6、图像变换(1 基础、Radon、Hadamard、Ft)
Radon变换知识讲解
• 对f(x,y)的Radon变换R f ( p, ) 定义为沿由 p 和
定义的直线l的线积分 。其用于Radon变换的坐 标系如下：
Y
（x,y)
t| zq
p t
l X
• 上述线的积分可以表示为：
Rf(p, ) f(x,y )dl
Rf ap,at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
• 常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：
•
Rf af , at a 1 Rf p,t （放缩性）
• 若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数
R f p , t R f p , t
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
• Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并 没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0， 而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单 的Delta函数：
(x )
0,x 1,x
0 0
• 结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
(p
x
cos
y
sin )
0,p 1,p
x cos x cos
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
Radon变换资料讲解
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质 方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以 得到所需要的效果。
• 其方法为：
• 首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维 Radon域，并在 Radon域应用高阶统计量对PSF进 行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶 统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作 为MA过程，使用高阶统 计量方法对模型参数进 行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考 虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF， 通过Richardson- Lucy(RL)迭代解卷积算法在 Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图 像域来求得原图像。
第6章 遥感数字图像处理_图像变换(1)
傅里叶变换是变换域分析中广泛使用
的工具。把傅里叶变换的理论与遥感图像 的物理解释相结合,有利于解决大多数遥感 图像处理问题。
傅里叶变换指非周期函数的正弦和或余弦 和乘以加权函数的积分表示，1965年快速 傅里叶变化算法（FFT）出现后得到大规模 应用。 傅里叶变换分为连续傅里叶变换和离散傅 里叶变换，在数字图像处理中常用的是离 散傅里叶变换。
设x(t)为（- ∞ ，+ ∞ ）上连续函数，在一定 条件下，有如下关系：
X（f） x(t )e
i 2ft
i 2ft （1） x(t ) X ( f )e df dt
（2）
公式(1)称为傅里叶变换，公式(2)称为傅里叶 逆变换。 X(f)为x(t)的连续频谱，简称频谱。 公式(1)中，可以由信号x(t)求出相应的频谱X(f)， 这个过程称为频谱分析。在图像处理中，该过 程称为傅里叶变换。
式中：H(u,v)为传递函数，或滤波器，直接影响变换的 结果。
给定了原始图像f(x,y)，计算得到F(u,v)之后，目的是要选 择H(u,v)，然后通过下式：
g ( x, y) F 1H (u, v) F (u, v)
计算后得到所需的图像效果。F-1表示傅里叶逆变换。 利用函数H(u,v)强调F(u,v)的高频分量，使f(x,y)的边缘得到 增强，也可以强调F(u,v)的低频分量，使图像颗粒噪声得 以消除。
图像理论把通信中的一维问题推广到二维空间进行研究。
通信研究的是一维时间信息，图像研究的是二维空间信息； 通信研究的是时间域和频率域之间的关系，图像理论研究 的是空间域和频率域之间的关系。 图像理论认为：平面图像是由许多相位、振幅不同的x-y 方向的空间频率叠加的结果。空间上高频率波决定图像的 细节，空间上低频率波决定图像的背景和动态范围。
《图像变换》ppt课件
6.1 主成分变换
实例
➢ 将Landsat TM的6个波段及SAR的全色波段组成一个向量集：
X T1 ,T M 2 ,T M 3 ,T M 4 ,T M 5 ,T M 7 ,S M T AR
➢ 上述7个波段图像经过K-L变换后，得到的特征向量矩阵为：
