认识平行线角的认识
平行线与角的特征与计算方法
平行线与角的特征与计算方法角是我们在几何学中经常遇到的概念之一，它是由两条射线共同围成的形状。
而平行线则是在同一平面内，永远不会相交的两条直线。
本文将探讨平行线与角的特征以及计算方法。
一、平行线的特征平行线具有以下特征：1. 永不相交：平行线是在同一平面内的两条直线，它们永远不会相交。
即使无限延长这些直线，它们也永远保持相同的距离。
2. 同向性：平行线在同一平面内延长或截取的任意两条线段，其方向都是相同的。
3. 欧几里德空间的定律：平行线在欧几里德空间中可以通过平行公理来定义。
二、角的特征角是由两条射线共同围成的形状，具有以下特征：1. 顶点：角的两条射线的交点称为顶点。
2. 角度大小：角的大小通常用度（°）或弧度（rad）来表示。
一个完整的圆对应的角度为360°或2π弧度。
3. 分类：根据角的大小，可以将角分为锐角（小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°）和平角（等于180°）。
三、平行线与角的关系平行线与角之间存在重要的关联，具体体现在以下几个方面：1. 交角：当两条平行线被一条横截线所穿过时，所形成的相邻内角相等，相邻外角也相等。
2. 同位角：同位角是指平行线被一条横截线所穿过后，在同一侧的内角和外角。
同位角具有以下性质：- 内对应角：当两条平行线被一条横截线截取时，形成的内对应角相等。
- 外对应角：当两条平行线被一条横截线截取时，形成的外对应角相等。
3. 钝角与直角的关系：当两条直线被一条横截线所穿过时，横截线上的外角与角的顶点处的角之和等于180°。
因此，如果其中一个角是钝角，那么另一个角就是直角。
四、计算平行线与角的方法计算平行线与角常用的方法包括：1. 利用角度的性质：当给定两条平行线之间的角度时，可以通过角的性质来计算其他相关的角度。
- 相邻内角等于相邻外角：如果已知一个内角或外角的大小，可以利用这个性质计算其他未知角度的大小。
平行线与角的关系
平行线与角的关系平行线和角是几何学中常见的概念，它们之间存在着紧密的关系。
本文将探讨平行线和角的定义、性质以及它们之间的相互关系。
一、平行线的定义及性质平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 对于一条给定的直线和平面上的一点，只有唯一一条直线可以与给定的直线平行。
2. 如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
3. 如果两条直线分别与同一条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
二、角的定义及分类角是由两条射线共享一个端点组成的形状。
根据两条射线的位置关系，角可以分为以下几种类型：1. 零度角：两条射线重合时形成的角，也叫作零角。
2. 锐角：角的度数小于90度，例如30度角和60度角。
3. 直角：角的度数等于90度，例如90度角。
4. 钝角：角的度数大于90度但小于180度，例如120度角和150度角。
5. 平角：角的度数等于180度，例如180度角。
三、平行线与角的关系平行线与角之间存在着多种关系，下面将逐一介绍：1. 平行线上的对应角：当一条直线与若干平行线相交时，对应角是位于同一位置的两条相交线所形成的角。
（示意图）根据平行线性质，我们可以得出结论：当两条直线被一组平行线交叉时，对应角互相等于。
2. 平行线上的内错角和外错角：内错角是两条平行线被第三条直线相交所形成的内角，位于平行线之间。
外错角是两条平行线被第三条直线相交所形成的外角，位于平行线的同一侧。
（示意图）根据平行线性质，我们可以得出结论：内错角互相等于，外错角互相等于。
3. 平行线之间的夹角与对应角：当两条平行线被一条斜线相交时，所形成的夹角称为夹角；而位于两条平行线之间并与斜线相交的角称为对应角。
（示意图）根据平行线性质，我们可以得出结论：夹角和对应角互相等于。
4. 平行线上的同位角：当两条平行线被一条直线相交时，同位角是位于平行线同侧但不同位的两个角。
（示意图）根据平行线性质，我们可以得出结论：同位角互相等于。
平行线和角的性质
平行线和角的性质平行线和角是几何学中的重要概念，它们具有一些独特的性质和关系。
在本文中，我们将探讨平行线和角的性质，并分析它们在几何学中的应用。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
平行线具有以下性质：1. 平行线的夹角: 当两条平行线被一条横截线相交时，所形成的夹角是相等的。
这被称为同位角性质。
例如，在下图中，AB和CD是两条平行线，EF是横截线，∠AEF等于∠DEF，并且∠BEF等于∠CEF。
2. 平行线的内错角和外错角: 当两条平行线被一条横截线相交时，所形成的内错角和外错角互补（和为180°）。
例如，在下图中，AB和CD是两条平行线，EF是横截线，∠AED和∠DEC是内错角，它们之和等于180°；∠AEF和∠DCE是外错角，它们之和也等于180°。
3. 平行线的同位旁内角和同位旁外角: 当两条平行线被一条横截线相交时，所形成的同位旁内角和同位旁外角相等。
例如，在下图中，AB和CD是两条平行线，EF是横截线，∠AEG等于∠DEH，∠BFI等于∠CGJ。
二、角的性质角是由两条射线共享一个公共端点而形成的图形。
角具有以下性质：1. 角的度量: 角用度来表示，圆周的360°被定义为一周。
例如，直角的度量是90°，平角的度量是180°。
2. 角的类型: 根据角的度量，角可以分为锐角（度量小于90°）、直角（度量等于90°）、钝角（度量大于90°）和平角（度量等于180°）四种类型。
3. 补角和余角: 补角是指两个角的度量之和等于90°，而余角是指两个角的度量之和等于180°。
例如，给定一个角∠ABC，如果∠ABC的补角是∠CBD，那么∠ABC和∠CBD的度量之和等于90°。
三、平行线和角的应用平行线和角的性质在几何学中有广泛应用。
以下是一些常见的应用情境：1. 证明两条线段平行: 通过利用平行线和角的性质，我们可以证明两条线段是平行的。
平行线与角的性质
平行线与角的性质平行线与角的性质是几何学中的重要内容之一。
