9.3 哈密尔顿图
哈密顿图论
哈密顿图十二面体中的哈密顿路径哈密顿图（英语：Hamiltonian path，或Traceable path）是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。
在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径。
美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。
哈密尔顿回路问题与欧拉回路类似。
它是1859年哈密尔顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在图10.4.9中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成是交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被称作周游世界问题（10.4.9）对图10.4.9 ，图中粗线给出了这样的回路。
定义10.4.3 给定图G，若有一条路通过G中每个结点恰好一次，则这样的路称为哈密尔顿路；若有一个圈，通过G个每个结点恰好一次，这样的圈称为哈密尔顿回路（或哈密尔顿圈）。
具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。
尽管哈密尔顿回路与欧拉回路问题在形式上极为相似，但是到目前为止还不知道一个图为哈密尔顿图的充要条件，寻找该充要条件仍是图论中尚未解决的主要问题之一。
下面先给出一个简单而有用的必要条件。
定理10.4.4 设图G＝〈V ,E〉是哈密尔顿图，则对于V的每个非空子集S，均有W（G－S）≤|S| 成立，其中W（G－S）是图G－S的连通分支数。
证明: 设α是G的哈密尔顿回路，S是V的任一非空子集。
在G－S中，α最多被分为|S|段，所以W（G－S）≤|S|利用本定理可判别某些图不为哈密尔顿图。
如在图10.4.10中，若取S＝｛v1，v4｝，则G－S有3 个连通分支，故该图不是哈密尔顿图。
图论-哈密尔顿图-课内专题报告
{n-3,n-1},{n-1,1}组成。这条哈密顿圈与第一条圈没有公共边。当n ≥7时，按照这种
k 2 方法把图？中的圈旋转角度 n 1 ，其中2 ≤k ≤(n-3)/2，就得到总数为(n-1)/2条哈密顿
圈，它们满足任意两个圈没有公共边。所以这17名学生在此科学营地中一直可以共进 (17-1)/2=8天午餐，直到某些同学不得再次坐在其它人旁边。 5 5 7 n-2 3 3 2 4 1 n 2 1 n n-1 (b)
2014-4-14 图论之哈密尔顿图 16
Xi’an Jiaotong University
定理 3 设G =(V,E)是一个无环图并且|V| 2。如果对于所有的x,y V并且x y 都有deg(x)+deg(y) n-1,则G中有哈密顿路径。 使得x是C1中的一个顶点，y是C2中的一个顶点。设Ci具有n i 个顶点，其中i=1,2。 则deg(x) n1 1， deg( y ) n2 1, 从而有 deg( x) deg( y) ( n1 n2 ) 2, 这就与定理中 给出的条件矛盾。因此,G是连通的。 现在构造G中的一条哈密顿路径。对于m 2，pm是长度为m 1的路径
2
Xi’an Jiaotong University
哈密尔顿周游世界问题
1857年，著名的爱尔兰数学家Sir William Hamilton设计了一个游 戏：它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当 时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游 过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游 过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。给定世界上20个 城市，用一个代表地球的十二面体的20个顶点分别代表这20个城市。 从某一个顶点出发，沿着十二面体的棱，经过每个顶点恰好一次， 最后回到出发点。
24-哈密尔顿图
F
C
C
E
D
E
D
旅行推销员(TSP)问题 问题 旅行推销员
问题：n个城市间均有道路，但距离不等，旅行推销员从某地出发， 走过其它n-1个城市，且只经过一次，如何选择最短路线？ 数学模型： 构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每个元素 对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图， 总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题是如何 从这n!/2条中找出最短的一条。 (给你一点感觉 给你一点感觉：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约 给你一点感觉 6000万亿条-(1.21645×1017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条， 需2万年。)
