中考数学考点专题复习 分式及其运算课件
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2020安徽数学中考复习课件：3分式(共20张PPT)
(1)去括号,先计算括号内的分式运算,括号内若是异分
母分式的加减运算,需通分化为同分母运算,再将分子合
并同类项,去掉括号.
(2)除法变乘法,利用分式除法运算法则,把除法运算转
化为乘法运算.
16
命题点二：分式的运算
方法归纳
方法总结分式化简求值的一般步骤:
(3)计算分式乘法运算,要利用因式分解、约分来计算.
2020中考复习篇
第一单元 数与式
第3讲
分式
1
命题解读
本课时考点安徽省中考10年4考，主要是考查分式的化简和
求值，其中考查分式加减运算中两次是同分母分式运算，另
外两次是简单的异分母加减运算，题型以解答题为主。
考点一：分式的概念和基本性质；
考点二：分式的约分、通分；
考点三：分式的运算（10年4考—11、12分式加减—10、15分
÷
用式子表示是: =
, =
(其中 M 是不等于 0 的整式).
5
命题点一：分式的概念和基本性质
考点精讲
4.分式的约分与通分
(1)约分:根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式
约去,叫做分式的约分.约分的结果必须是最简分式或整式.
(2)通分:根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同
分母的分式,这种变形叫分式的通分.通分的关键是确定最简
+
-
-
·,其中
a=-.
12
命题点二：分式的运算
中考真题
3．【2010·安徽·15·8】先化简,再求值:
-
÷
-+
,其
-
中 a=-1.
4.【2011·安徽,15,4分】先化简,再求值:
母分式的加减运算,需通分化为同分母运算,再将分子合
并同类项,去掉括号.
(2)除法变乘法,利用分式除法运算法则,把除法运算转
化为乘法运算.
16
命题点二：分式的运算
方法归纳
方法总结分式化简求值的一般步骤:
(3)计算分式乘法运算,要利用因式分解、约分来计算.
2020中考复习篇
第一单元 数与式
第3讲
分式
1
命题解读
本课时考点安徽省中考10年4考，主要是考查分式的化简和
求值，其中考查分式加减运算中两次是同分母分式运算，另
外两次是简单的异分母加减运算，题型以解答题为主。
考点一：分式的概念和基本性质；
考点二：分式的约分、通分；
考点三：分式的运算（10年4考—11、12分式加减—10、15分
÷
用式子表示是: =
, =
(其中 M 是不等于 0 的整式).
5
命题点一：分式的概念和基本性质
考点精讲
4.分式的约分与通分
(1)约分:根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式
约去,叫做分式的约分.约分的结果必须是最简分式或整式.
(2)通分:根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同
分母的分式,这种变形叫分式的通分.通分的关键是确定最简
+
-
-
·,其中
a=-.
12
命题点二：分式的运算
中考真题
3．【2010·安徽·15·8】先化简,再求值:
-
÷
-+
,其
-
中 a=-1.
4.【2011·安徽,15,4分】先化简,再求值:
九年级数学【分式及运算】复习课件
分式的运算
不变 加减 通分
乘方 加减
约分 乘除
数与式 第三节 分式 第一章
分式的运算
7.化简： m－4 2＋2－m2m＝____－__m_－__2_____.
[解析]
原式＝ 4 － m2 ＝4－m2＝－m＋2m－2＝
m－2 m－2 m－2
m－2
－m－2.
8．已知 ab＝－1，a＋b＝2，则ab＋ab＝___－__6___. [解析] ab＋ab＝a2a＋bb2＝a＋ba2b－2ab＝22－2－×1－1＝－6.
[解析] 分母不为零，分式有意义．
3．若分式32xx－ ＋61的值为 0，则( D )
A．x＝－2
B．x＝－12
C．x＝12
[解析] 3x－6＝0，x＝2，而 2×2＋1≠0.
D．x＝2
数与式 第三节 分式 第一章 知识点3、4 分式的基本性质、通分、约分及最简分式
分式的基 分式的分子与分母都乘(或除以)
的值( D )
A．是原来的 20 倍
B．是原来的 10 倍
C．是原来的110
D．不变
[解析] 此题中 a，b 的值同时扩大到原来的 10 倍，即为分式
的分子、分母都乘 10，根据分式的基本性质，确定选 D.
m－2n 5．化简：m2－m42－mn4＋n24n2＝______m_＋__2_n__. [解析] 原式＝m＋m2n－2mn－2 2n＝mm－ ＋22nn.