平行线是指在同一个平面上，方向永不相交的两条直线，而角是由两条线段或直线共同的端点所形成的形状。
在数学中，我们探索了平行线与角之间的关系以及它们所具有的性质。
本文将讨论平行线的定义、角的分类以及平行线与角之间的性质。
一、平行线的定义与性质1. 平行线定义平行线的定义是指在同一个平面上，方向永不相交的两条直线。
平行线可以用如下表示方法：若两条直线l和m在同一个平面上且不重合，则记作l∥m，读做“线段l平行于线段m”。
2. 平行线的性质平行线具有以下性质：（1）平行线的任意两条直线上的任意两个角度（交替内角、交替外角、同旁内角、同旁外角）之和为180度。
（2）平行线与横线相交时，对应角相等。
（3）平行线与一条横线相交时，同旁内角之和为180度。
（4）平行线与两条横线相交时，同旁内角互为补角。
二、角的分类与性质1. 角的分类按照角的大小和度数，角可以分为以下几类：（1）锐角：角的度数小于90度。
（2）直角：角的度数等于90度。
（3）钝角：角的度数大于90度且小于180度。
（4）平角：角的度数等于180度。
2. 角的性质角具有以下性质：（1）相邻角：共享一个公共边的两个角称为相邻角，它们没有公共的内点。
（2）补角：两个角的度数之和为90度，则它们互为补角。
（3）余角：两个角的度数之和为180度，则它们互为余角。
三、1. 同旁内角性质当两条平行线l和m被一条横线n相交时，同旁内角具有以下性质：（1）同旁内角互为补角。
在图形中，记角1和角2为同旁内角，则角1 + 角2 = 180度。
2. 交替内角性质当两条平行线l和m被一条横线n相交时，交替内角具有以下性质：（1）交替内角相等。
在图形中，记角1和角2为交替内角，则角1 = 角2。
3. 同旁外角性质当两条平行线l和m被一条横线n相交时，同旁外角具有以下性质：（1）同旁外角互为补角。
在图形中，记角1和角2为同旁外角，则角1 + 角2 = 180度。
数学初中平行线与角知识点整理
数学初中平行线与角知识点整理平行线与角是初中数学中重要的几何概念，它们在解题过程中起着关键的作用。
了解和掌握平行线与角的知识点，对于解决与图形相关的问题非常重要。
下面将对平行线与角的定义、性质、判定方法以及相关题型进行整理和总结，以便学生们更好地掌握和运用这些知识。
一、平行线的定义与性质1. 定义：平行线是在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
用符号"||"表示。
2. 性质：(1) 平行线的特征之一是它们具有相同的斜率。
这意味着它们的斜率互为相等或相反数。
(2) 平行线之间的距离是恒定不变的。
对于两条平行线，可以通过垂直距离公式(如线段AB的长度)计算它们之间的距离：d = (|b - aX + bY - c|) / √(a^2 + b^2)二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：如果两条直线被一组平行线所切割或被一组平行线所截取的同位角相等，则这两条直线是平行线。
2. 内错角判定法：如果两条直线被一组平行线所截取，且互为内错角，则这两条直线是平行线。
3. 外错角判定法：如果两条直线被一组平行线所截取，且互为外错角，则这两条直线是平行线。
三、平行线与角的性质和定理1. 同位角性质：同位角是指两条平行线被一组平行线所切割时，分别在两条平行线的同一条边的对应位置上所形成的一组对应角。
同位角具有以下性质：(1) 同位角相等；(2) 对应角相等。
2. 内错角和外错角性质：内错角是指两条平行线被一组平行线所截取时，位于两条平行线之间的一组对应角；外错角是位于两条平行线之外的一组对应角。
内错角和外错角具有以下性质：(1) 内错角互补；(2) 外错角互补；(3) 内错角与外错角共线。
3. 平行线间角关系定理：(1) 同位角、内错角、外错角的对应角相等；(2) 备注角相等。
四、常见题型举例1. 判断题型：(1) 判断下列各组角是否为同位角：∠1 = 70°, ∠2 = 110°, ∠3 = 70°, ∠4 = 110°(2) 判断下列各组角是否互为内错角或外错角：∠1 = 70°, ∠2 = 110°, ∠3 = 70°, ∠4 = 110°2. 计算题型：(1) 已知平行线AB和CD之间的距离为6 cm，若两条平行线的斜率分别为1和-1/3，求平行线CD上一点E到直线AB 的距离。
认识平行线-角的认识
一星级
一、练习与测试第19页第１题
二、练习与测试第19页第2题
三、练习与测试第19页第3题
二星级
练习与测试第19页第5题
教学反思
指出量角的三步：角的顶点对量角器的中心，角的一条边对准零刻度线，角的另一边所对的刻度就是角的度数〔简称三“对〞〕
4、精练〔3分〕
书第１９页１－３题。
第一题让学生说说量角的过程
第二题让学生量完后思考每个三角形的三个角度数和是多少度
第三题引导发现：角的大小是由角的两边叉开的程度决定，与两边所画的长短无关。
教学重点
认识量角器和角的计量单位，量角的方法。
教学难点
用量角器量角的方法。
教具准备
相关教学光盘
教
学
过
程
一、导入：〔 2分钟〕
1、师：上节课我们认识了角，关于角大家还想知道些什么？
2、要想知道角到底有多大，就要会量角。那么，量角的工具是什么？怎样量一个角的大小？这些都是今天学习的内容。
3、板书课题：角的度量
通过量角，既要帮助学生稳固量角的方法，又要让学生感受日常生活与数学的联系。
5、做“想想做做〞第8题。
学生可能会出现不同的发现，只要正确，都应该肯定。
6、做“想想做做〞第9题。
教师引导学生比拟自己的估计与实际测量结果之间存在多大差距，促进误差较大的学生对估计进行调整，开展空间观念，提高估计角的大小的技能。
〔1〕学生汇报：
生1：不相交的两条直线互相平行
生2：同一平面内，不相交的两条直线互相平行
生3：同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线叫做另一条直线的平行线。
生４：黑板的上下两条边互相平行
生5：秋千的两根吊绳互相平行
角与平行线的关系与应用
