在内部取负的最小值.2. 证明: 上述方程的第一边值问题最多只有一个解.3. 如果, 上述两个命题是否成立? 为什么?五. 考虑以下初边值问题:且.1. 写出区域求解Laplace 方程第一边值问题的Green 函数.2. 推导(P) 的解(不必证明).数学与统计学院2008年12月一. (9分) 试写出数学物理方程中常遇到的三类方程.二. (20分) 用分离变量法求解如下弦振动方程初边值问题的解三. (20分) 设, 分别是下述两个定解问题的解那么是定解问题的解.四. (15分) 导出(写出过程)如下热传导方程柯西问题解的表达式:五. (16分) 验证函数满足二维Poisson 方程.六. (20分) 非线性因子与耗散因子相互作用的基本数学物理模型可用如下方程表达这里为粘性系数. 设方程有型如, 的行波解(为波速), 并且满足, , . 请给出解的解析表达式. (注: , .)数学与统计学院2008年12月一. 设为分片光滑的有界区域, 是其边界. , 为上的二次可微的光滑函数. 则有如下格林公式成立其中为体积元素, 是的外法线方向, 是上的面积元素. 利用上述格林式说明1) (20分) 设函数为以曲面为边界的区域内是调和的, 在上有连续的一阶偏导数, 则2) (10分) Laplace 方程的第二边值问题即Neumann 内问题有解的必要条件为.二. (20分) 今有一弦, 其两端固定在坐标轴上和处, 在开始的一瞬间, 它的形状是一条以过点的铅垂线为对称轴的抛物线,其顶点的纵坐标为. 假定没有初速度. 试用付氏法求解弦振动方程. 提示: 先求抛物线的表达式.三. (20分) 用分离变量法求解狄利克雷(Dirichlet) 问题其中, 为已知正常数, 且.四. (20分) 有一两端无界的轴, 其初始温度为试说明轴上温度分布为这里为扩散系数.五. (10分) 说明拉普拉斯算子在球坐标下, 可以写成数学与统计学院2008年12月一. 设为分片光滑的有界区域, 是其边界. , 为上的二次可微的光滑函数. 则有如下格林公式成立其中为体积元素, 是的外法线方向, 是上的面积元素. 利用上述格林式说明1) (20分) 设函数为以曲面为边界的区域内是调和的, 在上有连续的一阶偏导数, 则2) (20分) Laplace 方程的第二边值问题即Neumann 内问题有解的必要条件为.二. (15分) 求下述问题的形式解二. (20分) 用分离变量法求解如下弦振动方程初边值问题的解三. (20分) 非线性与色散相互作用的基本数学物理模型可用如下方程表达这里为色散系数. 设方程有型如, 的行波解(为波速), 并且满足, . 请给出解的解析表达式. (注: , .)四. (20分) 验证函数满足二维Poisson 方程.数学与统计学院2008年12月一. (20分) 说明拉普拉斯算子在球坐标下, 可以写成二. (20分) 用分离变量法求解狄利克雷(Dirichlet) 问题其中, 为已知正常数, 且.三. (20分) 用分离变量法求解如下弦振动方程初边值问题的解四. (20分) 设, 分别是下述两个定解问题的解那么是定解问题的解.五. (20分) 非线性与色散相互作用的基本数学物理模型可用如下方程表达这里为色散系数. 设方程有型如, 的行波解(为波速), 并且满足, . 请给出解的解析表达式. (注: , .)数学与统计学院2008年12月总分100 分, 每题20 分, 共五题. 考试时间180 分钟.一. 用分离变量法求下列定解问题的解:二. 用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板上的稳定温度分布三. 如果有一长度为的均匀细棒, 其周围以及两端, 处均为绝热, 初始温度分布为, 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当等于常数时, 恒有.提示: 考虑如下初边值问题四. 举例说明在二维调和方程的狄利克莱问题中, 如对解不加在无穷远处为有界的限制, 那么定解问题的解就不是唯一的.提示: 设为单位圆外 (其中) 区域, 此问题对应狄利克莱外问题的定解问题五. 对齐次方程的初值问题的解可表达为证明:a) 如果初始条件在轴的区间上发生变化, 那么对应的解在区间的影响区域以外不发生变化;b) 在轴区间上所给的初始条件唯一地确定区间的决定区域中解的数值.数学与统计学院2008年12月一. (20分) 用分离变量法求下列定解问题的解:二. 设为分片光滑的有界区域, 是其边界. , 为上的二次可微的光滑函数. 则有如下格林公式成立其中为体积元素, 是的外法线方向, 是上的面积元素. 利用上述格林式说明1) (20分) 设函数为以曲面为边界的区域内是调和的, 在上有连续的一阶偏导数, 则2) (20分) Laplace 方程的第二边值问题即Neumann 内问题有解的必要条件为.三. (20分) 用分离变量法求解如下弦振动方程初边值问题的解四. (20分) 描述耗散的基本数学物理模型可用如下方程表达这里为耗散系数. 设方程有型如, 的行波解(为波速), 并且满足, . 请给出解的解析表达式. (注: , .)。