正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
3-1正弦量的表示方法
已知： i = 141.4 sin( 314t +
u = 311.1sin(314t −
π
6
) A
π
3 求： i 、u 的相量表达式及相量图。
) V
i = 141.4 sin( 314t +
u = 311.1sin(314t −
解：
π
π
6
3
) A
) V
I
141.4 j 30 j 30 I= e = 100e = 100∠ 30 A 2
u = 5 2 sin(ω t − 126 ⋅ 9 )
b. 复数的四则运算
已知：
jθ 1 A1 = a1 + jb1 = A1e
jθ 2 A2 = a 2 + jb2 = Ae
±A = ( a ± a ) + j( b ± b ) 加减：A 1 2 1 2 1 2
乘除：
⋅A = A ⋅ A e j ( θ 1 +θ 2 ) A 1 2 1 2
Im = 2
同理
Um U= 2
Em E= 2
•相位和初相位
i
i = 2 I sin (ω t + ϕ )
ωt
ϕ
相位（相位角）： ωt + ϕ
单位：弧度（ rad）、度（ ）
初相位： t = 0 时的相位，即 ϕ
相位差 两个同频率正弦量间的相位差(初相差)
i1
ϕ2
i2
ϕ1
ωt
i1 = I m 1 sin(ω t + ϕ 1 )
30 60
311.1 − j 60 U= e = 220∠ − 60 V 2 相位哪一个超前？ 哪一个滞后？
正弦交流电路
二单元正弦交流电路引言正弦交流电的产生：正弦交流电路:含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。
因为交流电可以利用变压器方便地改变电压、便于输送、分配和使用。
所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。
着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。
随时间按正弦规律变化的交流电压、电流、电动势称为正弦电压、电流、电动势。
正弦量：正弦电压、电流、电动势统称为正弦量。
Riab)sin(m i t I i ψω+=规定电流参考方向如图：iωtiψ正半周：电流实际方向与参考方向相同负半周：电流实际方向与参考方向相反+-最大值角频率初相角正弦量的三要素课题1正弦交流电的基本概念一、正弦量的三要素表达式：波形：用带有下标m 的大写字母表示:I m 、U m 、E m有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。
用大写字母表示：I 、U 、 E1. 最大值描述正弦量变化范围的参数。
tiＴ最大值I m⎰=Tdti TI 021正弦量最大值与有效值的关系EE m 2=II m 2=UU m 2=2. 角频率ω描述正弦量变化快慢的参数。
单位：rad/s周期(T ): 变化一个循环所需要的时间，单位(s)。
频率( f ): 单位时间内的周期数单位(Hz)。
三者间的关系示为：=2π/T =2πfωTωt 2ππtiＴT/2我国和大多数国家采用50Hz 作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz 。
iωt)sin(i m t I i ψω+=iψt =0 时的相位角称为初相角或初相位。
i ψ同频率正弦量的相位角之差，用ϕ表示。
二、相位差：180±取值范围：相位差可反映同频率正弦量超前滞后关系。
180±相位差的取值范围：3. 初相iψ影响初相得因素：项前负号（±180°）Cos （90 °）)sin(1m ψtωU u +=如：)()(21ψωψωϕ+-+=t t 21ψψ-=若21>-=ψψϕ电压超前电流ϕ或电流滞后电压ϕuiu iϕωtO)2ψ+=t ωI i sin(m电流超前电压︒-=-=9021ψψϕ︒90电压与电流同相021=-=ψψϕ电流超前电压ϕ021<-=ψψϕ电压与电流反相︒=-=18021ψψϕu iωt ui ϕOu iωtui 90°O u i ωtui Oωtui u i O一、复数1. 复数的表示形式A = a + j b1）代数形式：为虚数单位1j -=ϕcos A a =ϕsin A b =22ba A +=ab=ϕtan aAb+1+jϕA实部虚部ϕA A =2）极坐标形式：模幅角2. 两种形式的互换代数极坐标代数极坐标课题2正弦量的相量表示法3. 复数运算（熟记公式）111j b a A +=222j b a A +=1）加减运算（用代数形式）：则()()212121j b b a a A A ±+±=±设则222ϕA A =111ϕA A =212121ϕϕ+=⋅A A A A 212121ϕϕ-=A A A A 设2）乘除运算（用极坐标形式）：1A 2A 3A 321A A A ++思考如何用作图的方法得到复数的差？3）复数的相等111j b a A +=222j b a A +=21a a =如果21b b =则21A A =222ϕA A =111ϕA A =如果21A A =21ϕϕ=则21A A =4. 旋转因子（模为1，辐角为的复数）ϕ一个复数乘以ϕj e等于把其逆时针旋转角。
