中考数学九大几何模型标准版
初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型之欧阳美创编
初中数学九大几何模型一、二、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似OAB CDE图 1OAB CD E图 2OABCDE 图 1OABCDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2OO（1）一般情况【条件】：CD∥AB，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情况【条件】：CD∥AB，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA； ③===OAOBOC OD AC BD tan∠OC D ；④BD⊥AC； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：OB CDEOCDAOBCDE 图 1ACM①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN②过点C 作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE；②OE -OD=2OC ；③2△OCD △OCEOC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③2△OCE △OCD △DCEOC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型
初中数教九大几许模型之阳早格格创做一、脚推脚模型----转动型齐等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 战△OCD 均为等边三角形；【论断】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 仄分∠AED（2）等腰曲角三角形【条件】：△OAB 战△OCD 均为等腰曲角三角形； 【论断】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 仄分∠AED（3）顶角相等的二任性等腰三角形【条件】：△OAB 战△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【论断】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 仄分∠AED二、模型二：脚推脚模型----转动型相似OAB CD E 图 1OAB C D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC D EOCD E图 1图 2OCOCDE（1）普遍情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 转动至左图的位子【论断】：①左图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC∽△OBD ；②延少AC 接BD 于面E ，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 转动至左图的位子【论断】：①左图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ； ②延少AC 接BD 于面E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD ACBDtan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤对接AD 、BC ，必有2222CD AB BC AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯= 三、模型三、对于角互补模型 （1）齐等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 仄分∠AOB 【论断】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCEOC 21S S S =+= OAB CDEOBCDA OBCDE 图 1A OBCDE M N 图 2说明提示：①做笔曲，如图2，说明△CDM ≌△CEN②过面C 做CF ⊥OC ，如图3，说明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边接AO 的延少线于D 时（如图4）： 以上三个论断：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCEOC 21S S =-（2）齐等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 仄分∠AOB【论断】：①CD=CE；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCEOC 43S S S =+=说明提示：①可参照“齐等型-90°”证法一；②如左下图：正在OB 上与一面F ，使OF=OC ，说明△OCF 为等边三角形.（3）齐等型-任性角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ；【论断】：①OC 仄分∠AOB ；②OD+OE=2OC·cos ɑ； ③αcos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE⋅⋅=+=A O BCDE F 图 3A OBCDEMN图 4※当∠DCE 的一边接AO 的延少线于D 时（如左下图）： 本论断形成：①； ②； ③.可参照上述第②种要领举止说明.请思索初初条件的变更对于模型的做用.对于角互补模型归纳：①罕睹初初条件：四边形对于角互补，注意二面：四面同圆有曲角三角形斜边中线；②初初条件“角仄分线”与“二边相等”的辨别；③注意OC 仄分∠AOB 时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 怎么样带领？四、模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1【条件】：①正圆形ABCD ；②∠EAF=45°；【论断】：①EF=DF+BE ；②△CEF 的周少为正圆形ABCD 周少的一半； 也不妨那样：AOBEDCAO BCD E【条件】：①正圆形ABCD ；②EF=DF+BE ；【论断】：①∠EAF=45°；（2）角含半角模型90°---2【条件】：①正圆形ABCD ；②∠EAF=45°；【论断】：①EF=DF-BE ；（3）角含半角模型90°---3【条件】：①Rt △ABC ；②∠DAE=45°；【论断】：222DE CE BD =+（如图1）若∠DAE 转动到△ABC 中部时，论断222DE CE BD =+仍旧创制（如图2）（4）角含半角模型90°变形【条件】：①正圆形ABCD ；②∠EAF=45°；【论断】：△AHE 为等腰曲角三角形；说明：对接AC （要领没有唯一） ∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE ，又∵∠ACB=∠ADB=45°； ∴△DAH ∽△CAE ，∴AEACAHDA= ABCDFABDEFG A BC DEAB CDE FABCD GHFEABCD GHFE∴△AHE ∽△ADC ，∴△AHE 为等腰曲角三角形模型五：倍少中线类模型（1）倍少中线类模型---1【条件】：①矩形ABCD ；②BD=BE ；③DF=EF ； 【论断】：AF ⊥CF模型提与：①有仄止线AD ∥BE ；②仄止线间线段有中面DF=EF ；不妨构制“8”字齐等△ADF ≌△HEF.