第十一章 正交小波构造

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第11章 正交小波构造

我们在上一章中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。所谓“正交小波”，指的

是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。

Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。

11.1 正交小波概述

现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。

1.Haar 小波

我们在10.1节中已给出Haar 小波的定义及其波形，见图10.1.1(d)，Haar 小波的尺度函数

)(t φ如图10.1.1(a)所示。重写其定义，即

⎪⎩⎪

⎨⎧-=011

)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (11.1.1)

⎩

⎨⎧=01

)(t φ

其它10<≤t (11.1.2) 显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),('

'k k k t k t -=--δψψ，即它们

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是正交的。同理，

)()(),(',,'

k k t t k j k j -=δψψ。

很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是

4

/4

/sin )(22

/ωωωωj je

-=ψ

2

/2

/sin )(2

/ωωωωj e -=Φ

注意式中ω实际上应为Ω。由于Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。

上一章指出，Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是：

⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,21)(0n h ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,2

1

)(1

n h (11.1.5)

它们是最简单的两系数滤波器。

2.Shannon 小波

令

t t t ππφsin )(=

(11.1.6)

则

⎩⎨

⎧=Φ01)(ω 其它π

ω≤ (11.1.7)

由于

⎰ΦΦ=

--ωωωπ

φφd k t k t k k )()(21

)(),(',0*,0'

)(21')('

k k d e k k j -==⎰

---δωπ

π

π

ω (11.1.8)

所以{}Z k k t ∈-),(φ构成0V 中的正交归一基。)(t φ称为Shannon 小波的尺度函数。

由于0,0)(V t k ∈φ，100-=⊕V W V ，由二尺度性质，1)2(V k t ∈-φ，因此

⎩⎨⎧=Φ-0

1

)(,1ωk

其它πω2≤ (11.1.9)

这样，对0)(W t ∈ψ，有

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⎩

⎨⎧=ψ01

)(ω

其它πωπ2≤< (11.1.10)

于是可求出

)2/3cos()2

/2

/sin (

)(t t t t πππψ=

(11.1.11)

读者可很容易验证

)()(),(''k k k t k t -=--δψψ

(11.1.12)

也即}),({Z k k t ∈-ψ构成0W 中的正交归一基。其实，从频域可以看到，)(,ωk j ψ和)

(,ωk j Φ

图11.1.1 Shannon 小波及其尺度函数度频域波形

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显然，Shannon 小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域有着极好的定位功能。但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为Sinc 函数。这样，Shannon 小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。

Haar 小波和Shannon 小波是正交小波中两个极端的例子。自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间。9.4节给出了能作为小波的函数)(t ψ的基本要求，即：)(t ψ应是带通的；由于⎰

=0)(dt t ψ，因此它应是振荡的；)(Ωψ应满足(9.3.9)式的容许条件；)(Ωψ还应满足(9.4.4)式的稳定性条件；此外，)(t ψ、)(Ωψ最好都是紧支撑的。

由二尺度差分方程，)(ωΦ、)(ωψ均和)(0ωH 、)(1ωH 有着内在的联系。重写(10.4.14)式和(10.4.15)式，有

∏∏∞

=∞

=-==Φ11

0'0)

2(2)

2/()(j j j j H H ωωω (11.1.13)

)2()2/(2)2/(2)2/()(2

'

0'1201ωωωωωj j j j H H H H -∞

=∞=∏∏==ψ (11.1.14) 这两个式子明确指出，正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产

生。这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在(11.1.13)和(11.1.14)式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如11.3节要讨论的消失矩和规则性等问题。为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如何由(11.1.13)和(11.1.14)式递推求解)(ωΦ和)(ωψ的问题，并说明其中可能存在的问题。

11.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。

(10.4.4)式给出了由)(),(10n h n h 递推求解)(t φ和)(t ψ的方法。即

∑∞

-∞=-=n n t n h t )2()(2)(0φφ (11.2.1a)

∑∞

-∞

=-=n n t n h t )2()(2)(1φψ

(11.2.1b)

此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(11.1.13)和(11.1.14)式给出。