杭州市名校2020年高二(下)数学期末综合测试试题含解析

杭州市名校2020年高二(下)数学期末综合测试试题

一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）

1．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为李明根据所学的椭圆知识，得到下列结论：

①卫星向径的最小值为，最大值为；

②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁；

③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

其中正确结论的个数是

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆的焦半径的最值来判断命题①，根据椭圆的离心率大小与椭圆的扁平程度来判断命题②，根据题中“速度的变化服从面积守恒规律”来判断命题③。

【详解】

对于命题①，由椭圆的几何性质得知，椭圆上一点到焦点距离的最小值为，最大值为，所以，卫星向径的最小值为，最大值为，结论①正确；

对于命题②，由椭圆的几何性质知，当椭圆的离心率越大，椭圆越扁，卫星向径的最小值与最大值的比值，当这个比值越小，则越大，此时，椭圆轨道越扁，结论②正确；

对于命题③，由于速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星越靠近远地点时，向径越大，当卫星越靠近近地点时，向径越小，由于在相同时间扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，结论③错误。故选：C。【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆几何量对椭圆形状的影响，在判断时要充分理解这些几何量对椭圆形状之间的关系，考查分析问题的能力，属于中等题。

2．一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时

的瞬时速度是 A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】 【分析】

先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在

时的瞬时速度。

【详解】 对

求导，得

，

，

因此，该物体在时的瞬时速度为

，故选：A 。

【点睛】

本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题。 3．函数()ln f x x =过原点的切线的斜率为（ ） A ．

1

e

B ．1

C ．e

D ．2e

【答案】A 【解析】

分析：设切点坐标为（a ，lna ），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．

详解：设切点坐标为（a ，lna ）， ∵y=lnx ，∴y′=1

x

， 切线的斜率是

1a

， 切线的方程为y ﹣lna=

1

a

（x ﹣a ）， 将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e ， ∴切线的斜率是1a =1e

故选：A ．

点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略

①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线

()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．

②已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.

③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．

4．已知,x y 满足约束条件11y x

x y y ⎧⎪

+⎨⎪-⎩

„„…，则2z x y =+的最大值为（）

A ．

3

2

B ．32

-

C ．3

D ．-3

【答案】B 【解析】 【分析】

画出可行域，通过截距式可求得最大值. 【详解】

作出可行域，求得(1,1)B --，11(,)22

A ，(2,1)C -,通过截距式可知在点C 取得最大值，于是

max 2213z =⨯-=.

【点睛】

本题主要考查简单线性规划问题，意在考查学生的转化能力和作图能力.目标函数主要有三种类型：“截距型”，“斜率型”，“距离型”，通过几何意义可得结果. 5．将函数()sin()f x x ωϕ=+图象上所有的点向左平移

6

π

个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到sin y x =的图象，则下列各式正确的是（ ） A ．170824

f f ππ⎛⎫

⎛⎫+=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．502424f f ππ⎛⎫

⎛⎫

-

-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．2701515

f f ππ

⎛⎫

⎛⎫-

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D ．7201515

f f ππ⎛⎫

⎛⎫-

-= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

【答案】C 【解析】 【分析】

根据平移得到()sin(2)3

f x x π

=-，函数关于点,06

π

⎛⎫

⎪⎝

⎭

中心对称，得到答案.

【详解】

根据题意：1sin()sin 2

6x x π

ωωϕ⋅+

+=，故2ω=，取3π

ϕ=-，故()sin(2)3

f x x π=-.

故函数关于点,06π⎛⎫

⎪⎝⎭中心对称，由2715153

πππ-

+=，则27151526

π

π

π-+= 故2701515

f f ππ⎛⎫

⎛⎫

-

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则C 正确，其他选项不正确. 故选：C . 【点睛】

本题考查了三角函数平移，中心对称，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 6．将函数(

))cos

2sin 0222x x x f x ωωωω⎛

⎫=-> ⎪⎝⎭

的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,12π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上为增函数，则ω的最大值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【答案】C 【解析】

(

)cos

2sin 222x x x f x ωωω⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭sin cos )2sin()3

x x x πωωω=++=-， 向左平移

3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，所以()2sin(())2sin 33

g x x x ππ

ωωω=+

-= ，因为x 0,12π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

,所以[0,][,],,6,1222122x ωπππωππωω∈⊂-∴≤∴≤ 即ω的最大值为6，选C.

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 由

ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22

k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 7．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==

，AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，

AB

的中点，MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）

A

．

5

B

．

5

C ．

35

D ．

45

【答案】B