299.9617 46.8219 15.1973 62.8113 45.672548.4156 73.3472 46.8219 16.2920 49.218 19.4162 14.852813.6120 21.4375
植被指数fy1c卫星图像得到全球10天ndvi合成图像3664彩色变换641his彩色变换642彩色变换的应用3764彩色变换641his彩色变换遥感图像处理系统中还经常会采用his模型色调hue强度tensity饱和度saturation称为色彩的三要素h色调i强度s饱和度模型不是基于色光混合来再现颜色的它表示的彩色与人眼看到的更为接近
➢ 例如：安康的植被在0.65 μm附近有一个明显的吸收谷，反射率很低；在 0.7-0.8μm处是一个陡坡，反射率急剧上升，并在0.8-1.3μm之间构成一个 高的、反射率可达40%或更大的反射峰，这种反射光谱曲线是含有叶绿素 植物的共同特点(叶绿素反射特征)。红外波段植被与淡色土壤、红波段的 植被与深色土壤及水体反射率接近，无法分开。当用红外波段减红波段时， 由于植被在这两个波段的反射率差别很大，相减后植被具有很高的差值； 而土壤和水体在这两个波段的反射率差别很小，差值很小，因此在差值图 像中植被信息得到突出，很容易确定其分布区域。
y3—黄度分量〔黄度指数，Yellow Stuff〕，植被的枯 萎程度；
y4—噪声，无实践意义。
K6-T.2变缨换帽TM变的换转换系数
Radon变换资料讲解
写成极坐标形式为：
f
x,
y
0
d
q
F
qt
exp
j
2qpdp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F 1 q F q tF 1 q F 1 F q t
• 上式等号右边的第二项等于Radon变换 Rf x,y
• 4、平移性
• 给定 R f x, y Rf p, cos ,sin ，则对任意的常数
a和b，f x a, y b的Radon变换可以如下计算：
R f x a, y b Rf p a cos bsin,t
• 5、微分
•
这里只考虑 到。
f x
，其他结果可以用相同的方法得
f
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
• 将 q 的1-D傅里叶反变换表示为：
F1
q
F
1 q
sgn
q
F
1j2q
F
1
sgn q
j2
• 利用微分性质，可将上式第2个等号右边的第一 个反变换表示为：
F -1 j2 p
• 利用柯西值 ，可将上式第2个等号右边的第2 个反变换表示为：
• 正变换：图像空间到其他空间 • 反变换：其他空间到图像空间
8.图像变换技术
8.图像变换技术经过图像变换后，⼀⽅⾯能够更有效地反映图像⾃⾝的特征，另⼀⽅⾯也可使能量集中在少量数据上，更有利于图像的存储、传输和处理。
8.1 图像Radon变换从检测器获取投影数据的过程，就是图像中的Radon变换。
8.1.1 Radon正变换1 %对图像进⾏0°和45°⽅向上的Radon变换2 clear all; close all;3 I=zeros(200, 200); %建⽴图像4 I(50:150, 50:150)=1;5 [R, xp]=radon(I, [0, 45]); %Radon变换6 figure;7 subplot(131);imshow(I);8 subplot(132);plot(xp, R(:, 1)); %0° Radon变换结果9 subplot(133);plot(xp, R(:, 2)); %45° Radon变换结果1011 %对图像从0°到180°每隔10°做Radon变换12 clear all; close all;13 I=zeros(200, 200);14 I(50:150, 50:150)=1;15 theta=0:10:180; %⾓度值16 [R, xp]=radon(I, theta); %Radon变换17 figure;18 subplot(121);imshow(I);19 subplot(122);imagesc(theta, xp, R); %绘制各个⾓度变换结果20 colormap(hot); %设置调⾊板21 colorbar; %添加颜⾊条2223 %Radon变换检测直线24 clear all; close all;25 I=fitsread('solarspectra.fts');26 J=mat2gray(I); %转换为灰度图像27 BW=edge(J); %获取边缘28 figure;subplot(121);imshow(J);29 subplot(122);imshow(BW);30 theta=0:179; %⾓度31 [R, xp]=radon(BW, theta); %Radon变换32 figure;imagesc(theta, xp, R); %绘制各个⾓度变换结果33 colormap(hot); %设置调⾊板34 colorbar; %添加颜⾊条35 Rmax=max(max(R)) %获取最⼤值36 [row, column]=find(R>=Rmax) %获取⾏和列值37 x=xp(row) %获取位置38 angel=theta(column) %获取⾓度8.1.2 Radon反变换1 %Radon反变换恢复图像2 clear all; close all;3 I=imread('circuit.tif');4 theta=0:2:179;5 [R, xp]=radon(I, theta); %Radon变换6 J=iradon(R, theta); %Radon反变换7 figure;8 subplot(131);imshow(uint8(I));9 subplot(132);imagesc(theta, xp, R);10 axis normal;11 subplot(133);imshow(uint8(J));iradon()函数利⽤R矩阵各列的投影来构造图像I的近似值。