若v1,vk相邻，结论成立。 若v1,vk不相邻，令T={vj|vj与vk相邻} ，S={vi|v1与vi+1相邻} ； 注意：|S|+|T|= d(v1)+d(vk)≥n-1, |S|+|T|= Qvk∉S⋃T, ∴|S⋃T|≤k-1<n-1, ∴|S⋂T|=|S|+|T|-|S⋃T|>0, 即 ⋃ ⋃ ⋂ ⋃ S⋂T非空，令vi∈S⋂T, 则vi+1与v1相邻，vi与vk相邻。于是 C=v1…vivkvk-1…vi+1v1是包含Γ中所有顶点的初级回路。
闭合图与哈密尔顿图的判定
图G是哈密尔顿图当且仅当C(G)是哈密尔顿图。 只须证明在构造闭合图(加边)过程中的每一步，图的哈密 过程中的每一步，
尔顿性质均双向保持
若u,v∈VG, u,v不相邻，且d(u)+d(v)≥|VG|，则G是哈密尔顿 图当且仅当G+e(u,v)是哈密尔顿图。 必要性显然。 反之，若G+{uv}是哈密尔顿图，但G不是，则G是半哈 密尔顿图，且uv-路径是哈密尔顿通路，由 d(u)+d(v)≥|VG|，可以将uv-路径改造成哈密尔顿回路， 矛盾。
九章节图
a 8
c 30 5
d 6
32
13 b
97
g
2
f 17
e
13 8 30 32
9 7
5
w 6
2
17
LT’(x)=min{LT(x), LT(t1)+W({t1,x})}。 把T’代为T,把P’代为P,把LT’(x)代为LT(x)， 重复步骤(2)。
例 求图9.9中从a到z的最短通路的长
b
1
a
2
4
c
7
d
2
5
3
z
6
1
e
b
1
a
2
4
d 2
3T(x)
abcdez
T={a}
1 4 ∞∞∞
T={a,b}
带权图中的最短通路
设G=(V,E,W)是一个带权图， 其W是边集E 到R+={x∊R│x>0} 的一个函数。 通常称 W(e)为边e的长度， 图G中一个通路的长度定义为通路中所经过的边的 长度之和。 设 v0,z∊V， 要求从 v0到z的最短通路的长。
Dijkstra算法的基本思想
先把V分成两个子集，
a b c d e fg L 13 8 13 19 21 20
狄克斯瑞 （Edsger Wybe Dijkstra， 1930-2002.08.02）
计算机编程艺术与科学创建人之一. 1930年出生在荷兰鹿特丹市，于 2002年8月6日在荷兰家中与世长辞 。他在欧洲和美国曾从事首次航空 和结构计算机模拟的工作。曾是开 发Algol的委员会成员。他编写了第 一个Algol 60编译器。 1972年，荣获 美国计算机协会的图灵奖。
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件
网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边
哈密顿图
procedure dfs(i:integer); Begin var j,k:integer; init; begin fillchar(visited,sizeof(visited),0); if (n=m)and(a[b[1],b[m]]=1) then print; found:=0; for j:=1 to n do m:=1; if (a[i,j]=1) and (visited[j]=0) then b[1]:=1; begin visited[1]:=1; visited[j]:=1; dfs(1); m:=m+1; if found=0 then writeln('no road'); b[m]:=j; end. dfs(j); visited[j]:=0; m:=m-1; end; end;
2 、安排座位
个客人围着一个桌子吃饭，每一个人都至少认识其他的2个客人。 n 个客人围着一个桌子吃饭 ， 每一个人都至少认识其他的 2 个客人 。 请设计程 序求得n个人的一种坐法，使得每个人都认识他左右的客人。 序求得n个人的一种坐法，使得每个人都认识他左右的客人。 输入: 输入: 第一行:n（吃饭人的个数）。 第一行:n（吃饭人的个数）。 :n 以下n 以下n行：第i行的第一个数k表示第i个人认识的人数，后面k个数依次为i认识的 行的第一个数k表示第i个人认识的人数，后面k个数依次为i 人的编号。 人的编号。 输出：所有座法，要求第一个人为1号作为起点，按顺时针输出其它人的编号。 输出：所有座法，要求第一个人为1号作为起点，按顺时针输出其它人的编号。
Begin init; found:=0; for i:= 1 to n do begin fillchar(visited,sizeof(visited),0); m:=1; b[1]:=i; visited[i]:=1; dfs(i); end; if found=0 then writeln('no road'); end.
