大学物理气体分子平均碰撞频率和平均自由程
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4-4 气体分子碰撞和平均自由程
单原子
i3
刚性双原子 i 5
刚性多原子 i 6
3.能均分定理
在温度为T 的平衡态下, 物质分子的每一个
自由度都具有相同的平均动能, 其大小为 1 kT. 2
4.每个分子的平均总动能
i kT
2 5.1mol 理想气体的热力学能
i
i
E0 N 0(2 kT ) 2 RT
6.质量为M 的理想气体的热力学能
所以
Z 2 d 2vn
上式表明
平均碰撞次数与分子数密度，分子平均速 率成正比，也是与分子的直径的平方成正比．
把 Z 2 d 2vn代入
得
上式表明
vt v Zt Z
1
2 d 2n
平均自由程与分子碰撞截面、分子数密度 成反比，而与分子平均速率无关。
因为 所以
p nkT
kT
2 d 2 p
上式表明
kT
2 d 2 p
当气体的温度给定时，气体的压强越大 （即气体越密集），分子的平均自由程越短； 反之，若气体压强越小（即气体越稀薄），分 子的平均自由程越长.
4.4.3 例题分析
例1 求在标准状态下,空气分子的平均自由程、 平均速率及平均碰撞次数.（已知空气的平均摩 尔质量为 2910-3kg·mol-1, 空气分子的有效直 径为3. 5 10-10m）.
上式表明
分子间碰撞越频繁，平均自由程越小。
(1) 假设分子中只有一个分子A以平均速 率 v 运动，其余分子都静止不动。 请看动画演示
这样,凡是中心与
A分子中心的距离小
于或等于有效直径d
A
dd
的分子,都要与A分子
相碰。
47气体分子的平均自由程
P
x
在流体内部z=z0处有一分界平面ds,ds上下相邻流 体层之间由于速度不同通过ds面互施大小相等方向 相反的作用力，称为内摩擦力或粘滞力。
实验表明粘滞力的大小df与该处流速梯度及ds的大 小 叫成做正流比体。的d内f 摩 擦系du数或d粘s 滞系数。
dz z0
微观机制（只讨论气体）
气体的内摩擦现象在微观上是分子在热运动中输运
3
径及分子数密度有关。
在标准状态下，多数气体平均自由程 ~10-8m，
只有氢气约为10-7m。一般d~10-10m，故 d
。可求得Z ~109/秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！
4-8 输运过程
当系统各部分的物理性质如流速、温度或密度不 均匀时，系统则处于非平衡态。在不受外界干预 时，系统总是要从非平衡态向平衡态过渡。这种 过渡称为输运过程。 输运过程有三种：内摩擦、热传导和扩散。 本节介绍其基本规律。
定向动量的过程。 根据分子运动论可导出
1 nmv
3
物递体到内温 各度热部较传分 低导温 处度 ，不 这均种匀现时象，叫将做有热热传量导由。温度较高处传
宏观规律 设A、B两平行平板之间充 z 有某种物质其温度由下而 上逐渐降低，温度T是z的 函数，其变化情况可用温 度梯度dT/dz表示.
z0
0
T2
A
dQ dS T=T(z)
T1
Bx
设想在z=z0处有一界面dS，实验指出dt时间内通 过dS沿z轴方向传递的热量为
叫做导热系数
dQ dT dSdt
dz z0
微观机制（只讨论气体）
气体内的热传导在微观上是分子在热运动中输
运热运动能量的过程。
根据分子运动论可导出
4.4 气体分子碰撞和平均自由程
u相
碰撞分子数= 密度（分子数密度） ×相碰体积
在t时间内，凡分子中心在以分子A 运动轨迹为轴， 半径等于分子有效直径 d，长为 的曲折圆柱体内 vt 的分子均能与 A 相碰，设分子数密度为 n，则碰撞频 率： 碰撞分子数 n vt
Z 经过时间 t n v
d
2
考虑其他分 子的运动
v 8 kT
m
8 RT
1 . 60
RT
方均根速率
v 3 kT m 3 RT
1 . 73
RT
六、 分子平均碰撞次数：
Z 2 d n v
2
分子平均自由程
v Z 1 2 d n
2
4.4.1 分子的平均自由程和碰撞频率 4.4.2 平均自由程和平均碰撞频率的关系 4.4.3 例题分析
4.5.1 分子的平均自由程和碰撞频率
1．自由程和平均自由程 气体分子在连续 两次碰撞之间所经过 的直线路径称为气体 分子的自由程，用 表示．其平均值称为 平均自由程，用 表 示．
分子碰撞
解 T 273 K , p 1 . 013 10 5 Pa ,
d 3 . 5 10
10
m , 29 10
8
3
kg mol
1
kT 2 d p
2
6 . 9 10
-1
m
v
8 RT
446 m s , Z
v
6 . 5 10 s
容
提
要
一、理想气体的状态方程或1 Nhomakorabea
RT
p nkT
§1.7 分子的碰撞频率与平均自由程
1 vx va 2
8kT 已知 va m
则
分子与器壁的碰撞频率为
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
8
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
已知
''
pV NkT
或
p n kT
p z 2 mkT
p z L 2 MRT
9
z ''
分子的隙流 气体分子通过小孔向外流出称为隙流 隙流速度为
kT RT p v n n 2 m 2 M 2 mkT
'
v MB MA v
10
' A ' B
ห้องสมุดไป่ตู้
0
m m 2 vx dvx vx exp 2 kT 2kT m m 2 vx dvx exp 2 kT 2kT
1 2
1 2
0
7
vx
v dn dn
0 x 0
vx
vx
2kT m
z d
2 AB
8RT
nA nB
6
