再论加权最小二乘法中权函数的选择
权函数与最小二乘法结合使用
y
x y
-0.3
2.3 1.8
-1.2
1.6 0.5
1.1
5.1 3.8
-3.5
-1.9 -2.8
4.6
-1.5 0.5
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散点图为
6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4
-4
-2
2
4
6
8
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解: 先求线性部分的参数,得模型
ˆ n ( x) 0.3488 0.8089 x m1n ( x ) m
n
n
3) 再用所余残差估计模型中非线性部分
m1n ( x ) Wni i
i 1
n
ˆ ˆ bX i Yi a ,n i i 1,2,
注意: 此估计中的权的选取一如上一节 所示
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4) 得回归模型的估计为
ˆ W ˆ n ( x) a ˆ bx m ni i
散点图为：
12 10 8 6 4 2 0 0 5 10
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20
11
根据散点图选择倒指数曲线
y ae
型如 其中
b x
1 ln y ln a b x
Y A bX
A ln a Y ln y X 1/ x
dy 取权 U ni dY
e |Yi e
无关
取加权残差函数为
Q U ni (Yi a bX i )
i 1
n
2
求
ˆ 满足 ˆ, b a
ˆ ) min Q(a, b) ˆ, b Q(a
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加权最小二乘法详细推导
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是一种用于线性回归模型的优化方法，它给予不同的数据点不同的权重，以便更好地拟合模型并减少误差。
假设我们有一个线性回归模型y = Xβ，其中y 是目标变量，X 是特征矩阵，β是要估计的参数。
我们还有一个与X 大小相同的权重矩阵W。
加权最小二乘法的目标是最小化损失函数：J(β) = ∑w_i(y_i - x_iβ)^2，其中i 是数据点的索引，w_i 是与第i 个数据点相关的权重。
对J(β) 求关于β的偏导数，并令其为0，得到：
∂J(β)/∂β= 0 = 2∑w_iy_i - 2x_iβ
由于这是一个线性方程，我们可以将其表示为矩阵形式：
X^TWXβ= X^TWy
其中，X^T 是X 的转置，W 是权重矩阵，y 是目标变量。
通过解这个方程，我们可以得到β的估计值：
β= (X^TWX)^(-1)X^TWy
这就是加权最小二乘法的推导。
这种方法考虑了每个数据点的权重，因此可以更好地处理不同大小和分布的数据点。
散乱数据曲面拟合的局部加权最小二乘插值方法及权函数的选择讨论.
散乱数据曲面拟合的局部加权最小二乘插值方法及权函数的选择讨论刘福保1，李卫国2 1． 长沙民政职业技术学院 文法系 2． 南京航空航天大学 机电学院摘要：本文首先用局部加权最小二乘法将三维空间内任意散乱数据点集均匀，再估计出立方体网格点上的偏导数值及混合偏导数值，最后仅用网格点数据进行快速光滑插值加密计算,从而可得到任意点处的函数值。
通过对已知函数的随机数据点集进行计算,取得了令人满意的效果。
同时,在最小二乘逼近过程中,本文提供了一种权函数,并与其它二种权函数进行分析比较,给出了各种情况下的误差。
关键词:散乱数据,最小二乘,权函数,插值The Topic on Choice of Weighted Functional and Local WeightedLeast-mean Square Method for Surface Interpolation to Scattered Data1．