相似三角形的判定1 (5)

作△ABC和△A′B′C′，使得∠A=∠A′， ∠B=∠B′，这时它们的第三个角满足 ∠C=∠C’吗？分别度量这两个三角的边长， 计算: AB ， BC ， CA,你有什么发现？ A′B′ B′C′ C′A′
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结 论一样吗？△ABC和△A′B′C′相似吗？
利用计算机 软件，改变这两 个三角形边的大 小，而不改变它 们的角的大小， 可以动态地观察 对应边的比例关 系，有条件的同 学可以试一试．
改变点D在AB上的位置,继续观察图形,容易进 一步猜想△AD’E’与△ABC仍有相似关系．因此，我 们有： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角相似．
上面我们根据相似三角形的定义，通过证明两 个三角形的对应角相等，对应边的比相等得到了一 个关于三角形相似的结论．学习三角形全等时，我 们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相 等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法 （SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角 形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一 一验证呢？ 类似于判定三角形全等的方法，我们能还能 通过三边来判断两个三角形相似呢？
1.根据下列条件,判断△ABC与△A′B′C′是否 相似,并说明理由:
Байду номын сангаас
(1) ∠A=40°,AB=8,AC=15, ∠A′=40°,A′B′=16,A′C′=30;
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm, B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm.
2.图中的两个三角形是否相似?
∴AD=EF.
又∠A=∠1, ∠2=∠C, ∴△ADE≌△EFC,
1 ∴AE=EC= AC, 2 1
DE=FC=BF=
2
BC.
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
1 1 1 AD= AB, AE= AC, DE= BC. 2 2 2
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 这样,我们证明了△ADE 和△ABC的对应角相等,对 应边的比相等,所以它们相 似,相似比等于0.5. △ADE≌△ABC
在一张方格纸上任意画一个三角 形，再画一个三角形，使它的各边长 都是原来三角形各边长的Ｋ倍，度量 这两个三角的对应角，它们相等吗？ 这两个三角形相似吗？与邻座交流一 下，看看是否有同样的结论．
容易发现,这两个三角形是相似的,我们 可以利用上面的结论进行证明.
如图,在△ABC和A′B′C′中, 求证:△ABC∽△A′B′C′.
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等.
过E作EF//AB,EF交BC于F点.
在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF. 1 ∵AD=DB= AB, 2
我们可以得到判定两个三角形相似的又一具简便方法.
∠A=∠A′, ∠B=∠B′ △ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的两个角与另一具三角形的两 个角对应相等,那么这两个三角形相似.
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且 相应的夹角相等,那么这两个三角相似. 类似于证明通过三边判定三角形相似的方法 ,请你自己证明这个结论.
思考
对于△ABC和△A′B′C′, 如果 ∠B=∠B′,这两个三角形一定相似吗?试着画画看. ,
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似， 并说明理由． (1)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm. ∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm. (2)AB=4 cm，BC=6cm，AC=8cm, A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=21cm.
在相似多边形中,最简单的就是相似三角形
在△ABC和△A′B′C′中,如果 ∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′,
我们就说△ABC与△A′B′C′相似, 记作:△ABC∽△A′B′C′. k就是它们的相似比.
如果k=1,这两 个三角形有怎 样的关系?
思
考
如图,在中△ABC,点D是边 AB的中点,DE//BC,DE交AC于点 E, △ADE与△ABC有什么关系?
由此我们得到利用三边判定三角形相形相似 的方法：
如果两个三角形的三组应边的比相等， 那么两个三角形相似．
类似于判定三角形全等的方法，我们能通 过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个 三角形相似的方法．
如果两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.
要证明△ABC∽△A′B′C′，可以先作一 个与△ABC全等的三角形，证明它△A′B′C′与 相似．这里所作的三角形是证明的中介，它把 △ABC与△A′B′C′联系起来．
证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过D点作 DE//B′C′，交A′C′于点E，根据前面的结论可得 △A′DE∽△A′B′C′．
3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个 三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三 角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当 是多少?你有几个答案?
观察两副三角尺,其中同样角度(30°与60°,或45°与 45°)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的. 一船地,如果两个三角形有两级对应角相等,它们一定相 似吗?
AB 7 AC 14 7 解 : (1) , , A' B ' 3 A' C ' 6 3 AB AC A' B ' A' C '. 又A A' , ABC
∽
A' B ' C '
要使两三角形相似， AB 4 1 BC 6 1 不改变的AC长，A′C′ (2) , , A' B' 12 3 B' C' 18 3 的长应改为多少？ AC 8 . A' C' 21 △ABC与△A′B′C′的三组对应边 AB BC AC . 的比不等，它们不相似． A' B' B' C' A' C'