角与平行线的关系与应用在我们的数学世界中，角和平行线是两个非常重要的概念，它们之间存在着紧密而有趣的关系，并且在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
首先，让我们来明确一下什么是角和什么是平行线。
角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
而平行线呢，则是指在同一平面内，永不相交的两条直线。
当两条平行线被第三条直线所截时，会产生一系列特殊的角关系。
比如说同位角，同位角是指两条平行线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角。
同位角是相等的。
就好像两条平行的铁轨，被一根枕木所截，形成的同位角大小始终相等。
再来看内错角，内错角是两条平行线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
内错角也是相等的。
比如我们常见的平行的楼梯扶手，被中间的横杆截断，形成的内错角就是相等的。
还有同旁内角，同旁内角是两条平行线被第三条直线所截，在截线同侧，且在两条被截线之间的两角。
同旁内角是互补的，即它们的和为 180 度。
想象一下平行的书架隔板，被一根竖板所截，形成的同旁内角之和就是 180 度。
这些角与平行线的关系在解决数学问题中非常有用。
比如在几何证明题中，如果我们知道两条直线平行，就可以根据这些角的关系得出角的大小或者证明角之间的相等、互补关系。
反过来，如果我们知道角的关系，也可以推断出直线是否平行。
在实际生活中，角与平行线的关系和应用也随处可见。
比如在建筑设计中，工人师傅需要确保建筑物的墙壁、地面、天花板等部分的线条平行，这就需要运用到平行线的知识。
而在测量角度时，比如测量房屋的角度、桥梁的倾斜角度等，也需要用到角的知识。
在地图绘制中，平行线和角同样发挥着重要作用。
地图上的经线和纬线就是一种特殊的平行线，通过测量经线和纬线之间的夹角，可以确定地理位置和方向。
在物理学中，角与平行线的概念也经常被用到。
初中数学平行线与角的性质知识点总结
初中数学平行线与角的性质知识点总结在初中数学中，平行线与角的性质是数学学习的重要内容之一。
了解平行线与角的性质，可以帮助我们解决与角度和线段相关的问题。
本文将对初中数学中平行线与角的性质知识点进行总结。
1. 平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
平行线具有以下性质：1.1 平行线上的任意两条线段互相平行。
1.2 平行线与同一条直线相交时，所成的对应内角、对应外角和同位角相等。
1.3 直线与其它平行线所构成的内（外）角互补。
2. 垂线与平行线的关系垂线是指与另一条线段(或线面)垂直交叉的线段(或线面)。
垂线与平行线有以下关系：2.1 平行线中的任意一条直线与另一平行线上的垂线互相垂直。
2.2 平行线上的任一直线与垂线互相垂直，那么它们的方向相同。
3. 角的性质角是由两条线段或者两条射线所构成的图形。
初中数学中常见的角包括锐角、直角、钝角和平角。
3.1 锐角：大于0度小于90度的角被称为锐角。
3.2 直角：等于90度的角被称为直角。
3.3 钝角：大于90度小于180度的角被称为钝角。
3.4 平角：等于180度的角被称为平角。
4. 平行线切割等分线段的性质当一条直线与两条平行线相交时，它将平行线切割成不同长度的线段。
这些线段具有以下性质：4.1 线段的比例性质：在平行线上，被一条截线分割的两个线段，它们的长度之比等于它们的截线分割的线段长度之比。
4.2 面积的比例性质：在平行线上，被一条截线分割的两个平行四边形，它们的面积之比等于它们的截线分割的线段长度之比。
5. 平行线切割相似三角形的性质当一条直线与两条平行线相交时，它将两个或多个相似三角形分割出来。
这些相似三角形具有以下性质：5.1 相似三角形的角度相等：在平行线上，被一条截线分割的两个相似三角形中，对应顶角相等。
5.2 相似三角形的边长比例：在平行线上，被一条截线分割的两个相似三角形中，对应边长之比等于它们的截线分割的线段长度之比。
平行线与角的性质及判定条件
平行线与角的性质及判定条件平行线与角是几何学中经常出现的概念，它们有着重要的性质和判定条件。
本文将从不同角度探讨平行线和角的性质，并介绍一些常用的判定条件。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永远不相交的直线。
平行线有以下几个重要的性质：1. 平行线的对应角相等：当两条平行线被一条横截线所切割时，所形成的对应角是相等的。
这个性质可以通过反证法来证明：假设对应角不相等，即存在两个对应角不相等，那么这两条线必然会相交，与平行线的定义相矛盾。
2. 平行线的内错角互补：当两条平行线被一条横截线所切割时，所形成的内错角互补，即它们的和等于180度。
这个性质同样可以通过反证法来证明：假设内错角不互补，即存在两个内错角的和不等于180度，那么这两条线必然会相交，与平行线的定义相矛盾。
3. 平行线的外错角相等：当两条平行线被一条横截线所切割时，所形成的外错角是相等的。
这个性质可以通过对应角相等性质的推论来证明。
二、角的性质角是由两条射线共同起点所围成的部分，它有以下几个重要的性质：1. 角的度量：角的度量用角度来表示，常用度（°）作为单位。
一个完整的角度是360度，一个直角是90度，一个平角是180度。
2. 角的分类：根据角的度量，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角的度量小于90度，直角的度量等于90度，钝角的度量大于90度，平角的度量等于180度。
3. 角的补角和余角：两个角互为补角，当它们的和等于90度；两个角互为余角，当它们的和等于180度。
三、平行线和角的判定条件在几何学中，我们常常需要判定两条线是否平行，或者判定一个角是否满足某种性质。
以下是一些常用的平行线和角的判定条件：1. 平行线的判定条件：有三种常用的判定条件。
第一种是通过直线与另外两条平行线的交点角度相等来判定，即如果两条直线分别与两条平行线的交点角度相等，则这两条直线也是平行的。
第二种是通过平行线的性质来判定，即如果两条直线分别与一条平行线的对应角相等，则这两条直线也是平行的。
