七年级数学下册立方根知识点整理
七年级数学立方根讲解
七年级数学立方根讲解在数学中，我们经常会遇到一些立方数，比如8、27、64等等。
那么，对于这些立方数，我们如何求出它的立方根呢？本文将为大家详细讲解七年级数学中的立方根知识点。
一、立方根的定义立方根是指一个数的立方等于该数的正整数根，例如，8的立方根是2，因为2=8。
二、立方根的求法1.手工计算法手工计算法是最基本的求立方根的方法，它的核心思想是试错法。
例如，求8的立方根，我们可以从1开始试，1=1，2=8，因此8的立方根是2。
但是，这种方法比较繁琐，而且对于大的数来说，很难手工计算出其立方根，因此我们需要更加高效的方法。
2.公式法公式法是一种比较高效的求立方根的方法，其核心公式如下：$$sqrt[3]{a}=sqrt[3]{frac{(a+b)^3-4b^3}{3a+3b}}$$ 其中，a为要求的数，b为一个适当的数。
例如，我们要求27的立方根，可以令b=1，代入公式中：$$sqrt[3]{27}=sqrt[3]{frac{(27+1)^3-4times1^3}{3times27+3ti mes1}}=sqrt[3]{28}$$然后，我们再次代入公式中，令a=28，b=2：$$sqrt[3]{28}=sqrt[3]{frac{(28+2)^3-4times2^3}{3times28+3ti mes2}}=sqrt[3]{9}$$因此，27的立方根为3。
3.近似法近似法是一种通过逼近来求解立方根的方法。
例如，我们要求8的立方根，可以从2开始，不断逼近真实的立方根。
具体步骤如下：（1）假设8的立方根为x，令x=2。
（2）计算x，得到8。
（3）将x加上8除以x的结果，即x=(x+8/x)/2，得到2.6667。
（4）重复以上步骤，直到x的值不再变化。
经过多次逼近，我们可以得到8的立方根为2.。
三、立方根的性质1.立方根的正负性由于立方是一个奇函数，因此立方根也是一个奇函数，即立方根的正负性与其所求的数的正负性一致。
七年级立方根知识点
七年级立方根知识点立方根，是指一个数的三次方根，可以用符号³√来表示。
在初中数学中，学生们需要学习求解正整数的立方根及其运用。
本文将介绍七年级立方根知识点，让学生们更好地掌握此方面的知识。
一、什么是立方根？在初中数学中，我们所说的立方根是指一个正整数的三次方根。
例如，27的立方根是3，因为3³=27。
我们可以通过“³√”符号来表示一个数的立方根。
例如，³√27=3。
二、立方根的计算方法在求解正整数的立方根时，最简单的方法是试错法。
即从小到大依次试探每一个数，找出符合条件的整数。
但这种方法比较耗时费力，不太实用。
下面介绍一种更科学的计算方法——牛顿迭代法。
1. 牛顿迭代法概念牛顿迭代法，又称牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解方程的数值方法。
该方法基于泰勒展开式，使用迭代的方法逐步逼近方程解。
在求解正整数的立方根时，我们可以使用牛顿迭代法来计算。
2. 立方根的牛顿迭代法公式我们可以用如下公式计算一个数的立方根：Xn+1 = [（2 × Xn） + a/（Xn²）]/3式中，Xn和Xn+1分别代表两次迭代的结果，a代表要求的数。
例如，我们要计算27的立方根，可以采用如下迭代过程：首先，我们选择一个初始值X0，例如X0=3。
将X0代入公式中，求出X1的值：X1 = [（2 × X0） + 27/（X0²）]/3 =（2 × 3 + 27/9）/3 =2.3333接下来，再将X1代入公式中，求出X2的值：X2 = [（2 × X1） + 27/（X1²）]/3 =（2 × 2.3333 + 27/5.4443）/3 =3依次类推，我们可以计算出27的立方根约为3。
三、立方根的应用立方根在许多实际问题中都有广泛的应用。
例如，我们可以通过立方根来计算立方体的体积，计算水的输送量，计算三角形边长等。
七年级数学下册《立方根》知识点归纳及典型例题讲解
【变式】将棱长分别为 和 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________ .(不计损耗)
【答案】 .
【思路点拨】铁块排出的64 水的体积，是铁块的体积，也是高为 烧杯的体积.
【答案与解析】
解：铁块排出的64 的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为 ，可列方程 解得
设烧杯内部的底面半径为 ，可列方程 ,解得 6.
答：烧杯内部的底面半径为6 ，铁块的棱长 4 .
【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.