相量法
▪幅值、初相、角频率可确定一个正弦量，称为 正弦量的三要素。
二、同频率正弦量的比较 例：
u1(t)=U1mcos(t+1)
u2(t)=U2mcos(t+2)
(1) 相位差：相角或相位之差，也称相位角差。 用表示， = (t+1) - (t+2) = 1 - 2 相位差在任何瞬间都是一个常数，即等于它们的 初相之差，而与时间无关。 相位差与计时起点的选择无关。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值 1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
部分别相加或相减。
复数的加减运算可以用平行四边形法则在复平 面上用作图法来进行。
(3)乘法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。 A• B ab(a b ) abe j(a b )
即：复数相乘，其模相乘，其辐角相加。 (4)除法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。
A/ B a / b(a b ) a / be j(a b ) 即：复数相除，其模相除，其辐角相减。 (5)旋转因子：复数ej称为旋转因子。
同理：
U
1 2
Um
0.707 U m
U m 2U
▪通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
第二节正弦量的相量表示法第三节电阻元件伏安关系的向
i(t) 11.18 2 cos(t 10.3) 21
例2 图示电路，已知：
+ u1(t) -
u1(t) 6 2 cos(t 30)
-
u2 (t) 4 2 cos(t 60)
u3(t)Biblioteka u2(t)+
求 u3(t)
解： 正弦量以相量表示，有
•
U1 630
•
U2 460
•
••
U3 U1 U2 (5.19 j3) (2 j3.45)
u(t) 2U cos(t u )
p(t) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(2t 90)
2）平均功率: P 1
T
p(t)dt
T0
0
p(t)
UI
3）无功功率: Q UI
X
LI
2
U X
2 L
(Var)
0
意义:反映电感元件与电源进行能量交换的最大速率.
t
12
i(t) 2I cos(t i )
u(t) 2U cos(t u )
p(t) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(2t 90)
2）平均功率: P 1
T
p(t)dt
T0
0
3）无功功率: Q UI
XCI 2
U2 XC
(Var)
p(t)
UI
0
意义:反映电容元件与电源进行能量交换的最大速率.
3 j4
8 j6
例2：写出下列正弦量的时域形式：
•
U1 3 j4
•
U 2 8 j6
u1(t) 5 2 cos(t 126.9)
相量表示法
解:
+1
0
30 -60
i1 和 i2 对应的电流向量 表达式分别为
10 30 A I1 5 60 A I2
I2
I 1的长度是 I 2的二倍。
三、复数
复数的四则运算 加减运算用代数式，实部与实 部，虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，幅角相加或相减。
二、正弦量的相量表示法
一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时,它们同以ω速度旋转,相 对位置保持不变。因此，在同一相量图 中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。 相量的写法为:大写字母的上方加一 个“.”。
我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量 可以用复数表示。 １. 复数表示法： A= a+j b 代数式 j A A= r(cosψ +j sinψ ) 三角式 b 根据欧拉公式: r
这样，表示正弦电压 u U m sin t 的相量为
U e j U Um m m
为了使计算结果能直接表示正弦量的有 效值，通常使相量的模等于正弦量的有效 值，即可以表示为：
Ue j U U
注意！
（１）只有正弦量才能用相量表示；
（２）几个同频率正弦量可以画在同一 相量图上；
0
a
e j= cosψ+ j sinψ A = r e jψ 指数式 +1 A = r∠ψ 极坐标式
其中
a = r cosψ b = r sinψ
r
ψ
a b
2
2
= arctg ( b/a )
2. 正弦量的相量
一个复数的幅角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值， 该复数称为正弦量的相量.