图论05-哈密尔顿图
A F
B
A
C
F
B C
E
D
E
D
竞赛图
底图为K4的竞赛图： A
B
C
以上每个图可以看作4个选手参加的循环赛的一种结果
竞赛图与有向哈密尔顿通路
底图是完全图的有向图称为竞赛图。 利用归纳法可以证明竞赛图含有向哈密尔顿通路。
循环赛该如何排名次
A F
E
B
按照在一条有向Hamilton通路 (一定存在)上的顺序排名：
Ore定理的证明
Ore定理（1960） 设G是无向简单图，|G|=n3，若
对G中任意不相邻的顶点u和v, d(u)+d(v)n （*）
则G有哈密尔顿回图。
证明.反证法, 若存在满足（*）的图G，但是G没有Hamilton回 路. 不妨假设G是边极大的非Hamilton图，且满足（*）。若G不是 边极大的非Hamilton图，则可以不断地向G增加若干条边,把G 变成边极大的非Hamilton图G’，G’依然满足（*），因为对 vV(G), dG(v)dG’(v)。
设G是无向简单图, |G|=n2, 若G中任意不相邻的顶点对
u,v均满足：d(u)+d(v)n-1，则G是连通图。
假设G不连通，则至少含2个连通分支，设为G1, G2。取xVG1, yVG2, 则：d(x)+d(y)(n1-1)+(n2-1)n-2 (其中ni是Gi的顶பைடு நூலகம்个数)， 矛盾。
有限图G是Hamilton图充分必要其闭合图C(G)是 Hamilton图.
闭合图(举例)
a
b
f
c e
d
判定定理的盲区
从“常识”出发个案处理
哈密尔顿图的判定及应用论文
哈密尔顿图的判定及应用论文引导语：哈密尔顿图的研究是图论中不可或缺的一部分，这个问题的研究已经应用到了各个领域。
合理的利用哈密尔顿图的结论，不仅可以节约大量的时间，更可以降低发展的成本。
因此很多学者致力于哈密尔顿图的问题研究，也得到了很多了不起的突破。
1 引言在查阅了大量资料后，可以发现哈密尔顿图在数学理论研究和现实应用中都具有重要的地位。
哈密尔顿图的研究解决了大量的问题，但是还是有很多的问题还未得到解决。
其中较为著名的就是关于货郎担问题的解决方案，至今还没有很好的答案。
本文在综合了各种哈密尔顿图的判定方法之后，尝试用多种方法去解决货郎担问题，在比较后，找到一种相对较好的方法，也为将来的继续研究提供研究方向。
1.1 哈密尔顿图的起源哈密尔顿(Hamilton)是一位出生在爱尔兰的天文学家和数学家. 他的一生是很丰富多彩的，自从他发现“四元数”后，他又发现了另一种称之为“The Icosian Calculus”的代数系统，这个系统包含有乘法和加法的运算算子，但是乘法并不满换律(即xy-yx这个规律)。
他发现的这个代数系统是和正则12 面体有关的。
于是在1859 年他提出下列周游世界的游戏:在正十二面体的二十个顶点上依次标记伦敦、巴黎、莫斯科、华盛顿、北京、东京等世界著名大城市; 正十二面体的棱( 边) 表示连接这些城市的路线。
问: 能否在图中做一次旅行,从顶点到顶点, 沿着边行走, 经过每个城市恰好一次之后再回到出发点?曾经有很多人不断追寻这个游戏的答案。
可以应用拓扑的思想，将这正十二面体“拉平”将会得到一个和它同构的平面图(如图1-1)，这样进行就可以将这个游戏转化为：要求必须沿着正十二面体的棱，怎样才能走完正则十二面体上的所有顶点，而且最后又回到起点的问题。
图1-1：哈密尔顿周游世界图从此人们将这类图称作哈密尔顿图，哈密尔顿图的研究也开始慢慢建立起来。
1.2 研究背景和意义哈密尔顿图是图论的重要的一部分，随着数学和科学技术的蓬勃发展，它的应用已经渗透到自然科学、社会科学的各个领域。
第七章_Hamilton图
p(G-V1)≤V1.
其中, p(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中 各顶点及关联的边)后所得图的连通分支 数.