类型三、利用立方根解方程
3、（2015春•北京校级期中）（x﹣2）3=﹣125．
【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可．
【答案与解析】
解：（x﹣2）3=﹣125，
可得：x﹣2=﹣5，
解得：x=﹣3．
【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x﹣2看成一个整体．
举一反三：
【变式】求出下列各式中的 ：
立 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【要点梳理】
【 立方根、实数，知识要点】
要点一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点三、立方根的性质
要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
要点四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如， ， ， ， .
七年级数学下《立方根》知识点总结归纳
七年级数学下《立方根》知识点总结归纳
一、基础概念
1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数被称为a的立方根。
记作：
3a。
2.立方根的性质：
•任何非零实数的立方根只有一个，但0的立方根是0。
•正数的立方根是正的，负数的立方根是负的。
1.求立方根的方法：使用直接开立方的公式或计算器进行求解。
二、运算规则
1.乘法性质：3a×3b=3a×b（当a≥0，b≥0）。
2.开方与乘除法的关系：3ba=3b3a（当a≥0，b>0）。
三、与平方根的区别与联系
1.区别：平方根涉及平方，而立方根涉及立方。
例如，(−3)2=9但−33=−27。
2.联系：对于非负实数，其平方根和立方根表示的都是正数。
例如，38=2，因为
23=8。
四、实际应用与解题技巧
1.实际应用：计算物体的体积或容积时需要用到立方根。
例如，求一个长方体或
正方体的体积。
2.解题技巧：
•对于较大的数或复杂的数字，可以使用计算器辅助求解。
•对于负数的立方根，要明确其值是负的。
例如，3−8=−2。
•注意与平方根的区别与联系，避免混淆。
五、易错点与注意事项
1.易错点：容易将平方根与立方根混淆，如误认为39=3（实际上是39≈
2.08）。
2.注意事项：
•在求立方根时，要注意被开方数是非负数。
•对于复杂的数字或问题，建议使用计算器辅助求解。
•多做习题，巩固对立方根的理解和应用。
立方根(解析版)--七年级数学下册
第02讲立方根课程标准学习目标①立方根的概念②立方根的性质1.掌握立方根的概念，能够熟练求一个数的立方根以及利用立方根对一个数开立方运算。
2.掌握立方根的性质，能够对其熟练应用。
知识点01同类项1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果a x 3，那么x 叫做a 的立方根．记作3a 。
其中3叫做三次根号。
根指数3不能省略。
2.求立方根：求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算。
【即学即练1】1．求下面数的立方根．（1）﹣8；（2）；（3）±125；（4）81×9．【分析】直接利用立方根的意义计算得出答案即可．【解答】解：（1）因为（﹣2）3＝﹣8，所以﹣8的立方根是﹣2，即＝﹣2；（2）因为（）3＝，所以的立方根是，即＝；（3）因为（±5）3＝±125，所以±125的立方根是±5，即＝±5；（4）81×9＝729，因为93＝729，所以729的立方根是9，即＝9．【即学即练2】2．解下列方程：（1）x3＝512（2）64x3﹣125＝0（3）（x﹣1）3＝﹣216．【分析】（1）根据开立方，可得答案；（2）根据移项、等式的性质，可得乘方形式，根据开方运算，可得答案；（3）根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．【解答】解；（1）开方，得x＝8；（2）移项、系数化为1得，xx＝；（3）开方，得x﹣1＝﹣6，移项，得x＝﹣5．知识点02立方根的性质1.立方根的基本性质：由立方运算可知，任何数都有立方根，且都只有1个立方根。
正数的立方根是正数；0的立方根是；负数的立方根是负数。
立方根等于它本身的数是0，±1。
2.其他性质：①一个数的立方根的立方等于它本身。
即aa 33②一个数的立方的立方根等于它本身。
即a a 33③一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根。
七年级下册立方根知识点
七年级下册立方根知识点立方根是数学中一个很重要的概念，它指的是一个数的立方相等于另一个数的运算。
七年级下册中，学生会学到与立方根相关的知识点，下面我们就来详细了解一下。
一、立方根的定义立方根指的是一个数的立方相等于另一个数的运算。
例如，如果a³=b，那么a就是b的立方根。
在数学中，立方根通常用符号∛来表示，例如∛8=2，因为2³=8。
二、求立方根的方法1.直接求解如果要求一个数的立方根，可以使用直接求解的方法。
例如，要求8的立方根，可以使用计算器或手算来得出结果。
我们可以将8写成∛8的形式，然后使用计算器或手算来求解。
2.反复开方法反复开方法是一种常用的方法来求解较大的数的立方根。
其步骤如下：Step 1：将要求解的数写成完全平方的形式（即，因数分解）。
例如，要求27的立方根，可以将27表示为3²×3，然后将根号号内的数先开平方根（√3²=3），再开平方根（√3=√9/√3）。
Step 2：重复上述过程，直到结果精确到所需的位数。
例如，继续对√9/√3开平方根，我们得到√9/√3=√3，因此√27=3√3，即27的立方根为3√3。
三、立方根的性质1.立方根是一种反函数对于任何正实数a和b，满足∛a=b的充要条件为a=b³。
因此，立方根是立方函数的反函数。
