工程力学复习知识点

一、静力学1.静力学基本概念（1）刚体刚体：形状大小都要考虑的，在任何受力情况下体内任意两点之间的距离始终保持不变的物体。

在静力学中，所研究的物体都是指刚体。

所以，静力学也叫刚体静力学。

（2）力力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态改变（外效应）和形状发生改变（内效应）。

在理论力学中仅讨论力的外效应，不讨论力的内效应。

力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点，因此力是定位矢量，它符合矢量运算法则。

力系：作用在研究对象上的一群力。

等效力系：两个力系作用于同一物体，若作用效应相同，则此两个力系互为等效力系。

（3）平衡物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动。

（4）静力学公理公理1（二力平衡公理）作用在同一刚体上的两个力成平衡的必要及充分条件为等大、反向、共线。

公理2（加减平衡力系公理）在任一力系中加上或减去一个或多个平衡力系，不改变原力系对刚体的外效应。

推论（力的可传性原理）作用于刚体的力可沿其作用线移至杆体内任意点，而不改变它对刚体的效应。

在理论力学中的力是滑移矢量，仍符合矢量运算法则。

因此，力对刚体的作用效应取决于力的作用线、方向和大小。

公理3（力的平行四边形法则）作用于同一作用点的两个力，可以按平行四边形法则合成。

推论（三力平衡汇交定理）当刚体受三个力作用而平衡时，若其中任何两个力的作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必交于同一点，且三个力的作用线在同一个平面内。

公理4（作用及反作用定律）两个物体间相互作用力同时存在，且等大、反向、共线，分别作用在这两个物体上。

公理5（刚化原理）如变形物体在已知力系作用下处于平衡状态，则将此物体转换成刚体，其平衡状态不变。

可见，刚体静力学的平衡条件对变形体成平衡是必要的，但不一定是充分的。

（5）约束和约束力1）约束：阻碍物体自由运动的限制条件。

约束是以物体相互接触的方式构成的。

2）约束力：约束对物体的作用。

约束力的方向总及约束限制物体的运动方向相反。

表4.1-1列出了工程中常见的几种约束类型、简图及其对应的约束力的表示法。

其中前7种多见于平面问题中，后4种则多见于空间问题中。

表4.1-1 工程中常见约束类型、简图及其对应约束力的表示型柔索类作用点：物体接触点方位：沿柔索方向：背离被约束物体大小：待求这类约束为被约束物体提供拉力。

光滑面接触单面约束：作用点：物体接触点方位：垂直支撑公切面方向：指向被约束物体大小：待求这类约束为物体提供压力。

双面约束：假设其中一个约束面及物体接触，绘制约束力，不能同时假设两个约束面及物体同时接触。

作用点：物体接触点方位：垂直共切面方向：指向被约束物体大小：待求这类约束为物体提供压力。

短链杆（链作用点：物体接触点方位：沿链杆两铰点的连线NNANAT BT AAA杆）方向：不定大小：待求中间铰（连接铰）作用点：物体接触点，过铰中心方位：不定方向：不定大小：待求用两个方位互相垂直，方向任意假设的分力，表示该约束处的约束力固定铰作用点：物体接触点，过铰中心方位：不定方向：不定大小：待求用两个方位互相垂直，方向任意假设的分力，表示该约束处的约束力辊轴支座（活动铰）作用点：物体接触点，过铰中心方位：垂直支撑面方向：不定大小：待求固定端在约束面内既不能移动也不能转动，用两个方位互相垂直、方向任意假设的两个分力表示限制移动的力，用作用面及物体在同一平面内的、转向任意假设的集中力偶表示限制转动的力偶。

向心轴承Y向可微小移动，用方位互相垂直、方向任意假设的两个分力，表示限制径向的移动止推轴承三个方向都不允许移动，用三个互相垂直的力表示限制的移动。

球形铰空间任意方向都不允许移动，用方位相互垂直，方向任意的三个分力来代替这个约束力空间固定端三个轴向都不允许移动和转动，用三个方位相互垂直的分力来代替限制空间移动的约束力，并用三个矢量方位相互垂直，转向任意的力偶代替限制转动的约束力偶（6）受力分析图受力分析图是分析研究对象全部受力情况的简图。

其步骤是：1）明确研究对象，解除约束，取分离体；2）把作用在分离体上所有的主动力和约束力全部画在分离体上。

（7）注意事项画约束力时，一定按约束性质和它们所提供的约束力的特点画，并在研究对象及施力物体的接触处画出约束力；会判断二力构件和三力构件，并根据二力平衡条件和三力汇交定理确定约束力的方位；对于方向不能确定的约束力，有时可利用平衡条件来判定；若取整体为分离体时，只画外力，不画内力，当需拆开取分离体时，内力则成为外力，必须画上；一定注意作用力及反作用力的画法，这些力的箭头要符合作用及反作用定律；在画受力分析图时，不要多画或漏画力，要如实反映物体受力情况；画受力分析图时，应注意复铰（链接两个或两个以上物体的铰）、作用于铰处的集中力和作用于相邻刚体上的线分布力等情况的处理方法。

2. 力的分解、力的投影、力对点之矩及力对轴之矩 （1）力沿直角坐标轴的分解和力在轴上的投影X Y Z x y z F F F F F i F j F k =++=++式中：i 、j 、k 分别是沿直角坐标轴x 、y 、z 轴的基矢量；X F 、Y F 、Z F 分别为F 沿直角坐标轴的分力；x F 、y F 、z F 分别为F 在直角坐标轴x 、y 、z 轴上的投影，且分别为(如图4.1-1) cos cos sin cos x xy F F F F αφγφ=== cos sin sin sin y xy F F F F βφγφ===cos z F F γ=图4.1-1式中：α、β、γ分别为F 及各轴正向间的夹角；xy F 则为F 在Oxy 平面上的投影，如图4.1-1所示。

