抛物线最值问题求法备课讲稿

M到直线y=x+4距离d的最大值
o
x
和最小值。
思 路 分 析 ： 求 与 直 线 y = x + 4 平 行 的 椭 圆 的 切 线
切 线 与 直 线 y = x + 4 的 距 离 即 为 最 值
dm in=42-210,dm ax=42+ 210
三、课时小结
抛物线最值问题常用求法：
1、利用定义求最值；
上 任 一 点 ,则 y2=4x
M
x- y+ 4
d=
2
y2 - y + 4 4
( y - 2)2 + 12
=
=
2
42
Fx
\当 y=2 时 ， dm in=32 2,此 时 M (1 ,2 )
解 法 二 、 设 直 线 y = x + b 与 抛 物 线 相 切 y M
联 立 ìïïíïïîy y2 = = x 4 + xb?x2 (2 b-4 )x+b 2=0
y
B1
AF + BF
M1
=
2
AB ?
3
A1
2
2
\ d+1砛 3 d? 5
42
4
B
M
Fx
A
2、 求 点 P(0,3 2)到 椭 圆 x 4 2y21上 点 的 最 大 距 离 ，
并 求 此 时 椭 圆 上 点 的 坐 标
y
P
Q
x
分析：将椭圆上任意一点Q与点P
的距离表示成一个变量的函数然后
求最值。
解 ： 设 点 Q ( x ,y ) 是 椭 圆 上 任 一 点 ， 则x2 + y2 = 1 4
2、构造二次函数，利用配方法求最值； 3、利用作切线法求最值；
四、课堂练习
1 、 定 长 是 3 的 线 段 A B 的 端 点 A 、 B 在 抛 物 线 y 2 x 上 移 动 ， 求 线 段 A B 的 中 点 M 到 y 轴 距 离 d 的 最 小 值
分 析 ： 如 图 MM1=A A 1+ 2B B 1
y M
上 任 一 点 ,则 y2=4x
AM= (x-3)2+y2
= (x- 3)2+4x= x2- 2x+9
F Ax
= (x- 1)2+8 Qx³ 0
\当 x = 1 时 ， A M = 2 2 ,此 时 M ( 1 ,? 2 ) m i n
变式训练1：
动 点 M 在 抛 物 线 y2=4x上 运 动 ， 动 点 Q 在 圆
的最小值。
yA
P
F
x
解：设双曲线右焦点是F', 由双曲线定义 PF PF' =2a
yA P
PF PA
2a PA PF F
F' x
4AF 9
问 题 二 ： 求 点 Ａ ( ３ , ０ ) 到 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ 上 点 距 离 的 最 小 值 ，
并 求 此 时 抛 物 线 上 点 的 坐 标 解 ： 设 点 Ｍ (ｘ ,ｙ )是 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ
抛物线中常见最值问题求法
一、复习引入
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程和性质:
二、典例分析
问 题 一 、 在 抛 物 线 y24x上 找 一 点 M,
使MAMF最 小 ， 其 中 ， A(3,2),F（ 1， 0）
求 M点 的 坐 标 及 此 时 的 最 小 值 。 y
解：如图，由抛物线定义
F Ax
D = ( 2 b -4 ) 2 -4 b 2 = 0 ?b1
此 时 ， 切 点 （ 1 ,2 ） 即 为 所 求 点 M
两 平 行 线 x -y + 4 = 0 和 x -y + 1 = 0 的 距 离 d = 3 2 2 即 为 所 求
变式训练：
y
动点M
在椭圆
x2 4
+y2
=1上,求点
M1
MA
M1
MA MF = MA MM１
Fx
当 且 仅 当 Ａ 、 Ｍ 、 Ｍ１三 点 共 线 时 ，
MA MM１ 最小４，此时Ｍ（１，２）
变 式 训 练 1、 已 知 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ 和 定 点 Ａ （ ７ ， ８ ） ，
抛 物 线 上 有 一 动 点 Ｍ ， Ｍ 到 点 Ａ 的 距 离 为 ｄ １ ， Ｍ 到 抛 物
\P Q =(x -0 )2 + (y -3 )2 =-3 y 2 -3 y + 2 5
2
4
= - 3(y+ 1)2 + 7 2
Q -1＃ y 1 \当 y=-1时 ， P Q = 7
2
m ax
此 时 ， Q (3,-1),(- 3,-1)
2
2
四、课后作业：讲义
拓展题:
求 点 P ( 0 ,m ) 使 其 到 椭 圆 x 4 2 + y 2 = 1 上 点 的 最 大 距 离 是 7
\当 m > 2 时 ， x = m -2 ,Baidu Nhomakorabea M = 4 m -4 ; m a x
问 题 三 ： 动 点 M 在 抛 物 线 y 2 = 4 x 上 , 求 点 M 到 直 线 y = x + 4
距 离 d 的 最 小 值 ， 并 求 此 时 点 M 的 坐 标
解 法 一 ： 设 点 Ｍ (ｘ ,ｙ )是 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ y
并 求 此 时 抛 物 线 上 点 的 坐 标 解 ： 设 点 Ｍ (ｘ ,ｙ )是 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ
y M
上 任 一 点 ,则 y2=4x AM= (x-m )2+y2 = (x- m)2+4x= x2+(4-2m )x+m 2
F Ax
=(x+2-m )2+4m -4 Qx³ 0
\当 m ?2 时 ， x0 ,A M=m 2 ; m a x
( x-3 ) 2+y2=1 上 运 动 ， 求 M Q 的 最 小 值
分 析 ： “ 动 中 求 静 ”
y M
只 需 求 出 动 点 M到 圆 心 A(3,0)
Q
距 离 最 小 值 再 减 去 圆 半 径 即 可 。 F A x
MQ =2 2- 1 min
变式训练2：
求 点 Ａ (m ,０ ) 到 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ 上 点 距 离 的 最 小 值 ，
线 准 线 距 离 ｄ ２ ， 求 ｄ １ ＋ ｄ ２ 的 最 小 值 及 此 时 Ｍ 点 坐 标 A
解、由抛物线定义ｄ １ ＋ｄ ２ ＝ＭＡ＋ＭＦ
y
M1
M
当且仅当Ａ、Ｍ、Ｆ三点共线 ＭＡ＋ ＭＦ最小是 ＡＦ＝１０
Fx
易求此时Ｍ（４，４）
变式训练2：已知点F是双曲线x2
y2
1的左焦点，
4 12
定点A(1,4),P是双曲线右支上的动点，求PA+PF