弹性力学 第三章
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弹性力学-第三章-应变状态
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij
1 2
ui,j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
将几何方程
x
u, x
y
v y
,
z
w z
,
中的第 1，2，4 式：
xy
vu, x y
yz
wv, y z
zx
uw z x
作如下求偏导运算：
2 x
y 2
3u xy 2
2 y
x2
3v x2y
2 xy
xy
2 u
yx
y
v x
3u xy 2
3v x 2y
§3.3 应变协调5
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数
(
x
)l
1 2
xym
1 2
xzn
0
1 2
xyl
(
y
)m
1 2
弹性力学 第三章
3.了解简支梁受均布荷载的求解方法
4.了解楔形体受重力和液体压力的求解方法
x q l
补充作业1
ql 6
o
h/2
h/2
ql 3
x
y
l
(h l , 1)
图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布 荷载。试用下列应力函数求解应力分量。（体力不 计）
Φ Ax3 y 3 Bxy 5 Cx3 y Dxy Ex Fxy
(u) x l 0,
y 0
(v ) x l 0,
y 0
v ( ) xl 0 x y 0
Ml 0 EI
u0 0
Ml 2 l v 0 0 2 EI
Ml Ml 2 解得： , u0 0, v0 y, v M l x 2 μM y 2 (3-4) EI 2 EI 2 EI 移分量： 梁轴线的挠 度方程：
自然满足
σx 0
——无法精确满足
x 6ay， y 0， xy 0
将x的边界条件改用主矢量 和主矩的条件来代替。 已知x =0, x =l 次要边界上的主矢为0，主矩为M，即：
h 2 ( ) x x 0,l dy 0 h 2 h 2 ( ) x x 0 ,l h 2
M FN
O h/2 h/2 FS l
x
半逆解法。
y
解：(1)检验 (x, y) 是否满足相容方程
4 4 4 Φ Φ Φ 4 Φ 4 2 2 2 4 0 x x y y
显然满足
=Axy+By2+Cy3+Dxy3
M FN FS
O
h/2
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学_第三章 应变
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
弹性力学第三章
第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
弹性力学第3章—应变
Siui, j S j = 0
S是任意线段，因此上式成立的条件是S各分量的系数为零，即
ui , j + u j ,i = 0
因此刚体位移所对应的相对位移张量是反对称张量，反之亦成立
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
1.拉压应变（线应变）
应变张量反映了物体的变形，因此变形导致的线段矢量 变化量为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
γ 1 = ± (ε 2 − ε 3 )
γ 2 = ± (ε1 − ε 3 )
1 1 ui , j = ( ui , j + u j ,i ) + ( ui , j − u j ,i ) 2 2
即
ui , j = ε ij + ωij
对称部分称为应变张量，反映物体的变形
1 ε ij = ( ui , j + u j ,i ) 2 反对称部分称为转动张量，反映物体的刚体位移
1 ωij = ( ui , j − u j ,i ) 2
3.1 变形与应变的概念
微线段的刚体位移:
刚体位移时，矢量在位移前后的长度（模）相等
S′ =
(Si + δSi )(Si + δSi ) =
δSi = ui , j S j
Si Si = S
化简并略去高阶小量后得到 2SiδSi = 0 联合右式 得到 展开后，即为
2 2 2 2 2 2 2 u1,1S12 + u2,2 S2 + u3,3S3 + ( u1,2 + u2,1 ) S12 S2 + ( u2,3 + u3,2 ) S2 S3 + ( u3,1 + u1,3 ) S3 S1 = 0
弹性力学(徐芝纶)第三章习题答案
第三章1、解：由题意可知：简支梁所受体力为F g ρ=，所以0,x y f f g ρ==应力函数为：232325432()()2106x A BAy By Cy D x Ey Fy Gy y y Hy Ky Φ=++++++--++从而得应力分量：()2232223222262(62)22622(32)(32)x x y y xy x f x Ay B x Ey F Ay By Hy Ky f y Ay By Cy D gyxx Ay By C Ey Fy G σσρτ∂Φ=-=+++--++∂∂Φ=-=+++-∂=-++-++ （a ）考虑对称性，,x y σσ为x 的偶函数，xy τ为x 的奇函数。
于是得：0E F G ===。