(完整版)数字图像处理题库
[题目]数字图像[参考答案]为了便于用计算机对图像进行处理，通过将二维连续（模拟）图像在空间上离散化，也即采样，并同时将二维连续图像的幅值等间隔地划分成多个等级（层次），也即均匀量化，以此来用二维数字阵列表示其中各个像素的空间位置和每个像素的灰度级数（灰度值）的图像形式称为数字图像。
图像处理[参考答案]是指对图像信息进行加工以满足人的视觉或应用需求的行为。
题目]数字图像处理[参考答案]是指利用计算机技术或其他数字技术，对一图像信息进行某此数学运算及各种加工处理，以改善图像的视觉效果和提高图像实用性的技术。
一、绪论(名词解释，易，3分)[题目]图像[参考答案]是指用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的、可以直接或间接作用于人的视觉系统而产生的视知觉的实体。
一、绪论(简答题，难，6分)[题目]什么是图像？如何区分数字图像和模拟图像？[参考答案]“图”是物体透射或反射光的分布，是客观存在的。
“像”是人的视觉系统对图在大脑中形成的印象或认识，是人的感觉。
图像是图和像的有机结合，既反映物体的客观存在，又体现人的心理因素；图像是对客观存在的物体的一种相似性的生动模仿或描述，或者说图像是客观对象的一种可视表示，它包含了被描述对象的有关信息。
模拟图像是空间坐标和亮度(或色彩)都连续变化的图像；数字图像是空间坐标和亮度(或色彩)均不连续的、用离散数字(一般是整数)表示的图像。
[题目]简述研究图像恢复的基本思路。
[参考答案]基本思路是，从图像退化的数学或概率模型出发，研究改进图像的外观，从而使恢复以后的图像尽可能地反映原始图像的本来面日，从而获得与景物真实面貌相像的图像。
一、绪论(简答题，易，5分)[题目]简述研究图像变换的基本思路。
[参考答案]基本思路是通过数学方法和图像变换算法对图像的某种变换，以便简化图像进一步处理的过程，或在进一步的图像处理中获得更好的处理效果。
一、绪论(简答题，易，5分)[题目]简述一个你所熟悉的图像处理的应用实例。
图象变换1正交变换傅立叶变换
2024年10月13日
第三章 图像变换
31
W的定义表达式W=e-j2π／N，由欧拉公式知系数W是以N为周
期的。这样，W阵中很多系数就是相同的， 且由于W的对称性，
即
N
W2
j 2 N
e N 2
ux N
1,W 2
N
W ux W 2
W ux
因此可进一步减少计算工作量。
例如，对于N=4， W阵为
W 0 W 0 W 0 W 0
2024年10月13日
第三章 图像变换
11
一维傅立叶变换的定义
f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：
F (u) f (x)e j2uxdx
其反变换为：
f (x) F (u)e j2uxdu
式中：j 1 ，x称为时域变量，u为频域变量。
通常傅立叶变换为复数形式F(u)=R(u)+jI(u)
1 N 1
2ux
2ux
f (x)(cos j sin ) (3 1)
N x0
N
N
完成全部DFT运算的计算量与N2成正比。特别是当N较大 时，其运算时间将迅速增长， 以至于无法容忍。
为此，研究离散傅立叶变换的快速算法（Fast Fourier Transform，FFT）非常必要。
2024年10月13日
1
幅度谱： F (u) R2 (u) I 2 (u) 2 相位谱： (u) arctan[I (u) / R(u)]
2024年10月13日
第三章 图像变换
12
变换分析的直观说明
2 1.299
1
h( t)
4
2
0
2
4
1
Radon变换
f x, y
0
d q F qt exp j 2qp dp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F q F qt F q F F qt
R f ( p, ) f ( x, y) ( p x cos y sin )dxdy
- -
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出， 所以借助Delta函数的性质，可知上式就为l的线积 分。 Rf (p , ) 并不是定义在极坐标系统中的， 注意： 而是定义在一个半圆柱的表面。Radon空间示例如 下：
• 3、Radon变换的盲图像恢复 • 所谓盲图像恢复，就 是仅从降质图像中将扩展 函数（PSF）和原始图像都恢复出来。 • 在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量 的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、 运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和 变形。图像恢复的目的就是对退化图像进行处理， 使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的 优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分 重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研 究热点之一。