平行线与角的性质
平行线与角的性质平行线与角的关系是几何学中的一个重要概念。
在平面几何中，平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
而角是由两条射线共享一个公共端点形成的，可以用来描述物体的方向或者用于测量和计算。
在研究平行线与角的性质时，我们可以发现许多有趣的规律和关联。
一、平行线与对应角当两条平行线被一条截线所穿过时，对应的角具有以下性质：1. 同位角：同位角指的是位于两条平行线之间、同侧的两个角。
同位角有如下特征：- 同位角相等：如果两条平行线被一条截线所穿过，那么同位角是相等的。
这是因为同位角的两条边是平行线，所以它们被截线所交于同一个点，因此角的度数相等。
- 同位补角：同位补角指的是两个同位角的补角。
当两个同位角的和等于180度时，它们就是同位补角。
2. 对顶角：对顶角指的是位于两条平行线之间、不同侧的两个角。
对顶角有如下特征：- 对顶角相等：如果两条平行线被一条截线所穿过，那么对顶角是相等的。
这是因为对顶角的两条边分别是平行线的两条边，所以它们被截线所交于同一个点，因此角的度数相等。
- 对顶角互补：对顶角互补指的是两个对顶角的补角。
当两个对顶角的和等于180度时，它们就是对顶角互补。
二、平行线与内错角与同旁内错角内错角是指两条平行线被一条截线所穿过，形成的两组相对的内角。
同旁内错角是指位于同一侧的内错角。
它们有如下性质：1. 内错角：- 内错角相等：当两条平行线被一条截线所穿过时，内错角两两相等。
这是因为内错角是同位角的补角，而同位角具有相等的性质。
- 内错角互补：当两条平行线被一条截线所穿过时，内错角与其相对的内错角之和等于180度。
这是因为它们是对顶角，而对顶角具有互补的性质。
2. 同旁内错角：- 同旁内错角相等：同一侧的同旁内错角是相等的。
这是由于它们是同位角，具有相等的性质。
- 同旁内错角互补：同一侧的同旁内错角之和等于180度。
这是由于它们是对顶角，具有互补的性质。
三、平行线与外错角外错角是指两条平行线被一条截线所穿过，形成的补角。
平行线与角的性质及其应用
平行线与角的性质及其应用在几何学中，平行线是指在同一平面中永不相交的两条直线。
平行线的性质在几何学中有着重要的应用，尤其是在角的性质与测量方面。
本文将详细探讨平行线与角的性质，并介绍其在实际生活中的应用。
一、平行线的定义与判定平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线不相交，且永远保持相同的距离，那么它们就被称为平行线。
平行线的判定：1.同位角判定：如果两条直线被一条直线割分，并且同位角相等（即对应角、同旁内角或同旁外角相等），那么这两条直线就是平行线。
2.平行线判定定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线之间的夹角与其他两个内角成对应角。
换句话说，对于两条平行线和一条与它们相交的直线，夹在两线之间的角与另一侧内角相等。
二、平行线与角的性质1.同位角性质：同位角是平行线与割线所形成的角。
同位角具有以下性质：a) 对应角性质：对应角之间相等，即同位角的对应角相等。
例如，若有两条平行线被一条割线相交，那么形成的同位角之间相等。
b) 同旁内角性质：同旁内角之和为180°，即同位角的同旁内角之和等于180°。
例如，若有一条平行线被一条割线相交，同位角的同旁内角之和始终为180°。
c) 同旁外角性质：同旁外角之和为180°，即同位角的同旁外角之和等于180°。
例如，若有两条平行线被一条割线相交，形成的同位角的同旁外角之和始终为180°。
2.平行线与顶角性质：顶角是由两条相交直线形成的一对对顶的角。
平行线与顶角具有以下性质：a) 对顶角性质：由平行线割线所形成的一对对顶角互补，即对顶角的和为180°。
三、平行线与角的应用平行线与角的性质在几何学的应用中发挥着重要的作用。
下面介绍一些实际生活中平行线与角的应用示例：1.建筑学：在建筑学中，平行线与角的性质被广泛应用。
例如，在设计房屋的踢脚线或墙角线时，设计师需要了解平行线与角的性质来确保线条的平行和角度的准确度。
平行线上的角
平行线上的角在几何学中，平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。
而平行线上的角，指的是两条平行线之间的角度关系。
本文将探讨平行线上的角以及相关性质和定理。
一、相交线与平行线当两条直线相交时，我们可以通过它们的交点以及与交点相邻的角来确定它们之间的关系。
如果这两条相交线的其他角是对应角、内错角或同位角之一，并且它们的度数相等，那么这两条直线就是平行线。
二、平行线上的角的性质平行线上的角具有以下性质：1. 对应角性质：当一条横切两条平行线的直线与这两条平行线相交时，所形成的对应角是相等的。
这意味着对应角的度数相等，以及它们的内部所夹的两条平行线是等长的。
2. 内错角性质：当一条横切两条平行线的直线与这两条平行线相交时，所形成的内错角是互补的。
这意味着内错角的度数之和等于180°。
3. 同位角性质：当一条横切两条平行线的直线与这两条平行线相交时，所形成的同位角是相等的。
这意味着同位角的度数相等。
三、平行线上的角的定理在研究平行线上的角时，我们也会遇到一些重要的定理：1. 垂直角定理：当两条直线相交时，所形成的四个角中，如果其中两个角是相邻补角，并且其中一个角是直角，那么这两条直线是垂直线。
在平行线中，具有相同顶点和相同直线的两个对应角一定是垂直角。
2. 外错角定理：当一条横切两条平行线的直线与这两条平行线相交时，所形成的外错角是互补的。
这意味着外错角的度数之和等于180°。
以上定理和性质为我们提供了研究平行线上的角和直线关系时的基础。
通过理解和运用这些定理，可以帮助我们解决与平行线相关的几何问题。
四、实例分析让我们通过一个实例来进一步理解平行线上的角。
假设有两条平行线AB和CD，直线EF与这两条平行线相交。
根据对应角性质，我们知道∠AEF = ∠DCF，∠EFA = ∠CDE。
根据内错角性质，我们知道∠AEF + ∠EFA = 180°，∠DCF + ∠CDE = 180°。
角与平行线
