模糊数学——第4次课模糊矩阵运算
模糊矩阵乘法计算过程
模糊矩阵乘法计算过程模糊矩阵乘法计算过程一、什么是模糊矩阵模糊矩阵，也叫做模糊数组，是一种特殊的矩阵，其中的元素均为模糊数字。
模糊数的权值的范围从0到1，它代表着一个东西在给定的范围内隶属程度，或者说与另一个东西的相似程度。
存在着一系列分布在0-1之间，并且每一个隶属度值表示可以能量级或强度级，它们代表已经知识的信息来衡量客观事物的隶属程度。
二、模糊矩阵乘法是怎么运算的模糊矩阵乘法的计算公式是：A×B=C，其中A为m×n的模糊矩阵，B为n×k的模糊矩阵，C为m×k的模糊矩阵。
模糊矩阵乘法的计算过程如下：（1）将元素乘积向量和中的每个元素作模糊最大化操作，即C（a，b）=max（aij*bjm）；（2）每个乘积最大化后，将该元素加入结果向量vectorC，即C(vector C)=C(A,B)+1；（3）最后，将vector C转换成m×k的矩阵C；三、模糊矩阵乘法应用模糊矩阵乘法在模糊控制、线性规划、信息系统、故障诊断等领域广泛应用。
例如，在模糊控制中，一组模糊规则如下：A：若X是中B：若Y是大采用模糊矩阵的乘法把这两个规则合成语句“X是中且Y是大”，即A×B=C，其中C就是合成的规则。
四、模糊矩阵乘法的改进在实际中，模糊矩阵的乘法受到了部分的改进与加强，如双模糊矩阵乘积和交叉模糊矩阵乘积。
1、双模糊矩阵乘积：若A×B=C，其中A和B都是模糊矩阵（即A（m×n）和B（n×k）都是模糊数据），C就是双模糊矩阵（m×k）。
双模糊矩阵乘积的计算公式为：C（aij，bjm）=aij*max（min（aij，bjm），max（0，1-bjm）+min（1，aij，bjm））。
2、交叉模糊矩阵乘积：若A×B=C，其中A和B都是模糊矩阵，C就是双模糊矩阵。
交叉模糊矩阵乘积的计算公式为：C（aij，bjn）=aij*max（min（1，aij，bjn），min（1-bjn，aij））。
模糊矩阵计算公式
模糊矩阵计算公式模糊矩阵是模糊数学中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
说起模糊矩阵的计算公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙。
先给您讲讲啥是模糊矩阵吧。
简单来说，模糊矩阵就是元素都在 0到 1 之间的矩阵。
比如说，咱有一个 2×2 的模糊矩阵 A，它可能是这样的：\[\begin{pmatrix}0.8 & 0.3 \\0.2 & 0.7\end{pmatrix}\]那模糊矩阵的计算公式都有啥呢？这里面最常见的就是模糊矩阵的合成运算啦。
设 A 是一个 m×p 的模糊矩阵，B 是一个 p×n 的模糊矩阵，那它们的合成 C = A o B 中的元素 cij 就等于：\[c_{ij} = \bigvee_{k=1}^{p}(a_{ik} \land b_{kj})这里的“∨”表示取大运算，“∧”表示取小运算。
就拿刚刚那个例子来说，如果 A 是\[\begin{pmatrix}0.8 & 0.3 \\0.2 & 0.7\end{pmatrix}\]，B 是\[\begin{pmatrix}0.6 & 0.4 \\0.5 & 0.1\end{pmatrix}\]，那它们合成之后的 C 就是：\[\begin{pmatrix}(0.8 \land 0.6) \vee (0.3 \land 0.5) & (0.8 \land 0.4) \vee (0.3 \land 0.1) \\ (0.2 \land 0.6) \vee (0.7 \land 0.5) & (0.2 \land 0.4) \vee (0.7 \land 0.1) \end{pmatrix}\]\begin{pmatrix}0.6 \vee 0.3 & 0.4 \vee 0.1 \\0.2 \vee 0.5 & 0.2 \vee 0.1\end{pmatrix}\]\[\begin{pmatrix}0.6 & 0.4 \\0.5 & 0.2\end{pmatrix}\]这就是模糊矩阵合成运算的具体过程。
模糊数学第四章PPT学习教案
1 1 1 1
1
1
1
1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
11
{x1, x2 , x3, x4 , x5}
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模 糊 聚 类 的 基本思 想
定理1说明，λ越大，分类越细。λ由1变到0的
过程，是Rλ的分类由细到粗的过程，从而形成了 一个动态的聚类图。
λ =1
λ =0.8 λ =0.6 λ =0.5 λ =0.4
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模 糊 传 递 闭 包法举 例
将 t ( R )中的元素从大到小编排如下：
1>0.70>0.63>0.62>0.53
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
取 1 ，得
t ( R)1
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
X 被分成 5 类：{x1},{x2},{x3},{x4},{x5}.
