捷联惯导姿态算法中的圆锥误差与量化误差

第27卷 第1期航 空 学 报

Vo l 27No 1 2006年 1月ACT A A ERON A U T ICA ET A ST RO N AU T ICA SIN ICA Jan. 2006

收稿日期:2004 09 30;修订日期:2005 04 27基金项目:国家自然科学基金(60234030)、国家杰出青年科学基金

(60225015)和教育部高校青年教师奖资助项目

文章编号:1000 6893(2005)01 0098

06捷联惯导姿态算法中的圆锥误差与量化误差

练军想,胡德文,胡小平,吴文启

(国防科技大学机电工程与自动化学院自动控制系,湖南长沙 410073)

Research on C oning Error and Quantization Error of SINS Attitude Algorithm

LIAN Jun x iang ,H U De w en,H U Xiao ping ,WU W en qi

(Department of A utomatic Contr ol,Colleg e of M echat ronics and A utomation,N atio nal

U niver sity of Denfense T echno log y,Chang sha 410073,China)

摘 要:对捷联惯导系统的误差源进行了研究,利用几何方法分析了不可交换性误差和量化误差的形成机理,以及它们的相互影响。针对工程应用中激光陀螺输出脉冲采样量化条件,就多子样算法进行了讨论,并设计了基于M A T L A B/Simulink 的仿真。研究结果表明,当考虑量化误差的影响时,选取适当的量化因子,三子样等效旋转矢量算法比其它算法具有更好的综合性能。

关键词:捷联惯导;姿态算法;不可交换性误差;量化误差;多子样中图分类号:V 249.3 文献标识码:A

Abstract:In this paper,the er ror so urces o f str apdow n iner tial nav igat ion system (SIN S)are r esear ched.T he mechanism of nonco mmut ativity er ro r and quantizatio n er ro r is illustr ated fr om the g eometrical point of v iew,and the mutual influence betw een them is analy zed.Considering the sample quantizing co ndition of the o utput pulses of the r ing laser g yro sco pe (R LG ),the multi sample att itude alg or ithm o f SIN S is discussed.T he simu latio n is car ried out using M A T L A B/Simulink.It is co ncluded that the three sam ple rotat ion vector alg or ithm wit h t he pro per quant izat ion factor outper for ms o thers when the impact of quant izat ion err ors is taken into ac count.

Key words:SI NS;attitude algo rithm;no nco mmutat ivit y er ror ;quantizatio n er ro r;multi sample

对于捷联惯导系统姿态更新算法的研究,目

前国内外同行们有很多成果。普遍的观点认为[1,2]:四元数姿态更新算法比方向余弦和欧拉角等其它方法的计算量小、适应性好;双子样、三子样等效旋转矢量算法在抑制不可交换性误差方面比单子样有显著改善;将姿态更新分成快慢两个回路,即快速回路更新旋转矢量,慢速回路更新姿态参数,既能有效抑制不可交换性误差,还可以减少算法的计算量。但上述观点很少有结合捷联惯导系统工程实际来考虑的。本文针对工程中激光陀螺输出脉冲采样量化条件,就多子样算法展开研究,并得出了相应的结论。

1 误差源分析

评价算法优劣的最重要的标准之一是算法的

精度。要提高算法的精度就必须研究各种误差及其补偿、抑制方法。

在对惯导系统作原理性分析时,尚可以理想化地认为平台坐标系(平台式或捷联式)准确、无误差地模拟地理坐标系,但实际的惯导系统不可避免地受到各种误差的影响[3]。通常,可将误差分为源信息误差和解算方法误差。对捷联惯导系统,解算方法误差是指数值求解姿态矩阵和比力方程时产生的原理性误差,比如不可交换性误差、舍入误差、截断误差等。源信息误差可分为解析源信息误差和测量源信息误差。测量源信息误差就是惯性传感器的误差,此类误差因惯性器件的物理原理和仪表的精度不同而各不相同。比如陀螺的常值漂移和随机漂移、刻度因子误差、非线性误差、输出值的量化误差等。