分子与器壁的碰撞频率
速率在 vx vx dvx 的分子数
已知
vx
dn(vx ) nf (vx )dvx m m 2 f (vx ) exp vx 2 kT 2 kT vx dnvx
0
0
dnvx
分子的运动方向相反，其相对速度为 分子以90°角碰撞
8kT 已知 va m
则
分子与器壁的碰撞频率为
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
8
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
已知
''
pV NkT
或
p n kT
p z 2 mkT
p z L 2 MRT
9
z ''
分子的隙流 气体分子通过小孔向外流出称为隙流 隙流速度为
kT RT p v n n 2 m 2 M 2 mkT
'
v MB MA v
10
' A ' B
ห้องสมุดไป่ตู้
0
m m 2 vx dvx vx exp 2 kT 2kT m m 2 vx dvx exp 2 kT 2kT
1 2
1 2
0
7
vx
v dn dn
0 x 0
vx
vx
2kT m
z d
2 AB
8RT
nA nB
6
分子与器壁的碰撞频率
速率在 vx vx dvx 的分子数
已知
vx
dn(vx ) nf (vx )dvx m m 2 f (vx ) exp vx 2 kT 2 kT vx dnvx
0
0
dnvx
分子的运动方向相反，其相对速度为 分子以90°角碰撞
气体分子的平均碰撞频率和平均自由程.ppt
p kT 0.63 (Pa) 6.22106 atm 2 d2
瓶胆承受的压力～1.01×104kg/m2！
( The end )
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 13 / 12 .
作业：
12-25，12-28
答疑时间：周二下午1：30－3：30
1.5cm 1.5102m kT
2 d2 p p kT 0.63 (Pa) 6.22106 atm
2 d2
1.5cm
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 12 / 12 .
1. 平均碰撞频率： z 2 n d2v
2. 平均自由程： kT 2 d2 p
▲平均碰撞频率：分子在单位时间内的平均碰撞次数。
常用 z 表示。
则，在 △t 时间内，有：
vt zt
v z
☻ z、与哪些因素相关
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 5 / 12 .
二、平均碰撞频率与平均自由程
设分子的有效直径为d，某分子以 u 相对于其他分子
解：空气分子的有效直径 d = 3.5×10-10m，则
p (Pa)
(m)
1.01105 1.33 102
6.9 108 5.2 105
kT 2 d2 p
常温常压下： 约108 ~ 107 (m)
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均
1
2 d2 n
而： p nkT
z
分子的平均碰撞次数及平均自由程
区间粒子的能量成正比。 （2）在同样大小的各区间（坐标区间和速度区间）中，能量
较大的分子数较少，能量较小的分子数较多。 （3）在大小相等的各区间（坐标区间和速度区间）中比较，
分子总是处于低能态的概率大些。 （4）分布在某一坐标区间具有各种速度的分子总数只与坐标
区间的间隔成正比，与粒子的能量无关。 （Ａ）只有(1),(2)是正确的； （B）只有(2),(3)是正确的； （Ｃ）只有(1),(2),(3)是正确的；（D）全部是正确的；
(`1) 10-10m (2) 102~103m/s (3) 108~109s-1
v 1.6 RT M mol
T=300K
v kT z 2d 2 P
把 P 1.01105 Pa
z 2d 2vP
kT T 273K 代入即可得到。
8
例6－12 气缸内有一定量的氢气（可视作理想气体），当
温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数 z
分子的平均碰撞次数及平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什
么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？ 原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
1
一、分子的有效直径d
分子的一种最简单的模型：将分子看成是具有一定体积 的弹性小球。
则分子的有效直径d定义为：两个分子质心之间所能允许的 最小距离。
距离小于或等于分子有效直径d的分子都会与A分子发生碰撞。
为此我们以A分子中心的运动轨迹为曲线，以分子直径d
为半径，做一曲折圆柱体，那么，凡分子中心在圆柱体内的
分子，都会与A分子发生碰撞，
z n d 2 u
4
理论证明：气体分子的平均相对速率 u与平均速率 v间有
较大的分子数较少，能量较小的分子数较多。 （3）在大小相等的各区间（坐标区间和速度区间）中比较，
分子总是处于低能态的概率大些。 （4）分布在某一坐标区间具有各种速度的分子总数只与坐标
区间的间隔成正比，与粒子的能量无关。 （Ａ）只有(1),(2)是正确的； （B）只有(2),(3)是正确的； （Ｃ）只有(1),(2),(3)是正确的；（D）全部是正确的；
(`1) 10-10m (2) 102~103m/s (3) 108~109s-1
v 1.6 RT M mol
T=300K
v kT z 2d 2 P