数与式 第三节 分式 第一章
分式的运算
9．计算： (1)(－6ab2)2·－42ba2÷－3ba2； (2)y＋y2 2－y＋2.
解：(1)原式＝36a2b4·－42ba2
－b · 3a2
＝6ab3.
第04课时 分式及其运算 中考数学总复习课件PPT
高
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式
频
通分
考
③ 相等 的同分母的分式,叫做分式的通分
向 探
最简分式 分子与分母没有公因式的分式
究
最简
几个分式中,各分母的所有因式的最高次幂的积
课
公分母
时
分 层
变号法则
������������=--������������=--������������
=
������ ������
探 究
C.������������--������������=-1
D.������������
+
������ ������
=
������ ������
课 时
5.[2019·北京]若分式���������-���������的值为 0,则 x 的值为 1 .
分
层
训
练
考 点
考 点
考点二 分式的基本性质
知 识 梳
分式的 基本性质
������ ������
=
������ ������
·������ ·������
,
������ = ������÷������
������ ������÷������
(其中 a,b,m 是整式,b≠0,m≠0)
理
约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分
������������ ������������
(n 为整数,b≠0)
理
(续表)
高
(1)法则
频
在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,
考
向
中考数学复习《分式》考点归纳PPT课件
a c ac． bb b
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减．
用式子表示为： a c ad bc ad bc ． b d bd bd bd
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
a c ac ． b d bd
• （2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式， 约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大 公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
• 【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因 式．
4、最简分式
• 分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． • 【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能 成为整式。
5、通分及通分法则
• （1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的 分式，这一过程称为分式的通分．
• （2）通分法则
• 把两个或者几个分式通分：
• ①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因 式的积）；
• ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母， 使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
中考数学复习《分式》考点归纳PPT课件
• 1、分式的定义
（1）一般地，整式 A 除以整式 B，可以表示成 A 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称 B
A 为分式． B
（2）分式 A 中，A 叫做分子，B 叫做分母． B
【注】①若 B≠0，则 A 有意义；②若 B=0，则 A 无意义；③若 A=0 且 B≠0，则 A =0．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减．
用式子表示为： a c ad bc ad bc ． b d bd bd bd
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
a c ac ． b d bd
• （2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式， 约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大 公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
• 【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因 式．
4、最简分式
• 分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． • 【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能 成为整式。
5、通分及通分法则
• （1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的 分式，这一过程称为分式的通分．
• （2）通分法则
• 把两个或者几个分式通分：
• ①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因 式的积）；
• ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母， 使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
中考数学复习《分式》考点归纳PPT课件
• 1、分式的定义
（1）一般地，整式 A 除以整式 B，可以表示成 A 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称 B
A 为分式． B
（2）分式 A 中，A 叫做分子，B 叫做分母． B
【注】①若 B≠0，则 A 有意义；②若 B=0，则 A 无意义；③若 A=0 且 B≠0，则 A =0．
第1章 第3讲 分式-中考数学一轮考点复习课件ppt（共30张）
11. 先化简，再求值：a2－a 4÷1－2a，其中a＝5. 解：原式＝a2－a 4÷aa－2a ＝（a＋2）a（a－2）·a－a 2＝a＋2. 当a＝5时，原式＝5＋2＝7.
12．(2020·毕节)先化简，再求值：2xx22＋－21x－x2－x2－2xx＋1÷x＋x 1，其中x＝1＋ 2. 解：原式＝2xx＋（1x＋x－1）1 －x（x－x－112）＝ x－x 1·x＋x 1＝xx＋ －11. 当x＝1＋ 2时，原式＝11＋＋ 22－＋11＝2＋2 2＝ 2＋1.
x≠2且x≠±1且x≠－4
.
7.
已知1x－1y＝3，则分式2xx－＋23xxyy－－y2y＝
3 5
．
分式的运算
8．(2020·临沂)计算x－x 1－y－y 1的结果为( A )
－x＋y A.（x－1）（y－1）
B．（x－1x）－（yy－1）
C．（x－－1）x－yy－1）
D．（x－1x）＋（yy－1）
同分母
的分式，叫做分式的通分．
1．分式的概念 下列各式是分式的是 ③ ．
①35－πa；②a2＋b；③y2＋2 1；④1－x2.
