第八章(多阶段抽样)

抽样调查
原理与方法
第八 章 多阶段抽样
抽样调查
原理与方法
第一节 概述
一.什么是多阶段抽样
分多个阶段抽到最终接受调查的样本。 初级单元（PSU）----Primary Sampling Unit 二级单元 (SSU)----Second-stage Sampling Unit 三级单元（TSU）----Third-stage Sampling Unit 最终单元 (SSU)----Ultimate Sampling Unit
n
s12
f1 (1 nm
f2
)
s22

f1 f2 (1 nmk
f3 ) s32
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三、总体比例的估计
ai,第i 个初级单元中具有某特征的次级单元数。
1 n
1 nm
p n
pi nm
ai
V(P) 1 f1 n
1 N 1
N
(Pi

P)2

1 f2 nm
mn
m
yij

1 n
n
yi
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V(YˆPPS) 与V(y) 的无偏估计为：
(YˆPPS)

M02 n(n1)
n
(yi y)2
(y) 1 n(n 1)
n
(yi y)2
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第四节 不等概抽样在 多阶段抽样中的应用
为简化，以三阶抽样为例，给出结论。
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二、多阶段抽样特点
1. 构造抽样框相对容易 2. 节省人力、物力 3. 行政上便于组织 4. 某些条件可满足各级需要 5. 可用于散料的抽样 6. 划分阶段不宜过多
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第二节 初级单元大小相 等时的二阶抽样
采用srs,从N中抽n个初级单元 采用srs 从每个中选初级单元中抽取m个次级单元

1 n
n
Mi yi Zi
1 n
n
Mi Zi mi
mi
yij
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所以，它成为自加权估计量的条件是
Mi nZimi

1 ,或n.Zimi
f0
Mi

f0
第二阶段抽样比
f2i

mi Mi
f0 nZ i
f 0 为常数
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在自加权条件下
YˆPPS M0y
y 1 n
n
( yi
y)2
（2）
即
s
2 2
是
S
2 2
的无偏估计
不是 S12

1 N 1
N
(Yi
Y )的2 无偏估计
计算 S12时 Yi 不受二阶抽样影响，计算s12 的 yi 则不然。
即：
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E(s12) E1[E2(s12)]
n
n
E1[
(Yi Yn)2 n1
]1 f2 m
于是有：
V ( y) 1 f1 n
S12

1 f2 mn
S22
（1）
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假定n=1, 第二阶段抽取m个单位
用
yi
估计 Yi
，
误差大小取决于
S
2 2
和m，即
V2 ( yi )
S
2 2
m
其次，用 Yi 推断 Y 时，第二次推断误差大小取决于 S12 和n，
当n=1时，V1(Yi ) S12 ，这时
M N(M 1)
N
PiQi
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v(p) 1 f1 n(n 1)
n
(
pi

p)2

f1(1 f2) n2(m1)
n
piqi
四、最优样本量 m 与 n 的确定 目标：
CT 给定条件下，如何确定m与n，从而使V(y) 最小。
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二阶抽样费用函数
CT C0 C1n C2 nm
二、Y的估计
N
入选概率 Z i , Z i 1
估计过程 先估计Yi , 然后利用Yˆi 估计Y 汉森—赫维茨估计量
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YˆHH
1 n
n
Yˆi Zi
E(YˆHH) Y
V(YˆHH)

1[ n
N
Zi
(Yi Zi
Y)2

N
V2(Yˆi ) Zi
V(YˆHH)的无偏估计量为:
在 PPS 抽样中
Zi

Mi M0
，代入上式，得
YˆPPS

M0 n
n
yi
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若进一步令mi=m,这时估计量是自加权的。
自加权含义：
各最终单元入选样本的概率相同, 如果一个估计量可以表达为样本观测值的常倍数， 则称这种估计量是自加权的。 对汉森—赫维茨估计量而言
YˆHH
抽样过程
前二阶采用PPS，最后一阶按等概率抽取最终单元，且各阶 段样本量对不同单元都等于常数，则所得样本是自加权的。 此时有：
Zi