• 经典的图像恢复方法主要是针对已知或对图像 有特殊的限制和规定的情况下对图像进行恢复， 但是点扩展函数 (PSF)的信息在实际中很难获取 或者说测量代价高，因此这些对PSF要求有先验 知识的方法在实际中并不可取。实际中，PS... 展开 在获取图像的过程中有许多因素会 导致图 像质量的下降即降质，如光学系统的像差、大气 扰动、运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的 模糊和变形。
R f ap, at
4图像变换
1
n1
(1) , bi ( x)bn1i (u)
一维变换：
N i0
N 2n
N1
W (u)
f (x)g(x,u)
1
N 1
n1
f ( x) (1)bi ( x)bn1i (u)
x0
N x0
i0
式中bk(z)是z的二进制表达中的第k位（取0或1值）； 例如n=3时，若z=6=1102，则b2 (z)=1， b1(z)=1， b0 (z)=0 。
• 举例： Walsh变换核的值求解过程
设N=8（n=3），则 g（x,u）= （1/8）∏ (-1)bi (x)b2-i(u)；i=0,1,2
• 求g（0,0），即x=0=0002； u=0=0002，
显然，b2（0）=0， b1（0）=0， b0（0）=0 ，
所以， g(0,0) = (1/8)(-1)0*0×(-1)0*0 ×(-1)0*0 = 1/8 。
•
N x0
• F(u)是复函数，即
• F(u) =R(u)+j I(u)= |F(u)| exp[j] ；
• 幅度谱：|F(u)| = [R(u)2+I(u)2]1/2；
• 相位角： (u) = arctan [I(u)/R(u)]； N 1
• 反变换：f (x) F (u) exp j2 ux / N ，x=0,…,N-1； u0
• 它们的离散卷积可以如下定义
fe (x) ge (x)
1 M
M 1 m0
fe (m)ge (6
§3.1 傅里叶变换（FT）
• (2)2D傅立叶变换的定义
• 将两个2D函数进行周期性扩展为：
f (x, y) 0 x A 1,0 y B 1
RADON变换说明及MATLAB例子
Radon变换:又称为Hough Transform(数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37)考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。
则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。
通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。
在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。
例如：XY平面上的一个直线y=2x-3;变换-3=-2x+y;其中：a=-2,b=-3若有两个点在XY平面:（0，-3），（2，1），此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。
一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。
即：xcosθ+ysinθ=ρ以图像的中心为极坐标原点，直线X`即为新的投影坐标，θ为角度。
我们所要求的原坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X`的一条直线，而非X`本身。
如下例：function radontestI=zeros(200,200);%I(100:170,100:170)=1;A=eye(100,100);I(101:200,1:100)=A;figure,imshow(I);title('orginal image');orginal imagetheta=0:180;[R,xp]=radon(I,theta);%R是点的数量多少%xp是R对应的坐标位置,即为X`，另一解释为直线跟原点间距离%0-180代表0到180度%此变换是以图像的中心点为原点的变换figure,imagesc(theta,xp,R);title('R_theta X');xlabel('theta(degree)');ylabel('X\prime');colormap(hot);colorbar;即所求 =45度，X`=-75左右。
意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。
Radon变换图像重构
适用于需要从投影数据中重建出完整图像的场景，如CT成像、三 维重建等。
03 Radon变换的算法实现
离散Radon变换算法
离散Radon变换算法是一种将图像投影到一系列方向上的算法，通过在每个方向上 对图像进行投影，可以得到一组投影数据。