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模 糊 传 递 闭 包法举 例
取 0.7 ，得
取 0.63 ，得
1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
t( R)0.7
0
0
1
0
0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 1
1 1 0 1 0 1 1 0 1 0
t( R)0.63
0
0
1
0
0
1 1 0 1 0
0 0 0 0 1
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模 糊 传 递 闭 包法举 例
解： 由题设知特性指标矩阵为
将数据标准化化为
80 10 6 2
50
1
3[1].2模糊矩阵
![3[1].2模糊矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/927da5731711cc7931b71670.png)
170 180
0.1 0
0.2 0.1
0.8 0.2
1 0.8
0.8 1
用矩阵表示为
1 0.8 R 0.2 0.1 0 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.1 0 0.8 0.2 0.1 1 0.8 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.8 1
1 1 1 1 1 1
分别称为零矩阵和全矩阵. (8) R S R S S R S R
( R S )C RC S C (9) ( R S ) R S ,
C C C
(10) 若 R1 S1 , R2 S2 ,则
R1 R2 S1 S2 , R1 R2 S1 S2
R S RC S C (11)
( RT )T R (12)
( R S )T RT S T (13) ( R S ) R S ,
T T T
R S RT S T (14)
证明略.
定理3-4 设 R Unn , 则
r ( R) R I .
证 先证 R I 为自反矩阵. 因为
所以 R I O I I ,这表明 R I 为自反矩阵.
R O, I I ,
再证任意包含 R 的自反矩阵必包含 R I . 设 Q 为任一包含 R 的自反矩阵,即 R Q 且 I Q,
0.5 0.4 0.9 0.2 0.5 0.2 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.2
可见 (Q R) S (Q S ) ( R S )
(3) (Q R) S (Q S ) ( R S )
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊矩阵
模糊矩阵定义 2-8 设()n m ij r R ⨯=，[]1,0∈∀λ，记()()n m ij r R ⨯=λλ其中 ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=λλλij ij ij r r r 01则称λR 为R 的λ截矩阵。
λ截矩阵λR 表示λ截关系，即()V U v u ⨯∈∀,，有()()[]1,0,1,∈∀≥⇔=λλλv u R v u R截矩阵必然是布尔矩阵。
例 2-9 如例2-8所示的模糊矩阵，若取9.0=λ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000010101R 定义 2-9 设()V U F Q ⨯∈，()W V F R ⨯∈。
Q 对R 的合成是从U 到W 的一个模糊关系，记为R Q 。
它的关系程度是()()()()()w v R v u Q w u R Q Vv ,,,∧∨=∈当()U U F R ⨯∈，记R R R =2,R R R n n 1-=二、几种重要特性 1、对称性定义 2-10 设()n m ij r R ⨯∈=μ，则称()m n ji T r R ⨯∈=μ为R 的转置矩阵。
其中T ij ji r r ∆=。
若R R T =，则称R 为对称矩阵。
定义 2-11 设()V U F R ⨯∈，而()U V F R T ⨯∈，则T R 称为R 的转置关系，即()U V u v ⨯∈∀,，()()v u R u v R T ,,=定义 2-12 设()U U v u ⨯∈∀,，()()v u R v u R T ,,=，则称R 具有对称性（即是对称关系）。
可见， R 是对称关系⇔()()v u R u v R ,,= 2、自反性定义 2-13 若()U U v u ⨯∈∀,，()1,=u u R ，则称R 为U 上的自反关系；若()n n ij r R ⨯=且1=iir ，则称R 为自反矩阵。
定义 2-14 若()U U v u ⨯∈∀,，有()⎩⎨⎧≠==v u vu v u I 01, 则称I 为恒等关系。
数学建模-模糊数学ppt课件
0.5 0.2
0 0..3 6,B0 0 0...5 3 1
0 0..4 2,则 0.6