把 P 1.01105 Pa
z 2d 2vP
kT T 273K 代入即可得到。
8
例6－12 气缸内有一定量的氢气（可视作理想气体），当
温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数 z
分子的平均碰撞次数及平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什
么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？ 原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
1
一、分子的有效直径d
分子的一种最简单的模型：将分子看成是具有一定体积 的弹性小球。
则分子的有效直径d定义为：两个分子质心之间所能允许的 最小距离。
距离小于或等于分子有效直径d的分子都会与A分子发生碰撞。
为此我们以A分子中心的运动轨迹为曲线，以分子直径d
为半径，做一曲折圆柱体，那么，凡分子中心在圆柱体内的
分子，都会与A分子发生碰撞，
z n d 2 u
4
理论证明：气体分子的平均相对速率 u与平均速率 v间有
分子的平均碰撞频率和平均自由程
第21讲 分子的平均碰撞频率和平均自由程 习题课教学要求理解气体分子的平均碰撞次数及平均自由程。
重点与难点重点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
难点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
7.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子无规则热运动，频繁碰撞。
每个分子在两次碰撞之间自由行进多长的路径和用多长时间完全是偶然的、不确定的(如图7-10)。
但对大量分子，从统计的角度看，每个分子在单位时间内与其它分子平均碰撞多少次和平均自由行进多少路径却是有规律的。
7.7.1 平均碰撞频率z平均碰撞频率z 就是对于处于平衡状态下的大量气体分子组成的系统，一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。
根据简化的气体分子模型，同种气体分子中每个分子都是直径为d 的刚性球，设想跟踪一个气体分子A ，为简化计算起见，首先假定其它分子不动，A 分子以平均相对速率u 接近其它分子，那么1秒内有哪些分子能与A 分子相碰呢?在A 分子运动过程中，它的质心轨迹是一条折线abce , 凡是其它分子的质心离开此折线的距离小于或等于分子有效直径d 的，都将与A 分子相碰（图7-11）。
如果以1秒内A 分子质心运动轨迹为轴，以分子有效直径d 为半径作一圆柱体（该圆柱体体积为2πd u ）。
质心在该圆柱体内的分子都将与A 分子相碰。
设n 为分子数密度,则该圆柱体内的分子数为2πn d u ，亦即1秒内A 分子与其它分图7-10气体分子的碰撞e子发生碰撞的平均次数。
所以平均碰撞频率2πZ n d u =式中，，2πd σ=称为分子的碰撞截面。
考虑所有分子同时以平均速率υ运动，分子间平均相对运动速率为υ2=u ， 故2Z d n υ=(7-23)上式表明，分子热运动平均碰撞频率与分子数密度n 、分子平均速率υ成正比，也与分子碰撞截面σ或分子有效直径d 的平方成正比。
7.7.2 平均自由程 λ平均自由程 λ 就是在平衡状态下，一个分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值。
平均碰撞频率和自由程
大学物理
1
能量按自由度均分原理
在温度为 T 的平衡状态下，分子每个自由度的平均动能均 为 kT 2 。
玻耳兹曼分布律
在外势场中的分子总是优先占据势能较低的状态
n n0 e
p k BT
平衡态下温度为 T 的气体中，位于空间某一小区间 x~x+dx， y~y+dy， z~z+dz 中的分子数为
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上，二 · 者很接近，并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下，二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
6
-2 -3 例 真空管的线度为 10 m ，其中真空度为 1.33× 10 Pa。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m。
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。 解 由气体的状态方程, 有
p 1.33 10 3 17 3 n 3 . 21 10 m kT 1.38 10 23 300
左11 左10
左9
右9 右10
右11
167960 184756
167960
左5
左2 左0
右15
右18 右20ຫໍສະໝຸດ 15504190 1
包含微观状态数最多的宏观状态是出现的概率最大的状态
11
结论 (1) 系统某宏观态出现的概率 与该宏观态对应的微观态 数成正比。 (2) N 个分子全部聚于一侧 的概率为1/(2N) (3) 平衡态是概率最大的宏观 态，其对应的微观态数目 最大。 ( n )
1
能量按自由度均分原理
在温度为 T 的平衡状态下，分子每个自由度的平均动能均 为 kT 2 。
玻耳兹曼分布律
在外势场中的分子总是优先占据势能较低的状态
n n0 e
p k BT
平衡态下温度为 T 的气体中，位于空间某一小区间 x~x+dx， y~y+dy， z~z+dz 中的分子数为