该算法通常使用快速傅里叶变换（FFT）来实现，可以在较短的时间内完成对大规模 图像的变换。
性质
Radon变换具有线性、可逆性和空间 不变性等性质，广泛应用于图像处理 和计算机视觉领域。
Radon变换的数学表达
数学表达式
Radon变换可以表示为将图像函数f(x, y)投影到射线θ=α，其中α是射线与x轴 的夹角，通过积分得到投影数据P(α, t)，即对每个角度进行积分运算。
逆变换
对于给定的投影数据，可以通过逆Radon变换重构原始图像。逆变换的过程是 通过对每个角度进行反投影运算，得到重构图像的像素值。
机器学习算法在Radon变换中的应用
利用机器学习算法对Radon变换进行改进，例如支持向量机、随机森林等，以提高图像重构的准确性和效率。
特征提取与分类
通过机器学习算法对Radon变换后的图像进行特征提取和分类，以实现更加精准的图像重构。
基于深度学习的Radon变换改进
深度学习模型在Radon变换中的应用
加鲜明。
细节提取
02
利用Radon变换的特性，可以从图像中提取出更多的细节信息，
提高图像的分辨率。
应用场景
03
适用于需要增强图像对比度和细节的场景，如安防监控、医学
影像分析等。
图像重建
逆Radon变换
通过逆Radon变换，可以从投影数据中重建出完整的图像。
投影数据获取
Radon变换知识讲解_2022年学习资料
包回厄闻包回厄回包回囘回甩回尼回厄闻厄回囘回-结合直线方程，则Deta函数可以表示为：-0,p-xcos0 ysin0≠0-6p-x coso-ysine=-1,p-x cos0-ysine=0-画巴-即在线上的点 ,y满足6x=1,-其他-非l上点δ x=O的Radon变换可以写为：-西巴田巴田-●-R,p.0=[fx. p-xcos0-ysin 0dxdy--00-00-园国甩国国国国-画画回画囡画回画囡回画囡画画囡画回画回
甩回囘闻已国囘国厄国囘回囘国厄回囘回尼回囘回-西巴西巴西巴西巴西巴西巴西巴-Radon变换及其应用-甩国国 国国园国甩国国国国国-回囡画回画囡画西回画囡画西回固回西回囡回画回回
甩回囘闻已国囘国厄国囘回囘国囘回囘回尼回囘回-主要介绍内容：-画回-Radon变换的定义-面-Radon变 的基本性质-Radon反变换-·Radon变换的应用-西巴田巴田-甩国国国国国园国甩国国国国国-回囡画回画 画西回画囡画西回固回西回囡回画回回
甩回囘闻已国囘国厄国囘回囘国厄回囘回尼回囘回-西回-Radon变换的基本性质-·1、线性-Rlaf+bgJ aR;+bRg-2、相似性-若R[af,bg]=Rrp,cosO,sin0,则-甩国国国国国园国甩国国国国 -画回-固画囡画回画固画西画画画西画西画固画回回固回
包回厄闻包回厄回包回囘回甩回尼回厄闻厄回囘回-sin-3、对称性-画回-若考虑下面的等式（其中t=cos0 sin0为与引垂-直方向上的单位矢量。-R,ap,at-[fx.yap-axcos0-aysin Odxd -固画囡画回画固画西画画画西画西画固画回回固回
Hale Waihona Puke 包回厄回包回厄闻厄闻厄回厄回厄闻厄回尼回尼回-F-'{j2π }=δ p-利用柯西值『，可将上式第2个等号右边 第2-个反变换表示为：-r器}）-所以-甩国国国国国园国甩国国国国国-画回回画囡画回画回回画画西回固画西回 画西画
RADON变换说明及MATLAB例子
Radon变换:又称为Hough Transform(数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37)考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。
则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。
通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。
在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。
例如：XY平面上的一个直线y=2x-3;变换-3=-2x+y;其中：a=-2,b=-3若有两个点在XY平面:（0，-3），（2，1），此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。
一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。
即：xcosθ+ysinθ=ρ以图像的中心为极坐标原点，直线X`即为新的投影坐标，θ为角度。
我们所要求的原坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X`的一条直线，而非X`本身。
如下例：function radontestI=zeros(200,200);%I(100:170,100:170)=1;A=eye(100,100);I(101:200,1:100)=A;figure,imshow(I);title('orginal image');orginal imagetheta=0:180;[R,xp]=radon(I,theta);%R是点的数量多少%xp是R对应的坐标位置,即为X`，另一解释为直线跟原点间距离%0-180代表0到180度%此变换是以图像的中心点为原点的变换figure,imagesc(theta,xp,R);title('R_theta X');xlabel('theta(degree)');ylabel('X\prime');colormap(hot);colorbar;即所求 =45度，X`=-75左右。
