2016年淮南市高中自主招生数学试题及答案

A.1

4．若S=(1-1

数学试题

一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）

1．设a,b,c∈R,a<0且b>0,则下列不等式一定成立的是(

)

A.a2

B.ac2>bc2

C.11

>D.

a b

11

> a-b a

2．抛物线y=ax2与直线x=1，x=3,y=1，y=2,围成的长方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

111

≤a≤1B.≤a≤2C.≤a≤1D.≤a≤2

9933

3．若b>1且a是正有理数，b a+b-a=23,则b a-b-a的值是()

A.22

B.3

C.10

D.23

1111

)(1-)(1-)...(1-)(1-),则S的值为()

2232422015220162

2013201520152017

A.B.C.D.

2016201640324032

二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）

5．若关于x的方程ax2+4x-3=0有唯一实数解，则a的值为.

6．已知3a+2b+c=12，且a2+b2+c2=ab+ac+bc则a3-b2-c=.

7．已知函数y=x2-2x-3，则使y=m成立的x值恰好有三个，则m的值为.

8．如图,AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB的长分别是一元二次方程x2-8x+15=0的两根，则sin∠APC=.

三、解答题（共4题，满分48分）

9．（10分）已知∆ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+5)+k2+5k+6=0的两个实数根，第三边长为5.

（1）k为何值时，∆ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，∆ABC是等腰三角形，并求∆ABC的周长．

（ 10．

（12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB//DC ，∠BCD= 90 ︒，且 AB=2，BC=3，tan ∠ADC=3.

⑴求证：DC=BC ；

⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论．

11．

（12 分）淮南市春苗中学初三年级欲在“五一”期间到上海开展 研学活动，青春 旅行社现有 42 座和 48 座两种客车供选择租用，若只租用 42 座客车若干辆，则正好坐满；若只租用 48 座客车， 则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过 36 人；已知 42 座客车每辆租金 400 元，48 座客车每辆租金 440 元．

（1）该校初三年级共有多少学生参加此次研学活动？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．

12． 14

分）如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 经过 x 轴上的两点 A ( x ,0) 、B ( x ,0) 和 y 轴上的点 C (0,-8) ， 1

2

P 的圆心 P 在 y 轴上，且经过 B 、 C 两点，若 b = 2a ， AB = 6 ．

求：

（1）抛物线的解析式；

（2） D 在抛物线上，且 C 、 D 两点关于抛物线的对称轴对称，

y

问直线 BD 是否经过圆心 P ？并说明理由； （3）设直线 BD 交 P 于另一点 E ，求点 E 的坐标．

A

M

P O

B x

E

D

C

数学试题答案

一、选择题（共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分 题号 1 2

3 答案 D B A

二、填空题（共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）

4

D

5． a = 0或a = - 4 4

6．2 7． m = 4 8． sin ∠APC =

3 5

三、解答题（共 4 题，满分 48 分）

9、解：（1）因为 AB , AC 是方程 x 2 - (2k + 5) + k 2 + 5k + 6 = 0 的两个实数根，

x 2 - (2k + 5)+ k 2 + 5k + 6 = [x - (k + 2)]• [x - (k + 3)]

∴不妨取AB = k + 2, AC = k + 3 ……………………2 分

又因为 ∆ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，且 BC = 5 所以 AB 2 + AC 2 = BC 2 ,所以 (k + 2)2 + (k + 3)2 = 25 所以

k = 1, k = -6 ……………………4 分

1 2

当 k = 1 时，方程为 x 2 - 7 x + 12 = 0 ，解得 AB = 3, AC = 4, 成立

当 k = -6 时， AB = -4, AC = -3, 显然不成立

所以当 k = 1 时， ∆ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形。……………………6 分

（2）若 ∆ABC 是等腰三角形，

则有① AB = AC ② AB = BC ③ AC = BC 三种情况。 因为 AB ≠ AC ，故第①种情况不成立。 ……………………8 分

所以当 AB = BC 时 k + 2 = 5,∴ k = 3

此时等腰 ∆ABC 的三边长分别为 5、5、6，周长是 16.

当 AC = BC 时, k + 3 = 5,∴ k = 2 ，此时等腰 ∆ABC 的三边长分别为 5、5、4，周长是 14 ……………10 分 10、解：

（1）过 A 作 DC 的垂线 AM 交 DC 于 M,则 AM=BC=3.又 tan ∠ADC=3,所以 DM = 1 ……………………3 分 因为 MC=AB=2,所以 DC=DM+MC=3 即 DC=BC. ……………………6 分

(2)结论是等腰直角三角形. ……………………8 分 下面证明：

因为. DE = BF , ∠EDC = ∠FBC , DC = BC

所以，△DEC ≌△BFC ……………………10 分