（2）倍少中线类模型---2【条件】：①仄止四边形ABCD ；②BC=2AB ；③AM=DM ；④CE ⊥AB ；【论断】：∠EMD=3∠MEA辅帮线：有仄止AB ∥CD ，有中面AM=DM ，延少EM ，构制△AME ≌△DMF ，对接CM 构制等腰△EMC ，等腰△MCF.（通过构制8字齐等线段数量及位子闭系，角的大小转移）模型六：相似三角形360°转动模型AB C E F DH ABFDHABCDMEABCDMEF（1）相似三角形（等腰曲角）360°转动模型---倍少中线法 【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰曲角三角形；②EF=CF ； 【论断】：①DF=BF ；②DF ⊥BF辅帮线：延少DF 到面G ，使FG=DF ，对接CG 、BG 、BD ，说明△BDG 为等腰曲角三角形； 突破面：△ABD ≌△CBG ；易面：说明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰曲角）360°转动模型---补齐法【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰曲角三角形；②EF=CF ；【论断】：①DF=BF ；②DF ⊥BF辅帮线：构制等腰曲角△AEG 、△AHC ； 辅帮线思路：将DF 与BF 转移到CG 与EF.（3）任性相似曲角三角形360°转动模型---补齐法【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ；【论断】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO辅帮线：延少BA 到G ，使AG=AB ，延少CD 到面H 使DH=CD ，补齐△OGB 、△OCH 构制转动模型.转移AE 与DEA E BDFCA EBDFCHGAEBDFCABDFCGOADOADG H到CG 与BH ，易面正在转移∠AED.（4）任性相似曲角三角形360°转动模型---倍少法【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ；【论断】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO辅帮线：延少DE 至M ，使ME=DE ，将论断的二个条件转移为说明△AMD ∽△ABO ，此为易面，将△AMD ∽△ABC 继承转移为说明△ABM ∽△AOD ，使用二边成比率且夹角相等，此处易面正在说明模型七：最短路途模型（1）最短路途模型一（将军饮马类）末尾皆转移到：“特性：①动面正在曲线上；②（2）最短路途模型二（面到曲线类1）【条件】：①OC 仄分∠AOB ；②M 为OB 上一定面；③P 为OC 上一动面；④Q 为OB 上一动面；【问题】：供MP+PQ 最小时，P 、Q 的位子？OAB DCE辅帮线：将做Q 闭于OC 对于称面Q’，转移PQ’=PQ ，过面M 做MH ⊥OA ，则MP+PQ=MP+PQ’≥MH(垂线段最短）（3）最短路途模型二（面到曲线类2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n ） 【问题】：n 为何值时，PA 55PB +最小？ 供解要领：①x 轴上与C(2,0),使sin ∠OAC=55；②过B做BD ⊥AC ，接y轴于面E ，即为所供；③tan ∠EBO=tan ∠（4）【条件】：①线段OA=4360°转动；【问题】：AB 的最大值，最小值分别为几？【论断】：以面O 为圆心，OB 为半径做圆，如图所示，将问题转移为“三角形二边之战大于第三边，二边之好小于第三边”. 最大值：OA+OB ；最小值：OA-OBAP OQ MBQ'HPA OAB 最小值位置最大值位置【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以面O 为圆心，OB ，OC 为半径做圆；③面P 是二圆所组成圆环里里（含鸿沟）一面；【论断】：若PA 的最大值为10，则为1，则OC= 3 ；若PA 的最小值为2，则PC【条件】：①Rt △OBC ，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④面P 为BC 上动面（可与端面沉合）； ⑤△OBC 绕面O 转动【论断】：PA 最大值为OA+OB=321+；PA 的最小值为13OA OB 21-==如下图，圆的最小半径为O 到BC 垂线段少.【条件】：正在B=2∠C 辅帮线：以BC 的笔曲仄分线为对于称轴，做面A 的对于称面A’，对接AA’、BA’、CA’、 则BA=AA’=CA’(注意那个论断）此种辅帮线做法是二倍角三角形罕睹的辅帮线做法之一，没BCAB ABA'有是唯一做法.模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型--基础型仄止类：DE ∥BC ；A 字型 8字型 A 字型 论断：BCDEAC AE ABAD==(注意对于应边要对于应）（2）相似三角形模型---斜接型【条件】：如左图，∠AED=∠ACB=90°； 【论断】：AE×AB=AC×AD【条件】：如左图，∠ACE=∠ABC ； 【论断】：AC2=AE×AB第四个图还存留射影定理：AE×EC=BC×AC ；BC2=BE×BA ；CE2=AE×BE ；（3）相似三角形模型---一线三等角型【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；A B C DE图（1）（3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°； 【论断】：①△ABC ∽△CDE ；②AB×DE=BC×CD ； 一线三等角模型也经时常使用去修坐圆程或者函数闭系.（4）相似三角形模型---圆幂定理型【条件】：（2）图：PA 为圆的切线；【论断】：（1）图：PA×PB=PC×PD （2）图：PA2=PC×PB; （3）图：PA×PB=PC×PD ；以上论断均不妨通过相似三角形举止说明.ABCDE图（2）A图（1）。
中考数学九大几何模型标准版