AB0.5 0.3
0.6 0.3
B0.1 A0.3来自0.40.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
模糊集合及其运算
〔3〕模糊矩阵的转置 定义：设 A(aij)mn, 称 AT(aijT)mn为A的
转置矩阵，其中 aijT aji 。
模糊集合及其运算
2、指派方法 这是一种客观的方法，但也是用得最普遍的一种
方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模 糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。
3、其它方法 德尔菲法：专家评分法；
二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u 0 对A的隶属关系是不确定的。
模糊集合及其运算
特点：在各次实验中，u 0 是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计实验过程：
〔1〕做n次实验，计算出 u0对 A的隶属 u0 频 A* n 的 率次数
〔2〕随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为 u 0 对A的隶属度： A(u0)ln i mu0A*n的次数
模糊集合及其运算二模糊集合及其运算美国控制论专家zadeh教授正视了经典集合描述的非此即彼的清晰现象提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是非此即彼那么简单而概念的差异常以中介过渡的形式出现表现为亦此亦彼的模糊现象
Part2: 模糊数学
一 模糊集合及其运算 二 模糊聚类分析 三 模糊综合评判 四 模糊线性规划
A:U{0,1} uA(u),
8.4 模糊矩阵及其运算
模糊数学之模糊矩阵及其运算模糊矩阵模糊矩阵的基本运算模糊矩阵的合成模糊矩阵模糊矩阵：n,,2,1j ,m ,,2,1i ],1,0[r ,)r (R ij n m ij ==∈=⨯（布尔矩阵）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14.03.04.011.03.01.01R ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001R ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I（单位矩阵）1、模糊自反矩阵2、模糊对称矩阵3、模糊传递矩阵三类基本矩阵IA ≥A A T =AA 2≤例1 矩阵识别识别下列模糊矩阵所属类型.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1.0002.00.103.02.00.1C ,11.03.01.012.03.02.01B ,13.02.01.011.02.03.01A 模糊自反矩阵模糊对称矩阵模糊自反矩阵模糊矩阵模糊等价矩阵nn ij n 21)r (R },x ,,x ,x {U ⨯== )1r (R I ii =⇔≤)r )r r ((R R R ij kj ik n1k ≤∧∨⇔≤= ◎自反性◎对称性◎传递性)r r (R R ji ij T=⇔=模糊相似矩阵nn ij n 21)r (R },x ,,x ,x {U ⨯== )1r (R I ii =⇔≤◎自反性◎对称性)r r (R R ji ij T =⇔=模糊矩阵的基本运算定义运算方式nm ij n m ij )b (B ,)a (A ⨯⨯==CAB A B A nm ij )a 1(⨯-n m ij ij )B a (⨯∧n m ij ij )B a (⨯∨B A ≤B A =ij ij b a =ij ij b a ≤}b ,a min{b a },b ,a max{b a =∧=∨⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.07.016.0B 7.08.09.00A2.02.004.0B A3.03.01.01B A CC⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=2.03.004.0B ,3.02.01.01A 例2 基本运算给定矩阵A 、B ，作相应的运算.模糊矩阵的合成sm ij )a (A ⨯=ns ij )b (B ⨯=nm ij )c (B A ⨯= n ,,2,1j ,m ,,2,1i ),b a (c kj ik s1k ij ==∧∨==模糊方阵的幂nn ij )a (A ⨯=AA A ,,A A A ,A A A 1n n 232 -===3.04.03.05.04.06.02.04.03.0A B3.07.04.04.0B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=3.09.06.012.07.0B ,5.02.08.01.04.03.0A 例3 矩阵合成给定矩阵A 、B ，作合成运算.。