2．分式有意义、值为0的条件
分式xx2－－39有意义的条件是 x≠3
，值为0的条件是 x＝－3
．
3．分式的基本性质 下列分式的变形中，正确的是 ② ．
①ba＝ba＋＋11；②0.02.a5－a＋0.b3b＝52aa＋－130bb；
∴ a是 方 程x2＋3x－ 1＝ 0的根，
∴ a2＋3a－ 1＝0.
∴ a2＋3a＝ 1.
∴原式＝12.
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练案·限时提分作业
ba±dc ＝badd±bbdc ＝adb±dbc
第3节分式-中考数学一轮知识复习PPT课件
3．通分：
(1)定义：把几个异分母的分式化为同___分__母__分式的过程叫做 分式的通分．通分的关键是确定各分母的_最__简__公___分__母__．
(2)确定最简公分母的方法： ①取各分母系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；取 各分母所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母的因式． ②若分母是多项式，则应先把各个分母分解因式，再确定最 简公分母． 温馨提示
2．分式有、无意义和值为 0 的条件： 条件
分式AB 有意义
__B__≠_0__
分式AB 无意义
__B_＝__0__
分式AB 的值为 0
__A_＝__0__且 B≠0
3.最简分式：分子与分母没有_公__因__式__的分式．
分式的基本性质
1．基本性质：分式的分子与分母都_乘__或___除__以___同一个不等
B．缩小 10 倍
C．是原来的23
D．不变
☞命题点3 分式的运算 A
1 x＋1
8．(2020·随州)x2－2 4
1 ÷x2－2x
的计
算结果为( B )
A.x＋x 2
B．x＋2x2
C．x－2x2
2 Dx（x＋2）
☞命题点4 分式的化简及求值(8年7考)
9.(2018·广东 18 题 6 分)先化简，再求值：
6．(2020·花都区一模)计算：x＋x 1 ＋x＋1 1 =___1__．
7．(12020·黄冈)计算：x2－y y2 ÷1－x＋x y 的结果 是_____x_－__y____．
8．(2020·东莞一模)先化简：1＋a2－1 1
a ÷a－1
，
请在－1，0，1，2，3 当中选一个合适的数代入求值．
3
分式中考总复习原创课件
2.下列分式中不是最简分式的是( )
C
全体实数
x≠2
x≠±2
4.计算：(1) (2)
3.计算：
x－2
a4b4
解：原式
解：原式
解：原式
(3)
5．已知 ,当x＝________时，A＝0； 当x＝________时，A无意义．
解：(1) (2)由已知，得x=1或2， 但x不能取1，所以x=2. 当x=2时, .
8．已知 求 的值．
解：由已知，得y－x=4xy，x－y=－4xy.原式=另解：原式=
第一章 数与式第3课 分式
1.分式的有关概念： (1)如果A，B分别是整式，并且B中含有________， 那么式子 叫做分式． (2)当B________时，分式 (A，B分别是整式)有意义．
2.分式的基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个________的整式， 分式的值__________．用式子表示为 或 (C≠____)，其中A，B，C均为整式．
【变式2】计算：
解：原式
【考点3】分式的化简求值
【例3】先化简，再求值：在0，1，2，这三个数中选一个合适的代入求值．
解：
根据分式的意义，x≠0，x≠2,所以x取1，当x=1时,原式= .
【变式3】已知 （ ),求 的值
－2
2
提示:先化简原式= ，当A=0时，分子x+2=0.解得x=－2.当A无意义时，分母x－2=0，解得x=2.
6.计算：（1）
解：原式
解：原式
（2）
7．已知(1)化简A；(2)当x满足不等式1≤x＜3，且x为整数时，求A的值．
字母,B≠ 0
3.分式的运算： (1)加、减 同分母； (2)乘、除 化简．
C
全体实数
x≠2
x≠±2
4.计算：(1) (2)
3.计算：
x－2
a4b4
解：原式
解：原式
解：原式
(3)
5．已知 ,当x＝________时，A＝0； 当x＝________时，A无意义．
解：(1) (2)由已知，得x=1或2， 但x不能取1，所以x=2. 当x=2时, .
