圆的标准方程与一般方程含答案
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，故选.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.点到直线的距离.2.某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知分析可设圆心为，半径为，则有或，解得，故选C.【考点】圆的标准方程以及弦长的基本知识.3.设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMR≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，∴|OM|≤2，即=≤4，解得，≤≤，故选A. 考点:直线与圆的位置关系4.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6【答案】B【解析】由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为===，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.【考点】圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值5.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．6.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8B．－4C．6D．无法确定【答案】C【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－，0)，即－＋3＝0，∴m＝6.7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－3)2＝1C．(x－3)2＋(y－2)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【答案】A【解析】设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.9.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，故答案为【考点】圆的标准方程.10.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.【答案】0或6【解析】圆的标准方程为：所以圆的圆心在，半径又直线与圆交于两点，且所以圆心到直线的距离所以，，整理得：解得：或所以答案应填：0或6.【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x-2）2+（y-1）2=1B．（x-2）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y-1）2=1D．（x-3）2+（y-1）2=1【答案】A【解析】设圆心为,半径为,则=1,解得,所以,解得,故圆心坐标为(2,1),所以该圆的标准方程是（x-2）2+（y-1）2=1，选A.12.若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为( ) A．-1<k<1B．1<k<C．1<k<2D．<k<2【答案】B【解析】圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.故选B．13.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案】【解析】由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.14.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．【答案】(3，0)，3【解析】(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.15.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．【答案】m＜或m＞1.【解析】由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.16.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．【答案】x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.17.如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．【答案】(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，【解析】设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则，整理得(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为.18. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.19.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为()A．(x+1)2+y2=2B．(x-1)2+y2=2C．(x+1)2+y2=4D．(x-1)2+y2=4【答案】A【解析】直线x-y+1=0,令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.20.求圆心在抛物线x2＝4y上，且与直线x＋2y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程．【答案】(x＋1)2＋＝【解析】设圆心坐标为，半径为r.根据已知得r＝＝ (t2＋2t＋2)＝ [(t＋1)2＋1]≥，当t＝－1时取等号，此时r最小为，圆心坐标为(－1，)，故所求的圆的方程是(x＋1)2＋＝.21.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.当CQ⊥l122.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝10【解析】依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.23.已知半径为2，圆心在直线上的圆C.（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C上存在点Q，使,求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为原心在直线上故可设原心为，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_________．【答案】【解析】设圆心为(a,0),半径为r,由弦长为可得,又圆心在x轴的正半轴上，所以a>1,由已知可知半径、半弦长、弦心距围成一等腰三角形，所以有，答案为.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系2.．已知直线：，若以点为圆心的圆与直线相切于点，且在轴上，则该圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于圆心坐标，只有选项符合，故选【考点】圆的标准方程.3.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。
【答案】（1）：（或）；（2）或【解析】（1）根据动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程．（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程．试题解析：（1）由题意得|PA|=|PB| 2分;故 3分;化简得：（或）即为所求。
5分;（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入方程得，所以|MN|=4，满足题意。