初中数学九大几何模型、手拉手模型 - 旋转型全等条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形；条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形；结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠ AEDD EAED 1）等边三角形D结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似（1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△ OCD 旋转至右图的位置 O OD EA A结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA2）特殊情况 条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2三、模型三、对角互补模型1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平分∠ AOB结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥S△BCD证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ， 如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S△OCDS以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD2）全等型 -120 °条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC 平分∠ AOB32 结论】：① CD=CE ；② OD+OE=O ；C ③ S △DCES △OCDS △OCEOC 2 4证明提示：①可参考“全等型 -90 °”证法一；②如右下图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明△ OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型
【结论】：①△OAC^/XOB：)：②ZAEB=60° : ®0E 平分NAED【结论】：①△OAC^/XOB：)：②ZAEB=90° : ®OE 平分NAED初中数学九大几何模型【条件】：AOAB ^AOCD 均为等腰直角三角形:(3)顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：AOAB ^AOCD 均为等腰三角形; 且 ZCOD=ZAOB【结论】：①△OACq/XOB): ② ZAEB=ZAOB： ®OE 平分 NAED模型二：手拉手模型——旋转型相似 (1) 一般情况【条件】:CD/7AB, 将2X0CD 旋转至右图的位豈 将八。
旋转至右图的位【结论】：①右图中ZkOCDs△OABT t t AOAC^AOBD: ②延长AC 交BD 于点E,於有ZBEC=ZBQ/\ (2)特殊情况 【条件】：CD/7AB, ZA03=90c【结论】：①右图中ZkOCDs△OABT t t AOAC^AOBD: ② 延长AC 交BD 于点E,必有ZBEC=ZBOA： ③ BD = OD = OB =tanZ0C［）：④BD 丄AC ： AC OC OA =-ACxBD模型三、对角互补模型(1)全等型-90°【条件】：①ZA0B=ZDCE=90° :②0C 平分NAOB 证明提示: ①作垂直，如图2,证明△ CDM^ACEN ②过点C 作CF 丄0C,如图3,证明△ ODC^ZXFEC 楽当ZDCE 的一边交A0的延长线于D 时(如图4)9 以上三个结论：©CD=CE： @0E-0D=j2 0C: S 4⑤连接 AD 、BC.必有AD?+BC2 = AB? +CD 2： 图3【结论】：®CD=CE：②OD+OE=JiOC:(1)，皿 =S 场 + S* =三。
芒 ③膈(2) 全等型-120°【条件】：®ZA0B=2ZDCE=120° :②OC 平分NA0B③ Sg =Sg +Sg =OC 2 sina cosa楽当ZDCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）： 原结论变成：®:② :③ __________________________________________________ o【结论】：©CD=CE：②0D+0E=0C:③S.好 Sg +证明提示：①可参考“全等型-90° "证法一：②如右下图：在0B 上取一点F,使0F=0C,证明ZX0CF 为等边三角形。
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型OD ECABAED DOECBABOC ECAEDD图2图 2、手拉手模型 - 旋转型全等D E③OE 平分∠ AED图 2图 1 OABD OAO ②∠ AEB=∠AOB ； 且∠ COD=∠AOB1）等边三角形3）顶角相等的两任意等腰三角形 2）等腰直角三角形图 1图 1C结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；C条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰三角形 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠ 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似（1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△ OCD 旋转至右图的位置 O OD EA A结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA2）特殊情况 条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2三、模型三、对角互补模型1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平分∠ AOB结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥S△BCD证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ， 如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S△OCDS以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD2）全等型 -120 °条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC 平分∠ AOB32 结论】：① CD=CE ；② OD+OE=O ；C ③ S △DCES △OCDS △OCEOC 2 4证明提示：①可参考“全等型 -90 °”证法一；②如右下图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明△ OCF 为等边三角形。