Liu Fubao ,CHangSha scoclal work collgeg ,ChangSha,410004,China2. Li Weiguo ， Nanjing University of Aeronautics & Astronautics （南航）, College of Mechanical and Electrical Engineering （机电学院）, Nanjing 210016, ChinaAbstract: In this article, a uniform grid data is firstly sampled from the scattered data in 3D space by local weighted least square mean method, then partial and mixed partial derivative value on the volume grid node position is estimated, finally the grid data are interpolated to be a global functional by smoothing and densification a prior. We reported some satisfactory case results at the end of this article. Also, in the process of least square mean fitting, a best weighted functional was adopted after compared with other two traditional weighted functional. We also presented the error in the case of varied inputted parameters.Keywords: scattered data, least square mean, weighted functional, interpolation１、引言给定平面区域内的某一散乱点集D=(){}x y i N i i ,,,,,=12 以及对应点上的函数值{}f i N i ,,,,=12,求一个二元函数()F x y ,使其满足()F x y f i i i ,≈(i N =12,,, ),这就是三维空间内散乱数据点集的拟合问题。
加权最小二乘
异方差的类型
• • 同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差： i2 = f(Xi)（注：方差与x有关）
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
异方差产生原因
1、模型中缺少某些解释变量（即自变量）；从而干 扰项产生系统模式。 2、样本数据观测误差；随着数据采集技术的改进， 干扰项的方差可能减少。 3、模型设置不正确。 4、经济结构发生了变化，但模型参数没作相应调整 。比如按照边错边改学习模型，人们在学习的过 程中，其行为误差随时间而减少。 5、异常值的出现也会产生。异常值可以通过查看图 形或检查原始数据找到。
• 标准的线性回归模型中，假设所研究总体中方差恒定， 即因变量的变异不随其自身预测值或其他自变量值得变 化而变动。 • 但在有的研究问题中，这一假设可能被违反，可能是因 变量的变异随其自身数值增大而增大，也可能是随其他 变量值而改变。例如：以地区为观察单位调查某种疾病 的发生率，由于率的标准差本身就和样本量有关，显然 该地区的人数越多，所得到的发生率就会越稳定，即变 异度越低。在这些情况下，如果采用普通最小二乘法（ OLS）来分析，可能产生偏差，如果能够根据变异的大 小对相应数据给予不同的权重，在拟合时对变异较小的 测量值赋予较大权重，则能够提高模型的精度。
实际问题的异方差性
• 在实际经济问题中，随机扰动项往往是异方差的，但主要在截 面数据分析中出现。
加权最小二乘法的基本思想
• 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方 差性的的概念
在讲到加权最小二乘法的时候需要引入一个重要的概 念——异方差。那么什么是异方差呢？ 对于模型
加权最小二乘法的基本原理
加权最小二乘法的基本原理加权最小二乘法（WeightedLeastSquares，WLS）是一种常用的统计学标准，它可以用来调整和评估数据，从而得出更好的分析结果。
它的基本思想是通过考虑观测值之间的不确定性来估计回归系数，从而获得最小总平方误差（least squares）。
加权最小二乘法最早被用于统计学和概率分析，以评估和调整数据，特别是适用于数据拟合和线性回归分析。
它的思想是将我们所知道的关于观测值之间关系的一些重要信息纳入考虑。
可以使用加权方法调整观测值和系数之间的关系，从而改善拟合模式的准确性。
加权最小二乘法的基本原理是将观测值的权值赋予给每一个观测值，这个权值一般可表示为观测值的精度。
权值越大，说明观测值越有可能越准确，用于衡量数据可靠性。
权值可以是正的，也可以是负的，正权值表示可信度高，负权值表示可信度低。
加权最小二乘法能够改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间可能存在不确定性的情况下。