8分;当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2由圆心到直线的距离 10分;解得，此时直线的方程为综上所述，满足题意的直线的方程为：或. 12分.【考点】(1)圆的标准方程；（2）点到直线的距离公式.4.已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点，且经过抛物线的焦点，则圆C的方程为．【答案】.【解析】与坐标轴的两个交点是：（4，0），（0,2），抛物线的焦点是（2,0），所以可以设圆的一般方程，把上面三个点坐标带入，解得D=-6，E=-6，F=8.【考点】求圆的方程.5.有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．【答案】【解析】本题解法有4种,①由直线与圆相切于点A可设方程,再过点B可求出,即求出圆的方程.②可以设圆的标准方程,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.③可设所求圆的方程的一般式,写出圆心坐标,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.④设出圆心坐标,由几何意义可以由圆心和切点连线与切线垂直先求出直线CA方程,再由A,B坐标求出直线AB的方程,由AB的垂直平分线与CA相交于点C,再CA的长度即为圆的半径从而得到圆的方程.试题解析：法一：由题意可设所求的方程为，又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，所以所求圆的方程为.法二：设圆的方程为，则圆心为，由，得解得所以所求圆的方程为.法三：设圆的方程为，由，,在圆上，得解理所以所求圆的方程为.法四：设圆心为C，则，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为，即.又因为，所以，所以直线BP的方程为.解方程组得所以．所以圆心为AP的中点，半径为,所以所求圆的方程为.【考点】圆的标准方程, 直线与圆相切．6.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两动点B、C分别在、上，且BC=，则过A、B、C三点的动圆所形成的图形面积为（）A． B. C. D.【答案】B【解析】学生作此题时应注意：过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域面积，不是过A 、B 、C 三点的圆的面积．而是将所有圆的面积（只能算不重合的部分）即半径为BC 最大圆的面积．此题是一道易错题．直角三角形外接圆的直径就是斜边长, 中斜边不变,所以过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形是以A 为圆心,以3为半径的圆, 过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形面积为故选C【考点】直角三角形外接圆7. 在平面直角坐标系内，若圆：的圆心在第二象限内，则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】圆：化成标准方程为：，可知圆心坐标为，因为圆心在第二象限内，故，得到.【考点】圆的方程.8. 一束光线从点出发，经x 轴反射到圆上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．D ．【答案】A【解析】依题意可得，在x 轴上找一点使得到点A 与C 的距离和最短，这最短距离减去半径1，就是所求的值.点A 关于x 轴的对称点A--1(-1,-1),圆心C （2,3），A--1C 的距离为，所以到圆上的最短距离为5-1=4.故选A. 【考点】1.最短距离的知识点.2.两点间的距离公式. 9. 圆的圆心坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（-2，3） C ．（-2，-3）D ．（2，-3）【答案】D【解析】把圆的一般方程通过配方法转化为标准方程，就可以很快得出圆心坐标及圆的半径．【考点】圆的标准方程．10. 已知点是圆上的点 （1）求的取值范围. （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；（2） 【解析】（1）圆配方为，设，把代入中，转化为三角函数的值域问题，或者可设=，再与圆的方程联立，消去，得关于的一元二次方程，利用列不等式，得的范围；（2）把代入中，转化为三角函数的最小值问题，且最小值，该题还可以数形结合，表示直线=0上方的平面区域，只要让圆落在区域内即可. 试题解析：（1）圆可化为依题意：设∴即：的取值范围是6分（2）依题意：设∴∴又∵恒成立∴∴a的取值范围是 12分【考点】1、圆的方程；2、利用恒成立问题确定参数的取值范围.11.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点, 那么（）A．D=0,E≠0, F≠0;B．E=F=0,D≠0;C．D="F=0," E≠0;D．D=E=0,F≠0;【答案】A【解析】解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，D=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F≠0，E≠0．故选A【考点】圆的一般式方程点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12.圆的圆心是（）A．（－3，4）B．（－3，－4）C．（3 ，4）D．（3，－4）【答案】D【解析】由于圆的一般方程为，所以配方法可知，因此可知圆心坐标为（3，-4），故选D.【考点】本试题考查了圆的一般方程的运用。
圆的一般方程及标准方程的转换
圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。
答案：（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F +-提示①：将原方程配方并整理 x ²+Dx+（2D ）²+y ²+Ex+（2E ）²-（2D ）²-（2E）²+F=0 （x+2D ）²+（y+2E）²-2244D E F +-=0 提示②：将常数项移至方程右边。
（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F +-2. 将圆的方程（x-a ）²+（x-b ）²=r ²化为一般方程的形式，结果为___________。
答案：x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²=r ²提示②：将方程右边化为0x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=03. 已知圆的一般方程为x ²+y ²+6x-8y=0，则其标准方程为___。
A 、(x-3)²+(y-4)²=25 B 、(x-3)²+(y-4)²=5 C 、(x+3)²+(y-4)²=25 D 、(x-3)²+(y-4)²=5 答案：C提示①：将原方程配方x ²+6x+3²+y ²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254.方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。
圆与圆的方程
圆与圆的方程1、圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=。
2、圆的一般方程：22220(D E 4F 0)x y Dx Ey F ++++=>其中＋－，特别提醒：只有当22DE 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --，半径为r =3、()()1122A,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=4．两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的公共弦所在的直线方程是注意：与圆有关的最值问题，常用三角换元法： （1）圆方程是222cos ,sin xy r x r y r θθ+===时，常设，[)0,2θπ∈（2）圆方程是()()222x a y b r -+-=，常设{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数且[)0,2θπ∈），二、练习1、以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是 答案：25)2()1(22=-+-y x2、已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是答案：22460x y x y +-+=4、方程x2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为 （答：21<k ）； 5、圆心在(2，3)，与x 轴相切的圆的方程.6、 圆)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 关于直线0=+y x 对称，则E D ,满足的等式是7、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 （答：22(1)1x y ++=）；8、圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是（答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；9、如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 （答：[0，2]）； 10、若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若φ≠N M ，则b 的取值范围是 （答：(－）11、已知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点，则P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值分别 是 、 ；解：圆心C （-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为：d=56431204)2(322=++⨯+-⨯.