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上，二 · 者很接近，并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下，二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
6
-2 -3 例 真空管的线度为 10 m ，其中真空度为 1.33× 10 Pa。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m。
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。 解 由气体的状态方程, 有
p 1.33 10 3 17 3 n 3 . 21 10 m kT 1.38 10 23 300
左11 左10
左9
右9 右10
右11
167960 184756
167960
左5
左2 左0
右15
右18 右20ຫໍສະໝຸດ 15504190 1
包含微观状态数最多的宏观状态是出现的概率最大的状态
11
结论 (1) 系统某宏观态出现的概率 与该宏观态对应的微观态 数成正比。 (2) N 个分子全部聚于一侧 的概率为1/(2N) (3) 平衡态是概率最大的宏观 态，其对应的微观态数目 最大。 ( n )
第9章热学(93)平均自由程与碰撞频率_能均分定理
1mol 理想气体内能：
ii Emol NA 2 kT 2 RT
质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
结论：
E
m M
Emol
m M
i RT 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
内能的改变量： E m i RT M2
例4 容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压 强为1.013×103 Pa ，密度为1.24×10-2 kg·m-3。试求： （1） 气体分子的方均根速率； （2） 气体的摩尔质量，并确定它是什么气体； （3） 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是
RT p
12.824110032kg18..m0311o3l）或一氧化碳（CO）气体
（3）分子的平均平动动能：
3 kT 3 1.381023 273J 5.61021J 22
分子的平均转动动能：
2 kT 1.381023 273J 3.7 1021J
k
i 2
kT
“i”为分子自由度数
i3
k
3 2
kT
刚性双原子分子： i 5
k
5 2
kT
刚性多原子分子： i 6
k
6 2
kT
说明：能量均分定理是一个统计规律，是在平衡态下
对大量分子统计平均的结果。
3-4 理想气体的内能
内能： 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能
的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的动能。
多少？
（4） 单位体积内分子的平动动能是多少？ （5） 若气体的物质的量为0.3 mol，其内能是多少？
解：（1）气体分子的方均根速率为
v2 3RT
由物态方程 pV m RT
大学物理(热学知识点总结)
v
5、一定量理想气体从体积V1 膨胀到体积V2 分别经历的过程是： A→B等压过程；A→C等温过程；A→D绝热过程。其中吸 P 热最多的过程: A）是A→B。 √
A
B）是A→C 。 C）是A→D。
D）既是A→B，也是A→C， 两过程吸热一样多。
o
V1
V2 V
B C D
6、一定量的理想气体，经历某过程后，它的温度升高了。则 根据热力学定律可以断定： ① 理想气体系统在此过程中吸了热。 ② 在此过程中外界对理想气体系统作了功。 ③ 理想气体系统的内能增加了。 ④ 理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了功。 A） ① ③ B） ② ③ C） ③ √ D） ③ ④ E） ④
1 1 b( P1 ,V1 ) c( P1 ,4V1 ) 4 4 P 1 4
P P1
a
c
b
Q A (3 / 4 ln4) p1V1
[2]. (8-4)0.02kg的氦气（视为理想气体），温度由170C升为270C， 若在升温过程中，（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3） 不与外界交换热量，试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、 外界对气体所作的功。
3kT 3 RT RT v 1.73 m0 M M
2
3、麦克斯韦速度分布函数
m0 f (v x , v y , v z ) e 2πkT
4、玻耳兹曼分布律 重力场中粒子按高度的分布
大气压强随高度的变化 5、准静态过程的功 6、热力学第一定律:
3 2
2 2 m0 ( v 2 x v y vz )
p nkT
√
3 A）n 不同， （EK / V ）不同， ρ不同。 E K nw n kT B）n 不同， （EK / V ）不同， ρ相同。 V 2 C）n 相同， （EK / V ）相同， ρ不同。 M pV RT D）n 相同， （EK / V ）相同， ρ相同。 M
大学物理(热学知识点总结)
2 kT
n n0e
m0 gz kT
p p0e
V2
m0 gz kT
dA pdV
A pdV
V1
dQ dE dA
