6、图像变换(1 基础、Radon、Hadamard、Ft)

f 0,1 f 1,1 ...
... ... ...
f N 1,1 ...
f 0, N 1 f 1, N 1 ... f N 1, N 1
g 0,1 g 0,0 g 1,0 g 1,1 G ... ... g N 1,0 g N 1,1
数字图像处理
2、图像Radon变换
数字图像处理
• 读入图像，然后调用radon函数，变换后绘制出如 下所示图形。可以看到图像变换后得到的是一个 线图，也就是说Radon变换后变成了一维数组。 变换的基本原理是在指定方向进行灰度投影计算。 例如上面程序中的图像0371.bmp大小为[172 168]， 宽度为168。 • 以图像中心作为原点，向水平方向投影，颜色值 和在100左右，如图4-1(b)所示。 • 以图像中心作为原点，向与水平成30度角的方向 投影，颜色值投影相加的情况显示在图4-1(c)中。
数字图像处理
2、图像Radon变换
数字图像处理
• 由于radon变换将图像变换到按角度投影区 域，可以应用与检测直线，通过将图像矩 阵在多角度做积分投影，再对得到的数据 做统计分析，可以确定出图像的一些基本 性质。
2、图像Radon变换
数字图像处理
• MATLAB中的逆Radon变换函数，是利用滤 波后向投影算法来计算逆变换: R=iradon(R,theta) • 其中R=radon(I,theta)是图像I的Radon变换。 • 下面例题先利用radon函数计算一组旋转角 度下的Radon变换R，R是二维数组，记载 着对应于每个角度的变换后的数据。然后 利用R及旋转角度，使用函数iradon重建图 像。
频域世界与频域变换
数字图像处理
• 任意波形可分解为正弦波的加权和
(a)
(b)
(c)
(d)
频域与时域
数字图像处理
11 9
7
5 3 1
sum13579 t sum1357 sum13 sum 135
1、图像变换
数字图像处理
• 图像可以看作是一个矩阵，所谓图像变换， 就是通过变换矩阵，将图像矩阵变换成另 一个矩阵。变换后的矩阵能得到某些图像 的信息。 • 通常，变换后的图像能体现图像的频率特 征，可以用于图像的数据压缩和各种处理。
均匀图像上的Radon变换
2、图像Radon变换
数字图像处理
• radon变换大致可以这样理解 • 一个平面内沿不同的直线（直线与原点的 距离为p，方向角为 ）对f(x,y)做线积分， 得到的像F(p, )就是函数f 的Radon变换。
Y t` zq p t


R f ( p, ) F ( p, ) f ( x, y)dl
变换核是可分离的。
– 假如： • g1x, u g 2 y, v ， h1x, u h2 y, v 则称变换是加法对
称的。
– 此时，正变换可表示为：
F u, v f x, y g x, u g y, v
x 0 y 0 N 1 N 1
1、图像变换
数字图像处理
• 频率通常是指某个一维物理量随时间 变化快慢程度的度量。 • 例如
– 交流电频率为50～60Hz（交流电压） – 中波某电台1026kHz（无线电波）
1、图像变换
数字图像处理
• 图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐 标轴，图像本身所在的域称为空间域 （Space Domain）。 • 图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频 率来度量，称为空间频率（Spatial Frequency）
• •
g x, y, u, v 称为正变换核 hx, y, u, v 称为逆变换核
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 正变换核 g x, y, u, v – 逆变换核 hx, y, u, v
y v
x
u
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 假如： • g x, y, u, v g1x, u g2 y, v ，hx, y, u, v h1 x, u h2 y, v 则称
F u, v f x, y g y, v g x, u x 0 y 0
N 1 N 1
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 即二维的变换可分离成两次的一维变换：
• 先对行进行变换： F x, v f x, y g y, v
2、图像Radon变换
数字图像处理
2、图像Radon变换
• • • • • • A= imread('0372.bmp'); [C,x1]=radon(A,0); [D,x2]=radon(A,30); subplot(1,3,1); imshow(A) subplot(1,3,2); plot(x1,C) subplot(1,3,3); plot(x2,D)
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换必需满足一下三个条件：
–(3) 变换的算法简单，最好有快速算 法。 –图像的变换通常要经过两次矩阵乘 法的运算，运算的速度关系到图像 变换的好坏。 –大多数图像变换，要求图像是方阵， 且行列数是2的幂次方才有快速算法。
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换通常是一种二维正交变换。
• 正变换 F u , v
f x, y g x, y, u, v
x 0 y 0
N 1 N 1
• 逆变换 f x, y
。
F u, v hx, y, u, v
u 0 v 0
N 1 N 1
• 其中： u, v 0,1,2,... N 1 x, y 0,1,2,..., N 1 ；
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换必需满足一下三个条件：
–(1) 变换是可逆的。 –变换后的图像能保持原始图像的信 息，可以通过逆变换矩阵把图像真 实复原。