加权最小二乘法可以根据可能的不确定性来调整模型，从而使模型的精确度更高。
加权最小二乘法的最小二乘估计是通过求解最小化均方误差函数来实现的，它以下面的公式形式表示：min i=1N (yj - a1x1j - a2x2j - ... - anxnj)2 / wi 其中，N是观测值的总数，yj是观测值，a1、a2等是待估计的回归系数，x1j、x2j等是被观测的变量，wi是观测值的权值。
加权最小二乘法的原理在于，它将考虑观测值的不确定性，将对观测值更有可信度的权重赋予给观测值，从而改善回归系数的估计。
当数据存在某些影响因素时，加权最小二乘法可以更有效地消除其影响，从而使得拟合数据更加准确。
另外，加权最小二乘法还可以用于数据分析，可以用来估计参数和拟合模型，从而对数据集中的数据进行有效分析。
加权最小二乘法可以减少拟合模型的噪声，并且可以更好地拟合回归曲线，从而获得更好的拟合效果。
综上所述，加权最小二乘法是一种有效的统计方法，可以用来改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间存在不确定性的情况下。
加权最小二乘估计中选择权数的迭代算法
ｆ １ 设ｗ 一 半 定 ， ｗ ＝ Ｗ）ＸＷ． 为 个 正 阵记 （ ） （ Ｘ一 ｙ 令Ｗ＝ ． Ｉ ｎＸ ＝ 时称 （ ） 的 ｌ ‘ Ｊ ａ（） Ｐ ， ｗ 为 加 ｋ ， 当ｒ
权最小二乘估计（ ＬＥ ． ｗ ｓ ）在一般情况下， 五（ 称 ｗ）＝邱 （ ｗ）＝Ｘ Ｘ ｗ ） Ｘ Ｗ （ Ｔ ｘ 一 Ｔ ｙ为 ： 的加权最小二乘估计 ． 若取 Ｗ ＝，五 ， ＝邱 ＝ （ Ｔ ） Ｘｙ 的 ，（） ｘ ｘ 一 Ｔ 就是 最小二 乘估计（ Ｅ， Ｌ ） Ｓ
在假定 Ｗ ≥ ０的条件 下 ， 加权最小二乘估计 有如 下性质… ： 定理 ２ （ 为 的无偏估计 当且仅 当 ｒｎ（ Ｗ） ａｋ Ｘ）＝ｒｎ （ ） ａｋ ＸＴ ． 定理 ３ （ 为 的最 佳方差无偏估计 当且仅 当 ｒｎ （ ｗ） ａ Ｘ）＝ｒ ｋ Ｘ ｗｘ） ｔ（ ｗ ａ （Ｔ ｎ ， ｖ ｘ）ｃ ｔ（ ） ｔ ． ｔ
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２ ８
吉首大学学报（ 自然科学版）
第２ ８卷
２ 权 数 的确 定
采用加权 回归估计方法 ， 其中的关键 问题是权数 的确定 ． 怎样确定权数 ， 目前还没有统一 的标准和方法 ， 比较常用 的参
见文献 ［ ］ ２． 文献 ［ ］ 为最佳权函数是针对某个模型而言的 ， ２认 即模型不 同， 其最佳权 函数也 不同 ． 实际应用 中 自变量个数较 多 ， 在
＜ ， 一般取 ｏ １ ｏ．． ． 或 ５
基于以上的要求 ， 提出以下的计算 步骤 ： （） １ 计算 ＇ ＝ ， 的残差平方和 Ｒ Ｓ ． ， 时 Ｓ． （ ） 步长 ｋ 一般 可选取 ｋ ２取 ， ｏ＝０ ０ １０ ０２ ０ ０５ ．０ ， ．０ 或 ．０ ．
估计过程中 ， 普通最小二乘法估计 的参数 的变动 系数普遍大于加权 回归估计 ， 而参数的变动系数是衡量模 型稳健性 的一个 很重要 的指标 ． 建模 的 目的是进行预测 ， 于不 同的预测对象 ， 对 模型 的参数应该 是 比较稳 定的 ， 预测结果 是可控制 的 ． 因 此， 在加权 回归估计考虑权函数时应使模型 的稳健性较好 ． 而且 ， 通最 小二乘估计 以残差平方 和最小为原则 ， 普 在这个原则
加权最小二乘问题和正则化方法的研究
加权最小二乘问题和正则化方法的研究在机器学习和统计学领域中，加权最小二乘问题和正则化方法是两个常用的技术。
本文将对这两个方法进行深入研究和探讨。
一、加权最小二乘问题加权最小二乘问题是一种经典的回归分析方法，用于寻找最佳拟合曲线或平面。
在该问题中，我们的目标是找到一组模型参数，使得观测数据与模型的预测值之间的误差最小化。
这些误差可以通过最小化平方误差函数来计算。
在实际应用中，我们可能会遇到一些特殊情况，其中某些数据点比其他数据更重要或更可靠。
为了充分利用这些信息，我们可以引入权重的概念。
通过为每个数据点分配一个特定的权重，我们可以调整它们对最小二乘问题的影响力。
这个过程称为加权最小二乘。
加权最小二乘的核心是根据数据的可靠性进行加权。
对于可信度高的数据点，分配较大的权重，使其对拟合曲线的影响更大；而对于可疑的或不可靠的数据点，可以分配较小的权重，降低其影响。
通过这种方式，加权最小二乘可以更好地适应不同数据的特点，得到更准确和鲁棒的拟合结果。
二、正则化方法正则化方法是一种常用的机器学习技术，用于解决过拟合问题。
在过拟合情况下，模型在训练数据上表现得非常好，但在新的未见数据上表现较差。