15、正弦交流电的相量表示法cos
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
电路相量法和正弦稳态电路的分析
故
图 (c):以 电 感 与 电 容 的 并 联 电 压 为 参 考 相 量
I2.82A 8
U C 3 0 1 A 3 0 0 V I I C I L j - 2 j = - j A , U U R U C 4 0 j + 3 0 = 5 0 5 3 . 1 V
6.2 正弦量的相量表示法
2、正弦量的相量表示
i(t) Im c(o t si)2 Ic ( to s i)
Re
2
Ie
j(t
i
)
Re
2
Ie
ji
e
jt
Re
2
I
e
jt
Re I m
e
jt
其中：
UjLI jXLI
感抗： XL L 有效值： U LI 相位： u i 90
U j
u
I
i
I
j L
t
U
O
1
i O
电压超前于电流 90°
u
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 电路中已标明电压表和电流表的读数，试求电压 u 和电流 i 的有效值。
60V
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 已L=知3如H，图所C示=5电路1中0-3Fi S 。 试0 . 求2 c 电o （ s 压 ut R 、4 u5 L） A 和,u C 1 0 r 。a d / s , R 2 0 ,
R
根据
iS +
uR –
C
—初相位,反映正弦量初值大小正负
()ψπψπ-≤≤—初相位，反映正弦量初值的大小、正负。
m F ，ω，ψ—正弦量的三要素。
已知m 10A,50Hz,15oI f ψ===-， 则()10cos(31415)A oi t t =-。
2). 波形表示法0t ωψ+=， t ωψ=-。
当0>ψ时，最大值点由坐标原点左移ψ。
如下图。
3、正弦量的有效值()f t —任意周期函数⎰=Tdt t f TF 02)(1 —方均根值可见，周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根。
因此，有效值又称为方均根值。
当周期量为正弦量时，将m ()cos()f t F t ωψ=+代人上式得F ==其中⎰⎰=++=+TiiTTdt t dt t 0222)(2cos 1)(cosϕϕωω所以0.707mF F ===只适用于正弦量 这样正弦量的数学表达式写为 ()cos()f t t ωψ=+。
因此，正弦量的有效值可以代替最大值作为它的一个要素。
t对于正弦电流i ＝I m cos(ωt+φi ) 的有效值为I =I m /2=0.707I m同理，正弦电压u ＝U m cos(ωt+φu )的有效值为U ＝U m /2＝0.707U m在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。
例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。
我国所使用的单相正弦电源的电压U =220V ，就是正弦电压的有效值，它的最大值U m ＝2U ＝1.414×220＝311V 。
应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。
例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。
4、两个同频率正弦量的相位差ϕ设 m u ()cos()u t U t ωψ=+ )cos()(i m t I t i ψω+= 则u (t )与i (t )的相位差i u i u t t ψψψωψωϕ-=+-+=)()(可见，对两个同频率的正弦量来说，相位差在任何瞬时都是一个常数，即等于它们的初相之差，而与时间无关。
电路基础-正弦稳态电路
第五章正弦稳态电路第一节正弦量的基本概念学习目标：1. 掌握正弦量的三要素。
2 ．掌握正弦量的相位关系。
３. 掌握有效值的定义。
４．掌握正弦量的有效值与最大值的关系。
重点：正弦量的三要素、相位关系、有效值与最大值的关系难点：初相一．正弦交流电的特点大小和方向随时间按正弦规律变化的电流称为正弦交变电流，简称交流（ ac 或 AC ）。
我们日常生活、生产中，大量使用的电能都是正弦交流电。
正弦交流电具有以下特点：1 ．交流电压易于改变。
在电力系统中，应用变压器可以方便地改变电压，高压输电可以减少线路上的损耗；降低电压以满足不同用电设备的电压等级。
2 ．交流发电机比直流发电机结构简单。