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换必需满足一下三个条件：
–(2) 变换后能给图像的进一步运算带 来方便。 –也就是说，图像的变换具有一定的 含义，变换后的图像要么体现图像 的某些特征，要么在数据上带来某 些方便的处理。
Biblioteka Baidu
l
X
2、图像Radon变换
数字图像处理
• 在MATLAB中实现这个变换的函数为 • radon，其语法格式为： R=radon(I, theta) [R, xp]=radon(…) • R为返回的积分，xp为返回的坐标， theta 为投影的夹角
2、图像Radon变换
• • • • • • • • • A= imread('0372.bmp'); [C,x1]=radon(A,0); [D,x2]=radon(A,30); subplot(1,3,1); imshow(A) title('origine image'); subplot(1,3,2); plot(x1,C) title('0度方向的radon变换曲线'); subplot(1,3,3); plot(x2,D) title('30度方向的radon变换曲线');
f H T FH H T (GT fG ) H (GH )T f (GH ) I T fI f
– 即，要使变换可逆，必需要求变换是正交变换。
–所以，图像变换，就是找出这样 的变换矩阵，产生正交变换。
1、图像变换
数字图像处理
• 每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的 变换
傅里叶(Fourier)变换
数字图像处理
• 2、变换公式
–若 – g x, u 可表示成
g 0,1 g 0,0 g 1,0 g 1,1 G ... ... g N 1,0 g N 1,1
F 0,1 F 0,0 F 1,0 F 1,1 F ... ... F N 1,0 F N 1,1
F1 0, N 1 ... F1 1, N 1 ... ... ... F1 N 1, N 1 ...
– F x, v 可表示成
– 显然有： x, v f x, y g y, v 可表示成：F1 fG F
1、图像变换
g 0, N 1 ... g 1, N 1 ... ... ... g N 1, N 1 ...
F 0, N 1 ... F 1, N 1 ... ... ... F N 1, N 1 ...
– F u, v 可表示成
• 通过这些投影，可以获取图像在指定方向 上的突出特性，这在图像模式识别等处理 中可能会用到。
2、图像Radon变换
数字图像处理
• Radon变换（拉东变换），就是将数字图像 矩阵在某一指定角度射线方向上做投影变 换。这就是说可以沿着任意角度θ来做 Radon变换。
2、图像Radon变换
数字图像处理
离散余弦(DCT)变换 沃尔什(Walsh)变换 哈达玛(Hadamard)变换 图像变换 霍特林(Hotelling,K-L)变换
拉东(Radon)变换
小波(Wavelet)变换
等等
主要内容
数字图像处理
• • • •
1、图像变换 2、图像Radon变换 3、图像Hadamard变换 4、图像傅里叶变换
2、图像Radon变换
数字图像处理
• • • • • • • • • •
B= imread('0371.bmp'); T=0:10:180; [C, x]=radon(B,T); D=iradon(C,T); subplot(1,3,1); imshow(B) title('origine image'); subplot(1,3,2); imagesc(T, x, C) title('0-180度方向的radon变换曲线集合'); subplot(1,3,3); image(D) title('iradon变换后的图像');
F – 显然有： u, v F x, v g x, u 可表示成： GT F1 F
x 0
N 1
– 则有： F G T fG
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 变换有： F G T fG – 同样反变换有： f H T FH – 显然，若 HG I ，则：
y 0 N 1
• 再对列进行变换：
y
F u, v F x, v g x, u
x 0
N 1
v
v
x
x
u
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 用矩阵来表示： – f x, y 可表示成 – g y, v 可表示成
f 0,0 f 1,0 f ... f N 1,0
2、图像Radon变换
数字图像处理
• 图像投影，就是将图像在某一方向上做线 性积分（或理解为累加求和）。 • 如果将图像看成二维函数f(x, y)，则其投影 就是在特定方向上的线性积分.
– 比如f(x, y)在垂直方向上的线性积分就是其在x 轴上的投影； – f(x, y)在水平方向上的线积分就是其在y轴上的 投影。
– 正交变换的特点是在变换域中图像能量 将集中分布在低频率成分上；边缘、线 状信息反映在高频率成分上，有利于图 像处理。 – 因此正交变换广泛应用在图像增强、图 像恢复、特征提取、图像压缩编码和形 状分析等方面。
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 图像变换都是二维的离散变换，通用公式由下 列两式给出：
F1 0,1 F1 0,0 F 1,0 F1 1,1 F1 1 ... ... F1 N 1,0 F1 N 1,1
N 1 y 0
g 0, N 1 ... g 1, N 1 ... ... ... g N 1, N 1 ...
数字图像处理
2013年11月
主要内容
数字图像处理
• • • •
1、图像变换 2、图像Radon变换 3、图像Hadamard变换 4、图像Fourier变换
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换的目的在于：
–1. 使图像处理问题简化； –2. 有利于图像特征提取； –3. 有助于从概念上增强对图像信息 的理解。