角与平行线什么是角？角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角（angle）。
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
角的符号：∠角的种类角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。
角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种。
以度、分、秒为单位的角的度量制称为角度制。
此外，还有密位制、弧度制等。
锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：等于180°的角叫做平角。
优角：大于180°小于360°叫优角。
劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
周角：等于360°的角叫做周角。
负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
正角：逆时针旋转的角为正角。
0角：等于零度的角。
余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。
等角的余角相等，等角的补角相等。
对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交，构成两对对顶角。
互为对顶角的两个角相等。
还有许多种角的关系，如内错角,同位角，同旁内角（三线八角中，主要用来判断平行）！什么是平行线？平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线(parallel lines)，平行线具有传递性。
平行线的判定方法1.平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
小学数学知识归纳认识平行线和角的关系
小学数学知识归纳认识平行线和角的关系平行线和角的关系是小学数学中的重要知识点之一。
在学习平行线和角的关系时，我们需要认识到它们之间的相互关系以及应用场景。
本文将对小学数学中有关平行线和角的相关知识进行归纳总结。
首先，我们要了解平行线的定义和性质。
在平面几何中，如果两条直线在平面上没有交点，并且永远保持同样的间距，那么它们就是平行线。
平行线具有以下性质：1. 平行线上的任意两条线段互相平行。
2. 平行线上的任意两条相交线段所对应的内角相等。
3. 平行线上的任意两条相交线段所对应的外角相等。
4. 平行线上的任意一条线段与平行线上的其他线段的交点与直线所夹角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行线的特点解决一些与角相关的问题。
其次，我们要认识到角的定义和性质。
在几何中，角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
常见的角有以下几种类型：1. 直角：两条互相垂直的线段所夹的角称为直角，直角的度数为90°。
2. 锐角：小于90°的角称为锐角。
3. 钝角：大于90°小于180°的角称为钝角。
4. 平角：度数为180°的角称为平角。
根据角的性质，我们可以通过比较不同角之间的度数来判断它们的大小关系，进而解决一些与角相关的问题。
接下来，我们将探讨平行线和角之间的关系。
1. 互相对应角：当两条平行线被一条横截线相交时，所对应的内角和所对应的外角互相相等。
这个性质可以用来计算未知角的度数。
2. 同位角：当两条平行线被一条横截线相交时，同位角互相相等。
同位角的度数可以帮助我们计算其他角的度数。
3. 顶角和底角：当两条平行线被一条横截线相交时，顶角和底角是成对的，它们之和等于180°。
我们可以利用这个性质来计算未知角的度数。
通过了解以上平行线和角的关系，我们可以应用这些知识解决一些与平行线和角度相关的问题。
例如，通过比较角的度数来判断线段的相对位置，或者通过计算并运用同位角的性质来求解未知角度。
数学初中三年级上册第三章平行线与角的认识与运算
数学初中三年级上册第三章平行线与角的认识与运算数学初中三年级上册第三章平行线与角的认识与运算数学是一门严谨而又有趣的科学，而平行线与角的认识与运算是数学中重要的一部分。
在初中三年级上册的第三章中，我们将学习和探索平行线与角的相关知识。
本文将以简洁明了的方式，深入解析平行线与角的认识与运算。
1. 平行线的基本定义与性质平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
简单来说，它们永远保持相等的距离，它们之间没有交点。
平行线的性质有以下几点：（1）平行线上的任意两个点与另一直线上的任意两个点连线，所成的对应角相等。
（2）同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线也是平行的。
（3）同一平面内的平行线，它们与同一直线相交的对应角相等，即同旁内角互等、同旁外角互补。
2. 角的基本概念与分类在平行线的基础上，我们来看一下角的认识与分类。
角是由两条射线及其公共端点组成的图形。
根据角的大小，我们可以将其分为以下几类：（1）锐角：小于90°的角。
（2）直角：等于90°的角。
（3）钝角：大于90°但小于180°的角。
（4）平角：等于180°的角。
3. 角的运算与性质在初中三年级上册的第三章中，我们还学习了角的运算与性质。
下面我们来讨论一下角的运算与性质：（1）角的加法：两个角的加法是将它们的腿放在一起组成一个角，并将这个角的顶点放在两个角的顶点处。
例如，∠ABC + ∠CBD =∠ABD。
（2）角的减法：将一个角的腿放在另一个角的腿上，使得两个角的顶点与一个角的顶点重合。
例如，∠ABD - ∠CBD = ∠ABC。
（3）角的乘法：角的乘法是将两个角的腿放在一起组成一条直线。
例如，∠ABC ×∠CBD = 0°。
（4）角的除法：将一个角的腿放在另一个角的腿上，使得两个角的顶点与一条直线的两个端点重合。
例如，∠ABC ÷∠CBD = 1。
初中数学知识归纳平行线与角的关系