∴P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=56+1=511，最小值为d-r=56-1=51.12. 根据下列条件，求圆的方程．(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上．(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6．解：(1) ∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==37y x∴圆心为C(7，－3)，半径r ＝65，故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65 (2) 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=--②F E D ①F E D 1032042令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，由弦长|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36 ③解①②③可得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝013、已知圆221:2610C x y x y ++-+=Ｃ和圆222:42110C x y x y +-+-=， 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 解：如图1，设两圆的交点为1122()()A x y B x y ，，，，则A B ，两点的坐标是方程组2222261042110x y x y x y y y ⎧++-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩，的解， 两个式子相减，得3460x y -+=．由于A B ，两点的坐标都满足此方程． 故3460x y -+=为两圆的公共弦所在的直线方程．易知圆1C 的圆心为(13)-，，半径为3r =，又1C 到直线:3460AB x y -+=的距离为95d ==，245AB =∴．即两圆的公共弦长为245． 14、(30)P ，为圆2282120x y x y +--+=内一点，求过P 点的最短的弦所在直线的方程． 解：过点(30)P ，的直线有无数条，如图2，设其中一条与圆交于AB 两点，若半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有AB =由于半径r 是定值，弦AB 最短时， 应当是距离d 最大，只有当PM AB ⊥时，才满足题意． 由2282120x y x y +--+=变形，得22(4)(1)5x y -+-=， 圆心为(41)M ，，10143PM k -==-，AB PM ⊥，1AB k =-．故所求直线方程为30x y +-=． 152y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为 解：如图3，根据图形的几何性质：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形且弦长AB =则d 又弦心距等于圆心到直线0x y -=的距离， 设圆心坐标为()a b ，，d ==∴又知()a b ，在直线2y x =上，则2b a =，故24a b ==，；或24a b =-=-，。
圆的一般方程及标准方程的转换
圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。
答案：（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F +-提示①：将原方程配方并整理 x ²+Dx+（2D ）²+y ²+Ex+（2E ）²-（2D ）²-（2E）²+F=0 （x+2D ）²+（y+2E）²-2244D E F +-=0 提示②：将常数项移至方程右边。
（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F +-2. 将圆的方程（x-a ）²+（x-b ）²=r ²化为一般方程的形式，结果为___________。
答案：x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²=r ²提示②：将方程右边化为0x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=03. 已知圆的一般方程为x ²+y ²+6x-8y=0，则其标准方程为___。
A 、(x-3)²+(y-4)²=25 B 、(x-3)²+(y-4)²=5 C 、(x+3)²+(y-4)²=25 D 、(x-3)²+(y-4)²=5 答案：C提示①：将原方程配方x ²+6x+3²+y ²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254.方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.以为圆心且过原点的圆的方程为_____________．【答案】.【解析】由题意，得所求圆的半径，则所求圆的标准方程为.【考点】圆的标准方程.2.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由直线与以为圆心的圆相切得到该圆的半径，然后根据圆心的坐标与半径即可写出圆的标准方程；（2）先由弦的长与圆的半径得到圆心到直线的距离，进而设出直线的方程（注意检验直线斜率不存在的情况），由点到直线的距离公式即可算出的取值，从而可写出直线的方程.试题解析：（1）由题意知到直线的距离为圆半径圆的方程为（2）设线段的中点为，连结，则由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知当动直线的斜率不存在时，直线的方程为时，显然满足题意；当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为：由到动直线的距离为1得或为所求方程.【考点】1.圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.直线与圆的位置关系.3.已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，求圆的方程．【答案】.【解析】先设点，根据对称的特征，直线的斜率与直线的斜率互为负倒数，且线段的中点在直线上，列出方程组，求解可得圆心，接着计算圆心到直线的距离，最后由弦长、圆心到直线的距离及的平方关系：计算出半径，根据圆心的坐标与半径即可写出圆的标准方程.试题解析：设点关于直线的对称点为则由 4分故圆心到直线的距离 6分所以圆的半径的平方 8分故圆的方程为 10分.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.4.圆心为，且经过点的圆的标准方程为．【答案】.【解析】由题得半径r=，根据圆的标准方程公式可得圆的标准方程为：.【考点】圆的标准方程.5.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）本题求圆的方程，已知圆上两点即圆心的纵坐标，所以需要求出圆的半径和圆心的横坐标两个值即可确定圆的方程，通过列解方程即可求出相应的量，该题的半径的长刚好就是圆心的横坐标的值，这个条件要用上.（2）该小题是直线与圆的位置关系问题，特别要先判断直线的斜率不存在的时候的情况，通过画图可知符合条件，其次是斜率存在时，通过重点三角形（弦心距，半弦长，半径）的关系可以求出弦心距的长，从而再用圆心到直线的距离公式求出直线的斜率，又过已知点即可写出直线方程.试题解析：（1）设圆的圆心坐标为，依题意，有，即，解得，所以圆的方程为.（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，所以直线符合题意.另，设直线方程为，即，则，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.【考点】1.直线与圆的关系.2.圆的标准方程.3.分类归纳思想.4.运算能力的锻炼.6.圆关于A(1,2)对称的圆的方程为【答案】【解析】圆关于点对称圆,先找圆心关于点的对称点,半径不变,可以得到对称圆的方程【考点】圆关于点对称7.已知圆过直线和圆的交点，且原点在圆上．则圆的方程为．【答案】【解析】根据题意可设圆的方程为：，因为原点在圆上，故.所以所求圆的方程为.【考点】直线与圆的位置关系，圆的标准方程.8.已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【解析】由两圆关于直线对称可知两圆心与关于直线对称，且半径相等，因（-1，1）关于直线的对称点（2，-2），故圆：+=1，选B.【考点】圆的标准方程.9.已知圆方程为．（1）求圆心轨迹的参数方程C；（2）点是（1）中曲线C上的动点，求的取值范围．【答案】（1）（2）-≤2x+y≤。
