9.3 哈密尔顿图

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存在哈密顿回路(通路)的充分条件
定理9.6 设G是n(n3)阶无向简单图, 若对于G中任意两个 不相邻的顶点u,v, 均有d(u)+d(v)n-1, 则G中存在哈密尔 顿通路.
推论1 设G是n(n3)阶无向简单图,对于G中任意两个不相 邻的顶点u,v, 均有d(u)+d(v)n, 则G为哈密尔顿图. 推论 设G是n(n3)阶无向简单图, 若δ(G)n/2, 则G是哈 密尔顿图. 当n3时, Kn是哈密尔顿图; 当r=s2时, Kr,s是哈密尔顿图.
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第九章 二部图、欧拉图、哈密尔顿图
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第九章 二部图、欧拉图、哈密尔顿图
9.1 二部图
9.2 欧拉图
9.3 哈密尔顿图 9.4 例题分析
Fra Baidu bibliotek
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9.3 哈密尔顿图
一、定义
二、必要条件
三、充分条件
四、小结
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周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
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哈密尔顿回路与哈密尔顿通路
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小结
哈密尔顿图的定义 哈密尔顿图的必要条件 哈密尔顿图的充分条件
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有哈密尔顿回路
有哈密尔顿通路 有哈密尔顿通路 无哈密尔顿回路 无哈密尔顿回路
有哈密尔顿回路
无哈密尔顿通路
有哈密尔顿通路 无哈密尔顿回路
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哈密顿图的必要条件
定理9.5 若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图, 则对于V的任 意非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|. 证 设C为G中一条哈密尔顿回路, 有p(CV1) |V1|. 又因为CG, 故 p(GV1) p(CV1) |V1|.
设G=<V,E>是连通图(无向或有向的), 哈密尔顿通路: 经过图中每个顶点一次且仅一次的通路. 哈密尔顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路. 哈密尔顿图: 具有哈密尔顿回路的图.
存在哈密尔顿通路(回路)的图一定连通 哈密尔顿通路是初级通路 哈密尔顿回路是初级回路 有哈密尔顿通路不一定有哈密尔顿回路 环与平行边不影响图的哈密尔顿性
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例3 证明右图不是哈密尔顿图.
证 假设存在一条哈密尔顿回路,
a,f,g是2度顶点, 边(a,c), (f,c)和 (g,c)必在这条哈密尔顿回路上, 从而点c出现3次, 矛盾.
f d
a
b c
e g
此外, 该图满足定理6.10的条件, 这表明此条件是必要、 而不充分的. 又, 该图有哈密尔顿通路.
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判断某些图不是哈密尔顿图
破坏哈密尔顿图的必要条件。 哈密尔顿图的必要条件： G是连通图 G中的边数m大于等于顶点数n 若G中存在2度顶点v，即d(v)=2, 则与v关联的两条 边ei，ej必须在G中的任何哈密尔顿回路上 G中必须在每条哈密尔顿回路中出现的边，不能构 成边数小于n的初级回路(圈) 定理9.5
例如 当r≠s时, Kr,s不是哈密尔顿图.
推论 有割点的图不是哈密尔顿图.
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例2 证明下述各图不是哈密尔顿图:
(a)
(b)
(c)
(d)
(c) 中存在哈密尔顿通路,无哈密尔顿回路. (d)中存在哈密尔顿通路，无哈密尔顿回路 , 称为彼得 森图. 该图满足定理9.5中的条件： 对于V的任意非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|. 说明，该条件是必要不充分的.
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存在哈密尔顿回路(通路)的充分条件
定理9.7 设D是n(n2)阶有向图, 若略去所有边的方向后 所得无向图中含子图Kn, 则D中有哈密尔顿通路. 推论 n(n3)阶有向完全图都是哈密尔顿图.
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判断某些图是哈密尔顿图
利用哈密尔顿图的充分条件： 若能通过观察找出图G中的一条哈密尔顿回路,则G 当然为哈密尔顿图. 若一个无向图G满足定理9.6中推论的条件，一个 有向图D满足定理9.7的推论的条件，则G，D是哈 密尔顿图.