Q E A
E CV ,m (T2 T1 )
7、 循环过程 卡诺循环 （1）热机效率与制冷系数
E 0
Q A E
A Q吸 Q放
1 1 b( P1 ,V1 ) c( P1 ,4V1 ) 4 4 P 1 4
P P1
a
c
b
Q A (3 / 4 ln4) p1V1
[2]. (8-4)0.02kg的氦气（视为理想气体），温度由170C升为270C， 若在升温过程中，（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3） 不与外界交换热量，试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、 外界对气体所作的功。
2
H2
(v p )O （ / vp) C）图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；
2
H2
/ v p ) H2 4 D）图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p )O2 （
f (v )
a b
vp
v
2 RT M mol
O
2、两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但 体积不同，则单位体积内的气体分子数 n ，单位体积内气 体分子的总平动动能（EK / V ），单位体积内的气体质量 ρ ，分别有如下的关系：
大学物理 （热学） 知识点总结
一、基本物理概念：
1、理想气体的压强
1 2 2 p nm0 v nw 3 3
2、理想气体的温度和平均平动动能
3 w kT 2
2w T 3k
气体分子碰撞频率和平均自由程的推导
气体分子碰撞频率和平均自由程的推导气体与固体、液体的不同之处在于，气体由的离散的分子构成，分子之间受到引力作用，在温度和压力相同时，分子们构成的气体能量总是不断变化，分子之间就会发生碰撞，产生热能。
这里以布朗分子模型(Brownian molecular model)为基准，来分析气体分子的碰撞频率及平均自由程。
首先，假设一定的温度和压强条件下，气体分子的碰撞频率是不变的。
在这样的条件下，分子能量总是在不同程度的变化，每次碰撞之后都会有能量的转换。
根据热力学定律，每次碰撞都要转换掉热能或动能到等价物，所以，当分子碰撞频率较高时，分子获取的能量也会增加。
而在温度和压强条件下，分子碰撞频率是不变的。
因此，任何一个分子都会有不同的碰撞频率，而这个频率可以用卡尔曼方程(KM equation)来描述，其表达式为：KM = (u/6)*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2其中u表示分子的总能量；ai表示分子碰撞的概率。
根据KM方程，可以得出碰撞频率的计算公式：f=1/u*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2其中，f表示分子的碰撞频率，u表示总能量，ai表示分子碰撞的概率。
由此可知，气体分子碰撞频率与能量有关，碰撞次数越多，气体分子的能量就越多。
接着，我们来探讨气体分子的平均自由程p。
由热力学可知，当一个分子受到外力作用时，就会发生力学变化，平均自由程就会发生变化。
因此，在温度和压强相同的情况下，气体分子的碰撞频率越高，此时分子的平均自由程p就会越大，公式为：p=f/u其中，f表示气体分子的碰撞频率，u表示能量总和。
由此可知，气体分子的平均自由程p也与能量有关，越大的能量，分子越可能进行更远的碰撞，所以平均自由程就会越大。
据以上分析，得出气体分子的碰撞频率和平均自由程的推导公式如下：气体分子的碰撞频率：KM = (u/6)*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2平均自由程：p=f/u最后，还要注意的是，由于温度和压强的变化，气体的分子的碰撞频率和平均自由程也会发生变化。
大学物理气体分子的平均碰撞频率和平均自由程课件
n=2.451023 个/cm3,
__
v
=477m/s
代入公式计算其碰撞频率
__
Z 50亿次 / 秒
可见一个分子到达你的鼻孔，是不能用几经周折 来描述的，而要用“亿经周折”来描述！
__
三）分子的平均自由程
分子在两次连续两次碰撞之间所经历路程的平均值。
则平均自由程为
分子平均一秒内所飞行的距离为
§7--7分子的平均碰撞次数和平均自由程
一）问题的提出 前面已经过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什 么食堂炸油条时并不能马上闻到油香味呢？
原来分子速率虽高，但分子在运动中还要 和大量的分子碰撞
碰撞是分子的第二特征。 （第一特征是分子作永恒的运动）
分了碰撞是“无规则”的，相隔多长时间碰撞一次？
分了碰撞是“无规则”的,相隔多长时间碰撞一次 每次飞翔多远再碰撞 ，也都有是随机的、偶然 的，因此也只能引出一些平均值来描写。
即下一面秒求内相分对速子率平均_u_碰撞与平的均次速数率
__
__
Zv 的n关系d。2 设u
Z 2nd v 所 其有它即分分：子 子都 的以 速平 率均仅速决率定运于动分，子则运其动2 一的__个方分 向(子 。7相 对33)
B
__
v
B
__
v
B
__
v
A
__
v
__
u 0
__
v
A
__
v
A
__
1.2107 (m)
2 3.14 (2.7 1010)2 1.013105
__
为什么压强降低时，
当p 107 atm时 1.2m 平均自由程增大呢？
《大学物理》75 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程.