这是因为模型过于复杂，过度拟合了训练数据中的噪声和离群值。
为了解决过拟合问题，正则化方法引入了额外的约束项，以限制模型参数的大小或复杂度。
这个约束可以通过在损失函数中添加正则化项来实现，使得模型的训练过程不仅考虑拟合数据，还考虑约束条件。
常见的正则化方法包括L1正则化和L2正则化。
L1正则化通过将模型参数的绝对值添加到损失函数中，使得一些参数变为零，从而实现特征选择和稀疏性。
L2正则化则通过将模型参数的平方和添加到损失函数中，使得参数变小，从而控制模型的复杂度。
正则化方法的引入可以有效避免模型过拟合，并提高模型在未知数据上的泛化能力。
通过权衡模型的拟合能力和约束条件，正则化方法能够得到更为合理和稳定的模型。
总结加权最小二乘问题是一种回归分析方法，可以根据数据的可靠性进行加权，得到更准确和鲁棒的拟合结果。
加权最小二乘法
T-Statistic Prob. -4.863940 0.0007 7.300328 0.0000 Mean dependent var 382.9167 S.D. dependent var 306.1590 Akaike info criterion 9.849314 Schwartz criterion 9.930131 F-statistic 53.29478 Prob(F-statistic) 0.000026
6
2。模型变换法
（1）模型变换法的定义 （2）模型变换法的关键 （3）模型变换法的变换过程 （4）实际处理异方差时，f(xi)的常用形式 （5）常用变换举例 （6）利用EViews作模型变换
8
3。加权最小二乘法
（1）加权最小二乘法的思路 （2）加权最小二乘法的机理 （3）加权最小二乘法的定义 （4）OLS是加权最小二乘法的特例 （5）加权最小二乘法与模型变换法所得结 果是一致 （6）在EViews中实现加权最小二乘法
43
（2）G-Q检验
1。求两个子样回归方程残差平方和 加载(lx4下)yfch.wf工作文件到内存 SORT X 按居民收入排序 SMPL 1 12 LS Y C X 得ESS1 SMPL 20 31 LS Y C X 得ESS2
44
加权最小二乘法估计结果
45
加权最小二乘法残差与X的散点图
34
30000
40000
3。异方差检验
（1）图示法检验 （2）G-Q检验
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（1）图示法检验
LS Y C X GENR E1=resid GENR E2=E1*E1 SCAT E2 X 残差平方和呈比较典型的喇叭型
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LX5\YFCH.PRG的程序清单 '异方差图示法的程序 load c:\lx5\yfch.wf1 scat y x '计算储蓄函数chxeq equation chxeq.ls y c x genr e1=resid genr e2=e1*e1 scat e2 x
加权最小二乘法推导
加权最小二乘法推导加权最小二乘法，是一种常用的线性回归分析方法，也是数理统计学中重要的一种最小二乘法拟合方法。
它的基本思想是对回归模型的误差进行加权处理，以获得更准确的拟合结果。
在传统的最小二乘法中，对于线性回归模型 $Y = \beta_0 +\beta_1X$，我们试图通过最小化残差平方和 $\sum_{i=1}^{n}(Y_i - (\beta_0 + \beta_1X_i))^2$ 来拟合最优的回归系数 $\beta_0$ 和$\beta_1$，其中$n$代表样本数量。
然而，在实际应用中，每个观测样本的重要性往往是不同的，而传统最小二乘法对每个样本的重要性均等看待，这样可能导致某些重要样本的误差被较不重要的样本的误差所掩盖。
为了解决这个问题，引入加权最小二乘法。
其核心思想是为每个样本分配一个权重，以便强调重要样本的贡献，削弱不重要样本的影响。
假设观测值的权重为 $w_i$，则加权最小二乘法的目标是最小化加权残差平方和 $S = \sum_{i=1}^{n} w_i(Y_i - (\beta_0 +\beta_1X_i))^2$。
接下来，我们通过最小化$S$来求解回归系数。
首先，我们对$\beta_0$ 和 $\beta_1$ 分别求导，令导数为零，可以得到以下正规方程组：$$\begin{cases}\sum_{i=1}^{n} w_iY_i = \beta_0\sum_{i=1}^{n} w_i +\beta_1\sum_{i=1}^{n} w_iX_i\\\sum_{i=1}^{n} w_iY_iX_i = \beta_0\sum_{i=1}^{n} w_iX_i + \beta_1\sum_{i=1}^{n} w_iX_i^2\end{cases}$$通过解这个方程组，我们可以得到回归系数的估计值$\hat{\beta_0}$ 和 $\hat{\beta_1}$。