初中数学知识归纳平行线与角的关系初中数学知识归纳——平行线与角的关系初中数学中，平行线与角的关系是一个重要的概念。
平行线的特性决定了与其相关的角具有一些特殊的性质。
在本文中，我们将对平行线与角的关系进行归纳和探讨。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面内永不相交的两条线。
根据平行线的定义，我们可以总结出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率。
2. 平行线之间的距离在平面内是始终相等的。
3. 平行线之间的夹角为零度，也就是说，它们之间不存在交角。
二、平行线判定定理在初中数学中，判定两条直线是否平行有多种方法，其中最常用的方法是根据角的关系来判断。
以下是两个常用的判定定理：1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同侧内角相等，则这两条直线是平行的。
2. 顶角定理：如果两条直线被一条横截线所切，其内对顶角相等，则这两条直线是平行的。
三、平行线与角的关系平行线与角有着密切的关系，下面是一些相关的性质：1. 锐角和钝角：当一条横截线与两条平行线相交时，所形成的角可以是锐角或钝角，并且这些角的对顶角也是锐角或钝角。
2. 对顶角与平行线：当两条平行线被一条横截线所切，所形成的对顶角是相等的。
3. 内错角与平行线：当两条平行线被一条横截线所切，所形成的内错角是相等的。
4. 外错角与平行线：当两条平行线被一条横截线所切，所形成的外错角互补，即它们的和为180度。
四、角的分类在平行线与角的关系中，我们还需要了解一些角的分类，如下：1. 对顶角：两条平行线被一条横截线所切，形成的相对的两个角称为对顶角。
2. 内错角：两条平行线被一条横截线所切，形成的同侧内角称为内错角。
3. 外错角：两条平行线被一条横截线所切，形成的同侧外角称为外错角。
五、实际应用平行线与角的关系在生活中有许多实际应用。
例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的结构稳定，我们往往需要利用平行线与角的知识来进行设计和构造。
同时，在地理学中，地图上标示的经线和纬线也是平行线，通过分析它们与角的关系，我们能够更好地理解地球的地理特征。
平行线和角的关系定理
平行线和角的关系定理在初中数学中，平行线和角的关系是一个非常重要的概念。
理解和掌握平行线和角的关系定理，不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可以培养我们的逻辑思维和推理能力。
本文将从三个方面来介绍平行线和角的关系定理。
一、平行线和角的定义与性质首先，我们来回顾一下平行线和角的定义。
两条直线如果在同一个平面内，且不相交，那么它们就是平行线。
而角是由两条射线共同起点所组成的形状。
根据角的大小，我们可以将角分为锐角、直角、钝角和平角。
平行线和角的关系定理主要有以下几个性质：1. 同位角定理：如果两条平行线被一条横截线所切，那么同位角是相等的。
例如，在下图中，AB和CD是两条平行线，EF是一条横截线。
根据同位角定理，∠A和∠E、∠B和∠F、∠C和∠G、∠D和∠H是相等的。
[插入图片]2. 内错角定理：如果两条平行线被一条横截线所切，那么内错角是互补角。
例如，在下图中，AB和CD是两条平行线，EF是一条横截线。
根据内错角定理，∠B和∠G是互补角，∠C和∠F是互补角。
[插入图片]3. 外错角定理：如果两条平行线被一条横截线所切，那么外错角是相等的。
例如，在下图中，AB和CD是两条平行线，EF是一条横截线。
根据外错角定理，∠A和∠H是相等的，∠D和∠E是相等的。
[插入图片]以上三个定理是初中数学中最基本、最重要的平行线和角的关系定理。
掌握了这些定理，我们就能够灵活运用它们解决各种几何问题。
二、平行线和角的应用举例接下来，我们通过一些具体的例子来应用平行线和角的关系定理。
例1：已知AB和CD是两条平行线，EF是一条横截线，∠A=70°，求∠C的度数。
解：根据同位角定理，∠A和∠E是相等的。
所以，∠E=70°。
又根据外错角定理，∠E和∠C是相等的。
所以，∠C=70°。
例2：已知AB和CD是两条平行线，EF是一条横截线，∠B=60°，求∠F的度数。
解：根据同位角定理，∠B和∠F是相等的。
初一数学平行线与角的性质
初一数学平行线与角的性质数学是一门让人们感到魅力和挑战的学科，而初一数学作为我们学习数学的起点，为我们打下了扎实的基础。
在初一数学中，平行线与角的性质是我们需要掌握和理解的重要内容。
本文将从平行线和角的定义、平行线与角的关系以及相关定理三个方面来详细论述。
一、平行线和角的定义平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
当两条直线平行时，它们的方向相同，且永远保持相同的距离。
在图形中，我们用“//”来表示两条平行线。
角是由两条射线共享一个端点而形成的。
形象地说，我们可以将角看作钟表上的两个指针，一个指向12点，另一个指向任意时刻。
这两个指针之间的空间就构成了一个角。
我们用大写字母来表示角，如∠ABC。
二、平行线与角的关系1. 内角和同旁内角在平行线AB和CD之间，如果有一条横穿平行线的直线EF，那么在EF与AB、CD的交点上所形成的角都是内角。
例如∠BEF、∠BFC、∠CED、∠DEA。
同时，我们还可以观察到，∠BEF的补角是∠CED，∠BFC的补角是∠DEA。
这是由于平行线与横穿它们的直线构成了三组对应的内角和同旁内角。
2. 顶角、对顶角和同旁外角当两条平行线被一条横穿时，形成的两个对应的内角，就是顶角。
例如∠AED和∠CBE就是顶角。
在同一侧的两个顶角称为同旁外角，例如∠AED和∠DEB就是同旁外角。
观察我们可以发现，同旁外角相加的和等于180度。
对顶角是指在平行线交叉时，两条平行线的对应两对顶角，它们的度数之和等于180度。
例如∠AED和∠CBE以及∠DEB和∠BEC都是对顶角。
三、相关定理1. 平行线内的内角和定理：对于两条平行线AB和CD，如果一条直线与这两条平行线相交，那么所形成的内角和等于180度。