8．已知 求 的值．
解：由已知，得y－x=4xy，x－y=－4xy.原式=另解：原式=
第一章 数与式第3课 分式
1.分式的有关概念： (1)如果A，B分别是整式，并且B中含有________， 那么式子 叫做分式． (2)当B________时，分式 (A，B分别是整式)有意义．
2.分式的基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个________的整式， 分式的值__________．用式子表示为 或 (C≠____)，其中A，B，C均为整式．
【变式2】计算：
解：原式
【考点3】分式的化简求值
【例3】先化简，再求值：在0，1，2，这三个数中选一个合适的代入求值．
解：
根据分式的意义，x≠0，x≠2,所以x取1，当x=1时,原式= .
【变式3】已知 （ ),求 的值
－2
2
提示:先化简原式= ，当A=0时，分子x+2=0.解得x=－2.当A无意义时，分母x－2=0，解得x=2.
6.计算：（1）
解：原式
解：原式
（2）
7．已知(1)化简A；(2)当x满足不等式1≤x＜3，且x为整数时，求A的值．
字母,B≠ 0
3.分式的运算： (1)加、减 同分母； (2)乘、除 化简．
初三复习课件：分式及其运算
∴原∴∴式原原＝式式－＝＝4－－－－22＝－－44122.＝＝11..
第4课 分式及其运算
题型分类 题型四 分式方程的解法
2x＋2 x＋2 x2－2 【例 4】 (2013·泰州)解方程： x －x－2＝x2－2x.
2（x＋1） x＋2 x2－2
解 原方程可变形为：
首
x
－x－2＝x（x－2），
页
方程两边同时乘以x(x－2)，得：
化检化检所化检所2(以以简验简验简验x＋，，得：得：得：1方方：把：把：把)(程程－－－xxxx＝＝＝－的的444xxx－－－2解解＝＝＝)121212－是是222代代代，，，x：：入入入(解解解xxx＋＝＝得得得xxx(((2：：：－－xxx)－－－＝11212xxx..＝2＝2＝2x)))2－－－≠≠≠－1212120002...，，，，故故故
首
页
_BA_＝__AB_××__MM_，__AB_＝__AB_÷÷__MM_((_MM_是_是_不_不_等_等_于_于_零_零_的_的_整_整_式_式_)_)．_．
第4课 分式及其运算
要点梳理
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其
中任何___两___个，分式的值不变．
时，去分母
后变形为
(D)
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
首 页
C．2－(x＋2)＝3(1－x)
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
解析 原方程化为：x－2 1－xx＋－21＝3， 去分母时，两边同乘以x－1，
得：2－(x＋2)＝3(x－1)．故选D.
第4课 分式及其运算
基础自测
ABAB无无意意义义；；当当____A__＝____0__且____B__≠____0__时时，，分分式式ABAB的的值值为为零零．．
中考数学基础复习第3课分式及其运算课件
∵x是16的算术平方根,∴x=4,
当x=4时,原式= 4 .
3
变式1.(202X·广元)先化简,再求值:
(1 a
a
a
1)
1 a a2 a
,其中a是关于x的方程
x2-2x-3=0的根.
【解析】原式=
1 a
a
a(a 1) a
a(a 1) 1 a
(1 a)(1 a) a(a 1)
a
1 a
(a 1)2 a2 2a 1，
x 1
4.(202X·徐州)计算 (1 1 ) a2 2a 1.
a 2a 2
【解析】原式=
a
1 a
（2（a a1）12）
2 a
.
5.(202X·盐城)先化简,再求值:
m m2 9
(1
3) m3
,其中m=-2.
【解析】原式=
m m2
9
(
m m
3 3
3 m
3
)
m m2
9
m m
3
m
m3 1 .
ac
=___ba_dc ___.
ac
3.分式的除法: a d a c =___b_d___.
b c b d an
4.分式的乘方: ( a )n =___b_n___.
b
【思维导图】
【学前检测】
1.(202X·金华丽水)分式 x 5 的值是零,则x的值为
x2
(D)
A.5
B.2
C.-2
D.-5
aab b）（a
b）
b
b
a
（a
b b）（a
b）
ba b
1， a＋b
人教版中考数学总复习分式课件
(-1)2
2(+2)
2
· +2
解:(1)原式=+1 −
(+1)(-1)
2
2-2+2
2-2
2
=+1 − +1 = +1 = +1.
不等式 x≤2 的非负整数解是 0,1,2.
答案不唯一,如:把 x=0
2
代入,得 =2.