进而，利用这两个估计值，我们可以得到拟合方程为 $\hat{Y} = \hat{\beta_0} +\hat{\beta_1}X$。
加权最小二乘法—ls
WLS:加权最小二乘一般最小二乘估计精度不高的原因之一是不分优劣地使用了量测值，如果对不同量测值的质量有所了解，则可用加权的方法分别对待各量测量，精度质量高的权重取大些，精度质量低的权重取小些；权W 是适当取值的正定阵。
最小二乘估计是Gauss 在1795年为测定行星轨道而提出的参数估计算法。
特点是方法简单，不必知道与被估计量任何统计信息。
假定量测信息z 可以表示为参数x 的线性函数，即v Hx z +=，其中()N m n ×∈ H ， N m ∈ v 是一个零均值的随机向量；设()()N m N m ×∈ W 为对称正定阵（0≥W ），则如下估计WLS T ˆˆˆˆarg min()()=−−x x z Hx W z Hx ，称为加权最小二乘（weighted least squares ，WLS ）估计；如果=W I ，则称为最小二乘（Least Squares ，LS ）估计。
注意：最小二乘法的最优指标只保证了估计量测的均方误差最小。
定理 设TH WH 可逆，则基于量测信息z 和加权矩阵W 对参数x 的WLS 估计为 WLS T 1T ˆ()−=xH WH H Wz ， 证明：因为T T T T Tmin()()min(2)−−=−+x x z Hx W z Hx z Wz z WHx x H WHx ， 而()T T T T T T T T T 1T T (2)(2)20ˆWLS x −∂−+∂∂=−+∂=−=∴=T T z Wz z WHx x H WHx xz Wz x H Wz x H WHx xH Wz +2H WHx H WH H Wz （注意：,T Ax x Ax A x x∂<>=+∂，,x y y x ∂<>=∂） 关于估计方差：如果量测误差v 的均值为0方差为R ，则加权最小二乘估计也是无偏估计。
估计的协方差阵为11111[]()()ˆ(()()())T T T T T T T T T T E xxH WH H WRWH H WH xx x H WH H WHx H WH H WzH WH H Wv −−−−−==−=−=− ∵（注意11()()T T A A −−=）如果1W R −=，则加权最小二乘估计又称为马尔科夫估计，此时估计的协方差阵为 11[]()T T E xxH R H −−= 此时协方差阵最小，是WLS 估计中的最优者。
A加权最小二乘估计中加权系数的确定
收稿日期:20021008加权最小二乘估计中加权系数的确定Addition Coefficient Solution of Addition Least Two Multiply Estimation杨 波YA N G Bo(西安科技学院通信工程系 西安 710054)(Comm ucicat i o n Engineering Department ,Xi ′an Science and T echno l o gy Instit ut e,Xi ′a n,710054,China)摘 要:简要地对最小二乘估计进行了介绍,通过深入分析加权最小二乘估计,引入了“矩阵型”的许瓦兹不等式,并对该不等式进行了证明,在该不等式的基础上,详细分析了在估计的误差方差达到极小情况下的加权矩阵。
通过本文的分析,为加权最小二乘估计提供了详细的分析过程和正确的估计公式。
关键词:参数估计;加权最小二乘;加权系数最小二乘估计虽然是一个非常“古老”的估计方法,但是他的应用非常广泛,他适用于线性观测模型,而且他不规定估计问题的概率或统计描述。
由最小二乘估计的变形引入的加权最小二乘估计也是一种应用非常广泛的参数估计方法,虽然关于这方面的参考资料很多,但内容基本一致,而且在分析加权系数的取值时,分析过程大多不全而且思路不是很清晰。
本文通过对加权最小二乘估计的深入分析,力求给出详细的分析过程和正确的分析结果。
1 最小二乘估计假设观测模型是线性的,也就是观测数据x 与参量H 1,H 2,K ,H M 之间服从下面的线性关系:x =c 1H 1+c 2H 2+K +c M H M +n(1)其中:c 1,c 2,K ,c M 是已知的常系数;n 是观测噪声。