空气摩尔质量为2910-3kg/mol 空气分子在标准状态下 8 RT v 448m / s 的平均速率 M
448 9 1 Z 5.1 10 s 8 8.71 10
上页 下页
v
=
v
Z
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
上页
下页
2
一切分子都在运动
v
A d
v
动态 演示
z 2d v n
2
上页
下页
二、平均自由程
一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路 程叫平均自由程 单位时间内分子经历的 平均距离 v ， 平均碰撞 Z 次
=
v Z v Z
因为
P=nkT
=
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
上页 下页
10-10m。已知空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273 K , P 1.0atm 1.013 105 Pa ,
d 3.10 10 10 m
上页 下页
kT 2d 2 P
23
1.38 10 273 8 8.71 10 m 10 5 1.41 3.14 ( 3.5 10 ) 1.01 10
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体 氢
7
氮
氧
7
空气
7
(m ) 1.123 10
0.599 10
0.647 10
7.00 10
8
d ( m ) 2.30 10 10 3.10 10 10 2.98 1010 3.10 1010
448 9 1 Z 5.1 10 s 8 8.71 10
上页 下页
v
=
v
Z
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
上页
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2
一切分子都在运动
v
A d
v
动态 演示
z 2d v n
2
上页
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二、平均自由程
一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路 程叫平均自由程 单位时间内分子经历的 平均距离 v ， 平均碰撞 Z 次
=
v Z v Z
因为
P=nkT
=
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
上页 下页
10-10m。已知空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273 K , P 1.0atm 1.013 105 Pa ,
d 3.10 10 10 m
上页 下页
kT 2d 2 P
23
1.38 10 273 8 8.71 10 m 10 5 1.41 3.14 ( 3.5 10 ) 1.01 10
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体 氢
7
氮
氧
7
空气
7
(m ) 1.123 10
0.599 10
0.647 10
7.00 10
8
d ( m ) 2.30 10 10 3.10 10 10 2.98 1010 3.10 1010
气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
大学物理
气体动理论
第9讲 气体分子的平均碰撞频率 和平均自由程
一、分子的平均碰撞频率
平均碰撞频率和平均自由程
平衡态宏观性质的维持 非平衡态向平衡态过渡
依靠分子间的频繁碰撞实现
刚性球 模型
不可以像讨论压强那样 将分子看成质点
不需像讨论内能那样考 虑分子内部结构
分子的有效直径 d 约为10-10 m
无引力刚 性球模型
=
1.013×105 1.38×10−23 × 273
=
2.69 ×1025 m−3
λ = 1 = 2.14 ×10−7 m 2π d 2n
z = v = 7.95×109 s−1
λ
(约80亿次)
平均碰撞频率和平均自由程
d d
假定: 分子是直径为d 的弹性小球
分子A以平均相对速率 u 运动, 其他分子静止 由麦克斯韦速率分布可证 u = 2 v
球心轨迹为轴, d 为半径作折圆柱体
平均碰撞频率和平均自由程
d d
球心在圆柱体内的分子将与A碰撞
单位时间内有 πd 2u n 个分子与A发生碰撞
平均碰撞频率: z = 2π d 2nv
• 当温度一定时,平均自由程与压强成反比,压强越小,平 均自由程越长.