意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。
图像变换基础RadonHadamardFt
实现Hadamard变换的方法
定义： Hadamard变换 是一种离散变换， 用于将输入信号映 射到输出信号
实现步骤：通过迭 代的方式，对输入 信号进行逐级变换， 最终得到输出信号
算法复杂度：时间 复杂度和空间复杂 度均为O(nlogn)
应用场景：在图像 处理、信号处理等 领域广泛应用
实现Fourier变换的方法
01
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02
Radon变换
Radon变换的定义
Radon变换是 图像处理中的一 种重要变换，用 于将图像从空间 域转换到 Radon域
它通过对图像中 的每个像素点进 行线性积分来计 算Radon变换
Radon变换在 图像处理中广泛 应用于图像增强、 图像恢复和图像 压缩等领域
通过对Radon 变换的逆变换操 作，可以将图像 从Radon域转 换回空间域
离散傅里叶变换（DFT）：对图像进行傅里叶变换，将图像从空间域转换到频率域。 快速傅里叶变换（FFT）：基于DFT的算法，通过减少计算量来提高变换速度。 傅里叶变换滤波器：在频率域对图像进行滤波处理，实现图像的增强和降噪。 傅里叶逆变换：将处理后的图像从频率域转换回空间域，得到最终的变换结果。
和通信领域
添加标题
优缺点比较：Radon 变换能够提供图像在 各个方向上的信息，
但计算量大； Hadamard变换具有 高效性，但在处理灰 度图像时可能会引入 误差；Fourier变换能 够揭示图像的频率成 分，但无法提供空间
信息
Radon-Hadamard-Fourier变换的优劣比较
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Radon变换：在图像处理中，Radon变换是一种重要的线性变换，能够将图像从空间域转换 到角度域，从而提取出图像中的方向信息。
最新图像处理第五章-图像变换教学讲义PPT
如果B = A–1
FBTB
第5章
5-7
1D-DFT 矩阵形式的变换表示
5.1 傅里叶变换
2-D傅里叶变换
F ( u ,v ) N 1 N x 0 1 N y 0 1 f( x ,y ) e x p [ j2 ( u x v y ) /N ] u ,v 0 ,1 , ,N 1 f( x ,y ) N 1 N u 0 1 N v 0 1 F ( u ,v ) e x p [ j 2 ( u x v y ) /N ] x ,y 0 ,1 , ,N 1
移中的变换：
移中FT
能量集中于中心（示意图）
平移性质
平移性 f(x,y) (-1)x+y F(u-N/2,v-N/2)
移中性
f(x,y) (1 )(xy) F (uN,vN ) 22
原图像
频域图像（幅度谱）
平移性 |F(u,v)exp[j2(ux0+vy0)/N]|=|F(u,v)|
图像平移不影响幅度谱
傅氏谱 F(u,v) R2(u,v) I 2(u,v)
相位
(u,v) tg1 I(u,v)
R(u, v)
能量谱 | F(u,v) |2 R2(u,v) I 2(u,v)
计算傅里叶变换
一维DFT 图像的尺寸为N
F(u)
1
N1
f
j2 un
(n)e N
N n0
0u N 1
ej cos jsin
F ( u )
1
N 1
j2 un
f ( n )e N
N n0
0 u N 1
例题：计算1-D{1，1 ，2，2}
序列的傅里叶变换。
《Radon变换》PPT课件
f( x ,y )d [ q F ( q t)e x p (j2q p ) d p ] 0
3、Radon反变换
上 式 中 方 括 号 内 是 q F ( q t ) 的 1 - D 傅 里 叶 反 变 换 。 利 用 傅 里 叶 变
换 的 卷 积 定 理 可 得 ：
F FF 1 { q F ( q t ) } 1 { q } 1 { F ( q t ) }
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
[f ]cosRf[p,t]
x
p
(6)卷积
这里用
表示1-D卷积，而用
表示2-D
卷积以示区别。对Radon变换的卷积定理可
如下表示：如果 f(x ,y ) g (x ,y ) h (x ,y )，那么对
2、Radon变换基本性质
f(x,y)的Radon变换等于g(x,y)和h(x,y)在Radon 空间变换的1-D卷积：
R f(x ,y ) 2 1 20 d[f(p ,t) （ ， p ） 2 1 2 (1 p ) ]
感谢下 载
正变换： 图像空间到其他空间
反变换： 其他空间到图像空间
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
1、Radon变换定义
上述线积分可写为：
Rfp, f(x,y)dl
如果借助Delta函数，上述线积分还可写为：
R ( p ,) f( x ,y )( p x c o s y s in ) d x d y