2. 平行线内的同旁外角性质：对于两条平行线AB和CD，如果一条直线与这两条平行线相交，那么同旁外角的度数之和等于180度。
3. 平行线与横穿的直线所形成的对应角相等：对于两条平行线AB 和CD，如果一条直线与这两条平行线相交，那么所形成的对应角是相等的。
平行线与角的关系
平行线与角的关系平行线是几何学中的基本概念，与之相关的还有角的概念。
平行线与角之间存在着一些重要的关系，本文将分析和探讨这些关系。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
简单来说，如果两条直线之间的距离始终相等，并且无论延长多长也不会相交，那么这两条直线就是平行线。
记作"∥"。
二、角的定义在几何学中，角是由两条相交线段或射线形成的图形。
以O点为顶点，在平面上以OA、OB两条线段或射线为边界所围成的图形称为角，记作∠AOB。
其中，点O称为角的顶点，OA和OB称为角的两边。
三、1. 同位角同位角是指两条平行线与一条与它们相交的直线所形成的对应角相等。
简单来说，如果两条平行线被一条直线截断，那么在截断处所形成的角都是相等的。
例如，如下图所示，a∥b，c为截线，则∠1=∠2、∠3=∠4、∠5=∠6、∠7=∠8。
2. 内错角内错角是指两条平行线被一条直线截断时，同位于两条平行线中间的两个内角之和为180°。
简单来说，如果两条平行线被一条直线截断，那么同位于两条平行线中间的两个内角之和为180°。
例如，如下图所示，a∥b，c为截线，则∠1+∠4=180°、∠2+∠3=180°。
3. 利用平行线证明角的等量关系当两条平行线被一条直线截断时，根据同位角的性质，可以利用这一性质来证明两个角的等量关系。
例如，在下图中，已知a∥b，c为截线，且∠1=∠2。
则根据同位角的性质可知∠2=∠3。
4. 利用角的等量关系证明平行线反过来，我们也可以利用角的等量关系来证明两条直线平行。
例如，在下图中，已知∠A=∠D，且∠B=∠C。
根据平行线的定义，我们可以证明AB∥CD。
总结：平行线与角之间存在着密切的关系。
同位角的相等性质和内错角的和为180°的性质是我们常见的使用平行线与角之间关系进行证明的方法。
在几何学的学习中，理解和掌握这些关系对于解决问题和证明定理具有重要意义。
平行线角的关系
平行线角的关系
1. 什么是平行线角
平行线角指的是在平行线上的两个角，它们的角度是相等的。
当两条平行线被一条横线所截，它们形成的相对角是平行线角，由于平行线不相交，因此它们的角度是相等的。
2. 平行线角的性质
平行线角有以下几个性质：
1. 垂线与平行线。
当一条直线和一条平行线相交时，它们上面的相对角是平行线角。
这条垂线是垂直于平行线的，它们的角度是相等的。
2. 同旁内角。
同旁内角是两条平行线被一条横线截断后，横线两侧的内角。
同旁内角的度数是相等的。
3. 同旁外角。
同旁外角是两条平行线被一条横线截断后，横线两侧的外角。
同旁外角的度数是相等的。
3. 平行线角的应用
在实际生活中，平行线角有很多应用。
我们常常用平行线角来计算建筑物的高度、车辆的转弯灵活度、机器零件的加工质量等。
在几何学和物理学上，平行线角还被用来解决一些问题。
例如，如果在一条细长的圆柱体内部有一些小球，当这些小球滚到圆柱体顶部时，我们可以利用平行线角的原理来计算它们所需的最少能量。
同时，平行线角也是我们在二维投影中进行模型绘制时所必需的知识点。
4. 总结
平行线角是几何学中的基础概念之一，它不仅在理论上有重要意义，同时也有很多实际应用。
因此，我们应该加强对平行线角的学习和理解，这对我们今后的学习和工作都有很大的帮助。
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认识平行线-角的认识
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课题认识平行线
教学内容教科书第39—4１页的例题、“试一试”和“想想做做”第1—5题。
教学目标1、使学生联系实际生活情境,体验直线的相交和不相交关系，
认识两条直线互相平行，能判断两条直线的平行关系。
2、使学生能根据直线平行的意义，画出平行线；能在老师的指导下掌握用直尺和三角尺等工具画平行线的步骤和方法,能
正确地画出已知直线的平行线。
3、使学生通过观察、操作,形成平行线的表象，发展空间观念；初步了解生活里的平行现象，产生学习图形位置关系的兴趣。
教学重点感知平面上两条直线的平行关系,认识平行线。
教学难点学会画平行线的方法。
教具准备教学光盘、直尺、三角板、一张长方形纸
教学过程1、师：出示图片。
提问:照片上的场景你在哪里见过?
提问:根据照片上图画出下面三组直线,每组中的2条直线有什么关系？今天我们就来研究直线的关系。
2、板书课题：认识平行线
二、新授:（３３分钟)
（一）完成目标任务一：( 1０分钟)
1、导语
（出示导学单)我们先来看今天的导学单一
2、自学( 3分钟)
（１）出示导学单一
(2)学生自主学习,完成导学单一。
3、精讲（ 4 分钟）
(1）学生汇报：
生1:不相交的两条直线互相平行
生2:同一平面内,不相交的两条直线互相平行
生3:同一平面内,不相交的两条直线互相平行，其中一条直线叫做另一条直线的平行线。
生4：黑板的上下两条边互相平行
生５:秋千的两根吊绳互相平行
生６：五线谱的横线互相平行
……
（2)教师点拨:
如果说不相交的两条直线互相平行可以吗？为什么?师指示墙角的两条线不相交但也不平行,强调:同一平面这个前提条件不能丢。
4、精练（3分)
第一题:书第４０页想想做做第一题
第二题: 书第41页想想做做第3题
5、小结:同一平面内不相交的两条直线互相平行
(二）完成目标任务二：（ 22 分钟)
1、导语：
认识了平行线,怎么画平行线呢？
２、自学( 5分钟）
（1）出示导学单二
(2）学生自主学习，完成导学单二。
３、精讲（５分钟）
（1）学生汇报:
实物投影展示学生的画平行线的过程
(２)教师点拨:
一画二靠三移四再画
４、精练（12分钟)
出示练习题
完成第17页想想做做第２、、４、５题
第四题注意指点学生过已知点画已知直线的平行线的方法实际少了四步中的第一步。
三、总结( 2 分钟)
今天学习了什么?你有什么收获?