2.立方根是单调的立方根函数对其定义域上的任何两个正数a和b都满足如下性质：如果a>b，则∛a>∛b。
3.立方根可以用于体积和表面积的计算由于立方根的定义指的是一个数的立方相等于另一个数的运算，因此，在计算一个正方体或立方体的体积和表面积时，可以使用立方根。
例如，一个边长为3cm的正方体的体积为27cm³（即3³），表面积为54cm²（即6×3²）。
四、应用举例1.计算机图形学在计算机图形学中，立方根函数用于计算立方体的转换和旋转。
七年级下册的立方根知识点
七年级下册的立方根知识点立方根是一种数学运算，得到一个数的立方根要求这个数是一个立方数（也就是一个自然数的三次方）。
例如，8的立方根是2，因为2的三次方等于8。
在七年级下册的数学课程中，学生将会学习立方根知识。
下面是七年级下册的立方根知识点：一、立方根的定义立方根是指一个数的三次方等于该数的运算，例如，8的立方根是2，因为2的三次方等于8。
二、立方根的符号立方根的符号是∛。
我们可以将立方根的符号放在一个数前面，表示对这个数进行立方根运算。
例如，∛8表示对8进行立方根运算。
三、立方根的性质1. 一个正数的立方根是唯一的。
例如，8的立方根只有一个值，即2。
2. 负数也有立方根，但是不是实数。
例如，-8的立方根是-2+√3i和-2-√3i，其中i表示虚数单位。
四、立方根的计算方法1. 特殊情况下的计算方法。
(1)当一个数是立方数时，我们可以直接求出它的立方根。
例如，8的立方根是2。
(2)当一个数不是立方数时，我们可以通过试除法来逼近它的立方根。
例如，要计算∛5，我们可以先取一个近似值，如∛8≈2.83。
然后用5除以2.83的平方，得到5/8.0089≈0.6245。
再用2.83加上0.6245，得到3.4545。
用3.4545的立方与5比较，判断是否还需要迭代计算。
如果差异很小，就可以得到5的近似立方根。
2. 一般情况下的计算方法(1)牛顿迭代法利用牛顿迭代法可以快速地计算立方根。
这种方法的核心思想是逐步逼近正确答案，具体做法是选取一个近似值，通过不断迭代逼近该值。
例如，要计算∛5，我们可以取一个初始值x0=2，然后用公式x1=(2/3)x0+(1/3)(5/x0^2)求出近似值x1。
再将x1代入公式中计算x2，直到收敛于正确答案。
(2)二分法利用二分法也可以计算立方根。
假设要求∛a的值，首先确定一个范围[0,a]，然后取中点值m=(0+a)/2，计算m的立方根，如果小于a则认为其值过小，取[m,a]继续计算，否则值过大，取[0,m]继续计算。
【学习实践】七年级数学下册《立方根》知识点整理
七年级数学下册《立方根》知识点整理知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
如果被开方数还有指数，那么这个指数还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系1精品推荐范文学习一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：若x2=a，则x叫做a的平方根，记作x=±\，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1\的平方根是.A.±9B.±3c.9D.3解:因为\=9，所以\的平方根就是9的平方根，即±\=±3，故选择B.注:应现将\化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\，0的算术平方根是0.例2若a<0，则a2的算术平方根是.精品推荐范文学习 2A.-aB.ac.±aD.±\解:当a<0时，\=|a|=-a，故选择A.例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是.A.a+5B.a-5c.a2+5D.a2-5解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择c.知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2.0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0.例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值.解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，+=0，解得a=5，所以m=2=72=49.3精品推荐范文学习。
6.4 立方根 人教版数学七年级下册知识讲解
专题6.4 立方根（知识讲解）【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质特别说明：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【典型例题】类型一、立方根➽➼概念的理解➻➸平方根✬✬立方根1．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键．举一反三：【变式1】下列说法正确的是（）A．的立方根是B．的平方根是C．一定有平方根D．表示的算术平方根【答案】C【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的概念解答即可解：A、64的立方根是，故本选项不合题意；B、的平方根是，故本选项不合题意；C、因为，所以一定有平方根，故本选项符合题意；D、的算术平方根是，故本选项不合题意；故选：C【点拨】本题考查了平方根，立方根以及算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键．【变式2】下列说法中，不正确的是（ ）A．是的平方根B．的平方根和立方根都是C．负数没有立方根D．的算术平方根和立方根都是它本身【答案】C【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，即可一一判定．解：A. ，是的平方根，故该选项正确，不符合题意；B.