模糊数学方法及其应用(第3版)第四章答案
0.46 ，同理，得到其他两两对比的优先选择比。 0.32 + 0.46
0.41 0.54 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 1 0.38 ⎟ 模糊优先关系矩阵 R = 0.59 ⎜ ⎜ 0.46 0.62 1 ⎟ ⎝ ⎠
找出每行最小值 0.41, 0.38, 0.46 ，其中最大值 0.46 位于第三行，因此 c 为第一优越对象。 将第三行和第三列划去得到 a 与 b 的模糊优先关系矩阵：
用矩阵作业法解模糊关系方程第一步求最大解040507050405070105040608060104060307040504040504050505040405来代替得到ij04050705040504050405070504040504040505050405070405因为每一列都有非零的元素所以原模糊关系方程有解第三步求极小解种取法选取第一列的第一个元素第二列的第一个元素第三列的第一个元素和第四列的第四个元因此选中了第一行的和第四行的05元素在行中选中的元素中选取最大值第二行和第三行中没有选取元素得到一个解1110405070705同理选取时得到解211070405选取时得到解3110405选取时得到解41105选取时得到解05选取时得到解070405选取时得到解0405选取时得到解05拟极小解为第四步构造解集方程的解集为07100400405020505040404080706010202解
⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ TR ( B) = B o R = (0.7, 0.2, 0) o ⎜ 0 1 0 0 ⎟ = (0.7, 0.2, 0.7, 0) % % % ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ 解法 2，由模糊关系矩阵 R = 0 1 0 0 知存在模糊映射 f ( x ) ，使得 ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠
模糊数学——模糊矩阵运算
7
截矩阵
模糊矩阵的截矩阵
设RMnm，对任意[0,1]，记
R
rij
,
其中rij
=
1 0
rij rij
则称矩阵R为模糊矩阵R的截矩阵，是个布尔矩阵。
2020年5月1日
8
截矩阵
1 0.5 0.2 0
例2：设A
0.5 0.2
1 0.1
0.1 1
0.3 0.8
,则
0 0.3 0.8 1
模糊子集的定义及理解模糊集合和经典集合的关系常用的隶属函数模糊矩阵及其运算模糊矩阵定义
第2章 模糊矩阵与模糊关系
课前复习：
模糊子集的定义及理解、 模糊集合和经典集合的关系、 常用的隶属函数
2020年5月1日
1
模糊矩阵及其运算
模糊矩阵
定义：设 R (rij )mn ,0 rij 1, 称R为模糊矩阵。
交： R I S (rij sij )mn
余（补）：Rc (1 rij )mn
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3
模糊矩阵及其运算
矩阵并交补运算的性质
1. 幂等律 R U R R, R I R R,
2. 交换律 R US S U R, R I S S I R,
3. 结合律 R U(S UT ) (R U S) UT , R I (S I T) (R I S) I T
定义：若模糊方阵满足 AT A, 则称A为对称矩阵。 例如 A 1 0.2 是模糊对称矩阵。
0.2 1
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14
模糊集合及其运算
定义：若模糊方阵满足 A2 A, 则称A为模0
0.2 0.1
0.3 0.2 ,
0 0 0.1
模糊数学 第四章---模糊关系
2.模糊自反关系(fuzzy reflexive relations)
定义 R F ( X X ), 若x X , R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1 根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反
2. 运算
设R, S F ( X Y )
R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y );
( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y ) ( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y )
设R (rij )nm , S ( sij )nm ,
即R( xi , y j ) rij , S ( xi , y j ) sij
则（R S )( xi , y j ) R( xi , y j ) S ( xi , y j ) rij sij 所以，R S (rij sij )nm .