四、检测（５分钟)
导学单任务一：认识平行线，知道什么是平行线。
1、看一看
看书上第３9页的内容
2、议一议
小组里说一说什么是平行线,举一举生活中互相平行的例子
任务一：学会画平行线
1、试一试
用自己的方法画一组平行线
2、照样子画一画
仿照书上第4０页的画法，自己用一把直尺和一个三角尺画一组平行线3、议一议
小组里说一说画平行线的几个步骤。
练习单1、第40页想想做做第１题
2、第40页想想做做第2题３、第４0页想想做做第3题
4、第40页想想做做第4题
5、第4０页想想做做第5题
检测单
班级姓名一星级
一、练习与测试第3４页第1题
二、练习与测试第34页第2题
二星级
练习与测试第３４页第7题
板
书
设
计
教学反思：
课题
角的度量（1)
教学内容教科书第1８—１9页的例题、“想想做做”第１—3题。
教学目标1、使学生在自己观察、交流的基础上，认识量角器的结构和功能,通过自己的探索、实践,总结出用量角器量角的方法，初步学会用量角器量角。
２、使学生在学习过程中体会统一角的计量单位的需要，认识角的计量单位,建立1°角的表象;能通过量角，建立角的大小的量化观念;能联系操作结果，发现三角尺的三个内角和的特点,感受角的大小与所画边的长短无关。
３、使学生积极参与学习活动，并获得成功的体验,能运用角的知识描述相应的生活现象,在实践中产生发现数学规律的兴趣。
教学重点认识量角器和角的计量单位，量角的方法。
教学难点用量角器量角的方法。
教具准备相关教学光盘
教学过程一、导入：（2分钟）
1、师：上节课我们认识了角，关于角大家还想知道些什么?
2、要想知道角到底有多大,就要会量角。
那么,量角的工具是什么？怎样量一个角的大小？这些都是今天学习的内容。
3、板书课题:角的度量
二、新授:( 33分钟)
（一）完成目标任务一：( 10 分钟)
1、导语
出示书中的第18图,你能用三角尺上的角量出这个角有多大吗?
交流后师指出：为了准确量角的大小,要有统一的计量单位和度量工具，量角器是度量角的工具。
2、自学( 3分钟）
（1)出示导学单一
(2）学生自主学习，完成导学单一。
3、精讲（４分钟）
（１)学生汇报:
生1:量角器上有好多小格子
生2:量角器上有好多数字
生3:有两排不同的数字，都是从0到１80
生4：把半圆分成１８0等份，每一份所对的角就是１度的角,“度”是计量角的单位,用符号“。
”表示,如1度记作1
……
（２)教师点拨：
随着学生的回答，师引导用实物投影指出中心点、零刻度线，两排刻度。
指出量角的三步:角的顶点对量角器的中心,角的一条边对准零刻度线,角的另一边所对的刻度就是角的度数(简称三“对”)
4、精练(3分)
书第１9页１-3题。
第一题让学生说说量角的过程
第二题让学生量完后思考每个三角形的三个角度数和是多少度
第三题引导发现:角的大小是由角的两边叉开的程度决定，与两边所画的长短无关。
三、总结( 2 分钟）
今天学习了什么？你有什么收获?
四、检测( 5分钟)
导学单任务一:认识角的度量工具和计量单位，学会画角
1、看看，读读，找找
拿出量角器,看一看量角器上有什么？读书上第5０页的内容并说给同桌听，再分别从左边或右边找出书中指定的角。
2、量一量,说一说
照书上第51的内容量出下面角的度数,小组说一说量角的几个步骤，要注意些什么?
练习单1、第１９页第一题
2、第19页第二题
3、第１９页第三题
检测单
班级姓名一星级
一、练习与测试第18页第1题
二、练习与测试第18页第2题
二星级
练习与测试第1８页第6题
板
书
设
计教学反思
课题
角的度量(2）
教学内容教科书第20—21页的“想想做做”第4—9题。
教学目标1、巩固用量角器量指定的角的有关知识。
２、通过角的位置的变式,让学生有层次地逐步掌握正确量角的方法3、联系生活实际,让学生在平面图形上独立量角，进一步形成量角的基本技能。
教学重点量角的方法。
教学难点正确熟练的量角。
教具准备相关教学光盘
教学过程一、导入:( 5分钟）
1、教师：上节课我们学习了角的度量一些知识,你能说一说量角的工具是什么?量角器中心一点叫什么?它有几圈刻度?怎样量角?
2、今天这节课我们进行角的度量的练习。
板书课题：角的度量（２）
二练习
教师:度量位置“变式”的角,是我们初学量角时的难点之一,为了进一步掌握度量角的方法,我们一起进行“想想做做”第4、5、6题的练习。
１、做“想想做做”第4题。
引导学生观察：量角器摆放的位置,训练学生从内圈还是从外圈找准刻度的方法。
提问:仔细观察这几个角？它们的位置一样吗？不同位置的角，我们应该怎样来量？
2、做“想想做做”第5题。
引导学生观察图中所示量角的方法，体会根据角的不同位置摆放量角的技巧。
指名回答，并分别说说从量角器哪一边看起,看哪一圈刻度。
３、做“想想做做”第6题。
请同学们判断一下，下面用量角器量角的方法是不是正确？
4、做“想想做做”第7题。
左边两幅图里各要量一个角，右边两幅图里各要量两个角。
通过量角,既要帮助学生巩固量角的方法，又要让学生感受日常生活与数学的联系。
5、做“想想做做”第８题。
学生可能会出现不同的发现,只要正确,都应该肯定。
６、做“想想做做”第９题。
教师引导学生比较自己的估计与实际测量结果之间存在多大差距,促进误差较大的学生对估计进行调整，发展空间观念，提高估计
角的大小的技能。
7、做“思考题”。
教师给予学生适当的引导与帮助。
教师可以帮助学生用字母来表示这一规律,即：
n×(n－1）÷2
８、阅读“你知道吗?”
教师小结:由于筝线的长度相等,因此离地面的角度越大,风筝就放得越高，所以只要量出线与地面所形成的夹角的度数,就能作出判断。
今天练习了什么?你有什么收获?
四、检测（1 3 分钟）
检测单
班级姓名一星级
一、练习与测试第1９页第1题
二、练习与测试第１９页第2题
三、练习与测试第1９页第３题
二星级
练习与测试第1９页第5题
板
书
设
计教学反思。