0+1
(2)由 x2-x-2=0,得 x2-x=2.将 x2-x=2 代入原式,
得
2 -+2 3
2
(2 -) -1+ 3
=
2+2 3
2
2 -1+ 3
=
2 3
.
3
第一章 数与式
第3课时
分式
基础自主导学
规律方法探究
考点梳理
自主测试
考点一 分式
1.分式的概念:形如(A,B
是整式,且 B 中含有字母,B≠0)的式
子叫做分式.
2.分式有意义、无意义的条件:因为除数不能为 0,所以在分
式 中,若
B≠0,则分式 有意义;若 B=0,则分式 没有意义.
1.若分式2+1的值为零,则(
1
A.x=-2
B.x=2
)
1
C.x=
2
D.x=2
C.
D.
答案:D
2
2 -
2.化简
A.
答案:B
2
-
−
等于(
2
-
B.
)
第1章分式章末复习PPT课件
针对训练
6.某市在道路改造过程中，需要甲、乙两个工程队来完成这一工 程。已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队 铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同。 问甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？
解：设乙工程队每天能铺设x米； 则甲工程队每天能铺设（x+20）米， 依题意，得 350 250 ， 解得x=50， x 20 x 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意。
解： 由①+ ② +③，得
1 x
1 y
1 z
16
④，
由④- ①，④- ②，④- ③分别得：
1 7, 1 5, 1 4, zxy
x
1 5
,
所以
y
1 4
,
z
1 7
.
归纳拓展
分式方程组的解法也有一定的灵活性，关键是根据每个 问题的特点，选择适当的解答方法，特别提倡“一看，二慢， 三通过”的好习惯。
答：甲工程队每天能铺设70米，乙工程队每天能铺设50米。
考点六 本章数学思想和解题方法
主元法 2a b 例6：已知：a 2b
3 14
，求 a2 b2 的值。
a2 b2
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的情势，得 a 4 b ， 5
代入约分即可求值。
解： ∵ 2a b 3 a 2b 14
方法总结
分式有意义的条件是分母不为0；分式无意义的条件是 分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
针对训练
1.若分式 1 无意义，则a的值为 x3
-3 。
2.如果分式 a 2 的值为零，则a的值为 2 。 a2
考点二 分式的有关计算
分式及其运算(完整版)ppt课件
（1）x2
x 2x
(
x2
)
（分子分母都乘以 x）
（2）3x2 3xy xy
6x2
(
)
（分子分母都除以 3x）
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2） b bc a ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x x 1
(
)
（四）课堂练习
无意
-1 义 -1 0
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
练习3：
A
1、归纳：对于分式 B
（1） 分式无意义的条件是 B=0 。
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时，分式 x 有意义。 x2
5a2b2
4ab3cd
2bd .
10a2b2c2
5ac
课堂练习
练习1 计算：
（ 1 ） b a ； （ 2 ） 2b； （ 3 ） n y m y. ac a2 a m x n x
课堂练习
练习2 计算：
（1）3a 4b
196ab2 ； （2）
3xy
2y2 3x
；
（3）12xy 8x2y；（4）x y y x．
解： 即2011年与2010年相比，森林面积增长率提 高了 S 1 S 3 - S 2 2 ． S1S 2
八年级 上册
15.2 分式的运算
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算
中考数学分式及其运算一轮复习课件
考点2 .分式的性质和运算-对应训练
5．（202X•遂宁）先化简，再求值： m3 2 m2 m2 4m 4
9 m 3
m3
，其中m是
已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．解ຫໍສະໝຸດ m3 2m2m2 4m 4
9 m
3
m
3
m2 m 2 m2 2
9
m(m
3) m
3
性质 的值 不变 。
约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中1以外的公因式 约去，叫做分式的约分
最简分式
当一个分式的分子和分母，除去1以外没有其他的 这个分式叫做最简分式
公因式 时，
最简 取各分母系数的最小公倍数 与所有字母因式的次数最高项的积 公分母 作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母
则 x y 3xy a 3a 4
xy
a
考点2 .分式的性质和运算-提高训练
4.2021南. 充若
n n
m m
3, 则
m2 n2
n2 m2
解：n m 3, nm
n m 3(n m)
n 2m
m2 n2
n2 m2
m4 n4 m2 n2
m4 m2 •
2m 2m
4 2
m4 16m4 4 m4
把a 3 代入 2a 6 2 a 1
考点2 .分式的性质和运算-对应训练
3．（202X·张家界）先化简，
a2 4 a2 4a
4
a
a2
2 2a
a2 a
a 1
然后从0，1，
2，3中选一个合适的a值代入求解.