（2）力对点之矩（简称力矩）在平面问题中，力F 对矩心O 的矩是个代数量，即()O M F Fa =±式中a 为矩心点至力F 作用线的距离，称为力臂。

通常规定力使物体绕矩心转动为逆时针方向时，上式取正号，反之则取负号。

在空间问题中，力对点之矩是个定位矢量，如图4.1-2，其表达式为图4.1-2()()()()O O z y x z y x M F M r F yF zF i zF xF j xF yF k ==⨯=-+-+-力矩的单位为N m ⋅或kN m ⋅。

（3）力对轴之矩图4.1-3力F 对任一z 轴之矩为力F 在垂直z 轴的平面上的投影对该平面及z 轴交点O 之矩，即()()2''z O xy xy M F M F F a OA B ==±=±∆其大小等于二倍三角形''OA B 的面积，正负号依右手螺旋法则确定，即四指及力F 的方向一致，掌心面向轴，拇指指向及z 轴的指向一致，上式取正号，反之取负号。

显然，当力F 及矩轴共面（即平行或相交）时，力对轴之矩等于零。

其单位及力矩的单位相同。

从图4.1-3中可见，''OA B ∆的面积等于OAB ∆面积在''OA B 平面（即Oxy 面）上的投影。

由此可见，力F 对z 轴之矩()z M F 等于力F 对z 轴上任一点O 的矩()O M F 在z 轴上的投影，或力F 对点O 的矩()O M F 在经过O 点的任一轴上的投影等于力F 对该轴之矩。

这就是力对点之矩及对通过该点的轴之矩之间的关系。

即()()x O z y xM F M F yF zF ⎡⎤==-⎣⎦()()y O x z y M F M F zF xF ⎡⎤==-⎣⎦ ()()z O y x zM F M F xF yF ⎡⎤==-⎣⎦ （4）合力矩定理当任意力系合成为一个合力R F 时，则其合力对于任一点之矩（或矩矢）或任一轴之矩等于原力系中各力对同点之矩（或矩矢）或同轴之矩的代数和（或矢量和）。

()()O R O i m F m F =∑ 力对点之矩矢 ()()O R O i m F m F =∑ 力对点之矩 ()()x R x i m F m F =∑ 力对轴之矩3.汇交力系的合成及平衡（1）汇交力系:诸力作用线交于一点的力系。

（2）汇交力系合成结果根据力的平行四边形法则，可知汇交力系合成结果有两种可能：其一，作用线通过汇交点的一个合力R F ,为R i F F =∑；其二，作用线通过汇交点的一个合力R F 等于零，即0R i F F ==∑，这是汇交力系平衡的充要条件。

（3）汇交力系的求解求解汇交力系的合成及平衡问题各有两种方法，即几何法及解析法，如表4.1-2所示。

对于空间汇交力系，由于作图不方便一般采用解析法。

表4.1-2 求解汇交力系的两种方法形示意图，其开口边决定了合力的大小和方(xi F∑()yi F∑),R F k=F4.力偶理论（1）力偶及力偶矩1）力偶()F F：等量、反向、不共线的两平行力组成的力系。

,'2）力偶的性质：力偶没有合力，即不能用一个力等效，也不能及一个力平衡。

力偶对物体只有旋转效应，没有移动效应。

力偶在任一轴上的投影为零。

力偶只能及力偶等效或平衡。

3）力偶矩：力偶的旋转效应决定于力偶矩，其计算如表4.1-3所述。

表4.1-3 力偶矩的计算表中，F 为组成力偶的力的大小，d 为力偶中两个力作用线间的垂直距离，称为力偶臂。

（2）力偶系的合成及平衡力偶系合成结果有两种可能，即一个合力偶或平衡。

具体计算时，通常采用解析法，如表4.1-4所述。

表4.1-4 力偶的合成及平衡的解析法0M m m i m j m k ==++=∑∑∑∑x 、y 、z 轴不共面；可求解三个未知量表中，ix m 、iy m 、iz m 分别为力偶矩矢i m 在相应坐标轴上的投影。

注意，力偶中两个力F 和'F ，对任一x 轴之矩的和等于该力偶矩矢m 在同一轴上的投影，即()()'cos x x x m F m F m m α+==式中，α为m 矢量及x 轴的夹角。

（3）汇交力系和力偶系的平衡问题首先选取分离体；然后画分离体受力分析图，在分析约束力方向时，注意利用力偶只能及力偶相平衡的概念来确定约束力的方向；接下来，列写平衡方程，对于力的投影方程，尽量选取及未知力垂直的坐标轴，使参及计算的未知量的个数越少越好，尽量使一个方程求解一个未知量，而力偶系的平衡方程及矩心的选取没有关系，注意区分力偶的矢量方向或是转向，确定好投影的正方向；最后求出结果，结果的绝对值表示大小，正负号表示假设方向是否及实际的指向一致，正号代表一致，负号则表示相反。

5.一般力系的简化及平衡 （ 1）力线平移定理作用在刚体上的力，若其向刚体上某点平移时，不改变原力对刚体的外效应，必须对平移点附加一个力偶，该附加力偶矩等于原力对平移点之矩。

同理，根据力的平移定理可得：共面的一个力'F 和一个力偶m 可合成为一个合力F ，合力F 的大小、方向及原力相等，其作用线离原力作用线的距离为m d F =。