的平方根和立方根都是，故该选项正确，不符合题意；C. 负数有立方根，故该选项不正确，符合题意；D.的算术平方根和立方根都是它本身，故该选项正确，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，若一个数的平方等于，则这个数叫做a的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0；若一个数的立方等于，则这个数叫做a的立方根．类型二、立方根➽➼求一个数的立（平）方根✬✬已知立（平）方根求原数2．求下列各式中x的值：(1) ；(2) ．【答案】(1)或5 (2)【分析】（1）利用平方根的性质解答，即可求解；（2）利用立方根的性质解答，即可求解．（1）解：∴，即，解得：或5；（2）解：，∴，解得：．【点拨】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】求下列各式中的x的值．(1) (2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用平方根解方程；（2）利用立方根解方程．（1）解：∵，∴，∵，∴，解得：或；（2）解：∵，∴，∵，∴，解得：．【点拨】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握平方根和立方根的概念，是解题的关键．【变式2】求下列各式中的值：【答案】（1）x=4；（2）【分析】（1）根据立方根的定义解答；（2）根据平方根定义解答．解：（1）x+2=6，x=4；（2）．【点拨】此题考查了利用立方根定义及平方根定义解方程，正确求一个数的立方根及平方根是解题的关键．类型三、立方根➽➼平方根✬✬立方根➽➼综合应用3．已知a是2的平方根，b是（﹣13）2的平方根，c的立方根是﹣3，d的算术平方根是，回答下列问题．(1) 分别求出a，b，c，d的值；(2) d的另外一个平方根落在图中的 ．（填“段①”“段②”“段③”“段④”）【答案】(1) a=±，b=±13；c=-27，d=2 (2)段②【分析】（1）根据平方根和立方根的知识可求得此题结果；（2）先求得d的另外一个平方根为，再比较出它在数轴中所在的位置．解：（1）∵（±）2==，（±13）2=（13）2，（3）3=27，（）2=2，∴±是的平方根，±13是（13）2的平方根，27的立方根是3，2的算术平方根是，∴，b=±13，c=27，d=2；（2）解：∵2的平方根是±，而，∴d的另外一个平方根落在图中的“段②”，故答案为：“段②”．【点拨】此题考查了运用平方根和立方根解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．举一反三：【变式1】已知正数的两个平方根分别是和，的立方根为-2．(1) 计算：_________；_________；_________；(2) 求的算术平方根．【答案】(1)1；-1；25 (2)1【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数以及立方根的定义进行求解即可；（2）先求出，然后根据算术平方根的定义求解即可．(1)解：∵正数的两个平方根分别是和，的立方根为-2，∴，∴，∴，故答案为：1；-1；25；(2)解：∵，∴，∴的算术平方根为1．【点拨】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，熟知三者的定义是解题的关键．【变式2】己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，(1) 求a，b，c的值(2) 求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．（1）解：∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴；（2）把：代入得：，∵，∴的平方根是：．【点拨】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．类型四、立方根➽➼生产生活中的应用4．在一个长、宽、高分别为8，4，2的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【答案】4cm【分析】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．解：由于装满水的长方体容器中的水，全部倒入正方体容器中，恰好倒满，所以它们的体积相等，而长方体容器的体积，所以正方体容器的体积为64，所以此正方体容器的棱长为．【点拨】本题主要考查了立方根的概念的运用以及应用，解决本题的关键是熟练掌握立方根的应用．举一反三：【变式1】一个正方体的体积是，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的边长及其表面积．【答案】边长，表面积【分析】根据题意知大正方体的体积为，则其边长为体积的立方根，可求得表面积．解：正方体的体积为：，即正方体的边长为：，则正方体的表面积为：，答：边长，体积．【点拨】本题主要考查了有理数的乘法运算以及立方根的知识，掌握正方体的体积公式和表面积公式是解答本题的关键．【变式2】李叔叔将8个正方体魔方，放入到一个容积为的正方体纸箱中，恰好填满．求这个魔方的棱长．【答案】【分析】先算出1个魔方的体积，然后根据体积公式算出魔方的棱长即可．解：1个魔方的体积为：．则这个魔方的棱长为．答：这个魔方的棱长为．【点拨】本题主要考查了立方根的实际应用，解题的关键是熟练掌握正方体的体积公式，准确进行计算．类型五、立方根➽➼能力拓展5．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1) = ；(2) 若，则；(3) 已知，且与互为相反数，求的值．【答案】(1)(2)3 (3)，；，；，【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；（3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．