1
X 有限时，
根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系
0.3 0.1 为对称关系. 0.1 0.3
命题3.3 R对称 [0， 1]， R 是普通对称关系.
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y) ( y, x) R
类似可得： R S (rij sij ) nm . R c (1 rij )nm .
R 1 ( yi , x j ) R( x j , yi ) rji R S i, j, rij sij
模糊数学——模糊矩阵运算
1 0.5 0.2 0
例2：设A
0.5 0.2
1 0.1
0.1 1
0.3 0.8
,则
0 0.3 0.8 1
0.5, 0.8时的截矩阵为
1 1 0 0
A0.5
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0 1 1
1 0 0 0
A0.8
0 0
1 0
0 1
0 1
0 0 1 1
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9
截矩阵
(2) 模糊矩阵的并、交运算可以推广到 一般情形。
(3) 通常用Mnm表示全体n行m列的 模糊矩阵。
2020年5月1日
7
截矩阵
模糊矩阵的截矩阵
设RMnm，对任意[0,1]，记
R
rij
,
其中rij
=
1 0
rij rij
则称矩阵R为模糊矩阵R的截矩阵，是个布尔矩阵。
2020年5月1日
8
截矩阵
截矩阵的性质： [0,1], 性质1. R S R S .
性质2. R US R US ,R I S R I S.
2020年5月1日
10
合成
模糊矩阵的合成
定义：设 Q (qij )ml , R (rij )ln, 称模糊矩阵
Q o R (sij )mn
l
为Q与R的合成，其中 sij k1(qik rkj ) 。
转置矩阵，其中 aijT a ji 。 性质：
1 ( AT )T A.
2 3 4 5
2020年5月1日
( A B)T AT BT ;( A B)T AT BT ;
( A B)T BT AT ; ( An )T ( AT )n .
模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵
模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵模糊数学，作为应用于不确定性问题的重要工具，对于描述模糊和不确定现象具有重要意义。
其中，模糊关系和模糊矩阵是模糊数学中的两个重要概念。
本文将对模糊关系和模糊矩阵进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 模糊关系在模糊数学中，模糊关系是指一种描述元素之间模糊互相关系的工具。
模糊关系可以表示为一个二元组R = (U×V, {μR(u,v)})，其中U和V是两个隶属函数，代表了元素u和v之间的隶属程度，μR(u,v)表示模糊关系R在元素u和v之间的隶属度。
模糊关系可以通过物理世界的实际问题得到，例如描述两个城市之间的距离、两个人之间的亲密程度等。
在实际问题中，模糊关系常常用于描述隶属程度的模糊性，以及元素之间关系的不确定性。
2. 模糊矩阵模糊矩阵是模糊关系的一种表示形式。
它是一个正方形矩阵，矩阵的每个元素都表示了模糊关系的隶属度。
假设元素集合U={u1, u2, ..., un}，模糊关系R可以表示为一个n×n 的模糊矩阵R=(μR(u,v))，其中μR(u,v)表示元素u和v之间的隶属度。
模糊矩阵中的元素可以是实数也可以是区间，取决于具体问题的模糊性程度和不确定性程度。
模糊矩阵在实际问题中的应用十分广泛。
例如，在推荐系统中，可以利用模糊矩阵描述用户对不同商品之间的喜爱程度；在风险评估中，可以利用模糊矩阵描述不同因素之间的关联程度，以及对整体风险的影响程度等。
3. 模糊关系的运算模糊关系可以进行多种运算，用以描述元素之间的模糊关系以及模糊关系之间的逻辑关系。
（1）模糊关系的合成运算模糊关系的合成运算可以将两个模糊关系进行组合，得到新的模糊关系。
常用的合成运算有模糊交、模糊并、模糊合和模糊补等，通过这些运算可以描述模糊关系之间的逻辑操作。
（2）模糊关系的传播运算模糊关系的传播运算可以通过已知模糊关系推导出新的模糊关系。
传播运算可以根据给定的模糊关系和传播规则，计算出新的模糊关系，用以描述元素之间的关系传递和传递程度。
第三章 模糊关系和模糊矩阵PPT课件