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.圆心为点，且经过原点的圆的方程为【答案】【解析】由于圆过原点，，所以圆的标准方程.【考点】圆的标准方程2.圆的圆心和半径分别（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将圆配方得：，故知圆心为（2，-1），半径为，所以选A【考点】圆的一般方程.3.圆的面积为；【答案】【解析】写成标准方程,所以,那么圆的面积公式等于.【考点】圆的标准方程与圆的一般方程4.圆的方程过点和原点，则圆的方程为；【答案】【解析】设圆的一般方程为,将三点代入得：,解得,所以圆的方程为.【考点】求圆的方程5.已知，则以线段为直径的圆的方程为；【答案】【解析】,,圆心为中点，圆心，所以圆的方程为.【考点】求圆的标准方程6.已知圆方程.（1）若圆与直线相交于M，N两点，且（为坐标原点）求的值；（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】首先确定方程表示圆时应满足的条件；设，，利用韦达定理，建设立关于的方程,解方程可得的值.在（1）的条件下,以为直径的圆过原点,利用韦达定理求出的中点,从而也就易于求出半径,得到圆的方程.试题解析：解：（1）由得:2分于是由题意把代入得 3分， 4分∵得出： 5分∴∴ 8分（2）设圆心为.9分半径 12分圆的方程 13分【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系；3、韦达定理的应用；4、向量垂直的条件．7.已知，则以为直径的圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心为AB的中点，为。
直径为，半径为，所以所求的圆的方程是。
故选A。
【考点】圆的标准方程点评：要得到圆的标准方程，需求出圆的圆心和半径。
8.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】变形为，令得，定点，所以圆的方程为【考点】直线方程过定点及圆的方程点评：带参数的直线方程一定过定点，求定点时将含有参数的整理到一起，不带参数的整理到一起，化为的形式可求得定点9.求经过三点A，B(), C（0，6）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.【答案】，圆心坐标是.【解析】解：设所求圆的方程为 2分点A，B(), C（0，6）的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 6分解得： 8分于是得所求圆的方程为： 10分圆的半径圆心坐标是. 12分【考点】圆的一般方程点评：此题考查了圆的一般方程，求圆方程的方法为待定系数法，此方法是先设出圆的一般方程，然后把已知的点代入到所设的方程中确定出圆方程中字母的值，从而确定出圆的方程10.已知圆过点 A(1, 1)和B (2, -2),且圆心在直线x - y +1=0上，求圆的方程____.【答案】【解析】根据圆的几何性质可知圆心是AB的垂直平分线与直线x-y+1=0的交点.因为AB的垂直平分线方程为,即.由得,所以圆心坐标为(-3,-2),半径为5,所以所求圆的方程为.11.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（）A．．B．．C．D．【答案】B【解析】解：因为表示圆，则说明，解得，选B12.( 本小题满分14)已知点A（-4，-5），B（6，-1），求以线段AB为直径的圆的方程。
圆的标准方程与一般方程(含参考答案)
圆的标准方程与一般方程知识要点：1. 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。
2.以()b a C ,为圆心，r 为半径的圆的标准方程是： 。
3. 过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的圆的切线是：200r y y x x =+。
4.圆的一般方程：()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；5.点与圆的位置关系：点在圆上： 圆内： 圆外：例1. 已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程. ()()253522=-+-y x例2、求过点A （2，-3）、B （-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程.()()102122=+++y x例3、求过三点A （1，1）B （3，1）和C （5，3）的圆的方程.0108422=+--+y x y x一、选择题1、若一圆的标准方程为（x-1）2+（y+5）2=3，则此圆的的圆心和半径分别为 （b ） A.(-1,5),3 B.(1,-5), 3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),32、圆13)2()3(22=++-y x 的周长是( b )A.π13B. π132C. π2D. π323、圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（ d ）A.-4、-6、3B.-4、6、3C.-4、6、–3D. 4、-6、-34、已知圆的方程是122=+y x ，则它的在y 轴上的截距为2的切线方程是(c)A 、02=+-y xB 、02=-+y xC 、02=+-y x 与02=-+y xD 、02=++y x 与02=-+y x5.点)5,(2m 与圆2422=+y x 的位置关系是(A) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定6. 已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是(B)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知圆:M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么(C) A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上C. 点P 既在圆M 上，又在直线l 上D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上8．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是(A)A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++= C. 22(3)(3)2x y -+-= D. 22(3)(3)2x y +++=二、填空题1、圆()003322222>=+--+a a ay ax y x 的半径为 ；圆心坐标为 。
高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)
章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。
圆的一般方程和标准公式
圆的一般方程和标准公式圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=R²。
圆的一般方程公式：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。
标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R ²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时此时实数的值为【答案】【解析】因为的面积等于,所以当时的面积最大，此时圆心到直线的距离为，因此【考点】直线与圆位置关系2.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.3.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D4.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意直线与x轴的交点为,因为圆与直线相切,所以半径为圆心到切线的距离,即,则圆的方程为,故选A 【考点】切线圆的方程5.求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．【答案】(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42【解析】由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.∴所求圆方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.②当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.6.以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．【答案】(x－1)2＋(y－2)2＝25【解析】设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵A、B是直径的端点，∴·＝0.又＝(－3－x，－1－y)，＝(5－x，5－y)．