（1）解：因为，，所以是两位数，因为；猜想的个位数字是9，接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；最后再依据“负数的立方根是负数”得到；（2）解：∵，∴和互为相反数，∴，∴；故答案为：3．（3）解：，即，∴或1或解得：或3或1∵与互为相反数，即，∴，即，∴时，；当时，；当时，．【点拨】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．举一反三：【变式1】观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，(1) 已知，求的值；(2) 已知，，求的值；(3) 根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；（2）根据算术平方根规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；（3）根据立方根的规律，根号内扩大1000倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；解：（1），．（2），．．（3），．．，即．【点拨】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键．【变式2】类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果，那么x叫做a的四次方根；②如果，那么x叫做a的五次方根；请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：(1) 81的四次方根为____________；-32的五次方根为____________；(2) 若有意义，则a的取值范围是____________；(3) 解方程：①；②．【答案】(1)；(2)(3)①；②【分析】（1）利用题中四次方根的定义、五次方根的定义求解；（2）根据四次方根的意义求解；（3）分别利用四次方根和五次方根的定义求解．（1）解：81的四次方根为；的五次方根为；故答案为：；；（2）解：若有意义，则，解得．故的取值范围为；故答案为：；（3）解：①，所以；②，，所以．【点拨】本题考查了方根的定义，关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．。
七年级数学下册立方根知识点整理
七年级数学下册《立方根》知识点整理
知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。 求一个数a的立方根的运算叫做开立方。 立方根的性根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。 立方和开立方运算，互为逆运算。 互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。 负数不能开平方，但能开立方。 立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方 ⑵作差 ⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2) 任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.
知识点二: 算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\，0的算术平方根是0. 例2若a<0，则a2的算术平方根是( ). A.-a B.a C.±a D. ±\ 解:当a<0时，\=|a|=-a，故选择A. 例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ). A.a+5 B.a-5 C. a2+5 D. a2-5 解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.
最新人教版七年级下册数学《立方根》学习笔记整理
最新人教版七年级下册数学《立方根》学
习笔记整理
立方根是数学中的一个重要概念，它与立方数密切相关。
立方
根是指一个数的立方等于该数的算术平方的数。
以下是关于立方根
的研究笔记整理。
一、立方根的定义
立方根是一个数的算术平方的数。
记作∛x，读作“x的立方根”。
二、立方根的性质
1. 正数的立方根是正数。
2. 零的立方根是零。
3. 负数没有实数的立方根。
4. 两个正数的积的立方根等于它们的立方根的积。
5. 两个正数的商的立方根等于它们的立方根的商。
6. 一个正数的立方根的立方等于这个正数。
三、求解立方根的方法
1. 利用估算法求解立方根。
通过估算的方法可以近似地求得一个数的立方根。
2. 利用开方法求解立方根。
也可以使用开方法的变形公式求解立方根。
四、立方根的应用
立方根在实际生活中有很多应用。
例如：
1. 几何学中，立方根可以用于计算立方体的边长或体积等。
2. 英语中，可以通过对词根进行立方根运算，来推测一些单词的意思。
3. 物理学中，立方根可以应用于计算物体的密度等。
以上是关于立方根的学习笔记整理。
希望这些内容对你有所帮助，如果有任何问题，请随时咨询。
最新人教版七年级下册数学《立方根》知识点总结
最新人教版七年级下册数学《立方根》知
识点总结
1. 立方根的概念
立方根是指一个数的立方为给定数的平方根。
例如，数a的立方根记作∛a，满足公式∛a ×∛a ×∛a = a。
2. 求立方根的方法
- 近似法：根据数的大小和取值范围，可以使用近似法来求立方根。
例如，可以通过试探法或通过表格查找近似值。
- 简化运算法：根据立方根的运算规律，可以进行一些数学运算来求得完全精确的立方根。
例如，可以使用平摊法、因数分解法或二分法等。
3. 立方根的性质
- 正数的立方根是一个实数，且大于等于0。