证明:设C为G中的一条哈密尔顿回路. (1)若V1中的顶点在C上彼此相邻,则 p(C-V1)=1≤ V1 (2)设V1中的顶点在C上存在r(2≤r≤ V1) 个互不相邻,则 p(C-V1)= r≤V1
定理(充分条件1)设G＝<V，E>是简单无向 图。如果对任意两个不相邻的结点u， vV，均有： deg(u)+deg(v)|V|-1， 则G中存在哈密尔顿通路；
如果对任意两个不相邻的结点u， vV，均有：deg(u)+deg(v)|V|， 则G中存在哈密尔顿回路，即G是哈 密尔顿图。
例
在图中，任意两个结点的度数之和为4，结点 数为6，即有46，，但它仍然是哈密尔顿图。
定理6. G有n个顶点，m条边，如果
1 2 m （n －3n＋6） ，则G是Hamilton图。 2
证明.任取不相邻的两个顶点u，v∈G， G中去掉u，v后导出子图G’,G’有n－2个 顶点，至多 (n－2)(n－3) 条边.U,v到G’ C ＝ 2 的边数有 n －3n＋6 (n－2)(n－3) m－C － ＝n 2 2 D(u)+D(v)≥n. 由充分条件1得，G是Hamilton图。
8.3哈密尔顿图
哈密尔顿通路(回路)、哈密尔顿图
经过图中每个顶点一次且仅一次 的通路(回路)称为哈密尔顿通路 (回路).存在哈密尔顿回路的图称 为哈密尔顿图.
是不是哈密尔顿图?
图中 (1), (3),不是哈密尔顿图,(2) 为哈密尔顿图.
哈密尔顿图的判定
定理(必要条件1) 设无向图G=<V,E>是 哈密尔顿图,V1是V的任意的非空子集,
哈密尔顿图
依据定理可判断下图（a）不是哈密尔顿图，这是因 若取V ’= {v}，有ω(G -V ’) =2 > 1 =|V ’| Note 2： 可验证彼得森图（下图（b）所示）不是 哈密尔顿图，但满足定理的条件。这表明定理所给 出的条件只是哈密尔顿图的必要条件而不是充分条 件。 v
（a）
(b)
• 这两个图是H图， 但用定理无法判断
带权图与货郎担问题
• 设有n个城市，城市之间有道路， 道路的长度均大于等于 0，可能是无穷大。 一个旅行商从一个城市出发要经过每 个城市一次且仅一次， 问他如何走才能使他走的路线最 短？ • G=(V, E, w)求一个H-圈， 使得圈中的边的权往往要结合定义 进行。由定义知：一个图若有度为1的顶点，一定不 是哈密尔顿图，只可能有哈密尔顿路；若图是哈密尔 顿图，则图中2度顶点关联的边必属于所有哈密尔顿 圈；一个顶点关联的边再多，一个哈密尔顿圈只能用 其两条边。
左图不是哈密尔顿图， 因图中二度顶点所关联 的8条边（红边）已构 成圈，而此圈不是哈密 尔顿圈。
定理：设G = (V, E) 是哈密尔顿图，则对任意的V V ，V ’ ≠Ф，有 ω(G -V’)≤| V’| 其中ω(G -V ’) 表示G 中删去V ’ （即删去V ’中各点及其 关联的边）后所得图的连通分支数。
证明：设C 是G 中一条哈密尔顿回路。任取 V 中非 空子集V’ ，因 C 是G 的哈密尔顿回路含G 的所有点， 故V’ 也是子图 C 的非空子集。由点不重复的回路的 特性知任意删去C 中 | V’ | 个点，最多将C 分为 | V’ | “段” ，即 ω(C-V’) ≤ | V’ |
• 根据定理， 图G1,G4不是Hamilton图， 但对其他 图无法判断
推论1:每个H图都无割点.