由·＝0 (－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0 x2－2x＋y2－4y－20＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝25.7.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.8.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．【答案】(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．【解析】以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2.因为两圆的半径均为1，所以－1＝2(－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33,所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．9.已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA′、PB′是圆M的两条切线，A′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．【答案】（1）(x－1)2＋(y－1)2＝4.（2）2【解析】(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PA′MB′的面积为S ＝S △PA′M ＋S △PB′M ＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S ＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S ＝2.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S ＝2＝2＝210. 已知M(-2,0),N(2,0),则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )A ．x 2+y 2=2B ．x 2+y 2=4C ．x 2+y 2=2(x≠±2)D ．x 2+y 2=4(x≠±2)【答案】D【解析】设P(x,y),则|PM|2+|PN|2=|MN|2, 所以x 2+y 2=4(x≠±2).【误区警示】本题易误选B.错误的根本原因是忽视了曲线与方程的关系,从而导致漏掉了x≠±2.11. 设定点M(-3,4),动点N 在圆x 2+y 2=4上运动,以OM,ON 为邻边作平行四边形MONP,则点P 的轨迹方程为 .【答案】(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,)【解析】设P(x,y),圆上的动点N(x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为(,),线段MN 的中点坐标为(,),又因为平行四边形的对角线互相平分,所以有可得又因为N(x 0,y 0)在圆上,所以N 点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,).12. 若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m 的取值范围是( ) A ．-2<m<2 B ．0<m<2 C ．-2<m<2 D ．0<m<2【答案】C【解析】由已知得m 2+m 2<8,即m 2<4,解得-2<m<2.13. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为，此点关于直线的对称点的坐标为，由于两圆关于直线对称，它们的圆心关于直线对称，大小相等，因此所求的对称圆的圆心坐标为，其半径长为，即为，故选A. 【考点】1.两点关于直线对称；2.圆的标准方程14.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．【答案】20【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2 ＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20 .15.已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝B．x2＋(y－1)2＝C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－1)2＝1【答案】C【解析】因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是________上的一段弧．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【解析】因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，所以动点M在面ABCD内的轨迹是圆的一部分．17.已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A．B．C．D．【答案】D【解析】已知动圆的圆心的轨迹方程为：，所以动圆构成的轨迹为夹在抛物线和抛物线之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意【考点】圆的方程的性质、点、直线与圆的位置关系及其判断.18.已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，又切线斜率为1，故切线方程为，即.【考点】1、圆的标准方程；2、圆的切线的性质；3、直线的方程.19.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆C的方程（1）若点在圆C的内部,求m的取值范围；（2）若当时①设为圆C上的一个动点，求的最值；.②问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）m>-5 （2）①4 ②存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1【解析】（1）根据圆C的标准方程可得m＞-5．再根据点A（m，-2）在圆C的内部，可得，由此求得m的范围．（2）①表示圆C上的点P（x，y）到点H（4，2）的距离的平方，求得|HC|=5，故的最大值为HC加上半径后的平方，的最小值为HC减去半径后的平方．②假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m，则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点，即N（−），以AB为直径的圆经过原点，求得|AN|=，|ON|=，由|AN|=|ON|，解得m的值，可得结论．试题解析：（1）,∴m>-5.（2）①当m=4时，圆C的方程即，而表示圆C上的点P （x，y）到点H（4，2）的距离的平方，由于|HC|==5，故的最大值为（5+3）2=64，的最小值为（5-3）2=4．②法一：假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为,圆心C （1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点即N,以AB为直径的圆经过原点，∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=，∴|AN|=.又|ON|=由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1．法二：假设存在直线l，设其方程为：由得：①设A（），B（）则：∴又∵OA⊥OB∴∴解得b=1或把b=1和分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b=1或∴存在满足条件的直线方程是：【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系．2.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( )A．以(1，-2)为圆心，为半径的圆B．以(1，2)为圆心，为半径的圆C．以(-1，-2)为圆心，为半径的圆D．以(-1，2)为圆心，为半径的圆【答案】D【解析】将方程x2+y2+2x-4y-6=0配方可得知此方程表示的图形应为：以(-1，2)为圆心，为半径的圆，故选Ｄ．【考点】圆的方程．3.已知曲线C：（1）当为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线交于M、N两点，且，求的值.（3）在（1）的条件下，设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2)(3)存在,【解析】(1)根据圆的一般式可知, ,可得范围;(2)将(1)中圆变形为标准方程,可知存在于半径中,所以根据圆中,先求出圆心到直线的距离,即可求半径得.(3)假设存在,则有,设出两点坐标,可得.根据直线与圆的位置关系是相交,所以联立后首先根据初步判断的范围,而后利用根与系数的关系用表示出,将其带入解之,如有解且在的范围内,则存在,否则不存在.（1）由，得.（2），即，所以圆心,半径，圆心到直线的距离.