平均碰撞频率和平均自由程
例. 求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数. (已知 分子直径d = 2×10-10m )
解:
v=
8RT =
Mπ
8×8.31× 273
2 ×10−3π
= 1.70 ×103 m ⋅ s−1
n
=
P kT
二、平均自由程平均碰撞频率平均自由程平均自由程( λ ): 分子在连续两次和其它分子发生碰撞
气体动理论
第9讲 气体分子的平均碰撞频率 和平均自由程
一、分子的平均碰撞频率
平均碰撞频率和平均自由程
平衡态宏观性质的维持 非平衡态向平衡态过渡
依靠分子间的频繁碰撞实现
刚性球 模型
不可以像讨论压强那样 将分子看成质点
不需像讨论内能那样考 虑分子内部结构
分子的有效直径 d 约为10-10 m
无引力刚 性球模型
=
1.013×105 1.38×10−23 × 273
=
2.69 ×1025 m−3
λ = 1 = 2.14 ×10−7 m 2π d 2n
z = v = 7.95×109 s−1
λ
(约80亿次)
平均碰撞频率和平均自由程
d d
假定: 分子是直径为d 的弹性小球
分子A以平均相对速率 u 运动, 其他分子静止 由麦克斯韦速率分布可证 u = 2 v
球心轨迹为轴, d 为半径作折圆柱体
平均碰撞频率和平均自由程
d d
球心在圆柱体内的分子将与A碰撞
单位时间内有 πd 2u n 个分子与A发生碰撞
平均碰撞频率: z = 2π d 2nv
• 当温度一定时,平均自由程与压强成反比,压强越小,平 均自由程越长.
平均碰撞频率和平均自由程
例. 求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数. (已知 分子直径d = 2×10-10m )
解:
v=
8RT =
Mπ
8×8.31× 273
2 ×10−3π
= 1.70 ×103 m ⋅ s−1
n
=
P kT
二、平均自由程平均碰撞频率平均自由程平均自由程( λ ): 分子在连续两次和其它分子发生碰撞
混合气体分子的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导
混合气体分子的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导
混合气体是指由多种不同种类分子组成的气体，其中包括氢和氦，氧和氮，氯和氩等。
对
于混合气体，人们想知道分子碰撞频率和自由程。
平均碰撞频率是指单个分子碰撞其他分子的平均频率。
计算混合气体的平均碰撞频率需要
用到平均碰撞频率常数。
它可以用以下公式表示：
k=∑_i(f_i*k_i)
其中k代表混合气体的平均碰撞频率常数。
f_i 的值等于混合气体内每种分子的浓度或含量，K_i代表单种分子的碰撞频率常数。
自由程是指分子能够直接穿过物体而不受物体的阻碍而飞行的距离。
在一般情况下，计算
混合气体的平均自由程也可以用到平均碰撞频率常数：
f=K/f
其中l为混合气体的平均自由程，K代表混合气体的平均碰撞频率常数，f代表流体的密度。
上述就是混合气体的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导。
平均碰撞频率常数可以用于计算不同种类分子平均碰撞频率，而平均自由程可以用流体密度计算。
在研究气体性质时，这也是有益的推导。
大学物理 7.5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
气体 氢
7
氮
氧
7
空气
7
(m ) 1.123 10
0.599 10
0.647 10
7.00 10
8
d ( m ) 2.30 10 10 3.10 10 10 2.98 1010 3.10 1010
例1
计算空气分子在标准状态下的平均自由程和 平均碰撞频率。取分子的有效直径 d = 3.10
空气摩尔质量为2910-3kg/mol 空气分子在标准状态下 8 RT v 448m / s 的平均速率 M
448 9 1 Z 5.1 10 s 8 8.71 10
v
=
v
Z
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
10-10m。已知空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273 K , P 1.0atm 1.013 105 Pa ,
d 3.10 10 10 m
kT 2d 2 P
23
1.38 10 273 8 8.71 10 m 10 5 1.41 3.14 ( 3.5 10 ) 1.01 10
7.5气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
一、分子的平均碰撞次数:
一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫 平均碰撞频率 Z 设分子 A 以相对平均速率 v 运动，其它分子可设为静止。 运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞 该圆柱体的面积 就叫 碰撞截面
= d2
d d
z d v n
2
一切分子都在运动
v
A d
v
动态 演示
z 2d v n
7
氮
氧
7
空气
7
(m ) 1.123 10
0.599 10
0.647 10
7.00 10
8
d ( m ) 2.30 10 10 3.10 10 10 2.98 1010 3.10 1010
例1
计算空气分子在标准状态下的平均自由程和 平均碰撞频率。取分子的有效直径 d = 3.10
空气摩尔质量为2910-3kg/mol 空气分子在标准状态下 8 RT v 448m / s 的平均速率 M
448 9 1 Z 5.1 10 s 8 8.71 10
v
=
v
Z
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
10-10m。已知空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273 K , P 1.0atm 1.013 105 Pa ,
