度量空间的可分性与完备性

1.3 度量空间的可分性与完备性

在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．

1.3.1 度量空间的可分性

定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．

注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．

定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；

(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞

=；

(3) B A ⊂（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）；

(4) 任取0δ>，有(,)x A

B O x δ∈⊂U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合

覆盖B ．

证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．

定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．

证明 由定理1.1知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□

注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}

(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：

(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．

(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：

(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．

定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．

注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．

例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}

证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=L L 为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．

对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =L ，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =L )，存在有理数

列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中

12(,,,)k k k k n r r r r =L ，1,2,.k =L

现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有

||k

i i r x -<

1,2,,i n =L

取

12max{,,,}n K K K K =L ，当k K >时，对于1,2,,i n =L ，都有||k i i r x -<

，因此

(,)k d r x ε=

即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□

例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}

证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得

(,)max |()()|2

a t b

d x p x t p t εεε

≤≤=-<

另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得

00(,)max |()()|2

a t b

d p p p t p t εεε

≤≤=-<

因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□

例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．

证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在

[,]p L a b 中稠密．□

例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．

证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈L L L N ，显然o E 等价于1n n Q ∞

=U ，可知o E 可数，

下面证o E 在p l 中稠密．

12(,,,,)p n x x x x l ∀=∈L L ，有1||p i i x ∞

=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，