二．正弦量的三要素区别不同的正弦量需要从它们变化的快慢、变化的先后和变化的幅度三方面考虑。
1 ．变化的快慢 ---- 用周期、频率或角频率描述。
(1) 周期： T ，秒。
(2) 频率：， Hz 。
(3) 角频率：* 周期越短、频率（角频率）越高，交流电变化越快。
* 工频，，2 ．变化的先后 ---- 用初相角描述(1) 相位角：(2) 初相角： t=0 时正弦量的相位角称作初相角。
* 的大小和正负与计时起点有关。
* 规定* 当正弦量的初始值为正时，角为正；初始值为负时，角为负。
* 如果正弦量零点在纵轴的左侧时，角为正；在纵轴右侧时，角为负。
3 ．变化的幅度 ---- 用最大值来描述（ 1 ）瞬时值：用小写字母表示，如 e 、 u 、 i 。
（ 2 ）最大值：也称振幅或峰值，通常用大写字母加下标 m 表示，如。
一个正弦量与时间的函数关系可用它的频率、初相位和振幅三个量表示，这三个量就叫正弦量的三要素。
对一个正弦交流电量来说，可以由这三个要素来唯一确定：三、相位差与相位关系1 ．相位差——两个正弦交流电在任何瞬时相位角之差称相位差。
* 两个同频正弦量的相位差等于它们的初相之差。
规定。
2 ．相位关系图 5-1 相位关系①超前、滞后关系；②同相关系（；③ 反相关系；④ 正交关系四、正弦量的有效值一、有效值的引入正弦量的瞬时值是随时间变化的，这对正弦量大小的计量带来一定的困难。
正弦量的相量表示及运算
A r(cos j sin) r cos jr sin
根据欧拉公式，可得: e j cos j sin
(3) 指数式 A r e j (4) 极坐标式 A r
任意一个正弦量的相量乘以+j后，即在原相量的基础上逆 时针旋转90；乘以-j则顺时针旋转90，故称j为旋转因子。
时值用相量表示即得 I 0 Im 0
上式就是KCL定律的相量形式。它表明，任意瞬间流经 任意节点的电流相量的代数和等于零。
二、相量形式的基尔霍夫定律
2．相量形式的KVL
同理，KVL也适用于交流电路，即同一瞬间，在电路的任 一回路中各电压的瞬时值的代数和恒等于零。即
u 0
将电压瞬时值用相量表示即得
A1 A2
r1 r2
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相
乘、除时用极坐标形式比较方便。
一、正弦量的相量表示
例题： 有两个复数分别为A1 1030，A2 845 试分别 对它们做加、减、乘、除运算。
解：
A1 A2 1030 845 (10cos30 10 j sin 30) (8cos45 8 j sin 45) (8.66 j5) (5.656 j5.656) 14.316 j1示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的 投影值来表示，如图所示，在复平面中，把这种反映正弦量大 小和初相位的有向线段称为相量。在大写字母上加一个点来表 示正弦量的相量。如电流、电压的最大值相量符号分别为U m Im
，有效值相量符号分别为U I 。以极坐标表示法为例，复数的
模表示正弦量的大小，复数的幅角表示正弦量的初相位。
一、正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
第7章 正 弦 稳 态 电 路 的 相 量 分 析
I 2RT T i2Rdt 0
整理得交流电有效值定义式: I 1 T i2dt ~均方根值
T0
将 i Im cost i 代入上式,得 I
1 2 Im
即 Im 2I
或 I Im 2
同理可得 U m 2U
U Um 2
注:工程上所说交流电压,电流值大多为有效值,电气铭牌
额定值指有效值。交流电表读数也是有效值。
i
u
t
o
u i
+1
2.L 元件:
在时域内设
iL 2IL cost i
iL L
uL
uL 2UL cost u V
uL
L
diL dt
2uL cost u
2 I LL
cost
i
2
U L uLIL i Nhomakorabea2
由欧拉公式有
1
j
e 2
cos
j sin
j
2
2
2
U L u jLI L i
相量形式:
称为从时域到频域的数学变换式。
讨论:
(1)式中 2Ie ji 称为正弦量的最大值相量,
表为 Im
2I
，
i
而
I I i
二者关系 Im 2I Um 2U
(2) e jt ~旋转因子。
即表示模为1, 以原点为中心,在复平面 上以ω为角速度逆时针旋转的相量。
+j
j1
e jt
1 t
0 1 +1
(3) i 2I cost i Re 2Ieji e jt Re Ime jt
因为在同一线性电路中,在同一频率激励下的各电压电流为同
电路基本知识总结(精华版)