上 式 等 号 右 边 的 第 二 项 等 于 R a d o n 变 换 R f ( x , y ) 。
3、Radon反变换
6、图像变换(1 基础、Radon、Hadamard、Ft)
2、图像Radon变换
数字图像处理
• • • • • • • • • •
B= imread('0371.bmp'); T=0:10:180; [C, x]=radon(B,T); D=iradon(C,T); subplot(1,3,1); imshow(B) title('origine image'); subplot(1,3,2); imagesc(T, x, C) title('0-180度方向的radon变换曲线集合'); subplot(1,3,3); image(D) title('iradon变换后的图像');
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换必需满足一下三个条件：
–(3) 变换的算法简单，最好有快速算 法。 –图像的变换通常要经过两次矩阵乘 法的运算，运算的速度关系到图像 变换的好坏。 –大多数图像变换，要求图像是方阵， 且行列数是2的幂次方才有快速算法。
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换通常是一种二维正交变换。
• •
g x, y, u, v 称为正变换核 hx, y, u, v 称为逆变换核
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 正变换核 g x, y, u, v – 逆变换核 hx, y, u, v
y v
x
u
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 假如： • g x, y, u, v g1x, u g2 y, v ，hx, y, u, v h1 x, u h2 y, v 则称
离散余弦(DCT)变换 沃尔什(Walsh)变换 哈达玛(Hadamard)变换 图像变换 霍特林(Hotelling,K-L)变换
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2、图像Radon变换
数字图像处理
2、图像Radon变换
• • • • • • A= imread('0372.bmp'); [C,x1]=radon(A,0); [D,x2]=radon(A,30); subplot(1,3,1); imshow(A) subplot(1,3,2); plot(x1,C) subplot(1,3,3); plot(x2,D)
数字图像处理
2、图像Radon变换
数字图像处理
• 读入图像，然后调用radon函数，变换后绘制出如 下所示图形。可以看到图像变换后得到的是一个 线图，也就是说Radon变换后变成了一维数组。 变换的基本原理是在指定方向进行灰度投影计算。 例如上面程序中的图像0371.bmp大小为[172 168]， 宽度为168。 • 以图像中心作为原点，向水平方向投影，颜色值 和在100左右，如图4-1(b)所示。 • 以图像中心作为原点，向与水平成30度角的方向 投影，颜色值投影相加的情况显示在图4-1(c)中。
2、图像Radon变换
数字图像处理
• 图像投影，就是将图像在某一方向上做线 性积分（或理解为累加求和）。 • 如果将图像看成二维函数f(x, y)，则其投影 就是在特定方向上的线性积分.
– 比如f(x, y)在垂直方向上的线性积分就是其在x 轴上的投影； – f(x, y)在水平方向上的线积分就是其在y轴上的 投影。
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换必需满足一下三个条件：
–(1) 变换是可逆的。 –变换后的图像能保持原始图像的信 息，可以通过逆变换矩阵把图像真 实复原。
1、图像变换
数字图像处理
• 图像变换必需满足一下三个条件：
–(2) 变换后能给图像的进一步运算带 来方便。 –也就是说，图像的变换具有一定的 含义，变换后的图像要么体现图像 的某些特征，要么在数据上带来某 些方便的处理。
– 正交变换的特点是在变换域中图像能量 将集中分布在低频率成分上；边缘、线 状信息反映在高频率成分上，有利于图 像处理。 – 因此正交变换广泛应用在图像增强、图 像恢复、特征提取、图像压缩编码和形 状分析等方面。
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 图像变换都是二维的离散变换，通用公式由下 列两式给出：
变换核是可分离的。
– 假如： • g1x, u g 2 y, v ， h1x, u h2 y, v 则称变换是加法对
称的。
– 此时，正变换可表示为：
F u, v f x, y g x, u g y, v
x 0 y 0 N 1 N 1
离散余弦(DCT)变换 沃尔什(Walsh)变换 哈达玛(Hadamard)变换 图像变换 霍特林(Hotelling,K-L)变换
拉东(Radon)变换
小波(Wavelet)变换
等等
主要内容
数字图像处理
• • • •
1、图像变换 2、图像Radon变换 3、图像Hadamard变换 4、图像傅里叶变换
F1 0, N 1 ... F1 1, N 1 ... ... ... F1 N 1, N 1 ...