下面考虑上下两边的边界条件：22()0,()0y hxy h y y στ=±=±==，代入（a ），得： 3208422h h h hA B C D g ρ+++-= 3208422h h h hA B C D g ρ-+-++= 23()04h x A hB C -++=即2304h A hB C ++=23()04h x A hB C --+=即2304h A hB C -+=以上四式联立得：223,0,,22g g gA B C D h h ρρρ=-===- 代入（a ），并注意0E F G ===得：2322322264+6223226+2x y xy g g x y y Hy K h h g g gy y gy h h g g xy xh ρρσρρρσρρρτ=-++=-+--= （b ）现在考虑左右两个边的边界条件，由于对称性，只需考虑一边，例如右边，也就是x l =，用多项式求解，只能要求x σ在这部分边界上合成为平衡力系，也就是要求：2-2()0,h h x x l dy σ==⎰2-2()0h h x x l ydy σ==⎰。
第3章 弹性力学基本知识
平面ABC上的全应力SN为：
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理，ΣY=0, ΣZ=0，整理，得
Hale Waihona Puke ： X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量，μ 是泊松比，and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1．外力
外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积 力。
（1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受 的内压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力 是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为：
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理，ΣY=0, ΣZ=0，整理，得
Hale Waihona Puke ： X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量，μ 是泊松比，and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1．外力
外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积 力。
（1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受 的内压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力 是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为：
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
第3章 弹性力学基础知识
二维问题平衡条件：
平衡方程：
3.3 弹性力学的基本方程之平衡方程
三维问题微元体的平衡： 平衡方程：
xy yx , xz zx , zy yz
弹性力学基本方程
平 衡 方 程
yx s x zx fx 0 x y z xy s y zy fy 0 x y z yz xz s z fz 0 x y z
工程材料的特点
• 金属材料——晶体材料，是由许多原子，离子 按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间 经常会有缺陷存在。 • 高分子材料——非晶体材料，由许多分子的集 合组成的分子化合物。 • 工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固 体材料微观结构的复杂性。
弹性力学的基本假定
五个基本假定： 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation)
x 0 x y 0 z xy y yz zx 0 z 0 y 0 x z 0 0 0 u z v 0 w y x
弹性力学的基本假定
1、连续性(Continuity)
整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填 满, 不留任何空隙.即，各个质点之间不存在任何 空隙 好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示;
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
L：微分算子
Lu
平衡方程：
3.3 弹性力学的基本方程之平衡方程
三维问题微元体的平衡： 平衡方程：
xy yx , xz zx , zy yz
弹性力学基本方程
平 衡 方 程
yx s x zx fx 0 x y z xy s y zy fy 0 x y z yz xz s z fz 0 x y z
工程材料的特点
• 金属材料——晶体材料，是由许多原子，离子 按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间 经常会有缺陷存在。 • 高分子材料——非晶体材料，由许多分子的集 合组成的分子化合物。 • 工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固 体材料微观结构的复杂性。
弹性力学的基本假定
五个基本假定： 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation)
x 0 x y 0 z xy y yz zx 0 z 0 y 0 x z 0 0 0 u z v 0 w y x
弹性力学的基本假定
1、连续性(Continuity)
整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填 满, 不留任何空隙.即，各个质点之间不存在任何 空隙 好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示;