解： a2 4 a2 4a
4
a
a2
2024年福建省中考+专用数学一轮知识点梳理复习1.3 分式课件
的过程；②异分母分式加减过程的关键是 .
乘法 式的乘方把分子分母各自乘方，即＝.4.分式的混合运算应先算 ，再算 ，最后算 ，有括号的
定各分母的 .确定最简公分母的方法：
分式的基本性质
与原分式
相等的
最简公分母
①将所有分母进行因式分解；②取各分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；③取各分母所有相反因式的最高次幂的积作为最简公分母
的因式；④所得的系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积，即为最
先算括号里面的，实数的各种运算律也符合分式的运算，分式
运算的结果，一定要化成最简形式.
乘方
乘除
加减
注意点①注意分式混合运算顺序；②分式化简不同于解分式方程，化简过程中不能去分母；③分数线有除号和括号两重作用，同分母分式相加减（分子是
多项式），分子应整体加括号；④分式运算中含有整式，应视其分母为1的式子，然后按分式四
17.（1）（2023·威海）先化简÷，再从－3＜a＜
3的范围内选择一个合适的数代入求值.
解：（1）原式＝
要使分式有意义，a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，所以a不能为0，1，－1，取a＝2，当a＝2时，原式＝.
，
（2）（2023·烟台）先化简，再求值：÷
其中a是使不等式≤1成立的正整数.
，
解：（2）原式＝＝∵≤1，解得：a≤3，∵a是使不等式≤1成立的正整
D.x≠2
A
2.根据表格中的信息，y可能为（ C ）
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
*
无意义
*
－1
*
…
C
3.若分式的值为零，则m＝ .
乘法 式的乘方把分子分母各自乘方，即＝.4.分式的混合运算应先算 ，再算 ，最后算 ，有括号的
定各分母的 .确定最简公分母的方法：
分式的基本性质
与原分式
相等的
最简公分母
①将所有分母进行因式分解；②取各分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；③取各分母所有相反因式的最高次幂的积作为最简公分母
的因式；④所得的系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积，即为最
先算括号里面的，实数的各种运算律也符合分式的运算，分式
运算的结果，一定要化成最简形式.
乘方
乘除
加减
注意点①注意分式混合运算顺序；②分式化简不同于解分式方程，化简过程中不能去分母；③分数线有除号和括号两重作用，同分母分式相加减（分子是
多项式），分子应整体加括号；④分式运算中含有整式，应视其分母为1的式子，然后按分式四
17.（1）（2023·威海）先化简÷，再从－3＜a＜
3的范围内选择一个合适的数代入求值.
解：（1）原式＝
要使分式有意义，a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，所以a不能为0，1，－1，取a＝2，当a＝2时，原式＝.
，
（2）（2023·烟台）先化简，再求值：÷
其中a是使不等式≤1成立的正整数.
，
解：（2）原式＝＝∵≤1，解得：a≤3，∵a是使不等式≤1成立的正整
D.x≠2
A
2.根据表格中的信息，y可能为（ C ）
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
*
无意义
*
－1
*
…
C
3.若分式的值为零，则m＝ .
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A．不变 B．扩大 50 倍 C．扩大 10 倍 D．缩小到原来的110
(2)(2015·益阳)下列等式成立的是( C )
A.a1＋b2＝a＋3 b
B.2a2＋b＝a＋1 b
C.aba－bb2＝a－a b
D.－aa＋b＝－a＋a b
(3)(2014·济宁)已知 x＋y＝xy，求代数式1x＋1y－(1－x)(1－y)的值．
解：∵x＋y＝xy，∴x1＋1y－(1－x)(1－y)＝
y＋xyx－(1－x－y＋xy)＝xx＋yy－1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0
【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分 式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果 分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约 分应彻底；
[对应训练]
1．(1) 如果代数式x－x1有意义，那么 x 的取值范围是( D )
A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0 且 x≠1
(2)当 x＝－___3_时，分式|xx|－－33的值为 0.