又,在圆中，即，．（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，所以.设，则有,即.由得，，即，又由（1）知，故根据根与系数的关系知:,故存在实数使得以为直径的圆过原点，【考点】圆的一般方程的判断,直线与圆的位置关系的应用, 的使用.4.求半径为，圆心在直线：上，且被直线：所截弦的长为的圆的方程.【答案】圆的方程为：和.【解析】由圆心在直线：上，设出圆心C的坐标为，则，又圆的半径为2，且被直线：所截弦的长为，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线：的距离，解得到的值，进而确定出圆心C的坐标，由圆心和半径写出圆的方程即可．试题解析：.解：设所求圆的圆心为，则圆心到直线的距离根据题意有：解方程组得：，所以，所求的圆的方程为：和（或和）（12分）【考点】本题考查直线与圆相交的性质、圆的标准方程、点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．5.已知圆的圆心是点，则点到直线的距离是．【答案】【解析】圆的标准方程为：，圆心点的坐标为：，所以点到直线的距离【考点】1、圆的标准方程；2、点到直线的距离公式.6.已知圆C和轴相切，圆心C在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆C的方程.【答案】(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9；【解析】由圆心C在直线上，可设设圆心坐标为(3m，m)，又圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，根据圆心到直线y＝x的距离为，化简求出m，即而求出圆C的方程．试题解析：设圆心坐标为(3m，m)． 2分∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|， 4分∴圆心到直线y＝x的距离为． 6分由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2， 8分∴m＝±1, 10分∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9． 12分【考点】1.圆的方程；2.点到直线距离公式.7.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】变形为，令得，定点，所以圆的方程为【考点】直线方程过定点及圆的方程点评：带参数的直线方程一定过定点，求定点时将含有参数的整理到一起，不带参数的整理到一起，化为的形式可求得定点8.求经过三点A，B(), C（0，6）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.【答案】，圆心坐标是.【解析】解：设所求圆的方程为 2分点A，B(), C（0，6）的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 6分解得： 8分于是得所求圆的方程为： 10分圆的半径圆心坐标是. 12分【考点】圆的一般方程点评：此题考查了圆的一般方程，求圆方程的方法为待定系数法，此方法是先设出圆的一般方程，然后把已知的点代入到所设的方程中确定出圆方程中字母的值，从而确定出圆的方程9.动点在圆x2＋y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是（）A．（x＋3)2＋y2=4B．（x－3)2＋y2=1C．（2x－3)2＋4y2=1D．（x＋)2＋y2=【答案】C【解析】设中点坐标为P(x,y),则动点M(2x-3,2y)，因为M在圆上移动，所以.10.已知圆的半径为2，则其圆心坐标为。
圆的一般方程及标准方程的转换(含每步提示及答案——原创材料)
圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。
答案：（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F +-提示①：将原方程配方并整理 x ²+Dx+（2D ）²+y ²+Ex+（2E ）²-（2D ）²-（2E）²+F=0 （x+2D ）²+（y+2E）²-2244D E F +-=0 提示②：将常数项移至方程右边。
（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F +-2. 将圆的方程（x-a ）²+（x-b ）²=r ²化为一般方程的形式，结果为___________。
答案：x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²=r ²提示②：将方程右边化为0x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=03. 已知圆的一般方程为x ²+y ²+6x-8y=0，则其标准方程为___。
A 、(x-3)²+(y-4)²=25 B 、(x-3)²+(y-4)²=5 C 、(x+3)²+(y-4)²=25 D 、(x-3)²+(y-4)²=5 答案：C提示①：将原方程配方x ²+6x+3²+y ²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254.方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。
圆的标准方程和一般方程(简单)
圆的标准方程和一般方程【圆的方程】⑴圆的标准方程：。
⑵圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？（且且））；【点与圆的位置关系】已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内；（3）点M在圆C上。
【直线与圆的位置关系】直线和圆有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
【两圆位置关系的判定方法】设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，外离外切相交内切内含【公共弦直线方程】圆与圆的公共弦所在直线方程【圆的切线与弦长】(1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，（2）弦长问题：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；例:直线被曲线所截得的弦长等于；【圆的方程】1、过点，，三点的圆的方程为___________2、点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______3、方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____；4、过点且圆心在直线上的圆的方程是_____________【切线和弦问题】5、与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有___________．6．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是，线段的垂直平分线方程是7、若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴＝1，解得x0＝2或x0＝－(舍)，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8、已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，四边形ABCD的面积为20.9、一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程分析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有+=9b2，解得b=±1故所求圆方程为或【对称问题】10、已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为11，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.11．圆上与直线距离最近的点的坐标是12、已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y －3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心 (－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.【直线与圆相交问题】13、若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________．解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r ＝，若圆与两坐标无共点，即，解得1<k<.14、圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是________．解析：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的倍．