人教B数学必修第一册课时分层作业9 充要条件 含解析

课时分层作业(九)充要条件

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

C[由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.]

2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C.充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A[当a＝3时，A＝{1,3}，所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；

反之当A⊆B时，a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3.

故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选A.]

3.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B[因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B.]

4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是()

A ．ab ＝0

B ．ab ＞0

C ．a 2＋b 2＝0

D ．a 2＋b 2＞0

D [a 2＋b 2＞0，则a ，b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2＞0.故选D.]

5.“xy ≥0”是“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

[答案] A

二、填空题

6．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的______条件． 充要 [因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0，

所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立．故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．]

7．若p ：x －3<0是q ：2x －3

{m |m ＞3} [由x －3<0得x <3，由2x －3

由p 是q 的充分不必要条件知

{x |x <3}⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12(m ＋3)， 所以12(m ＋3)＞3，解得m ＞3.]

8.设计如图所示的四个电路图，条件A ：“开关S 1闭合”；条件B ：“灯泡L 亮”，则A 是B 的充要条件的图为________．

乙 [对于图甲，开关S 1闭合灯亮，反过来灯泡L 亮，也可能是开关S 2闭合， ∴A 是B 的充分不必要条件．

对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S 1必须闭合，

∴A 是B 的充要条件．

对于图丙，∵灯亮必须S 1和S 2同时闭合，

∴A 是B 的必要不充分条件．

对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，

∴A 是B 的既不充分也不必要条件．]

三、解答题

9．求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

[解] ①当a ＝0时，解得x ＝－1，满足条件；

②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a ＜0； 若方程有两个负的实根，

则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＞0，－1a ＜0，Δ＝1－4a ≥0⇒0＜a ≤14.

综上，若方程至少有一个负实根，则a ≤14.

反之，若a ≤14

，则方程至少有一个负实根． 10．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.

[证明] 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根)

∵ac <0，

∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，

∴方程一定有两不等实根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a <0，

∴方程的两根异号．

即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．

必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac <0)，

∵方程有一正根和一负根，设为x 1，x 2，

则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a <0，

即ac <0.

综上可知：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.

[等级过关练]

1.若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )

A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件

B ．“x ∈

C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件

C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件

D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件

B [由A ∪B ＝

C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C

D /⇒x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．]

2．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }．已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝

max a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件

B ．充分而不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，

∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．