- 负数的立方根是一个复数，其中一个解为实数，另外两个解为共轭虚数。
- 0的立方根为0。
4. 立方根的应用
- 立方根在几何学中常用于计算体积。
例如，通过求立方的边长可以求得立方的体积。
- 立方根也广泛应用于科学领域，例如计算物体的密度、电磁学中的场强等。
总结：立方根是数学中的一个重要概念，用于求解一个数的立方。
通过近似法或简化运算法可以求得立方根。
立方根常用于计算几何体的体积以及科学研究等领域。
2024年初中七年级数学下册同步讲义第08课 立方根(学生版)-
第08课 立方根课程标准1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.知识点01 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么 叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做 .注意：一个数a 的立方根，用 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为 . 知识点02 立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是 .注意：都有立方根，一个数的立方根有且只有 个，并且它的符号与这个非零数的符号 . 两个互为相反数的数的立方根也 .知识点03 立方根的性质（1）3a -=知识精讲目标导航（2）33a = （3）33()a =注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.知识点04 立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝.考法01 立方根的概念【典例1】下列语句正确的是（ ）A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0【即学即练】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-考法02 立方根的计算【典例2】求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ 能力拓展（3）336418-⋅ （4）23327(3)1-+--- （5）10033)1(412)2(-+÷-- 【即学即练】 计算：（1）30.008-=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 考法03 利用立方根解方程【典例3】（x ﹣2）3=﹣125．【即学即练】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______． 考法04 立方根实际应用【典例4】在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【即学即练】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)题组A 基础过关练1．64的立方根是（ ）分层提分A ．4B ．±4C ．8D ．±8 2．下列各式中,正确的是( )A B ．C 3=- D 4=- 3．下列各组数中互为相反数的是（ ）A ．2-与2B ．2-C ．2-与12-D ．2- 4．下列说法正确的是( )A ．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是零B ．一个数的立方根和这个数同号，零的立方根是零C ．一个数的立方根不是正数就是负数D ．负数没有立方根5，则x 和y 的关系是( )．A ．x ＝y ＝0B ．x 和y 互为相反数C ．x 和y 相等D ．不能确定6．下列说法中正确的是（ ）．A ．0.09的平方根是0.3B 4=±C ．0的立方根是0D ．1的立方根是±1 7．立方根等于它本身的有( )A ．0,1B ．-1,0,1C ．0,D ．18．若a 2＝162，则a +b 的值为（ ）A ．12B ．4C ．12或﹣4D ．12或4 9．有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．±110 1.147 2.472=0.5325=） A ．24.72 B ．53.25 C ．11.47 D ．114.7题组B 能力提升练11．8-的立方根是__________．12．已知(x ﹣1)3=64，则x 的值为__．13．已知一个数的平方根是3a +1和a +11，求这个数的立方根是______． 14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______. 15．若30.3＝0.694，33＝1.442，则3300＝_____16．已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是__________. 17．实数a 在数轴上的位置如图所示，则()()233210a a -+-化简后为___________． 题组C 培优拔尖练18．计算下列各题：（1327-2(3)-31-（23331632700.1251464--19．求x 的值：125－8x 3＝0.20．已知5a ﹣1的算术平方根是3，3a+b ﹣1的立方根为2.（1）求a 与b 的值；（2）求2a+4b 的平方根．21．已知M 233m m +-=+m +3的算术平方根，N 22m n n -=-n ﹣2的立方根．求（n ﹣m ）2008． 22．先判断下列等式是否成立：（13322277+=（ ） （23333332626+=（ ） （3）3344446363+= ） （4335555124124+（ ） ……….经判断：（1）请你写出用含(2n n 的自然数）>的等式表示上述各式规律的一般公式. （2）证明你的结论.。
七年级下册数学备课资料《第六章 6.2立方根》