这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度 为0.2、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、 0.6。
精选课件
13
与模糊集合的运算定律相似，模糊关系合成算子sup-min存 在如下特征
RI IR R R0 0R 0
R m 1 R n R
R m R n R mn
分配律
(RT)S (RS)(TS)
第三章：模糊关系和模糊矩阵
重点：1 模糊关系概念 2 模糊关系的合成
难点： 模糊矩阵的运算
精选课件
1
模糊关系和模糊矩阵
1.模糊关系的定义
定义2－11 所谓A，B两集合的直积
A B ( a ,b )a A ,b B
中的一个模糊关系R，是指以 AB为论域的一个模糊子集，
序偶
的隶属度为
一般(a地, b，) 若论域为n个集R合(a的, b直)。 积
，则它所
对应的是n元模糊关系R，其隶属度函A 数1 为A n2个 变量A 的n函
R 数(a1,a2, ,an) 。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”
时，
模糊关系就退化为普通关系。
例2－6 设有七种物品：苹果、乒乓球、书、篮球、花，
桃、菱形组成的一个论域U，并设
分别为这
些 之物间品的的相代似号程，度则来确U 定 它x 们1,的x 2 模, 糊关,xx 1系7 , 。x2。, 现在, x就7 物品两两
S
祖父
祖母
父
0.5
0.7
母
0.1
0
用模糊矩阵S可表示为
S
0.5 0.1
0.7
0
精选课件
12
RS00,.62
00..8100..51
模糊关系与模糊矩阵PPT教案学习
4.1.2.4 模糊关系的运算
❖ 模糊矩阵的运算(交，并，补运算)
【例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算
R
S
0.8 0.9
1 0.8
0.9 0.5
0.7
0.2
0.7, R 1
0 0.2
0.9 1
0.3 1
0.9
1
0.8
0.8
0.1
0
0.3 0.2
R
S
0.4 0
0 0.4
y)
（ 1
100 (x y)2
）－1,
x
y
当x-y=100时，
R(x,y)=0.99
第11页/共46页
4.1.3.2 模糊关系
❖ 模糊关系 && 普通关系
学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛， 各项均以20分为满分，比赛结果如表所 示。
学生
唱歌
跳舞
乐器
小品
绘画
甲
18
14
19
13
15
乙
16
18
12
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4.1.3.2 模糊关系
❖ 模糊关系 && 普通关系
学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛， 各项均以20分为满分，比赛结果如表所 示。
若我们用20分除各分数，得到的数值作为“优”的隶属函数，可求 出甲、乙、丙与“成绩优”的模糊关系为：
唱歌 跳舞 乐器 小品 绘画
甲
0．9 0．7 0．95 0．65 0．75
❖ 模糊矩阵的运算(合成)
模糊关系合成是指，有第一个集合和第二个集合之间的模糊关系及第 二个集合和第三个集合之间的模糊关系得到第一个集合和第三个集合 之间的模糊关系的一种运算
8.4 模糊矩阵及其运算
, An An1 A
例3 矩阵合成 给定矩阵A、B，作合成运算 .
A 0.3
0.4
0.1 0.7 ,B 1
0.2 0.6
0.8 0.2 0.5 0.9 0.3
A
B
0.4
0.4
0.7 0.3
0.3
0.4
0.2
B A 0.6 0.4 0.5
rkj )
rij )
模糊矩阵的基本运算
a b max{a,b},a b min{a,b}
定义 A B A B AB AB
AC
运算方式 A (aij )mn , B (bij )mn
aij bij aij bij (aij B )ij mn (aij B )ij mn
BC
0.6
1
0.7 0.8
模糊矩阵的合成
A (aij )ms B (bij )sn
A B (cij )mn
s
cij k1(aik bkj),i 1,2, ,m, j 1,2, ,n
模糊方阵的幂
A (aij)nn A2 A A, A3 A2 A,
1
0（布尔矩阵）
0 0 1
1 0 I 0 1
0 0
0 0（单位矩阵）
1
1、模糊自反矩阵 三类基本矩阵 2、模糊对称矩阵
3、模糊传递矩阵
A I AT A A2 A
例1 矩阵识别 识别下列模糊矩阵所属类型
.