电路知识总结（精简）1.电流的参考方向可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则i>0，反之i<0。
电压的参考方向也可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则u>0反之u<0。
2．功率平衡一个实际的电路中，电源发出的功率总是等于负载消耗的功率。
3．全电路欧姆定律：U=E-RI4．负载大小的意义：电路的电流越大，负载越大。
电路的电阻越大，负载越小。
5．电路的断路与短路电路的断路处：I＝0，U≠0电路的短路处：U＝0，I≠0二．基尔霍夫定律1．几个概念：支路：是电路的一个分支。
结点：三条（或三条以上）支路的联接点称为结点。
回路：由支路构成的闭合路径称为回路。
网孔：电路中无其他支路穿过的回路称为网孔。
2．基尔霍夫电流定律：（1）定义：任一时刻，流入一个结点的电流的代数和为零。
或者说：流入的电流等于流出的电流。
（2）表达式：i进总和=0或： i进=i出（3）可以推广到一个闭合面。
3．基尔霍夫电压定律（1）定义：经过任何一个闭合的路径，电压的升等于电压的降。
或者说：在一个闭合的回路中，电压的代数和为零。
或者说：在一个闭合的回路中，电阻上的电压降之和等于电源的电动势之和。
（2）表达式：1或： 2或： 3（3）基尔霍夫电压定律可以推广到一个非闭合回路三．电位的概念（1）定义：某点的电位等于该点到电路参考点的电压。
（2）规定参考点的电位为零。
称为接地。
（3）电压用符号U表示,电位用符号V表示（4）两点间的电压等于两点的电位的差。
（5）注意电源的简化画法。
四．理想电压源与理想电流源1．理想电压源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电流的大小，理想电压源的输出电压不变。
理想电压源的输出功率可达无穷大。
（2）理想电压源不允许短路。
2．理想电流源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电压的大小，理想电流源的输出电流不变。
理想电流源的输出功率可达无穷大。
（2）理想电流源不允许开路。
3．理想电压源与理想电流源的串并联（1）理想电压源与理想电流源串联时，电路中的电流等于电流源的电流，电流源起作用。
电路分析第07章
7.3.2电路元件伏安关系的相量形式
1.电阻元件伏安关系的相量形式 2.电容元件伏安关系的相量形式 3.电感元件伏安关系的相量形式
对于一个正弦稳态电路，若将电路中 的所有电压和电流（包括电源和各支路电 压或电流）都用它们对应的相量代替；将 所有的电路元件都用它们的相量模型代替， 则可得到原电路对应的相量模型。
电源的电路模型由3个独立正弦电压源按
一定方式连接而成，其中的每一个电压源
称为三相电源的一相。
三相电源中，通常把各相电压经过同
一值（如最大值）的先后次序称为相序。
如果相序为A－B－C（或B－C－A和C－
A－B），则称为正序或顺序；相反，如果
相序为A－C－B（或C－B－A和B－A－
C），则称为反序或逆序。
图7-40不对称三相电路及其相量图
7.7.4三相电路的功率测量
三相电路的有功功率可用功率表来测
量，测量方法随三相电路连接形式以及是
否对称而有所不同。
先讨论三相四线制电路中的有功功率 测量方法。由于三相负载吸收的有功功率 为其各相有功功率之和，所以，三相负载 的有功功率可以用3个功率表分别测量。 三表指示值之和为三相负载吸收的总功率。 如图7-45所示。这种方法共用3个功率表， 所以叫作三表法。
时间函数表达式与相量是在不同域中
对正弦量的表示，通常将正弦量的时间函
数表达式和对应的波形图称为正弦量的时 域表示。
7.3 正弦稳态电路的相量模型
由于电路的两种约束，即基尔霍夫定 律和电路元件的伏安关系是进行电路分析 的两个基本依据，因此在介绍正弦稳态电 路的相量分析法之前，首先要讨论基尔霍 夫定律和电路元件伏安关系的相量形式。 7.3.1基尔霍夫定律的相量形式
7.1.3正弦量的有效值
第08章相量法
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
正弦量的相量表示
b| A| sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A 1A 2A 1ej1A 2ej2A 1A 2ej(12)
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u (t)u 1(t)u 2(t)R e( 2U •1ejwt)R e( 2U •2ejwt)
