【2020-2021自招】湖南涟源市第一中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

第一套：满分150分

2020-2021年湖南涟源市第一中学初升高

自主招生数学模拟卷

一．选择题（共8小题，满分48分）

1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，

则BH：HG：GM=（）

A．3：2：1 B．5：3：1

C．25：12：5 D．51：24：10

2.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：

①x1=2，x2=3；②1

> ；

m

4

③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．

其中，正确结论的个数是【】

A.0

B.1

C.2

D.3

3.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）

A. B. C. D.

4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，

D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1

E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.

31003 B.320136 C.310073 D.

671

4

7．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．≤a ≤1

B ．≤a ≤2

C ．≤a ≤1

D ．≤a ≤2

8．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边

形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）

A.

n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 2

3

二．填空题：（每题7分，满分42分）

9．（7分）方程组

的解是 ．

10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．

11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．

12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．

13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．

14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，

P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．

三．解答题：（每天12分，满分60分）

15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

------++= .

(1) 求

111

xy yz zx

++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.

16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=?。求证：

222MN AM BN =+。

17．（12分）在0与21之间插入n 个正整数1a ，2a ，…，n a ，使其满足12021n a a a <<<<

18．（12分）如图，已知BC 是半圆O 的直径，BC=8，过线段BO 上一动点D ，作AD ⊥BC 交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH ⊥AO ，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH=BD ；

（2）设BD=x ，BE ?BF=y ，求y 关于x 的函数关系式；

（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当△FAE 与△FBG 相似时，求BD 的长度．

19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．

（1）求直线AB的表达式；

（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；

（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE 时，请直接写出满足条件的所有k2的值．

第一套：满分150分

2020-2021年湖南涟源市第一中学初升高自主招生

数学模拟卷参考答案

一.选择题：

1.【解答】解：连接EM，

CE：CD=CM：CA=1：3

∴EM平行于AD

∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA

∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3

∴AH=（3﹣）ME，

∴AH：ME=12：5

∴HG：GM=AH：EM=12：5

设GM=5k，GH=12k，

∵BH：HM=3：2=BH：17k

∴BH=K，

∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10

故选D．

2.【答案】C 。解答：①∵一元二次方程实数根分别为x 1、x 2，

∴x 1=2，x 2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。 ②一元二次方程（x －2）（x －3）=m 化为一般形式得：x 2－

5x ＋6－m=0，

∵方程有两个不相等的实数根x 1、x 2，

∴△=b 2－4ac=（－5）2－4（6－m ）=4m ＋1＞0，解得：1m 4

>-。

故结论②正确。

③∵一元二次方程x 2－5x ＋6－m=0实数根分别为x 1、x 2，

∴x 1＋x 2=5，x 1x 2=6－m ∴二次函数y=（x －x 1）（x －x 2）+m=x 2－（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＋m=x 2－5x ＋（6－m ）＋m=x 2－5x ＋6=（x －2）（x －3）。 令y=0，即（x －2）（x －3）=0，解得：x=2或3。

∴抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。 综上所述，正确的结论有2个：②③。故选C 。 3.【答案】B 。【分析】∵根据题意，得xy=20，∴()20

y=x>0,y>0x

。故选B 。 4.【答案】B 。

【分析】如图，在y x 2=-中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=

2 ，

∴A （0，－2），B （2，0）。∴OA=OB= 2 。

∴△AOB是等腰直角三角形。∴AB=2，

过点O作OD⊥AB，则OD=BD=1

2AB=1

2

×2=1。

又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。

∴直线y=x- 2 与⊙O相切。故选B。

5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．

【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：

S=，

又∵r=，∴a+b=2r+c，

将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．

又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．

【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．

6.解答：解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，

∴S△ABC=AC?BC=6，

∵D1E1⊥AC，

∴D1E1∥BC，

∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，

∵D1是斜边AB的中点，

∴D1E1=BC，CE1=AC，

∴S1=BC?CE1=BC×AC=×AC?BC=S△ABC；

∴在△ACB中，D2为其重心，

∴D2E1=BE1，

∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC?BC=S△ABC，

∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；

∴S n=S△ABC；

∴S 2013=×6=．

故选C．

7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），

再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，

把A点代入y=ax2得a=2，

把B点代入y=ax2得a=，

则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．

故选D．

【点评】此题考查学生的观察能力，把函

数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．

8.解答：解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，

∴平行四边形ABC1O1的面积为，

∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，

∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，

…，

依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．

二、填空题

9．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．

【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，

由②式又可变化为=26，

把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3 =13，

再代入又得﹣3=9，

解得ab=﹣27，

又因为a+b=26，

所以解这个方程组得或，

于是（1），解得；

（2），解得．

故答案为和．

【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．

10．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．

【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，

∴a=0，则左边式子ax=0，

∴b＜0一定成立，

∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．

【点评】本题是利用了反证法的思想

11．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．

【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，

∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；

当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，

当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，

则最大值与最小值之差为1．

故答案为：1

【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．

12．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因

为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．

【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），

又∵P2007在y=上，

∴Px2007=．

而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，

∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．

故答案为：．

【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．

13．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．

【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=

∴n=120°即扇形的圆心角是120°

∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3

【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

14．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．

【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．

∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，

∴△AEF∽△ABC，

∴==．

∴EF=．

∴折线长=2EF=．

故答案为．

【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．

三、解答题

15.【解析】

（1）解：由等式

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，

222222222222

()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ??++-+++++++++-=??