1 0.3 0.2 1 0.2源自0.30.1 0.2 0.3
A 0.1
1
模糊数学第四章
经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1， 且消除了量纲的影响。但不一定在[0,1]上。
模糊聚类分析的步骤一
平移－极差变换(变换至0-1区间)：
x '' ik
x 'ik min{x 'ik }
1i n
max{x 'ik } min{x 'ik }
1i n 1i n
(k 1,..., m)
R0.5
1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1
R0.4
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2、距离法：
绝对值倒数法、绝对值指数法、绝对值减数法、海明 距离法、欧式距离法、切比雪夫距离法。
3、其它方法：主观评分法
模糊聚类分析的步骤二
1、相似系数法： （1）数量积法
1 m rij 1 xik x jk M k 1
i j i j
其中 M max xik x jk
m
x
k 1 m k 1
ik
xi x jk x j
2 2 ( x x ) jk j k 1 m
( xik xi )
1 m 1 m 其中 xi xik , x j x jk , i, j 1,2,L n. m k 1 m k 1
模糊聚类分析的步骤二
模糊聚类分析的步骤二
2、距离法 直接距离法：rij＝1-c*d(xi,xj) (11)海明距离： (12)欧式距离： (13)切比雪夫距离：
3.2模糊矩阵
由于F关系是U V上的F集，
所以F矩阵的运算与 F集的运算类似 .
定义2
设 mn表示m行n列的F矩阵，
R ( r ij ) m n , S ( s ij ) m n , 规定：
相等
包含 并
R S rij sij
R S 质4第一式为例.
(t ) S ( R( t ) ) ( sij )mn ( rij )m n tT
设S ( sij )m n ,由定义得
( sij (
tT
tT
tT (t ) rij ))mn
(t ) ( ( sij rij ))mn
性质4
S ( R( t ) ) ( S R( t ) ) S ( R( t ) ) ( S R( t ) )
tT tT tT tT
性质5
( R ( t ) )c ( R ( t ) ) c
tT tT
( R ( t ) )c ( R ( t ) ) c
( S R( t ) )
tT
§2
定义1 设矩阵
F矩阵
rij [0,1]
R ( rij )mn
则称R为F矩阵，rij为F矩阵的元素. 特别地，若满足 rij {0,1}，则称F为布尔矩阵.
设U {u1，u2， ，um }，V {v1 , v2 ,, vn }
若元素rij R( ui , v j )则F矩阵R表示从U到V
1 1 E 1
1 1 1 1 1 1
分别称为零矩阵、全矩阵.
性质2
R S R S S R S R S R R S Rc S c
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( R ) R,
c c
( R U S )c Rc I S c ,( R I S )c Rc U S c ,
O R E, O U R R, E U R E
8. 对任意模糊矩阵R
2014年6月26日
6
模糊矩阵及其运算
注意 : (1)互补律不成立。
R U Rc E, R I R c O
注意：合成不满足交换律
2014年6月26日
12
转置
模糊矩阵的转置
定义：设 A (aij )mn , 称 AT (aij )mn 为A的
T
转置矩阵，其中 aij a ji 。 性质：
T
1 2
3
( A ) A.
T T
( A B)T AT BT ;( A B)T AT BT ;
S .