R e( 2U •1ejwt2U •2ejwt)R e( 2(U •1U •2)ejwt)
可得其相量关系为： U U 1U 2 U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
也可借助相量图计算
Im U2
U
U1
41.9
30 60
Re
首尾相接
U
Im
U2
U1
60
41.9
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
wy y i 2 I co t s i) (I I i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
第八章 相量法
第八章相量法第一节正弦交流电路的基本概念一、讨论正弦函数的意义：1、电力工程中所用的电压、电流几乎均为正弦时间函数。
2、正弦函数是周期函数的特例，任何非正弦周期函数都可以利用傅立叶级数分解为一系列不同频率正弦函数的代数和。
3、正弦交流电路的分析和计算具有重要的理论价值和实际意义。
二、正弦量的三要素：正弦时间函数的一般表达式为：u=U m Sin(ωt+φu)，电流i= I m Sin(ωt+φi)，其中U m （I m）、ω、φu（φi）称为正弦量的三要素。
U m（I m）：正弦量的最大值，称为振幅。
它是从量的大小和变化幅度上描绘正弦量的一个要素。
ω：角频率：正弦量随时间变化的核心部分是(ωt+φu)，反映了正弦量随时间变化的进程，称为正弦量的相位角。
ω是相位角随时间变化的速率，它是反映正弦量变化快、慢的一个要素。
ω与周期T、频率f的关系为：ω=2π/T=2πf。
φ：初相角，即ω=0时正弦量的相位角。
它决定了t=0时，瞬时值的大小。
综上：正弦量的特征表现在正弦量的大小、变化的快慢、初始值三个方面，它们分别由振幅、角频率、初相角来决定。
三、两个同频率的正量之间的相位关系：当同频率的正弦激励作用于电路时，电路中各部分的电压、电流都是与电源同频率的正弦量。
比如两个同频率的正弦交流电压：u1=U1m Sin(314t+φ1) u2=U2m Sin(314t+φ2)两个正弦量ω相同，但初相角不同，因而任何瞬间相位角不同。
相位角的差：φ=(314t+φ1)- (314t+φ2)= φ1-φ2 即初相角的差。
若φ1-φ2＞0 称为u1超前于u2或u2滞后于u1。
若φ1-φ2＜0 称为u1滞后于u2或u2超前于u1。
若φ1-φ2＝0 称为u1与u2同相。
从图8-1-1可以看出它们之间的超前、滞后关系。
注意：（1）只有同频率正弦量之间超前、滞后才有意义。
（2）相位差通常用≤π的角度表示。
【实例8-1】i 1= I 1m Sin(ωt+120°) i 2= I 2m Sin(ωt-120°)则φ=φ1-φ2=120°- ( -120°)=240°所以i 1超前于i 2 240°，但常称为i 1滞后于i 2 120°。
基尔霍夫定律的验证的实验报告
1.电压电流电流的参考方向可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则i>0，反之i<0。
电压的参考方向也可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则u>0反之u<0。
2．功率平衡一个实际的电路中，电源发出的功率总是等于负载消耗的功率。
3．全电路欧姆定律：U=E-RI4．负载大小的意义：电路的电流越大，负载越大。
电路的电阻越大，负载越小。
5．电路的断路与短路电路的断路处：I＝0，U≠0 电路的短路处：U＝0，I≠0 。
基尔霍夫定律：1．几个概念：支路：是电路的一个分支。
结点：三条（或三条以上）支路的联接点称为结点。
回路：由支路构成的闭合路径称为回路。
网孔：电路中无其他支路穿过的回路称为网孔。
2．基尔霍夫电流定律：（1）定义：任一时刻，流入一个结点的电流的代数和为零。
或者说：流入的电流等于流出的电流。
（2）表达式：i进总和=0 或：i进=i出（3）可以推广到一个闭合面。
3．基尔霍夫电压定律（1）定义：经过任何一个闭合的路径，电压的升等于电压的降。
或者说：在一个闭合的回路中，电压的代数和为零。
或者说：在一个闭合的回路中，电阻上的电压降之和等于电源的电动势之和。
电位的概念（1）定义：某点的电位等于该点到电路参考点的电压。
（2）规定参考点的电位为零。
称为接地。
（3）电压用符号U表示,电位用符号V表示（4）两点间的电压等于两点的电位的差。
（5）注意电源的简化画法。
四．理想电压源与理想电流源1．理想电压源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电流的大小，理想电压源的输出电压不变。