假如进行了N 次观测,则可得到N 个类似的线性方程:x k =c k 1H 1+c k 2H 2+K +c kM H M +n k (k =1,2,K N )(2) 假如用矢量及矩阵表示,可以写为:x =c H +n 式中 x =[x 1,x 2,K x N ]T ,n =[n 1,n 2,K n N ]T ,H =[H 1,H 2,K H N ]T c =c 11 c 12 + c 1M c 21 c 22 + c 2M M M O M c N 1 c N 2 + c N M(3)即:x 为已知的N 维观测矢量,H 为M 维待估计的参量,c 为N ×M 阶常系数矩阵,n 为N 维随机噪声矢量。
(完整版)加权最小二乘法(WLS)
加权最小二乘法(WLS)如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
下面先看一个例子。
原模型：+++=i i i x x y 22110βββ，i ki k u x ++βn i ,,2,1 =如果在检验过程中已经知道：2222)()()(u i i i i x f u E u D σσ=== , n i ,,2,1 = 即随机误差项的方差与解释变量2x 之间存在相关性，模型存在异方差。
那么可以用)(2x f 去除原模型，使之变成如下形式的新模型：+++=i i i i i i i x x f x x f x f y x f 222121202)(1)(1)(1)(1βββi i ki i k u x f x x f )(1)(122++βn i ,,2,1 =在该模型中，存在 222222)()(1))(1())(1(u i i i i i i u E x f u x f E u x f D σ=== (4.2.1)即同方差性。
于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数βββ01,,, k 的无偏的、有效的估计量。
这就是加权最小二乘法，在这里权就是)(12i x f 。
一般情况下，对于模型Y X =+B N (4.2.2)若存在：W2)(),(0)(uE Cov E σ=N 'N =N N =NW =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥w w w n 12(4.2.3) 则原模型存在异方差性。
设TDDW =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n w w w D21, ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----112111n w w w D用D 1-左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型：D Y D X D ---=+111B N (4.2.4) 即Y X ***=+B N该模型具有同方差性。
加权最小二乘法
加权最小二乘法
加权最小二乘法（weighted least squares, WLS）是一种线性回归的方法，用于处理具有不同观测误差方差的数据。
在普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）中，假设所有的观测误差方差是相等的。
但在实际应用中，有一
些变量可能有更大的观测误差，或者某些观测点可能有更
大的误差。
WLS通过对不同观测点赋予不同的权重来解决
这个问题，权重的大小与观测误差的方差成反比。
加权最小二乘法的目标是最小化加权残差的平方和，即最
小化：
\\[S = \\sum_{i=1}^{n} w_i(y_i - f(x_i))^2\\]
其中，$n$为观测点数量，$w_i$为第$i$个观测点的权重，$y_i$为第$i$个观测点的观测值，$f(x_i)$为模型对第$i$个观测点的预测值。
为了最小化$S$，可以通过求解加权最小二乘问题的正规方程来获得参数的估计值，即求解：
\\[(X^TWX)\\hat{\\beta} = X^TWy\\]
其中，$X$为设计矩阵，包含自变量的观测值，
$\\hat{\\beta}$为参数的估计值，$W$为权重矩阵，对角线上的元素为权重值，其他元素为零。
通过求解正规方程，可以获得参数的估计值
$\\hat{\\beta}$，进而用于预测新的观测值或进行模型的推断分析。
需要注意的是，加权最小二乘法的权重选择需要根据具体的实际情况来确定，通常可以通过观察观测数据的方差不均匀性、残差分析等方法来确定权重值。
加权最小二乘法名词解释
加权最小二乘法名词解释加权最小二乘法（ combined least-square method）又称作“加权平均值方法”、“加权平均方法”，是一种最常用的方法。
在所有多元线性回归模型中都能使用。
加权最小二乘法是根据加权原理来进行变量选择的一种多元统计方法。