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
L：微分算子
Lu
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
弹性力学第三章
位移边界条件
u =u v=v
位移解法例题
单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束， 单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束，不计摩擦和 体力 位移场
u = u ( x) v=0
拉梅方程
E ′ ∂ 2u 1 −ν ' ∂ 2u 1 + ν ' ∂ 2 v ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y E ′ ∂ 2 v 1 −ν ' ∂ 2 v 1 + ν ' ∂ 2u ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂ 2u =0 2 ∂x
第三章 平面问题的直角坐标解法 问题的简化
空间问题
特殊化
平面应力问题 平面问题 平面应变问题
问题的解法
位移解法 应力解法 应力函数解法
特殊问题的解
悬臂梁的弯曲解 均布横向荷载简支梁的弯曲解 任意横向荷载简支梁弯曲的三角级数解
平面应变问题
1）无限长的等直柱体； 2）在柱体侧面受到与轴线垂直，且沿轴向均布的面力 作用； 0 Tz = 3）体力也垂直于轴线，并沿轴线均布。Fz = 0
边界条件
力学边界条件
E′ ∂u 1 − ν ′ ∂u ∂v ' ∂v [ nx ( + ν ) + ny ( + )] = Tx 2 1 −ν ′ ∂x ∂y 2 ∂y ∂x E′ ∂v ∂u 1 − ν ′ ∂v ∂u ′ ) + nx [ny ( + ν ( + )] = Ty 2 1 −ν ′ ∂y ∂x 2 ∂x ∂y
− ∫ yσ x dy = M
h 下表面 y = + ： 2 nx = 0, n y = 1
u =u v=v
位移解法例题
单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束， 单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束，不计摩擦和 体力 位移场
u = u ( x) v=0
拉梅方程
E ′ ∂ 2u 1 −ν ' ∂ 2u 1 + ν ' ∂ 2 v ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y E ′ ∂ 2 v 1 −ν ' ∂ 2 v 1 + ν ' ∂ 2u ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂ 2u =0 2 ∂x
第三章 平面问题的直角坐标解法 问题的简化
空间问题
特殊化
平面应力问题 平面问题 平面应变问题
问题的解法
位移解法 应力解法 应力函数解法
特殊问题的解
悬臂梁的弯曲解 均布横向荷载简支梁的弯曲解 任意横向荷载简支梁弯曲的三角级数解
平面应变问题
1）无限长的等直柱体； 2）在柱体侧面受到与轴线垂直，且沿轴向均布的面力 作用； 0 Tz = 3）体力也垂直于轴线，并沿轴线均布。Fz = 0
边界条件
力学边界条件
E′ ∂u 1 − ν ′ ∂u ∂v ' ∂v [ nx ( + ν ) + ny ( + )] = Tx 2 1 −ν ′ ∂x ∂y 2 ∂y ∂x E′ ∂v ∂u 1 − ν ′ ∂v ∂u ′ ) + nx [ny ( + ν ( + )] = Ty 2 1 −ν ′ ∂y ∂x 2 ∂x ∂y
− ∫ yσ x dy = M
h 下表面 y = + ： 2 nx = 0, n y = 1
弹性力学-弹性力学——杨桂通版课件03
第三章平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
主要内容§3-1 逆解法与半逆解法多项式解答§3-2 位移分量的求出§3-3 简支梁受均布载荷§3-4 楔形体受重力和液体压力课堂练习：1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x ，y )。
2. z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。
不计自重，试确定其应力分量。
,31Axy =ϕ,232y Bx =ϕ3233yDx Cxy +=ϕ——满足梁的挠曲线方程：x x l EIMv y )(20−==——与材力中结果相同h/2h/20=+ωEI Ml 222)(2yEIM x l EI M μ−−−h/2h/2与材料力学中结果相同)x μσ−Gxyxyτγ=h/2h/2（中点处竖向线段转角为零）0=−ωEIMlu y xy M +−=ω位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）xy y x τσσ,,代入物理方程，求得应变分量xyy x γεε,,将应变分量xy y x γεε,,代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。
xyllql ql yzh /2h /2)54()(2223−+−=h h q y x l hx σ(p )截面上的应力分布：xyτx σy σ)(+)(−三次抛物线q22112⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=h y h y q y σ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=22346y h x h q xyτ4.与材料力学结果比较解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（）的变化形式。