理想电压源的输出功率可达无穷大。
（2）理想电压源不允许短路。
2．理想电流源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电压的大小，理想电流源的输出电流不变。
理想电流源的输出功率可达无穷大。
（2）理想电流源不允许开路。
3．理想电压源与理想电流源的串并联（1）理想电压源与理想电流源串联时，电路中的电流等于电流源的电流，电流源起作用。
第08章 相量法
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用极坐标形式比较方便 设
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
F F2 F 1 F2 2 1 1
F F2 / 1 2 1
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义 +j
F1 F2
F1
F2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设
F1 a1 j b1
F2 a2 j b2
F1 F2 (a1 j b1 ) (a2 j b2 )
几何意义
+j
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
二、正弦量的三要素
i + 瞬时值表达式： i(t ) u -
I m cos(t i )
1、振幅Im 2、角频率ω
i(t ) I m cos(t i )
i
Im 2π π 2π ωt
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值
反映正弦量变化的快慢 ω =d(ωt+ )/dt 单位时间内变化的角度, 单位:rad/s ωT=2π,ω=2πf , f=1/T 频率f :每秒钟完成循环的次数， 单位为赫兹（Hz） 周期T :完成一个循环变化所需 的时间,单位为秒（s）
接下来…… i(t)=Imcos( t + )
(a) 角频率 ( )
所有电压电流均以相 同角频率ω变化!!
(b) 幅值 (Im)
(c) 初相角( )
用什么可以同时表示幅 值和相位？
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三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 相量形式（同频率的正弦量） ： I
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0
第五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
ω
A I m
+1
a 0
b
ω t1
ωt
若：有向线段长度 = 电流最大值 I m 有向线段与横轴夹角 = 初相位 有向线段以速度 ω 按逆时针方向旋转 则：该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示 相应时刻正弦量的瞬时值。
例：设有正弦电流：
试求：两电流的和及差。
解：用相量表示两正弦电流为
70.745 A I 1 42.430 A I 2
I I1 I 2
I1
45º 0 -30º
I2
I I1 I 2
其相量图如图所示 将两相量相加，得
I2
I I (70.745 42.430 )A 91.418.4 A I 1 2
第五章
正弦电流电路导论
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
5.1 正弦量电压和电流的基本概念
一 时变的电压和电流 ◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第五章
正弦电流电路
u(t )
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 和 i (t ) 表示。
第五章
正弦电流电路
四 周期量和正弦量的有效值 有效值：如果一个周期电流 i 通过电阻 R , 在一个周期 T 内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通过该电 阻 R 消耗的能量 , 则I 定义为 i 的有效值。
0
则有
T
2 i 2 R dt I RT
周期电流
直流
I
1 T
T
0
i 2dt
ψ
(I ) I m
1
相量图：把相量表示在复平面的图形。
第五章 正弦电流电路
注意