由于圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝×，解得c＝－3.【综合问题】15、如果实数满足等式，那么的最大值是16、两圆交于点、，两圆的圆心均在直线上，则17、曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析：曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(，－)，半径为，所以方程为(x－)2＋(y＋)2＝.答案：(x－)2＋(y＋)2＝18、已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：（A）对任意实数k与，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切;（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切.其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.（B）（D）.圆心坐标为（－cos，sin）d＝19、若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝，又OA＝，∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π.20、设实数x、y满足x2＋(y－1)2＝1，若对满足条件的x、y，不等式＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：由题意，知－c≤恒成立，又＝表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－，0]，所以－c≤－，即c的取值范围是c≥.21、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．设圆心为，半径为r，由条件①：，由条件②：，从而有：．由条件③：，解方程组可得：或，所以．故所求圆的方程是或．。
高考数学第51讲 圆的标准方程和一般方程
一、圆的方程的三种形式 (1)圆的标准方程： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，方程表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆． (2)圆的一般方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ①当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示圆心为 (－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点 (－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形． (3)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径的两端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 二、点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径r .若点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； 若点M (x 0，y 0)在圆外， 则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2； 若点M (x 0，y 0)在圆内， 则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.三、在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．的圆的方程是( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D.(x －1)2＋(y －1)2＝2 【解析】圆的半径r ＝2211 ＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案D 【拓展练习】1.(2016·浙江文10)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________. 【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.(2015·江苏文10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________. 【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准方程，求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量．(2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组，求出参数D 、E 、F 的值即可． 【例2】(2015·广东深圳模拟11)圆心在直线要点 梳 理 用圆的标准方程直接求圆方程 待定系数法求圆方程 考点剖析第51讲 圆的标准方程和一般方程x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________． 【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 【拓展练习】3.圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为 。
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（1）求圆的方程；（2）求过点的圆的切线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先联立直线的中垂线方程与直线方程，求出交点的坐标即圆心的坐标，然后再计算出，最后就可写出圆的标准方程；（2）求过点的圆的切线方程问题，先判断点在圆上还是在圆外，若点在圆上，则所求直线的斜率为，由点斜式即可写出切线的方程，若点在圆外，则可设切线方程为（此时注意验证斜率不存在的情形），然后由圆心到切线的距离等于半径，求出即可求出切线的方程.试题解析：（1）因为圆与轴交于两点,,所以圆心在直线上由得即圆心的坐标为 2分半径所以圆的方程为 4分（2）由坐标可知点在圆上，由，可知切线的斜率为 6分故过点的圆的切线方程为 8分.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.2.已知圆C经过A（1，1）、B（2，）两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.【答案】（x+3）2+（y+2）2=25．【解析】设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值,从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程.试题解析：∵圆心在直线x-y+1=0上，∴设圆心坐标为C（a，a+1），根据点A（1，1）和B（2，-2）在圆上，可得(a−1)2+(a+1−1)2=(a−2)2+(a+1+2)2，解之得a=-3,∴圆心坐标为C（-3，2），半径r2=(−3−1)2+(−3+1−1)2=25,r=5,∴此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25．【考点】圆的标准方程.3.（本题11分）已知圆，过原点的直线与圆相交于两点(1) 若弦的长为，求直线的方程；（2）求证：为定值。
【答案】（1）；（2）当不存在时，直线为，此时，当存在时，设直线，设，所以。
【解析】（1）设直线方程，所以，………3分解得所以直线方程为……………………………5分（2）当不存在时，直线为，此时……6分当存在时，设直线，设，消y得，……7分所以综上：……………………………11分另法：三点共线，（=【考点】直线与圆的综合应用。