xyyxτσσ,,由与应力函数的关系式（2-26），求得应力函数的具体形式（具有待定函数）。
弹性力学 (3)
之比相当小的平板，其定义范围一般为
此定义为薄板。 对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径D之比在上述 范围之内，即
作用在板上的载荷，总可以分解为两种作用形式，一种是平行于 中面的载荷、另一种是垂直于中面的载荷。对于平行于中面的载
荷，可以认为沿壁厚均匀分布，因而引起的应力、应变和位移， 可按平面应力问题处理；对于垂直中面的载荷(又称横向载荷)， 将使薄板发生弯曲，它所引起的应力、应变和位移，可按薄板弯 曲问题进行计算。
第二节
圆板轴对称问题
圆板的几何形状、载荷和支承条件均对称于圆板中心轴，圆 板的内力和变形也是轴对称的，这类问题为圆板的轴对称问题。
由于轴对称性，圆板中的内力、变形、位移分量均为r的函 数，与 无关。
一、圆板轴对称弯曲的基本方程
由于轴对称，在微元体各截面上只有弯矩 M r , M 和剪力Qr 作用，且与 无关，仅是坐标 r 的函数。 1.平衡方程
薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位
移问题。在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯 曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲 变形。薄板弯曲变形后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性 曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移 w ，称为挠度。如 果挠度w 远小于板厚S，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变
(3-23)
将式(3-21)代入式(3-4)，得周边简支实心圆板在任意半径 r处的应力表达式
(3-24)
在板中心 r 0 处
在板边缘 r R 处
可见，最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即
(3-25) (3-26)
由上分析可见，受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和 变形特点: ①板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应 力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯 2 R S 曲应力 max 与 成正比。 ②两种支承板，最大挠度均在板中心处，若取 0.3 ，周边 简支板的最大挠度约为固支板的4倍。 ③周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应 力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应 力。周边简支板的最大弯曲应力约为因支板的1.65倍。 由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边 简支板为好。
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M u xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
其中常数 , u0, v0表示刚体位移，由约束条件求得。
2. 位移边界条件的利用
M u xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
M
O
x
l
A
M
y
(1)两端简支
约束条件是
0 0, v x 0 0, x l 0. u xy v 0 y 0 y 0
u0 0
v0 0
Ml 2 EI
M l 简支梁的位 u x y, 移分量： EI 2
M μM 2 l x x v y (3-3) 2 EI 2 EI
积分函 数，不 是积分 常数！
由
v M y, y E。
v u 由 0 x y
移项得：
df1(y) Mx df 2(x) dy EI dx
仅为x 的函数
仅为y 的函数 于是得： 积分：
代 入
代 入
得位移分量
(v ) y 0 M (l x ) 2 2 EI
与材料力学结 果相同。
3. 对结果的讨论
铅直线的转角
u M x y EI
当 x = x0 =常数
M u xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
O
P P' B A
x
M x0 常数 EI
y
B'
A'
说明： 同一截面上的各铅 垂线段转角相同。
横截面保持平面
—— 材料力学中“截面 保持平面”的假设成立。
求梁的各纵向纤维的曲率： u M xy y u0 ,
1 2v 2 ρ x
EI M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
σ x x0 dy FN
联立解(a)(b), 得
2 Fs D 3 h
3FS FN A ,B , 2h 2h 2 FN 2 Fs C 3 ,D 3 h h
3.了解简支梁受均布荷载的求解方法
4.了解楔形体受重力和液体压力的求解方法
x q l
补充作业1
ql 6
o
h/2
h/2
ql 3
x
y
l
(h l , 1)
图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布 荷载。试用下列应力函数求解应力分量。（体力不 计）