《离散数学》 第八章 欧拉图与哈密尔顿图
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用 欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
将旋转鼓轮的表面分成2n段，例如，将 图8.1-5所示的旋转鼓轮的表面分成 24=16段，每段由绝缘体或导电体组成， 绝缘体将给出信号0，导电体将给出信 号1。鼓轮的表面还有4个触点0，根据 鼓轮的一个确定位置，就可读出一个4 位二进序列。
（3）具有欧拉回路的图，称为欧拉图；
（4）具有欧拉通路但无欧拉回路的图，称为半欧拉图。
8.1 欧拉图
8.1.1 欧拉图的定义
在图8.1-1中，（a）存在欧拉通路，但不存在欧拉回路，因 而它不是欧拉图。(而a ) （b）中存在欧拉回路，所以（b( b）) 是 欧拉图。
v1
v1
v4
v2
v4
v3 (a)
图8.2-1
8.2 哈密尔顿图
8.2.1 哈密尔顿图
定义8.2.1（1）经过图中所有顶点一次且仅一次的通 路，称为哈密尔顿通路；
v2
v3
(b)
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.1 无向图是欧拉图，当且仅当是连通的，且中所有
顶点的度数都是偶( 数a ) 。
(b)
推论 无向连通图中存在欧拉回路，当且仅当中所有顶点 的度数都是偶数。
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.2 无向图是半欧拉图，当且仅当是连通的，且只
1 10 1
在图8.1-5中，按当时确定的位置，读出的数为1101，鼓 轮按顺时针方向旋转一格，下一个读数为1010。
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用
欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
我们要设计成这样的旋转鼓轮表面，当 鼓轮旋转一周后，能够读出0000～1111 的16个不同的二进制数。
哈密尔顿图的充分必要条件
哈密尔顿图的充分必要条件摘要图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注.关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;1 引言 (4)2 哈密尔顿图的背景 (4)3 哈密尔顿图的概念 (5)4 哈密顿图的定义 (6)4．1定义 (6)4．2定义 (6)4．3哈密顿路是遍历图的所有点。
(7)4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (8)5 结论 (9)参考文献 (9)指导老师 (10)1 引言图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的.2 哈密尔顿图的背景美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。
闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径.1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。
游戏目的是“环球旅行”。
为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。
大学数学图论-哈密尔顿图
该成果获得中国2005年度国家自然科学二等奖。
例4 求证下图是H图。
1
2 3
4
5
7
6
G
9
8
证明：在G中有：
d1 d2 d3 3 d4 d5 5 d8 d9 8 因n=9,所以，m=1,2,3,4
d6 6 d7 7
d5 9 4 5, d6 9 3 6, d7 9 2 7, d8 9 1 8 所以，由度序列判定法，G是H图。
所以，有：
G G1 G2
又由引理2知，
G1 是闭G图2 ，且
有： G1 G2 G1 同理： G1 G2 G2
所以， G1 G2
G1 G2 G1
定理4(帮迪——闭包定理) 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。
证明：“必要性”显然。 “充分性” ：假设G的闭包是H图，我们证明G是H图。
假设G的闭包和G相同，结论显然。 若不然，设ei (1≦i≦k)是为构造G的闭包而添加的所有边，由引理1，G是H 图当且仅当G+e1是H图， G+e1是H图当且仅当G+e1+e2是H图,…, 反复应用引理1， 可以得到定理结论。
1891年，彼得森发表了一篇奠定他图论历史地位的长达28页的论文。这篇 文章被公认是第一篇包含图论基本结论的文章。同时也是第一次在文章中使 用“图”术语。
