2018-2019学年上海市交大附中高二(下)期中数学试卷

2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷

一、填空题

1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．

2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．

3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．

4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．

5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．

6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．

7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）

8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．

9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．

10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为

11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是

12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．

①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；

②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；

③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；

④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个

定值．

二、选择题

13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

A．B．C．2πD．4π

14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）

A．B．C．1D．

15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘

之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）

A．B．C．D．

16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）

A．0B．3C．4D．6

二、解答题

17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，

问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由

18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：

（1）圆锥的侧面积；

（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2P A＝2，E、F分别为PC、CD的中点．

（1）试证：CD⊥平面BEF；

（2）求BC与平面BEF所成角的大小；

（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．

20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．

（1）证明：P﹣ABC为正四面体；

（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；

（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面

体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平

行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截

面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．

21．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的

热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类

冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风

力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高

（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请

忽略．图1）

（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．

已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别

为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．

（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：

，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）