Mi M0
, Zij

Kij Mi
, Zij

1 Kij
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N
N Mi
M 0 Mi
Kij
Yˆ M0 n nmk
m
k
n
M i yi Zi
V
(YˆHH
)

1 n
N
Z
i
(
Yi Zi
Y)2 1 n
M
2 i
(1
mi
Z
i
f
2i
) S
2 2i

(YˆHH
)

1 n(n 1)
n
( M i yi Zi
YˆHH )2
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三、初级单元的 PPS 抽样
由前知： YˆHH
1 n
n
M i yi Zi
V ( y)

S12

S
2 2
m
若以n个 yi 的均值 y 推断 Y ，其方差为
V(y)
S12

S
2 2
n nm
再考虑fpc,则（1）式成立。
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V (y)的无偏估计为
v( y) 1 f1 n
s12

f1
(1 nm
f
2
)
s22
证明：
E(s22
)

S
2 2
wenku.baidu.com但
s12
1 n 1
一、符号
Yij ，总体中第i 个初级单元中第j 个次级单元指标值
i =1,2,….N, j=1,2,….M
yij ，样本中第i 个初级单元中第j 个次级单元观测值 i =1,2,…n, j=1,2,….m
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f1

n N
,
f2

m M
M
Yi Yij
m
yi yij
Yi

C2m)
(S2 Sm22 )(C1 C2m)
其中：
S
2

S
2 1

S
2 2
M
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使上式达到极小的充要条件是
S S2 m
C1 C2m
从而mopt 满足
mopt

S2 S
C1 C2
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由上式看出，m与
S
2 2
，C1成正比，与
S12
，C2
成反比。
求出m后，利用（4），（5）式，即可求出n.
E1[
S22i ]
n
S12
1 f2 m
S22
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所以S12 的无偏估计为
Sˆ12
s12
1
f2
m
s22
将（2）、（3）式结合，得到
(y)
1 f1 n
s12

f1(1 f nm
2
)
s22
（3）
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类似的，可以构造三阶抽样 y 的估计方差
( y) 1 f1
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(YˆHH
)

1 n(n 1)
n
( Yˆi Zi
YˆHH )2
若二阶抽样采用 srs,即
Yˆi M i yi 是 Yi 的无偏估计
而:
V 2(Yˆi )

M i2V2 ( yi )

M
2 i
mi
(1
f
2i
)S
2 2i
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于是有
YˆHH
1 n
yij M 0 y
y 1 n nmk
m
k
yij
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(Yˆ) M 02
n(n 1)
n
( yi y)2
yi
1 mk
m
k
yiju
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原理与方法 第三节 初级单元大小不等时的二阶抽样
一、一 般 说 明
几种处理方法 * 先 分 层 ，再 抽 样 * 不等概抽样
必要符号补充
N
M0 :M0 Mi
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f 2i
:
f 2i

mi Mi
S
2 2i

1 Mi 1
Mi
(Yij
Yi )2
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二、Y 估计量的性质
ˆ
1n
1 nm
Y y n
yi nm
yij
E(y) Y
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E(
y)

E1 E 2
(
1 n
n
yi )

E1[
1 n
n
E2 ( yi )]

E1[
1 n
n
Yi ] Y
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估计量方差一般公式为：
V (ˆ) V1 E2(ˆ) E1 V2(ˆ)
（4）
V ( y)

1 f1 n
S12
1 f2 mn
S
2 2

(1 n

1 N
)S12

1 n
(1 m

1 M
)S
2 2

1 n
(S12

S
2 2
M
)
S
2 2
mn

S12 N
（5）
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极小化
(V

1 N
S12)(CT
C0)
[(S12

S22 ) M

Sm22 ](C1
Yi M
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yi

yi m
Y N Yi N
y n yi
n
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S12

1 N1
N
(Yi
Y
)2
s12
1 n1
n
(yi
y
)2
S22
1 N(M1)
N
M
(Yij Yi)2
s22
1 n(m1)
n
m
(yij yi)2
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