d 3.10 10 10 m
kT 2d 2 P
23
1.38 10 273 8 8.71 10 m 10 5 1.41 3.14 ( 3.5 10 ) 1.01 10
7.5气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
一、分子的平均碰撞次数:
一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫 平均碰撞频率 Z 设分子 A 以相对平均速率 v 运动，其它分子可设为静止。 运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞 该圆柱体的面积 就叫 碰撞截面
= d2
d d
z d v n
2
一切分子都在运动
v
A d
v
动态 演示
z 2d v n
气体分子的平均自由程
子有效直
径及分子数密度有关。
在标准状态下，多数气体平均自由程 ~10-8m，
只有氢气约为10-7m。一般d~10-10m，故 d
。可求得Z ~109/秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！
设想在z=z0处有一界面dS，实验指出dt时间内通 过dS沿z轴方向传递的热量为
叫做导热系数
dQ dT dSdt
dz z0
微观机制（只讨论气体）
气体内的热传导在微观上是分子在热运动中输
运热运动能量的过程。
根据分子运动论可导出
1 3
nmvcV
假设：其他分子静止不动，只有分子A在它
们之间以平均相对速率 u 运动。
分子A的运动轨迹为一折线 u 2 v
以A的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以 分子有效直径d为半径，作一曲折圆柱体。凡 中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。
平均自由程为
1 1 2n 2d 2n
P nkT kT 2d 2 P
平均自由程 和平均碰撞频率 的Z定义
平均自由程 在一定的宏观条件下一个气体分子在连续两
次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。 平均碰撞频率 z
一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。
二者关系 Z
v Z
平均自由程 和平均碰撞频率 Z的计算
设想：跟踪分子A，看其在一段时间t内与 多少分子相碰。
径及分子数密度有关。
在标准状态下，多数气体平均自由程 ~10-8m，
只有氢气约为10-7m。一般d~10-10m，故 d
。可求得Z ~109/秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！
设想在z=z0处有一界面dS，实验指出dt时间内通 过dS沿z轴方向传递的热量为
叫做导热系数
dQ dT dSdt
dz z0
微观机制（只讨论气体）
气体内的热传导在微观上是分子在热运动中输
运热运动能量的过程。
根据分子运动论可导出
1 3
nmvcV
假设：其他分子静止不动，只有分子A在它
们之间以平均相对速率 u 运动。
分子A的运动轨迹为一折线 u 2 v
以A的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以 分子有效直径d为半径，作一曲折圆柱体。凡 中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。
平均自由程为
1 1 2n 2d 2n
P nkT kT 2d 2 P
平均自由程 和平均碰撞频率 的Z定义
平均自由程 在一定的宏观条件下一个气体分子在连续两
次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。 平均碰撞频率 z
一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。
二者关系 Z
v Z
平均自由程 和平均碰撞频率 Z的计算
设想：跟踪分子A，看其在一段时间t内与 多少分子相碰。
大学物理4.4 气体分子碰撞和平均自由程
v ∆t v = 把 Z = 2π d v n 代入 λ = Z ∆t Z 1 得λ= 2 d2n π
2
上式表明 平均自由程与分子碰撞截面、分子数密度 平均自由程与分子碰撞截面、 成反比，而与分子平均速率无关. 成反比，而与分子平均速率无关 因为 p = nkT kT 所以 λ = 2 2π d p
上式表明 分子间碰撞越频繁，平均自由程越小 分子间碰撞越频繁，平均自由程越小. (1) 假设分子中只有一个分子A以平均速 假设分子中只有一个分子 以平均速 运动，其余分子都静止不动. 率 v 运动，其余分子都静止不动. 这样， 这样，凡是中心 与A分子中心的距离 分子中心的距离 小于或等于有效直径 d的分子，都要与 分 的分子， 的分子 都要与A分 子相碰. 子相碰.
d = 3.5 × 10−10 m, µ = 29 × 10− 3 kg ⋅ mol −1 kT = 6.9 × 10− 8 m ∴λ = 2 2π d p 8 RT v -1 v= = 446 m ⋅ s , Z = = 6.5 × 109 s -1
πµ
λ
试估计下列情况下空气分子的平均自由程. 例2 试估计下列情况下空气分子的平均自由程 (1) T = 273K p = 1.013 10 5 Pa 时
dd
A
d
(2) 考虑到所有分子的运动，应以平均相 考虑到所有分子的运动， 对速度来代替上式中的平均速度． 对速度来代替上式中的平均速度． 理论上可以证明， 理论上可以证明，平均相对速度等于平均 速度的 2 倍． 所以 Z = 2π d 2v n 上式表明 平均碰撞次数与分子数密度， 平均碰撞次数与分子数密度，分子平均速率 成正比，也是与分子的直径的平方成正比． 成正比，也是与分子的直径的平方成正比．
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