第3章测试系统的动态特性与数据处理

二阶测试系统的传递函数：
ωn −固有频率
G(s) =
kωn2
ζ n −阻尼比系数
s2 + 2ζ nωn s + ωn2 k − 静态增益
当输入为单位阶跃时，系统的输出为：
Y(s) =
kωn2
⋅1
s2 + 2ζ nωn s + ωn2 s
系统的时域响应与 ζ n及ωn 有关。
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第3章 测试系统的动态特性与数据处理
北航 自动化科学与电气工程学院 检测技术与自动化工程系 闫蓓
yanbei@
第3章 学习要求
1、测试系统动态特性的定义及描述方法 2、如何获取测试系统的动态特性 3、掌握主要动态性能指标
时域指标、频域指标 4、掌握动态模型的建立（动态标定）
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3.1 测试系统的动态特性的一般描述
3. 测试系统动态标定
时域，对测试系统在阶跃输入、回零过渡过程、脉冲输入
下的瞬态响应进行分析；
实际特性
理想特性
y(t) = k × ε(t)
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3.1 测试系统的动态特性的一般描述
频域，对系统在正弦输入下的稳态响应的幅值增益和相位 差进行分析。
=
1−
2e−1
=
0.26
当阻尼比为1时，在阶跃响应输出值为0.26时的那个时 刻t0.26的倒数就是系统的近似固有频率。
ωn
的偏差如下：
实验点数 1
2
3
4
5
6
7
回归值
0
0.427 0.672 0.812 0.893 0.938 0.965
偏差
0
0.001 0.002
0
0.001 －0.001 0
T
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时间常数T 响应时间ts 延迟时间td 上升时间tr
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过渡过程
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3.2.3 二阶测试系统的时域动态性能指标
= 1− (ζ n +
ζ
2 n
−1) e(−ζ n +
ζ
2 n
−1
)ωn
t
+ (ζ n
−
2
ζ
2 n
−1
ζ −1) e 2
−(ζ n +
ζ
2 n
−1)ωn
t
n
2
ζ
2 n
−1
系统的两个负实根：
p1 = ωn (ζ n −
ζ
2 n
−1)
衰 减
快
t 较大时起主要作用
p2 = ωn (ζ n +
ζ
2 n
−1)
2 n
×100%
tp
=π
ωd
=
ωn
π
= Td
1
−
ζ
2 n
2
超调量
峰值时间
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3.2.3 二阶测试系统的时域动态性能指标
振荡次数N：相对振荡误差曲线的幅值超过允许误差限 的次数。 振荡衰减率d：是指动态相对误差曲线相邻一个阻尼振荡 周期Td的两个峰值之比。
d
= ξ (t) ξ (t + Td )
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3.1 测试系统的动态特性的一般描述
1. 动态特性的定义 测试系统进行动态测量过程中的特性。
输入量和输出量随时间迅速变化时，输出与输入之 间的关系，可用微分方程表示。
误差 e(t) = y(t) − x(t)
温 度
A
测
量
瞬态误差 阶跃 冲激
稳态误差 正弦
G(ω) ϕ(ω)
响应时间ts
t0.05 = 3T t0.02 = 3.91T t0.1 = 2.3T
T越大，到达稳态的 时间越长，测试系统 的动态特性越差。
延迟时间td
td = 0.69T
上升时间tr
tr = 2.20T (由0.1ys上升到0.9 ys ) 或=2.25T (由0.05ys上升到0.95ys )
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e −ζ nωnt
cos(ω dt − ϕ )]
ωd =
1
−
ζ
ω 2
nn
−阻尼振荡角频率
ϕ = arctan( ζ n ) − 相 位 延 迟
1
−
ζ
2 n
Td
=
2π
ωd
−阻尼振荡周期
相对动态误差：ξ (t) = −
1
1
−
ζ
2 n
e−ζ nωnt
cos(ωdt
− ϕ ) ×100%
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时域特性 频域特性
一阶系统 二阶系统
心电参数测量
振动位移测量
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3.1 测试系统的动态特性的一般描述
∑ ∑ 2. 测试系统的动态特性方程n
微分方程 x(t) ⇔ y(t) i=0
ai
di y(t) dt i
=
m
bj
j=0
d j x(t) dt j
传递函数
X (s) ⇔ Y(s)
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3.2.4 二阶测试系统的阶跃响应回归分析
yn (t) = 1+ C1 e− p1t + C2 e− p2t
在利用初始条件：
t
=
0时，yn (t)
=
0，dyn (t) dt
=
0
可得方程组：
⎧⎨⎩C11+p1C+1
+ C2 = 0 C2 p2 = 0
⎧⎪C2 = −1− C1
（2) 测试系统的相对动态误差：
ξ (t)
=
y(t) −
ys
×100%
=
−t
− e T ×100%
ys
ys = y(∞) = k：测试系统的稳态输出
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t→∞，动态误差→0。 t越大，动态误差越小。
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3.2.1 一阶测试系统的时域动态性能指标
（3）时间常数与其它指标间的关系
由阶跃响应获取传递函数的回归分析法 由频率特性获取传递函数的回归分析法
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第3章 测试系统的动态特性与数据处理
3.1 测试系统的动态特性的一般描述 3.2 测试系统时域动态性能指标与回归分析方法 3.3 测试系统频域动态性能指标与回归分析方法 3.4 测试系统不失真测试条件 3.5 测试系统负载效应及抗干扰特性 第3章小结 第3章作业
（1） ζ n > 1 过阻尼无振荡系统，
归一化阶跃响应：
yn (t) = 1− (ζ n +
ζ
2 n
−1) e(−ζ n +
ζ
2 n
−1
)ωnt
+ (ζ n
−
2
ζ
2 n
−1
ζ −1) e 2
−(ζ n +
ζ
2 n
−1
)ωn
t
n
2
ζ
2 n
−1
可计算出具有不同误差带的响应时间ts。
衰减快
上升时间tr 延迟时间td （近似值）
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3.2.2 一阶测试系统的阶跃响应回归分析
归一化阶跃过渡过程：
−t
yn (t) = 1− e T
−t
e T = 1− yn (t)
−
1 T
t
=
ln[1 −
yn
(t)]
= A =Y
Y = At T = − 1
A
利用阶跃响应曲线(yi,ti)，可 以求出（Yi，ti），利用最小 二乘法，可以求出回归直线
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3.2.4 二阶测试系统的阶跃响应回归分析来自在过渡过程后半段，有：
yn (t) ≈ 1+ C1e− p1t
= 1− (ζ n +
2
ζ −1) e n
(−ζ n +
ζ
2 n
−1)ωn
t
2
ζ
2 n
−1
利用类似于一阶系统的回归方法，可以求出C1和p1。
− p1t ln C1 = ln (1− yn )
可计算出具有不同误差带的响应时间ts。
上升时间tr 延迟时间td （近似值）
tr
=
3.5
ωn
td
=
1.8
ωn
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3.2.3 二阶测试系统的时域动态性能指标
（3）0 < ζ n < 1 系统为欠阻尼振荡
系统,系统的阶跃响应为：
y(t) = k[ε(t) −
1
1
−
ζ
2 n
Ωn , Ωg − 记录设备的固有频率和工作频带
ωn－被标定测试系统的固有频率 信号采集系统的频率及周期要求：
fs ≥ 10 fn Ts ≤ 0.1Tn fs及Ts－数据采集处理系统的采样频率和周期 fn及Tn－被测定标定系统的固有频率和周期
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3.2.1 一阶测试系统的时域动态性能指标
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3.2.3 二阶测试系统的时域动态性能指标 二阶系统的归一化响应曲线