它以待定系数的加权平均值来代替样本数据，用数学期望和方差代替其真实值，从而使所选择的方案具有最大的稳定性。
最小二乘法主要包括：①加权平均法；②加权算术平均法；③加权调和平均法；④加权最小平方法；⑤加权最小二乘法。
最小二乘法是一个求解未知参数的最优方案的基本方法。
它的应用非常广泛，特别适用于线性规划、非线性规划、整数规划等领域。
它把线性规划问题转化为线性规划模型，并对每一个未知参数，设计出一个估计量，再用该估计量去寻找一个使得该未知参数取最小值的线性规划方案。
这里的优化目标函数，通常就是约束条件的函数，而约束条件则可能是线性或非线性的。
这类方法是多元统计方法之一。
在利用最小二乘法求解的时候，首先将待求解的线性规划问题转换成单纯形法，然后[gPARAGRAPH3]函数、加权最小二乘法和广义权重最小二乘法，在给定约束条件下寻求目标函数最小值的线性规划问题。
对每一个未知参数，设计出一个估计量，再用该估计量去寻找一个使得该未知参数取最小值的线性规划方案。
这里的优化目标函数，通常就是约束条件的函数，而约束条件则可能是线性或非线性的。
对一个复杂的最小二乘问题，有很多途径去求解。
但每一种方法都有各自的适用范围和缺点，比如适合线性规划的方法不一定适合非线性规划，而同一个方法也可能在不同情况下失效。
所以只有针对具体问题，合理选择方法，才能得到满意的结果。
2.1求解参数的最优化问题； 2.2确定可行区域，即给定函数值最小的点的集合； 2.3求出这些可行点的可行区域； 2.4绘制可行区域图； 2.5由可行区域图决定最优方案。
在工程技术领域，如何对某项工程投资进行分析和决策，对其成败至关重要。
关于加权最小二乘法中权函数的选择问题
关于加权最小二乘法中权函数的选择问题
曾伟生
【期刊名称】《中南林业调查规划》
【年(卷),期】1996(014)001
【摘要】从加权最小二乘法的概念入手，对林业上一些常用模型的异方差性进行了分析，指出在权函数选择上存在的问题，提出了合理确定权函数的方法，并用实例进行了说明。
【总页数】3页(P54-55,60)
【作者】曾伟生
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】S711
【相关文献】
1.细分曲面修正的权函数选择问题 [J], 朱文文
2.加权最小二乘法在液晶显示器颜色特性化中的应用 [J], 次文杰;解凯;李桐;次会欣
3.基于有限测量信息的加权最小二乘法在配电网状态估计中的应用 [J], 刘琳;和敬涵
4.再论加权最小二乘法中权函数的选择 [J], 曾伟生
5.加权最小二乘法在EViews软件应用中易出现的问题及处理方法 [J], 刘芳;樊为刚
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散乱数据曲面拟合的局部加权最小二乘插值方法及权函数的选择讨论
散乱数据曲面拟合的局部加权最小二乘插值方法及权函数的选
择讨论
刘福保;李卫国
【期刊名称】《数学理论与应用》
【年(卷),期】2009(029)001
【摘要】本文首先用局部加权最小二乘法将三维空间内任意散乱数据点集均匀，再估计出立方体网格点上的偏导数值及混合偏导数值，最后仅用网格点数据进行快速光滑插值加密计算，从而可得到任意点处的函数值。
通过对已知函数的随机数据点集进行计算，取得了令人满意的效果。
同时，在最小二乘逼近过程中，本文提供了一种权函数，并与其它二种权函数进行分析比较，给出了各种情况下的误差。
【总页数】5页(P113-117)
【作者】刘福保;李卫国
【作者单位】长沙民政职业技术学院文法系,长沙410004;南京航空航天大学机电学院,南京210016
【正文语种】中文
【中图分类】O212.1
【相关文献】
1.细分曲面拟合的局部渐进插值方法 [J], 赵宇;蔺宏伟;鲍虎军
2.几种基于散乱数据拟合的局部插值方法 [J], 史利民;王仁宏
3.再论加权最小二乘法中权函数的选择 [J], 曾伟生
4.关于加权最小二乘法中权函数的选择问题 [J], 曾伟生
5.基于局部细分曲面拟合的散乱数据孔洞修补算法 [J], 王英惠;吴维勇
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加权最小二乘估计中加权系数的确定
加权最小二乘估计中加权系数的确定
杨波
【期刊名称】《现代电子技术》
【年(卷),期】2002(000)012
【摘要】简要地对最小二乘估计进行了介绍,通过深入分析加权最小二乘估计,引入了"矩阵型"的许瓦兹不等式,并对该不等式进行了证明,在该不等式的基础上,详细分析了在估计的误差方差达到极小情况下的加权矩阵.通过本文的分析,为加权最小二乘估计提供了详细的分析过程和正确的估计公式.