① 相量与正弦量是对应关系，而并不是等于正弦量。
i I msin(ωt ψ) I I ψ
② 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量 表示。 ③ 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
④ 相量（有效值相量）的表示形式
初相位
决定正弦量起始位置
角频率 幅值
决定正弦量变化快慢 决定正弦量的大小
幅值、角频率、初相位称为正弦量的三要素。
第五章 正弦电流电路
◆ 幅值：交流电的最大瞬时值称为幅值或最大值，如Im。
幅值必须大写, 下标加 m。
Im
iTt◆ 决定正弦量变化快慢的三种描述： ①周期 T：变化一周所需的时间。 单位：秒(s) ②频率 f：每秒变化的次数。单位：赫兹(Hz)
若 u i 0,
若 u i 0,
称 u 滞后 i 角；
称 u 超前 i 角；
u,i
o
u
i
t
u,i i
u
t
o
第五章 正弦电流电路
两个正弦量的相位关系
0 , 180 , u i 若 u i 若 若 u i ， 2
第五章 正弦电流电路
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) 91.4 2 sin(ωt 18.4 )A 其瞬时值表达式：
将两相量相减，得
I I (70.745 42.430 )A 72.479.4 A I 1 2
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) 72.4 2 sin(ωt 79.4 )A 其瞬时值表达式：
第五章 正弦电流电路
三 用相量表示正弦量
相量：表示正弦量的复数称为相量。
相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、
辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。
即：相量 Im （或 I ）
j
模用最大值表示时，为最 I ψ 大值相量，即 I m m
模用有效值表示时，为有 效值相量，即 I I ψ
I I ψ Ie jψ I cos ψ jI sin ψ
⑤ “j” 的数学意义和物理意义
j90 90 旋转因子： e
e
j90
cos90 jsin 90 j
第五章 正弦电流电路 例 试写出下列正弦量的相量并作出相量图。 i1 50 2sin(100t )A 6 U 1 π u1 100 2sin(100t )V 3
有效值必须大写
第五章 正弦电流电路 正弦量的有效值与最大值关系 当 i I m sin(ωt ψ ) 时，则
Im 1 T 2 1 T 2 2 I i dt I m sin (ωt ψ )dt T 0 T 0 2
即
I
同理
注意
Im 2
Um 2
0.707I m
0.707 Um
称 u 与 i 同相； 称 u 与 i 反相；
称 u 与 i 正交。
u,i
u
i
t
u,i u o
i
t
u,i u o
i
t
o
第五章 正弦电流电路
注意: ① 两个同频率正弦量之间的相位差为常数， 与计时起点的选择无关。
i
i1
i2
t
O
② 不同频率的正弦量比较无意义。 ③ 相位差的绝对值规定不超过π。
③角频率ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)
第五章 正弦电流电路
三者间的关系：
1 f T
2 2 f T
* 电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz * 无线通信频率： 30 kHz ～ 30GMHz ◆ 相位和初相位 ①相位：正弦波的 (ωt ψ ) 。 ②初相位 ：t =0 时的相位。 ③规定：初相位的绝对值不超过π。
2π u2 =100 2sin(100t )V 3
3
0
6
I1
解：
π I1 =50 A 6 π U1 =100 V 3 2π U 2 =100- V 3
2 3
U 2
相量图
第三章 正弦电流电路
四 用相量求正弦量的和与差
i1 (t ) 70.7 2 sin(ωt 45 )A i2 (t ) 42.4 2 sin(ωt 30 )A
U
①交流电压、电流表测量的数据均为有效值 ②交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
第五章 正弦电流电路
5.2 正弦量的相量表示法
一 正弦量的表示方法
必须小写
解析式： i I m sin(ωt ψ ) i 波形图：
重点
O
ωt
Iψ 相量： I
由于前两种不便于运算，故引出相量表示法。