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为; 的面积为.【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，，所以的面积为.【考点】1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系2.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .【答案】【解析】因为圆心在直线上，所以，可设圆心为.因为圆与轴相切，所以，半径，又因为圆截轴所得弦长为所以，.解得，故所求圆的方程为.【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系.3.（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（1）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；（2）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．【答案】（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．【解析】（1）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）（2）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y），A在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x=x0，y=y，∵，∴∴（x﹣1）2+y2=1，故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．4.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2﹣x=0D．x2+y2﹣2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D6.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．【答案】（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必过定点(－2，1)【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b ＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．8. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.9.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A．(x-)2+y2=5B．(x+)2+y2=5C．(x-5)2+y2=5D．(x+5)2+y2=5【答案】B【解析】设圆心为(a,0)(a<0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.10.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.【答案】(x-2)2+(y-2)2=2【解析】【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心一定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.解:∵圆A:(x-6)2+(y-6) 2=18,∴A(6,6),半径r1=3,且OA⊥l,A到l的距离为5,显然所求圆B的直径2r2=2,即r2=,又OB=OA-r1-r2=2,由与x轴正半轴成45°角,∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.11.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A．(x-2)2+(y+1)2=1B．(x-2)2+(y+1)2=4 C．(x+4)2+(y-2)2=4D．(x+2)2+(y-1)2=1【答案】A【解析】设圆上任一点为Q(x0,y),PQ的中点为M(x,y),则解得又因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.12.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.13.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，当CQ⊥l时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.114.过点引直线与曲线相交于两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于．【答案】－【解析】由得：；表示圆心在原点，半径的圆位于轴下方的部分（含端点）；如下图：直线的方程为：，即，所以，当，即，整理得：又因为，所以，.故答案填：【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、数形结合.15.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
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圆的标准方程与一般方程
知识要点：
1。
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹)是圆，定点是圆心,定长是半径.
2.以()b a C ,为圆心,r 为半径的圆的标准方程是: .
3。
过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的圆的切线是：200r y y x x =+.
4.圆的一般方程：()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；
5.点与圆的位置关系：
点在圆上： 圆内： 圆外：
例1. 已知一圆与直线3x+4y —2=0相切于点P （2，—1）,且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8,
求此圆的标准方程. ()()25352
2=-+-y x
例2、求过点A （2,-3）、B(-2,—5）且圆心在直线x —2y —3=0上的圆的方程.
()()10212
2=+++y x
例3、求过三点A(1，1）B （3，1）和C （5,3）的圆的方程。
010842
2=+--+y x y x
一、选择题
1、若一圆的标准方程为(x —1）2+（y+5）2
=3,则此圆的的圆心和半径分别为 （b ） A 。
（-1，5)，3 B.（1，—5)， 3 C.（—1，5)，3 D.（1，-5），3
2、圆13)2()3(22=++-y x 的周长是( b )
A 。
π13
B 。
π132 C. π2 D. π32
3、圆x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（ d ）
A 。
-4、-6、3 B.-4、6、3 C.—4、6、–3 D. 4、-6、-3
4、已知圆的方程是122=+y x ，则它的在y 轴上的截距为2的切线方程是(c)
A 、02=+-y x
B 、02=-+y x
C 、02=+-y x 与02=-+y x
D 、02=++y x 与02=-+y x
5.点)5,(2m 与圆
2422=+y x 的位置关系是(A) A 。
点在圆外 B.点在圆内 C 。
点在圆上 D.不能确定
6. 已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是(B)
A. 3 B 。
4 C. 5 D 。
6
7。
已知圆
:M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么（C ） A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上
C. 点P 既在圆M 上,又在直线l 上
D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上
8．过两点P （2,2），Q （4，2） 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是(A)
A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++=
C 。
22(3)(3)x y -+-=
D 。
22(3)(3)x y +++
二、填空题
1、圆()003322222>=+--+a a ay ax y x 的半径为 ；圆心坐标为 。
圆3)2()1(22=-++y x 的圆心坐标是 ,半径是 .
2、方程0222
2=--+b ax y x 表示的图形是 。
3、设圆0542
2=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3，1)，则直线AB 的方程是 。
4、圆02222=--+by ax y x 在x 轴上截得的弦长为 .
1、a ，()a a 3,;
2、一个点或一个圆；
3、04=-+y x ；
4、||2a 。
5、经过原点，圆心在x 轴的正半轴上,半径等于5的圆的方程是 。
6、圆心在x y -=上且过两点（2,0),（0，—4）的圆的方程是 .
7、圆心在02=+y x 上,且与直线01=-+y x 切于点（2，—1）圆的方程是 。
5、()25522=+-y x ；
6、()()103322=++-y x ；
7、()()2212
2=++-y x ； 8。
圆1)4()3(2
2=++-y x 关于直线0=-y x 对称的圆的方程是 。
22(4)(3)1x y ++-=
9。
圆()()9332
2=-+-y x 上，到直线01143=-+y x 的距离为1的点有 3 个。
三、解答题
1、求圆心在原点,且与直线07034=-+y x 相切的圆的标准方程。
1962
2=+y x
2、求过点A(2，—3）、B （—2，-5）且圆心在直线x —2y —3=0上的圆的方程。
2、()()102122=+++y x 。