2014年6月26日
10
合成
模糊矩阵的合成 定义：设 Q (qij )ml , R (rij )ln , 称模糊矩阵
Q o R (sij )mn
(qik rkj ) 。 为Q与R的合成，其中 sij k 1
即： S Q R sij (qik rkj )
k 1 l l
定义： 设R为 n n 阶，则模糊方阵的幂定义为
R2 R o R, R3 R2 o R,L , Rn Rn1 o R
2014年6月26日
11
合成
0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 设A 例 5： , B 0.3 0.4 , 则 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.1 0.2 0.2 0.5 0.6 A B B A 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
1 0.2 1 0 I , 是模糊自反矩阵。 例如 A 0.5 1 0 1
定义：若模糊方阵满足 AT A, 则称A为对称矩阵。
1 0.2 是模糊对称矩阵。 例如 A 0.2 1
2014年6月26日
14
模糊集合及其运算
( A B ) B A ; ( A ) ( AT )n .
T T T n日
( Ac )T ( AT )c . A B AT BT .
13
A ( A )
T
T
.
模糊集合及其运算
（5）特殊的模糊矩阵
定义：若模糊方阵满足 A I , 则称A为自反矩阵。
4. 吸收律
R US I
S S, R I S U S S
2014年6月26日
5
模糊矩阵及其运算
5. 分配律
R I ( S UT ) ( R I S ) U ( R I T ), R U (S I T ) ( R U S ) I ( R I T )
6. 还原律 7. 对偶律
定义：若模糊方阵满足 A2 A, 则称A为模糊传递矩阵。
0.1 0.2 0.3 例如 A 0 0.1 0.2 , 0 0 0.1 0.1 0.1 0.2 2 A 0 0.1 0.1 A 0 0 0.1
性质：A A
2014年6月26日
3
模糊矩阵及其运算
矩阵并交补运算的性质 1. 幂等律 2. 交换律 3. 结合律
R U R R, R I R R,
R U S S U R, R I S S I R,
R U ( S UT ) ( R U S ) UT , R I (S I T ) ( R I S ) I T
2014年6月26日
2
模糊矩阵及其运算
（1）模糊矩阵间的关系及运算
定义：设 R (rij )mn , S (sij )mn 都是模糊矩阵，定义
相等： R S rij sij 包含： R S rij sij 并： R U S (rij sij )mn 交： R I S (rij sij )mn 余（补）： Rc (1 r ) ij mn
2014年6月26日
16
9
0.5, 0.8时的截矩阵为
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0.5
A0.8
2014年6月26日
截矩阵
截矩阵的性质： [ 0, 1 ], 性质1. 性质2.
R S R S .
R U S R U S , R I S R I
(2) 模糊矩阵的并、交运算可以推广到 一般情形。 (3) 通常用Mnm表示全体n行m列的 模糊矩阵。
2014年6月26日
7
截矩阵
模糊矩阵的截矩阵
设RMnm，对任意[0,1]，记
1 rij R rij , 其中 rij = 0 rij
则称矩阵R为模糊矩阵R的截矩阵，是个布尔矩阵。
第2章
模糊矩阵与模糊关系
模糊子集的定义及理解、 模糊集合和经典集合的关系、 常用的隶属函数
课前复习：
2014年6月26日
1
模糊矩阵及其运算
模糊矩阵
定义：设 R (rij )mn ,0 rij 1, 称R为模糊矩阵。 当 rij 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。
当 rij 只取0时，称R为零矩阵，记为O； 当 rij 只取1时，称R为全矩阵，记为E。 当模糊方阵 R (rij )nn的对角线上的元素 rij 都为1时， 称R为模糊单位矩阵，记为I。 0 0 0 0 0.1 例如： R 1 0 0 0 0.5 0.7 0.3 0 0 0 0
n
2014年6月26日
是模糊传递矩阵。
2
n1
L A A
15
模糊集合及其运算
定义：若模糊方阵Q，S，A满足
(1) S A( S 2 S ), (2)Q A(Q 2 Q),总有 Q S，
则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t (A)。 传递闭包就是包含A的最小的模糊传递矩阵。
2014年6月26日
8
截矩阵
1 0.5 设A 例 2： 0.2 0 1 1 0 0 0.5 0.2 0 1 0.1 0.3 ,则 0.1 1 0.8 0.3 0.8 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1