浅谈几种数学思想方法

浅谈几种数学思想方法

作者：邹之北

来源：《科教导刊》2009年第14期

摘要数学思想方法的种类很多,按照徐利治教授的分法可分为宏观的数学方法和微观的数学方法两大类。本文通过几个具体的例子说明了关系映射反演原则、数形结合和划归等数学思想方法的作用。说明了数学思想方法是数学的灵魂,是联系数学中各类知识的纽带,只有掌握了数学思想方法才能真正地掌握数学知识。

关键词数学思想方法关系映射反演原则数形结合划归

中图分类号:G633.6文献标识码:A

方法论就是把某种共同的发展规律和研究方向作为讨论对象的一门学问。各种学科都有自己独具特点的方法论,而数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学科。

一般说来,数学方法论可分为宏观的数学方法和微观的数学方法,宏观数学方法是指撇开数学内在因素进行数学发展规律研究的方法;微观数学方法则指数学工作者专就数学内部体系结构中的特定问题进行分析研究必须遵循的方法。

每一个数学研究者都必须精通某些微观的数学方法,微观的数学方法包括很多具体的数学方法,如:归纳与类比、抽象分析法等等。

下面结合具体的例子来说明几种微观的数学方法是怎样起作用的:

例1 一个球与正四面体的六条棱相切,若四面体的棱长为a,求这个球的体积。(2000年全国高中联赛题)

解法一:设正四面体ABCD(见图1),六条棱都等于a,

作O1为面BCD的中心,连A、O1,延长B O1与CD交于E,则棱切球的球心O在A O1上,连B、O,E、O

解得:

于是

解法二:将整四面体AB1CD1置于正方体ABCD-A1B1C1D1中

此时与正四面体的六条棱相切的球转化为与正方体六个面相切的球,见图2。

O1为AC的中点,O2为BD的中点,连O1、O2,O1O2的中点O即为球心,球的半径为OO1

通过以上两种方法的对比,我们可以明显地看出解法二优于解法一,它的计算量小得多,将一个问题简化了,这是因为解法二应用了关系映射反演原则。

先对这一原则概略说明如下:令R表示一组原象的关系结构(或原象系统),其中包含着待确定的原象X。令M表示一种映射(一一对应法则),通过它的作用假定原象结构R被映成映像结构R*,其中自然包含着未知原象X的映像X*。如果有办法把X*确定下来,则通过反演即逆映射I=M-1也就相应地把X确定下来。这就是关系映射反演工作原则的基本内容,可用框图表示如图3。

在例1中,我们对四面体的熟悉程度不如平行六面体,直接求解比较困难。通过观察,我们可以得出这样一个结论:作四面体的外接平行六面体,且使四面体的六条棱成为平行六面体的各个侧面的对角线,此时,四面体与其外接平行六面体是一一对应的。所以我们将正四面体转化到正方体进行求解。应用关系映射反演原则,图三中的R(正四面体结构)和X(棱切球的体积),通过

M(即正四面体的六条棱成为正方体的各个侧面对角线),映成R*(正方体结构)和X*(正方体的内切球体积),通过I=M-1(X和X*是同一球的体积),也就把X确定下来了。

例2 设函数,若,,则关于的方程的解的个数为()

A、1

B、2

C、3

D、4

解法一: 由于,

解得:b=4 c=2

所以原方程

当时,解得,,

有三解,所以选C

解法二:根据已知条件,可将f(x)的图形画出,见图4,再将g(x)=x的图形画出,由图形容易看出有三个交点,易得正确答案C

比较以上两种方法可知:解法一用的是纯代数法,由于这道题的计算量不大,很容易用方程直接求出,但也很容易忽视当x>0时,f(x)=2的这种情况,所以很可能会漏掉一个解;解法二用的是数

形结合的思想方法,只要对函数的图形比较熟悉,画出图形,从图形上直接得出结论,直观,且不会漏选,多选,是一种比解法一快捷准确的方法。

数学所关注的是事物的数量关系和空间形式。或简言之,数学研究数和形。但数和形是相互关联着的,通过数量关系可以了解形的性状,通过形的性状也可以了解数量关系,因此,在一定条件下,它们之间可以实现相互转化。数和形是同一事物的两个不同侧面,数形结合有助于我们完整地了解事物的全貌。在处理数学问题时,若能从数和形两方面结合着思考,常常能帮助我们找到解决问题的途径。这种处理问题的思想方法也就称为数形结合。

解法二正是运用了数形结合使得问题简单化、直观化、有利于我们快速准确作答。

例3设P为平行四边形ABCD内部一点,证明:∠BAP=∠PCB当且仅当∠PBA=∠ADP

证明:如图5所示,过P作PP’平行且等于AB,连B、P’ ,C、P’

图5

则∠BC P’=∠ADP,且因为四边形ABP’P是平行四边形,所以∠BAP=∠PP’B,∠PBA=∠BP P’。

于是∠BAP=∠PCB∠P P’B=∠PCBB、P’、C、P四点共圆∠BPP’=∠BC P’∠PBA=∠ADP

例4 如果,求证X、Y、Z成等差数列。

证明:(1)当X-Y≠0时,则是一元二次方程

的判别式,由△= 0知该方程有两相等的实根。但由

推得:T = 1是它的根

所以

即

X、Y、Z成等差数列

(2)当时,根据已知条件也有

因为,

X、Y、Z仍成等差数列

由例3、例4可知:直接求解并不容易,例3将问题转化到同一个平行四边形,再利用四点共圆求证结论;例4将等式转化为方程,利用方程的根与系数的关系求证结论。显而易见,例3、例4都是用了转化的数学方法。

转化又称为化归,是数学中一种重要的思想和方法,即把面对的新问题转变成已经解决的问题。化归的途径有三大类:向基本模型化归;向特殊化归;向低层次化归。

基本模型即是已经建立模式化解决方法的问题,如果我们能把所给的问题化归到已知的数学模型,则此问题的解决方法就由这种模型现成地给出了。基本模型有很多种类,如方程模型、函数模型等等。例4就是化归为方程模型。

特殊的常是较简单的和容易把握的,对于一般性的问题,我们总是希望通过一些手段化为特殊的,从而借助特殊将一般性问题解决。向特殊化归的手段多种多样,针对不同的问题,采取不同的方法,例如:“割”、“补”、和“转移”的方法是平面几何和立体几何中使图形向特殊化归的基本方法,例3用的就是这种方法;“变换法”是使式和方程向特殊化归的基本方法。

由于事物的发展是从低层次到高层次,所以低层次的问题相对来说比较简单,而且低层次的情况我们是比较熟悉的,所以我们解决问题时,常把高层次的问题化归到低层次。向低层次化归的方法也非常多:通过平移法、射影法、截面法和展开法可将立体几何问题向平面几何化归。

解决一个问题可能会同时用上几种方法,如例1用的是关系映射反演原则,也可以说是用了化归的方法,因为解法二采用了“补”的方法,将正四面体“补”成正方体,而正方体正是我们所熟悉的特殊模型,所以非常容易地求解出来。

通过以上以几个例子,我们知道,数学思想方法是数学的灵魂,是联系数学中各类知识的纽带,如果忽视了数学思想,就会失去各类知识间的内在联系,失去认识网络的纵横交错,就不可能形成完善的认识结构,更谈不上全面提高思维素质,而有了数学思想,知识也不再成为独立的、零散的东西,方法也就不再是死板的教条,这样就有助于使我们形成完善的认识结构,全面提高我们的思维素质。