下面重点对捷联姿态解算时不可交换性误差和陀螺采样的量化误差进行分析。1 1 不可交换性误差

在利用方向余弦矩阵微分方程或四元数微分

方程进行姿态更新时,都会遇到角速度矢量的积分问题。由于刚体有限转动的不可交换性,当转

第1期练军想等:捷联惯导姿态算法中的圆锥误差与量化误差

动不定轴,即角速度矢量 的方向在空间变化时,对角速度矢量的积分是没有意义的,而且会引入不可交换性误差。因而,等效旋转矢量 被用来确定载体在姿态变化前后的相对姿态关系[4,5]。

等效旋转矢量的思想来源于:把刚体在一段时间内的转动等效为绕某个定轴矢量的旋转。该定轴矢量就是旋转矢量,其中,旋转矢量的方向确定旋转轴的指向,旋转矢量的幅值确定旋转的角度。这样,一个确定的旋转矢量就可唯一地表示一次刚体姿态变化;同样,任何一次姿态变化都可找到相应的旋转矢量来表示。等效旋转矢量的微分方程可表示为[1]

= +1

2

+

121-sin

2(1-co s)

( )(1)其中: 表示旋转矢量; 表示角速度矢量;= ( T )1/2,表示叉乘,下同。

对于不可交换性误差,Goodman Robinson 定理给出了明确的几何解释[6,7]:刚体(具有与之固联的体坐标系OX YZ)作任意角运动,其等效转动矢量 在i轴(i=X,Y,Z)上的投影分量 i与刚体角速度 在i轴上的投影分量 i有如下关系

i=!t f t0 i d t+A i(2)其中:A i是i轴在单位球面上运动曲线BC与连接此曲线两端的大圆弧A DC所围成的球面有向面积,即不可交换性误差。单位球面的球心在体坐标系的原点O,如图1所示。

图1 不可交换性误差的几何解释

Fig 1 T he geometric explanation of noncomm utativity error 文献[8]和文献[9]也从圆锥误差的角度进行表述。事实上,圆锥误差与刚体有限转动不可交换性误差具有相同的性质,圆锥误差就是在三维角振动环境下刚体有限转动产生的不可交换性误差。为了便于分析,通常选择圆锥运动模型来研究不可交换性误差。

假设刚体存在圆锥运动

=[sin t cos t 0]T(3)其中: 为锥运动频率;为半锥角(即等效旋转矢量的幅值)。设姿态更新步长为h,根据Go odm an Robinson定理,在一个步长中Z轴向的圆锥误差,即特定运动方式下的不可交换性误差,如图2所示。精确解析表达式推导如下

A k=S球面弓形=S球面扇形-S球面三角形(4)其中

S球面扇形= S平面扇形d x d y

1-x2-y2

= h(1-cos)

(5) S球面三角形=(∀A+∀O#+∀C-!)R2=

2arctan

cot

h

2

cos

+ h-!R2(6)其中:S表示面积;∀A,∀O#,∀C为球面三角形的3个球面角,∀O#= h;R=1,为单位球半径;∀O#的两条夹边等长,为半锥角。根据球面三角形余弦定理可得出式(6)。

图2 一步长Z轴向圆锥误差的几何解释

Fig 2 Th e geometric explanation of conin g er ror in axis Z in one step

通过上述推导,一个步长的圆锥误差解析表达式可表示为

A k=!- h cos-2ar ctan

co t

h

2

cos

(7) 若使用单子样、双子样、三子样、四子样旋转矢量算法逼近平面弓形,以平面弓形近似球面弓形,则可得到在一个姿态更新步长中各自的圆锥误差表达式[2]。

单子样

A^1=1

12

(∀#n-1∀#n)=1

3

sin2sin2 h

2

sin h

(8)

99