()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，

∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，

()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=

1.x y z

xyz

++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,

9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥

∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.

【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++

222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++

222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++

222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】

16.【答案】如图，作点A 关于直线MC 的对称点D ，连结DA 、DM 、DC ，DN ，则

MDC MAC △≌△。

∵ ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，且45NCM ∠=?， ∴ 45DCN DCM MCA ACN DCM ∠=∠+∠+∠=∠+?，

90(45)4545BCN BCA NCA MCA MCA DCM ∠=∠-∠=?-?-∠=?+∠=?+∠。 ∴ DCN BCN ∠=∠。 又CD CA CB ==，CN CN =。

∴ DCN BCN △≌△。 ∴ ND NB =，45CDN CBN ∠=∠=?。 又由MDC MAC △≌△，知

180********CDM CAM CAB ∠=∠=?-∠=?-?=?。

∴ 1354590MDN MDC NDC ∠=∠-∠=?-?=?。 ∴ MD DN ⊥。 又MD MA =，∴ 22222MN DM DN AM BN =+=+。 另解：如图，CBN △沿CN 翻折得CDN △，则DCN BCN △≌△。 ∴ CD CB CA ==，DN BN =，45CDN CBN ∠=∠=?，DCN BCN ∠=∠。 ∵ 45NCM ∠=?，

∴ 459045DCM DCN MCN BCN ACN ∠=∠-∠=∠-?=?-∠-?

45ACN ACM =?-∠=∠。

又CD CA =，CM CM =。

∴ DCM ACM △≌△。

∴ MA MD =，135CDM CAM ∠=∠=?，90MDN CDM NDC ∠=∠-∠=?。 ∴ 22222MN DM DN AM BN =+=+。

17.【解答】 ∵ 2n +个数至多可以表示

(1)(2)

(1)(1)212

n n n n n +++++-+++=

L 个不同的且为正数的差。 ∴ 依题意有，(1)(2)

212

n n ++≥，即(5)(8)0n n -+≥。

∴ 5n ≥。 下面证明5n =不符合要求。 若5n =符合要求，则由5n =时，

(1)(2)

212

n n ++=知，

由0，1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，21这7个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21

个数：1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，21，21a a -，31a a -，41a a -，51a a -，121a -，

32a a -，42a a -，52a a -，221a -，43a a -，53a a -，321a -，54a a -，421a -，521a -互不相同。于是它们是1，2，3，…，21的一个排列。

记这21个数的和为S ，则

1122334455(5)(24)(33)(42)(5)621S a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+?

12454224621a a a a =--+++?。可见S 为偶数。

另一方面，2122

123212312

S ?=++++==L 为奇数，与S 为偶数矛盾。

∴ 5n =不符合要求。 6n =符合要求。如插入2，5，8，12，19，20。

（不唯一） 可以验证：用0，2，5，8，12，19，20，21这8个数中某两个数的差可以表示1，2，3，…，21中任意一个数。

（12120=-，22119=-，385=-，4128=-，550=-，682=-，

71912=-，82012=-，92112=-，10122=-，11198=-，12208=-，13218=-，14195=-，15205=-，16215=-，17192=-，18202=-，

19190=-，20200=-，21210=-。

）

可见n的最小值为6。

18.【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；

（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；

（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．

【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，

∴∠ADO=∠BHO=90°，

在△ADO与△BHO中，

，

∴△ADO≌△BHO（AAS），

∴OH=OD，

又∵OA=OB，

∴AH=BD；

（2）解：连接AB、AF，如图1所示，

∵AO是半径，AO⊥弦BF，

∴∴AB=AF，

∴∠ABF=∠AFB，

在Rt△ADB与Rt△BHA中，

，

∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），

∴∠ABF=∠BAD，

∴∠BAD=∠AFB，

又∵∠ABF=∠EBA，

∴△BEA∽△BAF，

∴=，

∴BA2=BE?BF，

∵BE?BF=y，

∴y=BA2，

∵∠ADO=∠ADB=90°，

∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，

∵直径BC=8，BD=x，

∴AB2=8x，

则y=8x（0＜x＜4）；

方法二：∵BE?BF=y，BF=2BH，∴BE?BH=y，

∵△BED∽△BOH，

∴=，

∴OB?BD=BE?BH，

∴4x=y，

∴y=8x（0＜x＜4）；

（3）解：连接OF，如图2所示，

∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，

∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，

∵∠BHA=∠ADO=90°，

∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠AEF=∠AOD，

∴∠G=∠AOD，

∴AG=AO=4，

∵∴∠AOD=∠AOF，

∴∠G=∠AOF，

又∵∠GFO是公共角，

∴△FAO∽△FOG，

∴=，

∵AB2=8x，AB=AF，