第六章 6.2立方根知识点1:立方根的认识1.定义:一般地,如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根或三次方根.2.表示方法:数a的立方根表示为,读作“三次根号a”.3.性质:正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0.4.平方根与立方根平方根立方根不同点一个正数有两个平方根,且互为相反数一个正数只有一个正的立方根负数没有平方根负数的立方根还是一个负数中的被开方数a是非负数,根指数2通常省略不写中的被开方数a是任意数,根指数3不能省略不写相同点0的平方根和立方根都是0.知识点2:用计算器求一个数的立方根用计算器求一个数的立方根的步骤及方法:用计算器求一个数的立方根和求一个数的平方根的步骤相同,只是根指数不同.用计算器开立方的顺序是:第一步按键,第二步按数字键,输入被开方数,第三步按=键.应注意的是:不同品牌的计算器按键的顺序可能不同,使用计算器时,一定要按说明书操作.考点1:利用立方根求解简单的三次方程【例1】求下列方程中x的值: (1)x3=8;(2)=27.解:(1)∵23=8,∴x=2;(2)∵=27,∴x+5是27的立方根,∴x+5=3,∴x=-2.点拨：利用立方根的定义求解即可.考点2:立方根的实际应用【例2】将一个体积为0.216 m3的大立方体铝块改铸成8个同样大小的小立方体铝块,求每个小立方体铝块的表面积.解:设每个小立方体铝块的棱长为x m,则8x3=0.216.∴x3=0.027,∴x=0.3,∴6×0.32=0.54.即每个小立方体铝块的表面积为0.54 m2.点拨：由改铸前后的体积不变,列出关于x的方程解之.考点3：用计算器求立方根【例3】求5的立方根(精确到0.01).解:由计算器得≈1.709 975 947,所以≈1.71.点拨：根据约束条件,由计算器得到的数值,再通过“四舍五入”法得出近似值.。
初一数学立方根知识点
初一数学立方根知识点1、立方数在自然数中，一个数截至其立方数是称为完全立方数，例如:1的立方数为1，2的立方数为8，3的立方数为27，4的立方数为64，5的立方数为125……2、立方根的概念一个数的立方根是另一个数，使得这个数的立方等于它。
例如，2的立方根是∛8，因为8的立方等于2。
4、求立方根的方法（1）用计算器现代计算器可以轻松地计算立方根。
只需在计算器中输入所需计算的数字，然后按立方根键，结果将立即显示。
（2）试错法试错法是求立方根的最简单、最基本的方法之一。
我们从给定的数值开始，尝试一步步逼近到最终的结果。
以求27的立方根为例：令a=1，则a³=1，小于27（3）牛顿迭代法牛顿迭代法是利用导数的概念，求一个方程的根的一种方法。
应用此方法，可以求解立方根。
牛顿迭代法的一般思路是，从一个近似值开始，不断地利用切线的斜率与截距对目标进行逼近。
具体方法如下：设f(x) = x³ - n，x是待求立方根，n是给定的值。
则牛顿迭代公式为：Xn+1 = Xn - f(Xn)/f'(Xn)其中，f'(x)是f(x)的导数。
f(x) = x³ - 27，f'(x) = 3x²当X1 = 3时，f(X1) = 0，已找到27的正立方根。
（4）二分法二分法也是求解立方根的方法之一。
简单的说，就是寻找一个大于或小于这个数的立方数，然后进行迭代，最后逼近到解的位置。
例如，求27的立方根，我们可以先将解空间限制在0到27之间，然后取其中点：当X1= 13.5时，X1³>27，解的界改变到0到13.5之间。
这样，通过二分法，我们可以找到大约等于3的解。
5、应用在日常生活中，求立方根可以有很多应用。
例如，在工业生产中，计算机可以使用立方根来优化工艺流程。
在数学学科中，立方根是代数方程求解的重要概念。
在物理学中，立方根被用来计算立方量，例如计算体积和密度等。
七年级下数学立方根知识点
七年级下数学立方根知识点七年级下数学——立方根知识点在七年级下学习数学的过程中，我们中的许多人会感到困惑和困难，特别是在立方根知识点方面。
立方根是一种重要的算术操作，是求一个数字的三次方根。
在这篇文章里，我们将深入探讨七年级下学习的立方根知识点。
一、立方根的概念立方根是将数字的三次幂开根的数学运算，也可以说是求一个数字的三次方根。
例如，27的立方根是3，因为3的立方等于27。
要想正确地计算立方根，我们需要了解一些基础知识，比如指数和乘幂。
二、立方根的符号在数学中，我们通常使用∛（开立方）符号来表示立方根。
例如，“∛27=3”。
三、立方根的计算方法在计算立方根时，有三个可以使用的主要方法：选取数学标准符号、手算和计算机算法。
1.选取数学标准符号使用符号的好处在于，可以把计算过程变得简单且有条理。
例如，对于一个数字x，我们可以使用下面的符号计算立方根：∛x = x^1/3我们可以将数字的三次方根表达式写为一个分数的形式。
在这个表达式中，数字x是底数，1/3是指数，表示所求数字的三次方根。
2.手算手算是最基本的计算方法之一，需要用到数学中常用的指数规则。
例如，计算64的立方根，我们可以手算如下：∛64 = 64^1/3 = （2^6）^1/3 = 2^2 = 8在这个例子中，我们先把底数64分解成2的6次幂，然后将指数1/3乘以6，得到了2。
所以64的立方根是8。
3.计算机算法计算机算法是最便捷的立方根计算方法之一。
在计算机中，我们可以使用一个名为高斯-牛顿方法的迭代算法来计算立方根。
这种算法很快，也很准确。
四、立方根的性质在数学中，立方根具有一些基本的性质，这些性质对于研究和解决复杂问题非常有用。
下面是一些关于立方根的性质：1.对于任何实数x，∛x的结果都是实数。
2.对于任何非负数字x，∛x大于等于0。
3.对于任何实数x和y，若x大于等于y，则∛x大于等于∛y。
4.计算机中的立方根算法可以快速地计算出一个数字的立方根。
2023年最新人教版七年级数学下册课件立方根
6 若x＋1是4的平方根，求3x＋1的立方根．
解：由题意知x＋1＝±2，所以x＝1或x＝－3. 当x＝1时，3x＋1＝4，4的立方根是 3 4 . 当x＝－3时，3x＋1＝－8，－8的立方根是－2. 所以3x＋1的立方根为 3 4 或－2.