【例 2】 (1)如果把x＋5xy的 x 与 y 都扩大 10 倍，那么这个代数式的值(A )
[对应训练] 3．(1)化简：(2015·泸州)m2＋m2m2 ＋1÷(1－m＋1 1)； 解：(1)原式＝（mm＋21）2÷mm＋＋1－1 1＝（mm＋21）2·mm＋1＝mm＋1
(2)(2015·连云港)化简：(1＝mm＋＋21·（mm＋（2）m（＋m1）－2）＝mm－2
【点评】 (1)根据分式定义：形如AB(A，B 表示两个整式)，且 B 中含 有字母，则式子AB叫做分式；
(2)分式有意义就是使分母不为 0，解不等式即可求出，有时还要考虑 二次根式有意义；
(3)首先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母 的值为 0，当它使分母的值不为 0 时，这就是所要求的字母的值．
5．(2015·莱芜)甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地， 则下列结论中正确的是( B)
A．甲乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与速度v有关
【例 1】 (1)(2016·原创)下列各式中，属于分式的是(B )
数学
第一章 数与式 分式及其运算
1(1．)形分如式的基AB本(A概，念B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0) 的式子叫分式；
(2)当 B≠0 时，分式AB有意义；
当 B＝0 时，分式AB无意义；
当 A＝0且B≠0
时，分式AB的值为零．
变，2分用．式式分子的式表分的示子基为与本分性母AB质都＝乘AB××(或MM除，以AB)＝同AB一÷÷MM个(M不是等不于等零于的零整的式整，式分) 式的值．不
6．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约 分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运 用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
1．分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习中，要注 意与分数进行类比学习理解．
2．分式运算中的常用技巧 分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：①分组通 分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分 ；⑥化积为差，裂项相消．
(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆 向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数 式的值．
[对应训练]
2．(1)下列计算错误的是( A )
A.00..27aa＋－bb＝27aa＋－bb B.xx32yy23＝xy C.ab－－ba＝－1 D.1c＋2c＝3c
(2)(2015·河北)若 a＝2b≠0，则aa22－－abb2的值为_32___．
x＋1 A. 2
3 B.x－1
2x＋5 C. π D.32(a＋b)
(2)(2015·金华)要使分式x＋1 2有意义，则 x 的取值应满足( D )
A．x＝－2 B．x≠2 C．x＞－2 D．x≠－2
(3)(2015·衡阳)若分式xx－＋21的值为 0，则 x 的值为( C )
A．2 或－1 B．0 C．2 D．－1
3．分式求值中的常用技巧 分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化 ．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入 法；⑤倒数法．
1．(2015·常州)要使分式x－3 2有意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠2
2．(2015·丽水)分式－1－1 x可变形为( D )
A．－x－1 1 B.x＋1 1 C．－x＋1 1
1 D.x－1
3．(2015·济南)化简mm－23－m－9 3的结果是(A )
A．m＋3
B．m－3
m－3 C.m＋3
m＋3 D.m－3
4．(2015·江西)下列运算正确的是( C )
A．(2a2)3＝6a6
C.a－b b＋b－a a＝－1
B．－a2b2·3ab3＝－3a2b5 D.a2－a 1·a＋1 1＝－1
4．最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简 分式． 5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的 根据是分式的基本性质．
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变 形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是 确定几个分式的最简公分母．
【例 3】 (2015·宜宾)化简：(a－1 1－a2－1 1)÷aa22－－1a. 解：原式＝（a＋a1＋）1（－a1－1）·（a＋a（1）a－（1a）－1） ＝（a＋1）a（a－1）·（a＋a（1）a－（1a）－1）＝a－1 1
【点评】 (1)分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加减，当分子是多 项式时，一定要添加括号； (2)分式化简时，分子分母能因式分解的一定先因式分解，既可方便确定最简 公分母，又有利于约分达到简化运算的效果； (3)乘除法是同级运算，必须严格按照从左到右的顺序，切不可先乘后除，如 a÷b×1b＝a 是错误的．
(2)(2015·益阳)下列等式成立的是( C )
A.a1＋b2＝a＋3 b
B.2a2＋b＝a＋1 b
C.aba－bb2＝a－a b
D.－aa＋b＝－a＋a b
(3)(2014·济宁)已知 x＋y＝xy，求代数式1x＋1y－(1－x)(1－y)的值．
解：∵x＋y＝xy，∴x1＋1y－(1－x)(1－y)＝
y＋xyx－(1－x－y＋xy)＝xx＋yy－1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0
【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分 式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果 分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约 分应彻底；
[对应训练]
1．(1) 如果代数式x－x1有意义，那么 x 的取值范围是( D )
A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0 且 x≠1
(2)当 x＝－___3_时，分式|xx|－－33的值为 0.