– F x, v 可表示成
– 显然有： x, v f x, y g y, v 可表示成：F1 fG F
1、图像变换
2、图像Radon变换
数字图像处理
• • • • • • • • • •
B= imread('0371.bmp'); T=0:10:180; [C, x]=radon(B,T); D=iradon(C,T); subplot(1,3,1); imshow(B) title('origine image'); subplot(1,3,2); imagesc(T, x, C) title('0-180度方向的radon变换曲线集合'); subplot(1,3,3); image(D) title('iradon变换后的图像');
• 通过这些投影，可以获取图像在指定方向 上的突出特性，这在图像模式识别等处理 中可能会用到。
2、图像Radon变换
数字图像处理
• Radon变换（拉东变换），就是将数字图像 矩阵在某一指定角度射线方向上做投影变 换。这就是说可以沿着任意角度θ来做 Radon变换。
2、图像Radon变换
数字图像处理
数字图像处理
2、图像Radon变换
数字图像处理
• 由于radon变换将图像变换到按角度投影区 域，可以应用与检测直线，通过将图像矩 阵在多角度做积分投影，再对得到的数据 做统计分析，可以确定出图像的一些基本 性质。
2、图像Radon变换
数字图像处理
• MATLAB中的逆Radon变换函数，是利用滤 波后向投影算法来计算逆变换: R=iradon(R,theta) • 其中R=radon(I,theta)是图像I的Radon变换。 • 下面例题先利用radon函数计算一组旋转角 度下的Radon变换R，R是二维数组，记载 着对应于每个角度的变换后的数据。然后 利用R及旋转角度，使用函数iradon重建图 像。
l
X
2、图像Radon变换
数字图像处理
• 在MATLAB中实现这个变换的函数为 • radon，其语法格式为： R=radon(I, theta) [R, xp]=radon(…) • R为返回的积分，xp为返回的坐标， theta 为投影的夹角
2、图像Radon变换
• • • • • • • • • A= imread('0372.bmp'); [C,x1]=radon(A,0); [D,x2]=radon(A,30); subplot(1,3,1); imshow(A) title('origine image'); subplot(1,3,2); plot(x1,C) title('0度方向的radon变换曲线'); subplot(1,3,3); plot(x2,D) title('30度方向的radon变换曲线');
频域世界与频域变换
数字图像处理
• 任意波形可分解为正弦波的加权和
(a)
(b)
(c)
(d)
频域与时域
数字图像处理
11 9
7
5 3 1
sum13579 t sum1357 sum13 sum 135
1、图像变换
数字图像处理
• 图像可以看作是一个矩阵，所谓图像变换， 就是通过变换矩阵，将图像矩阵变换成另 一个矩阵。变换后的矩阵能得到某些图像 的信息。 • 通常，变换后的图像能体现图像的频率特 征，可以用于图像的数据压缩和各种处理。
均匀图像上的Radon变换
2、图像Radon变换
数字图像处理
• radon变换大致可以这样理解 • 一个平面内沿不同的直线（直线与原点的 距离为p，方向角为 ）对f(x,y)做线积分， 得到的像F(p, )就是函数f 的Radon变换。
Y t` zq p t
R f ( p, ) F ( p, ) f ( x, y)dl
• 正变换 F u , v
f x, y g x, y, u, v
x 0 y 0
N 1 N 1
• 逆变换 f x, y
。
F u, v hx, y, u, v
u 0 v 0
N 1 N 1
• 其中： u, v 0,1,2,... N 1 x, y 0,1,2,..., N 1 ；
f H T FH H T (GT fG ) H (GH )T f (GH ) I T fI f
– 即，要使变换可逆，必需要求变换是正交变换。
–所以，图像变换，就是找出这样 的变换矩阵，产生正交变换。
1、图像变换
数字图像处理
• 每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的 变换
傅里叶(Fourier)变换
g 0, N 1 ... g 1, N 1 ... ... ... g N 1, N 1 ...
F 0, N 1 ... F 1, N 1 ... ... ... F N 1, N 1 ...
– F u, v 可表示成
• •
g x, y, u, v 称为正变换核 hx, y, u, v 称为逆变换核
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 正变换核 g x, y, u, v – 逆变换核 hx, y, u, v
y v
x
u
1、图像变换
数字图像处理
• 2、变换公式
– 假如： • g x, y, u, v g1x, u g2 y, v ，hx, y, u, v h1 x, u h2 y, v 则称
F1 0,1 F1 0,0 F 1,0 F1 1,1 F1 1 ... ... F1 N 1,0 F1 N 1,1
N 1 y 0
g 0, N 1 ... g 1, N 1 ... ... ... g N 1, N 1 ...
1、图像变换
数字图像处理
• 频率通常是指某个一维物理量随时间 变化快慢程度的度量。 • 例如
– 交流电频率为50～60Hz（交流电压） – 中波某电台1026kHz（无线电波）
1、图像变换
数字图像处理
• 图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐 标轴，图像本身所在的域称为空间域 （Space Domain）。 • 图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频 率来度量，称为空间频率（Spatial Frequency）