【总页数】3页(P45-46,49)
【作者】杨波
【作者单位】西安科技学院通信工程系,西安,710054
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.可靠性评估中加权系数确定的新方法 [J], 车建国;郭义茹;王宗帅
2.分数演算的G-L数值算法中加权系数求解 [J], 张恒;袁晓;帅晓飞;汤韩杰;陈理
3.损失统计中加权系数的选取 [J], 蔡夏林
4.三种确定动力总成主动悬置LQR控制器加权系数方法的比较 [J], 陈哲明; 王恒; 付江华; 陈宝
5.变差函数中加权系数拟合方法的改善 [J], 程勖;杨毅恒
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数学建模之用最小二乘拟合参数加权
数学建模之用最小二乘拟合参数加权
《数学建模之有趣的最小二乘拟合参数加权》
嘿呀，你们知道吗，数学建模里有个超有意思的东西叫最小二乘拟合参数加权。
这玩意儿啊，就好像是我们生活中的调味剂一样。
就说上次我去买水果吧，我特别爱吃苹果，就想买一堆回来。
我到了水果摊，那苹果有大有小，价格还都不一样。
我就开始纠结了，到底买哪种呢。
这时候我就突然想到了最小二乘拟合参数加权。
我把苹果的大小当成一个参数，价格当成另一个参数，然后开始琢磨怎么个加权法能让我买到最划算、最好吃的苹果。
我在那摊位前，左看看这个苹果，右摸摸那个苹果，心里就想着怎么用这个数学方法来挑出最合适的。
摊主都被我搞得有点莫名其妙啦，哈哈。
我就在那比划来比划去，脑子里不断计算着，感觉自己就像是个在进行神秘实验的科学家。
最后啊，我还真的通过这种方式买到了让我特别满意的苹果。
你说这最小二乘拟合参数加权是不是还挺有用处的呀。
哎呀，生活中到处都能找到和数学建模相关的有趣事情呢，就像我这次买苹果，让我对最小二乘拟合参数加权有了更深刻的认识和体会呀。
以后再遇到类似的情况，我肯定还会想起这次有趣的经历呢！。
数学建模之用最小二乘拟合参数加权
数学建模之用最小二乘拟合参数加权
《数学建模之用最小二乘拟合参数加权》
嘿呀，大家知道吗，数学建模里的最小二乘拟合参数加权可太有意思啦！就拿我上次参加的一个实验来说吧。
那时候，我们在研究一个物理现象，需要通过一些数据来找到规律。
这可把我们难住了，那么多的数据，怎么才能找到它们之间的关系呢？然后就有人提出来用最小二乘拟合参数加权这个方法。
于是乎，我们就开始行动啦。
先把那些数据像摆积木一样整整齐齐地列出来，哎呀，那密密麻麻的一堆数字，看着都让人有点头疼呢！但没办法呀，为了搞清楚这个现象，咱得硬着头皮上。
接着，就开始计算啦，一会儿加这个，一会儿减那个，感觉自己就像个忙碌的小会计。
在这个过程中，还出了不少小插曲呢，有几次算错了，又得重新来，可把我们给累坏了。
不过呢，大家还是嘻嘻哈哈的，互相开着玩笑，就这么一路坚持下来了。
经过好一番折腾，终于算出了结果。
哇，当看到那些拟合出来的曲线和参数的时候，真的有一种恍然大悟的感觉，就好像是在迷雾中突然找到了方向一样。
你还别说，这最小二乘拟合参数加权还真挺神奇的，能从那么复杂的数据中找出有用的信息。
就好像是一个神奇的魔法棒，轻轻一挥，难题就迎刃而解啦！
现在回想起来，那次的经历真的让我对数学建模有了更深的认识和理解呀。
以后要是再碰到类似的问题，我肯定第一时间就想到这个厉害的方法，哈哈！这就是我关于最小二乘拟合参数加权的真实体验啦，大家觉得有趣不？。