【例 2】 (1)如果把x＋5xy的 x 与 y 都扩大 10 倍，那么这个代数式的值(A )
[对应训练] 3．(1)化简：(2015·泸州)m2＋m2m2 ＋1÷(1－m＋1 1)； 解：(1)原式＝（mm＋21）2÷mm＋＋1－1 1＝（mm＋21）2·mm＋1＝mm＋1
(2)(2015·连云港)化简：(1＝mm＋＋21·（mm＋（2）m（＋m1）－2）＝mm－2
【点评】 (1)根据分式定义：形如AB(A，B 表示两个整式)，且 B 中含 有字母，则式子AB叫做分式；
(2)分式有意义就是使分母不为 0，解不等式即可求出，有时还要考虑 二次根式有意义；
(3)首先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母 的值为 0，当它使分母的值不为 0 时，这就是所要求的字母的值．
5．(2015·莱芜)甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地， 则下列结论中正确的是( B)
A．甲乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与速度v有关
【例 1】 (1)(2016·原创)下列各式中，属于分式的是(B )
数学
第一章 数与式 分式及其运算
1(1．)形分如式的基AB本(A概，念B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0) 的式子叫分式；
(2)当 B≠0 时，分式AB有意义；
当 B＝0 时，分式AB无意义；
当 A＝0且B≠0
时，分式AB的值为零．
变，2分用．式式分子的式表分的示子基为与本分性母AB质都＝乘AB××(或MM除，以AB)＝同AB一÷÷MM个(M不是等不于等零于的零整的式整，式分) 式的值．不
6．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约 分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运 用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
1．分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习中，要注 意与分数进行类比学习理解．
2．分式运算中的常用技巧 分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：①分组通 分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分 ；⑥化积为差，裂项相消．
(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆 向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数 式的值．
[对应训练]
2．(1)下列计算错误的是( A )
A.00..27aa＋－bb＝27aa＋－bb B.xx32yy23＝xy C.ab－－ba＝－1 D.1c＋2c＝3c
(2)(2015·河北)若 a＝2b≠0，则aa22－－abb2的值为_32___．
x＋1 A. 2
3 B.x－1
2x＋5 C. π D.32(a＋b)
(2)(2015·金华)要使分式x＋1 2有意义，则 x 的取值应满足( D )
A．x＝－2 B．x≠2 C．x＞－2 D．x≠－2
(3)(2015·衡阳)若分式xx－＋21的值为 0，则 x 的值为( C )
A．2 或－1 B．0 C．2 D．－1
3．分式求值中的常用技巧 分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化 ．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入 法；⑤倒数法．
1．(2015·常州)要使分式x－3 2有意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠2
2．(2015·丽水)分式－1－1 x可变形为( D )
A．－x－1 1 B.x＋1 1 C．－x＋1 1
1 D.x－1
3．(2015·济南)化简mm－23－m－9 3的结果是(A )
A．m＋3
B．m－3
m－3 C.m＋3
m＋3 D.m－3
4．(2015·江西)下列运算正确的是( C )
A．(2a2)3＝6a6
C.a－b b＋b－a a＝－1
B．－a2b2·3ab3＝－3a2b5 D.a2－a 1·a＋1 1＝－1
4．最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简 分式． 5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的 根据是分式的基本性质．
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变 形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是 确定几个分式的最简公分母．
【例 3】 (2015·宜宾)化简：(a－1 1－a2－1 1)÷aa22－－1a. 解：原式＝（a＋a1＋）1（－a1－1）·（a＋a（1）a－（1a）－1） ＝（a＋1）a（a－1）·（a＋a（1）a－（1a）－1）＝a－1 1
【点评】 (1)分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加减，当分子是多 项式时，一定要添加括号； (2)分式化简时，分子分母能因式分解的一定先因式分解，既可方便确定最简 公分母，又有利于约分达到简化运算的效果； (3)乘除法是同级运算，必须严格按照从左到右的顺序，切不可先乘后除，如 a÷b×1b＝a 是错误的．