1898年，彼得森又发表了一篇只有3页的论文，在这篇文章中，为举反例构 造了著名的彼得森图。
2、判定 图的H性判定是NP-困难问题。到目前为止，有关的定理有300多个，但 没有一个是理想的。拓展H图的实用特征仍然被图论领域认为是重大而没 有解决的问题。
哈密顿图
13.2 哈密顿图13.2.1哈密顿图的定义与欧拉回路类似的是哈密顿回路问题。
它是1859年哈密顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在下图中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被称为周游世界问题。
定义13.3给定图G，若存在一条路经过图中的每一个结点恰好一次，这条路称作哈密顿（Hamilton）路。
若存在一条回路，经过图中的每一个结点恰好一次，这个回路称作哈密顿回路。
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。
具有哈密顿路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。
(a)(b)(c)（a）中存在哈密顿路，不存在哈密顿回路，所以（a）是半哈密顿图，（b）中存在哈密顿回路，（b）是哈密顿图，（c）不是哈密顿图。
13.2.2哈密顿图的判定定理13.3（哈密顿回路的必要条件）若图G=<V, E>具有哈密顿回路，则对于结点集V的每一个非空子集S均有W(G−S)≤|S|成立。
其中W(G−S)是G−S中连通分支数。
定理13.4（奥尔定理，哈密顿路的充分条件）设G是具有n个结点的简单无向图，如果G中每一对不相邻顶点的度数之和大于等于n−1，则在G中存在一条哈密顿路。
例13.2某地有5个风景点。
若每个景点均有两条道路与其他景点相通，问是否可经过每个景点恰好一次而游完这5处？解将景点作为结点，道路作为边，则得到一个有5个结点的无向图。
由题意，对每个结点vi，有。
则对任意两点均有可知此图一定有一条哈密顿路，本题有解。
小结（1）深刻理解哈密顿图及半哈密顿图的定义；（2）分清哈密顿图的必要条件和充分条件，会用哈密顿图的必要条件证明某些图不是哈密顿图。
关于哈密顿图的思维形式注记图如图所示。
图论课件第四章欧拉图与哈密尔顿
欧拉路径的长度等于其经过的边 数。
哈密尔顿路径的定义与性质
定义
哈密尔顿路径是指一个路径在图中经 过所有的顶点且每个顶点只经过一次 ，最后回到起始点。
性质
哈密尔顿路径的长度等于其经过的顶 点数。
欧拉路径与哈密尔顿路径的判定
欧拉路径的判定
对于一个给定的图，判断是否存在一个路径满足欧拉路径的 定义。通常需要通过图的连通性、边的数量和顶点的数量等 条件进行判断。
连通性
连通性是图论中的一个重要概念，研究图中顶点之间的连接关系。常 见的连通性算法包括深度优先搜索和广度优先搜索。
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图论课件第四章欧拉 图与哈密尔顿
目录
• 欧拉图 • 哈密尔顿图 • 欧拉路径与哈密尔顿路径 • 应用与扩展
01
欧拉图
欧拉图的定义
01
欧拉图是一个连通图，它包含一 条或多条边，并且每条边只包含 一次，使得从起点到终点的每条 路径都恰好经过每条边一次。
02
欧拉图中的路径称为欧拉路径， 起点和终点称为欧拉终点，如果 这条路径的长度恰好是边数，则 称为欧拉回路。
回溯法
通过回溯算法搜索所有可能的路 径，判断是否存在一个路径满足 哈密尔顿路或哈密尔顿路径的条件。
邻接矩阵法
通过判断邻接矩阵是否满足一定条 件来判定一个图是否为哈密尔顿图。
欧拉路径法
通过判断一个图是否存在欧拉路径 来判定该图是否为哈密尔顿图。
03
欧拉路径与哈密尔顿路径
欧拉路径的定义与性质
定义
欧拉路径是指一个路径在图中从 一点出发，经过所有的边且每条 边只经过一次，最后回到起始点 。
哈密尔顿回路是一个路径，它经过图中的每个顶点恰好一次，并且起点和终点必须 不同。
哈密顿图的判定方法
哈密顿图的判定方法哈密顿图的判定方法是指用来判断一个图是否是哈密顿图的方法。
哈密顿图是指一个图的所有顶点之间，每两个顶点之间只有一条路径，且路径上的边数正好为顶点数减一的图。
哈密顿图具有很多有用的性质，如旅行商问题、图论中最小连通子图等。
因此，判定一个图是否为哈密顿图是一个重要的问题。
哈密顿图的判定方法主要有以下两种：1.构造法：构造法是一种最直接也是最常用的判定哈密顿图方法。
对于一个有n个顶点的图G=(V,E)，判定它是否为哈密顿图的步骤如下：（1）构造一个新的n个顶点的图G'=(V',E')，其中V'=V，E'=∅。
（2）从G中选择一个顶点v1，将它加入到G'中，然后从G中选择v1的一个邻接顶点v2，把它也加入到G'中，同时把v1到v2之间的边加入到G'中，如此继续，直到G'中的顶点数达到n为止。
（3）若G'中的边数等于n-1，则说明G是一个哈密顿图；若不等于n-1，则说明G不是一个哈密顿图。