7 如图，数轴上点A表示的数可能是（ C ）
A．4的算术平方根 C．8的算术平方根
易错点：受平方根思维定式的影响，误认为负数没有立方根.
1 下列各数中，立方根一定是负数的是（ C ）
A. －a B. －a2 C. －a2－1 D. －a2＋1
2 如果 3 a 3 b ，那么a 与b 的关系是( B )
A．a＝b
B．a＝－b
C．a＝±b
D．不能确定
3 若x<0，则 A．x
解： (2)一个数的小数点每向右(或向左)移动三位，则这个
数的立方根的小数点就向右(或向左)移动一位．
(3)由 3 12 ＝b 得m＝ 3 0.012 ＝0.1b，
n＝ 3 12 000 ＝10b.
9 （1）已知 3 1 a2 ＝1－a2，求a 的值；
（2）若 3 1 2x 与 3 3 x 5 互为相反数，求1－ x 的值．
总结
利用立方运算求一个的立方根，要注意正数有一 个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
1 求下列各式的值：
(1) 3 1000 ； (2) 3 0.001 ；
(3) 3 1 ；
(4) 3 64 . 27
解：(1)因为103＝1 000，所以 3 1000 ＝10；
(2)因为(－0.1)3＝－0.001，所以 3 0.001 ＝－0.1；
解：由题意知b＋4＝2，a＋2＝3， 所以b＝－2，a＝1. 所以2a－3b＝8.
立方根总结知识点
一、立方根的定义在数学中，对于任意实数a，如果存在一个实数b使得b³=a，那么b就是a的立方根，记作b=³√a。
从定义可以看出，立方根是求一个数的立方根的运算，即使得一个数的立方等于给定的数。
二、立方根的性质1. 立方根的性质（1）立方根的性质1：一个非负实数有且只有一个实数的立方等于它。
（2）立方根的性质2：一个非负实数的立方根也是一个非负实数。
（3）立方根的性质3：一个非负实数的立方根与它的相反数的立方根互为相反数。
2. 立方根的运算法则（1）立方根的运算法则1：³√(ab)=³√a*³√b。
（2）立方根的运算法则2：³√(a/b)=³√a/³√b。
（3）立方根的运算法则3：³√(aⁿ)=aⁿ/3。
三、立方根的求解方法1. 立方根的求解方法1：开方法。
对于一个由非负实数构成的数a，我们可以通过开方法来求解它的立方根。
具体步骤如下：（1）将a进行因式分解，得到素因数分解式。
（2）对于得到的素因数p，将其对于立方根成对提出。
（3）对提出的p，按照p³=a进行计算得到立方根。
（4）将计算得到的立方根合并，得到a的立方根。
2. 立方根的求解方法2：牛顿迭代法。
在数值计算中，可以通过牛顿迭代法来求解一个数的近似立方根。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的初始值x0。
（2）通过牛顿迭代公式x_(n+1) =(2x_n+a/(x_n²))⁄3来迭代计算，直到达到精确度要求。
1. 几何中的应用立方根在几何中有广泛的应用。
例如，可以用立方根来计算立方体的对角线长度，立方体的表面积等。
2. 代数中的应用在代数中，立方根也有重要的应用。
例如，可以利用立方根来求解代数方程，或者用立方根来简化复杂的代数表达式等。
3. 物理中的应用在物理中，利用立方根可以对一些物理现象进行分析和计算。
例如，可以用立方根来求解一些物理量的立方根值，来描述物理世界中的一些规律等。
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七年级数学下册《立方根》知识点整理
七年级数学下册《立方根》知识点整理
知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三
次根号3大于三次根号2) 任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.
平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算
知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±\，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算. 例1 \的平方根是( ). A.±9 B. ±3 C.9 D.3 解:因为\=9，所以\的平方根就是9的平方根，即±\=±3，故选择B. 注:应现将\化简后再求值.
知识点二: 算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\，0的算术平方根是0. 例2若a<0，则a2的算术平方根是( ). A.-a B.a C.±a D. ±\ 解:当a<0时，\=|a|=-a，故选择A. 例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ). A.a+5
B.a-5
C. a2+5
D. a2-5 解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.
知识点三: 平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0. 例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值. 解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，
(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49.。