Φ Ax3 y 3 Bxy 5 Cx3 y Dxy Ex Fxy
3 3
Φ Ax 3 y 3 Bxy 5 Cx 3 y
解：半逆解法。
(1)检验 (x, y) 是否满足相容方程
4 4 4 4 2 2 2 0 4 x x y y 4
Dxy 3 Ex 3 Fxy
5 72 A 120 B 0, 得A B 3 由此，得
(2) 位移分量 由几何方程求位移
M M x y, y y , xy 0 EI EI
u x , x
u M y, x EI u M y, x EI
v y , y
v M y, y EI
xy
u v y x
v u 0 x y
自然满足
σx 0
——无法精确满足
x 6ay， y 0， xy 0
将x的边界条件改用主矢量 和主矩的条件来代替。 已知x =0, x =l 次要边界上的主矢为0，主矩为M，即：
h 2 ( ) x x 0,l dy 0 h 2 h 2 ( ) x x 0 ,l h 2
M FN
O
h/2
x
h/2
FS
l
半逆解法。
y
解：(1)检验 (x, y) 是否满足相容方程
4 4 4 Φ Φ Φ 4 Φ 4 2 2 2 4 0 x x y y
显然满足
=Axy+By2+Cy3+Dxy3
M FN FS O h/2 h/2 l x
(2)由 (x, y) 求应力分量
ydy M
h 2 6aydy h 2
3ay2
h 2
h 2
0
自然满足
h 2 6ay h 2
ydy 2ay3
h 2
h 2
ah3 M 2
2M a 3 h
x 6ay， y 0， xy 0
代 入
M O h/2 M
2M a 3 h
2 x 2 6ay, y 2 y 2 0, x
ay 3
2 xy =0 xy
式中， a为 待求系数。
(3) 并考察应力是否满足全部应力边界条件
检验应力边界条件，原则是: a.先校核主要边界，必须精确满足。 b.后校核次要边界，若不能精确满足，则 应用圣维南原理，用积分的应力边界条件 代替。
h 2
y
(2)悬臂梁
该条件是无法满足的。在工程实际中这种完全固 定的约束也是不大能实现的。 现假定固定端的中点不移动，该点的水平线段 也不转动。这样，约束条件是
v u x l 0， v x l 0， y0 y0 x
xl y0
0
M xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI u
(σ y ) y h / 2 0
自然满足
x 2 B 6Cy 6 Dxy xy y 0 xy ( A 3Dy 2 )
3 A Dh 2 0 (a) 4
(B) 次要边界
h 2
+y
σx
FN B h 2 2h 3Fs h A 2 2 F 2h h2 σ x x0 ydy M C 3N h h 2 1 3 τ dy F S Ah Dh Fs (b) h2 xy x0 4
y
x
y
h/2 l
x 1
h
12M σ x 3 y, h
σ y 0, τ xy τ yx 0
1 h3 矩形截面梁的惯性矩： I 12
M 得应力分量 x y, y 0, xy yx 0 (3-1) I 与材料力学结果相同。
从应力求位移的步骤： 1.由物理方程求出形变分量； 2.代入几何方程，积分求 ux, y , vx, y ； 3.由位移边界约束条件确定确定刚体位移 分量 u0 , v0 , 。
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5
逆解法与半逆解法 多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力 教学参考资料
要点—— 用逆解法、半逆解法求解平面弹
性力学问题。
要求
1.掌握逆解法与半逆解法等按应力函数求解 的方法； 2.了解矩形梁纯弯曲的求解过程
在常体力情况下，应力函数法求解步骤：
(1)由相容方程 求出应力函数Φ
4 4 4 2 2 2 4 0 4 y x y x
2 2 y 2 f y y, xy x xy
(2)由应力函数Φ与应力的关系式求出应力分量
2 x 2 f x x, y
（楔形体受重力和液体压力，3-5节）
§3-2
o
h 2 h 2
l
y
矩形梁的纯弯曲
M
x
M
(l h, 1)
1
注：体力不计，求解应力 x、y、xy 时，平面应变 问题与平面应力问题结果一样。 用半逆解法求解
1. 由逆解法可知，取应力函数Φ =ay3
该函数满足相容方程 4 0
(2) 利用应力分量计算式， 由应力函数求出应力
半逆解法是解弹性力学问题的主要方法，其中的关 键是如何根据问题的特点确定应力函数的形式 。
如何寻找应力函数 Φ ？ ⑴ 根据逆解法的基本解答推测；
（矩形梁的纯弯曲，3-2节）
⑵ 根据弹性体的受力情况，边界条件等 假设应力的函数形式, 再推测 Φ的函 数形式；
（简支梁受均布荷载，3-4节）
⑶ 根据量纲分析法推测Φ的函数形式。
与材料力学结 果相同。
梁轴线的挠 度方程：
(v ) y 0
M (l x ) x 2 EI
M xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI u
M
O
M x
l
约束条件 u x l 0 v x l 0
h y 2
2Φ σ x 2 2 B 6Cy 6 Dxy y 2Φ σy 2 0 x 2Φ 2 xy ( A 3Dy ) xy
y
σy
(3)考察应力边界条件 (A) 主要边界
( xy ) y h / 2 0
3 A Dh 2 0 (a) 4
2
M
2v M 2 x EI 1
(3-2)
可见，挠曲线微分方程 与材料力学相同
——故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。
E 对于平面应变情况下的梁，须把E 换为 1 2
，将
换为
1
即可。
2v 1 2 M 2 x EI 1
(3-5)
习题3-10 单位厚度的悬臂梁, 受力如图, 体力不 计, l>>h, 试用应力函数 =Axy+By2+Cy3+Dxy3 求解应力分量。