构造法有一个缺点，就是在构造过程中，如果构造的路径已经存在，会重复构造，浪费时间。
2.检验法：检验法是指先对给定的图进行检验，看看它是否为哈密顿图，而不是像构造法那样去构造它。
检验法的精髓就是要检验每个顶点的度数，即每个顶点有多少条边指向它，如果有多于一个顶点的度数大于等于n，则说明这个图不是一个哈密顿图。
否则，如果每个顶点的度数都小于n，则说明这个图是一个哈密顿图。
总之，哈密顿图的判定方法主要有构造法和检验法两种，构造法是最直接也是最常用的方法，但构造过程中会有重复构造而浪费时间；而检验法则是先对给定的图进行检验，看它是否为哈密顿图，其精髓是要检验每个顶点的度数。
哈密顿图.doc
定义4.3.1 经过图G 的每个顶点恰一次的路称为G 的Hamilton 路，简称为H 路。
经过图G 的每个顶点恰一次的圈称为G 的Hamilton 圈，简称为H 圈。
具有Hamilton 圈的图称为Hamilton 图，简称为H 图。
Hamilton 图的研究起源于一种十二面体上的游戏。
1857 年，爱尔兰著名数学家William Rowan Hamilton 爵士（他也是第一个给出复数的代数描述的人）制作了一种玩具，它是一个木制的正十二面体，在正十二面体的每个顶点上有一个木栓，并标有世界著名城市的名字。
游戏者用一条细线从一个顶点出发，设法沿着十二面体的棱找出一条路，通过每个城市恰好一次，最后回到出发点。
这个游戏当时称为Icosian 游戏，也称为周游世界游戏。
将正十二面体从一个面剖开并铺展到平面上得到的图形如下图所示，称为十二面体图。
周游世界游戏用图论术语来说就是判断十二面体图是否Hamilton 图，并设法找出其Hamilton 圈。
其中一条Hamilton 圈如图中粗边所示。
十二面体图是H 图判断一个图是否Hamilton 图与判断一个图是否Euler 图似乎很相似，然而二者却有本质的不同。
目前为止尚没有找到判别一个图是否是Hamilton 图的有效充要条件。
这是图论和计算机科学中未解决的重要难题之一。
本节给出一些经典的充分条件和必要条件。
一、必要条件定理 4.3.1 设G 是二部图，若G 是H 图，则G 必有偶数个顶点。
证明：设G = (X, Y ) ，由于G 的边全在X 和Y 之间，因此如果G 有Hamilton 圈C，则G的所有顶点全在C 上，且必定是X 的点和Y 的点交替在C 上出现，因此G 必有偶数个顶点。
证毕。
这个定理给出了一个二部图不是Hamilton 图的简单判断条件：如果一个二部图有奇数个顶点，则它必定不是Hamilton 图。
例如，下列Herschel 图是二部图，但有奇数个顶点，故不是H 图。
哈密尔顿图在实际中的应用
哈密尔顿图在实际中的应用
哈密尔顿图，也常被称为哈密尔顿圆，是按照所有学习进程中每段学习内容的
顺序进行组织的复杂图形，它具有非常强大的图形分析功能，能够有效地展示高校的课程结构与学习任务关系，为高校课程制定、教学设计及学习成功率分析等提供重要的参照依据，在高校和高等教育领域有着广泛的应用价值。
以深切的视角看待学生学习和获得教育，高校才能让学生受益良多，然而无论
学生如何学习，各门课程之间总是有某种相关性，而高校教育模式却没有很好地体现出这种相关性，哈密尔顿图能够聚焦这种相互作用，将各门课程链接起来，从而形成一种完整、精确、理性的大系统，为高校更有效地提升教育质量给出了多样的选择。
因此，在各个领域的高校和高等教育中，以哈密尔顿图的方式实施的学习模式
十分重要。
哈密尔顿图结合了内容、练习、考核等内容，将课程组织化，帮助学生就学习状态、学习方式、学习绩效进行定位和评估，不仅能够提升学生的学习效果，而且可以有效地检验高校教学管理模式。
此外，哈密尔顿图还能够帮助教育工作者有针对性的进行课程评估，重视学习个体差异、教学系统性以及推动学习创新的实践，从而改善和优化高校和高等教育的整体教学管理，确保学生的学习质量。
综上，哈密尔顿图有着多方面的实用价值，加强高校课程结构与学习模式的连接，形成强大的图形分析功能，为高校及高等教育服务，让学生拥有受益一生的学习质量，最终提升高等教育的可持续发展。
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存在哈密尔顿通路(回路)的图一定连通 哈密尔顿通路是初级通路 哈密尔顿回路是初级回路 有哈密尔顿通路不一定有哈密尔顿回路 环与平行边不影响图的哈密尔顿性
1
第九章 二部图、欧拉图、哈密尔顿图
2
第九章 二部图、欧拉图、哈密尔顿图
9.1 二部图
9.2 欧拉图
9.3 哈密尔顿图 9.4 例题分析
3
9.3 哈密尔顿图
一、定义
二、必要条件
三、充分条件
四、小结
4
周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
5
哈密尔顿回路与哈密尔顿通路
9
例3 证明右图不是哈密尔顿图.
证 假设存在一条哈密尔顿回路,
a,f,g是2度顶点, 边(a,c), (f,c)和 (g,c)必在这条哈密尔顿回路上, 从而点c出现3次, 矛盾.
f d
a
b c
e g
此外, 该图满足定理6.10的条件, 这表明此条件是必要、 而不充分的. 又, 该图有哈密尔顿通路.
14
小结
哈密尔顿图的定义 哈密尔顿图的必要条件 哈密尔顿图的充分条件
6
有哈密尔顿回路
有哈密尔顿通路 有哈密尔顿通路 无哈密尔顿回路 无哈密尔顿回路
有哈密尔顿回路
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
无哈密尔顿通路
有哈密尔顿通路 无哈密尔顿回路
7
哈密顿图的必要条件
定理9.5 若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图, 则对于V的任 意非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|. 证 设C为G中一条哈密尔顿回路, 有p(CV1) |V1|. 又因为CG, 故 p(GV1) p(CV1) |V1|.
13
判断某些图不是哈密尔顿图
破坏哈密尔顿图的必要条件。 哈密尔顿图的必要条件： G是连通图 G中的边数m大于等于顶点数n 若G中存在2度顶点v，即d(v)=2, 则与v关联的两条 边ei，ej必须在G中的任何哈密尔顿回路上 G中必须在每条哈密尔顿回路中出现的边，不能构 成边数小于n的初级回路(圈) 定理9.5
11
存在哈密尔顿回路(通路)的充分条件
定理9.7 设D是n(n2)阶有向图, 若略去所有边的方向后 所得无向图中含子图Kn, 则D中有哈密尔顿通路. 推论 n(n3)阶有向完全图都是哈密尔顿图.
12
判断某些图是哈密尔顿图
利用哈密尔顿图的充分条件： 若能通过观察找出图G中的一条哈密尔顿回路,则G 当然为哈密尔顿图. 若一个无向图G满足定理9.6中推论的条件，一个 有向图D满足定理9.7的推论的条件，则G，D是哈 密尔顿图.
例如 当r≠s时, Kr,s不是哈密尔顿图.
推论 有割点的图不是哈密尔顿图.
8
例2 证明下述各图不是哈密尔顿图:
(a)
(b)
(c)
(d)
(c) 中存在哈密尔顿通路,无哈密尔顿回路. (d)中存在哈密尔顿通路，无哈密尔顿回路 , 称为彼得 森图. 该图满足定理9.5中的条件： 对于V的任意非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|. 说明，该条件是必要不充分的.
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存在哈密顿回路(通路)的充分条件
定理9.6 设G是n(n3)阶无向简单图, 若对于G中任意两个 不相邻的顶点u,v, 均有d(u)+d(v)n-1, 则G中存在哈密尔 顿通路.
推论1 设G是n(n3)阶无向简单图,对于G中任意两个不相 邻的顶点u,v, 均有d(u)+d(v)n, 则G为哈密尔顿图. 推论 设G是n(n3)阶无向简单图, 若δ(G)n/2, 则G是哈 密尔顿图. 当n3时, Kn是哈密尔顿图; 当r=s2时, Kr,s是哈密尔顿图.