初中几何九大模型汇总
初中几何九大模型汇总1. 点（Point）：点是几何中最基本的对象，它没有长度、宽度或高度，只有位置。
点通常用大写字母标记，例如A、B、C等。
2. 线段（Line Segment）：线段是由两个点确定的，它是一条有限长度的直线。
线段通常用两个字母标记，如AB。
线段具有长度和方向。
3. 直线（Line）：直线是无限延伸的线段，它由无数个点组成，没有起点和终点。
直线通常用一条小箭头标记，如AB。
直线上的任意两点可以确定一条直线。
4. 角（Angle）：角是由两条射线共享一个起点而形成的，它是两边之间的夹角。
角可以分为锐角、直角和钝角。
角通常用大写字母标记，如∠ABC。
5. 三角形（Triangle）：三角形是由三条线段组成的一个闭合图形。
三角形的内部有三个顶点和三条边。
三角形可以根据边长和角度分为不同的类型，如等边三角形、等腰三角形等。
6. 四边形（Quadrilateral）：四边形是由四条线段组成的一个闭合图形。
四边形的内部有四个顶点和四条边。
四边形可以根据边长和角度分为不同的类型，如矩形、正方形、菱形等。
7. 五边形（Pentagon）：五边形是由五条线段组成的一个闭合图形。
五边形的内部有五个顶点和五条边。
五边形可以分为凹五边形和凸五边形。
8. 六边形（Hexagon）：六边形是由六条线段组成一个闭合图形。
六边形的内部有六个顶点和六条边。
六边形可以分为凹六边形和凸六边形。
9. 圆形（Circle）：圆形是由一个中心点和一个半径确定的，它由无数个点组成的闭合曲线。
圆形的内部为圆的内部，外部为圆的外部。
通过研究这九大基本模型，我们可以深入了解几何形状的特征和性质。
学生们可通过观察和比较不同形状的特点，理解几何变换、相似性、对称性等概念。
此外，还可以通过实际生活中的例子，将几何知识应用于实际问题中，提高学生的应用能力。
总之，初中几何九大模型是学习几何必不可少的基础，通过对它们的认识和掌握，可以帮助学生更好地理解和应用几何知识。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型模型一：手拉手模型----旋转型全等1、等边三角形【条件】△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=60°；△ OE平分△AED2、等腰直角三角形【条件】△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=90°；△OE平分△AED3、顶角相等的两任意等腰三角形【条件】△OAB和△OCD均为等腰三角形；且△COD=△AOB【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=△AOB；△OE平分△AED模型二：手拉手模型----旋转型相似1、一般情况【条件】 CD△AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】 △右图中△OCD△△OAB→→→△OAC△△OBD ；△延长AC 交BD 于点E ，必有△BEC=△BOA2、特殊情况【条件】 CD△AB ，△AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】 △右图中△OCD△△OAB→→→△OAC△△OBD ； △延长AC 交BD 于点E ，必有△BEC =△BOA ； △BD AC=OD OC=OB OA=tan∠OCD ；△BD△AC ；△连接AD 、BC ，必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2 ； △BD AC S ABCD •=21模型三：对角互补模型1、全等型-90°【条件】 △△AOB=△DCE=90°；△OC 平分△AOB【结论】 △CD=CE ；△OD+OE=2OC ；△2ODCE OCD OCE 12S S S OC ∆∆=+= 证明提示：△作垂直，如图2，证明△CDM△△CEN△过点C 作CF△OC ，如图3，证明△ODC△△FEC ※当△DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：△CD=CE ；△OE -OD=2OC ；△2△OCD △OCE OC 21S S =-2、全等型-120°【条件】 △△AOB=2△FCE=120°；△OC 平分△AOB【结论】 △CF=CE ；△OF+OE=OC ；△2OFCE OCF OCE 4S S S ∆∆=+=证明提示：△可参考“全等型-90°”证法一；△如图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型之欧阳道创编
初中数学九大几何模型一、二、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ；OAB CDE 图 1OAB CD E图 2OABC DE图 1OBCDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ；②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD⨯= OA BCDOB CDEO BCDEOBCDACD三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE△OCD △DCEOC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD △OCEOC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCEOC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；A OBCDE M N 图 2A O BCDE F 图 3A OBCDEMN图 4②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
中考数学必学几何模型大全(含解析)
中考数学必学几何模型大全（含解析）模型一：截长补短模型如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。
截长法：如图①，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。
补短法：如图①，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。
模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
例题精讲1、如图，AC平分①BAD，CE①AB于点E，①B+①D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,①CE①AB，①CF=CB，①CFB=①B①①AFC+①CFB=180°，①D+①B=180°，①①D=①AFC①AC平分①BAD，即①DAC=①F AC在①ACD和①ACF中，①D=①AFC，①DAC=①F AC，AC=AC①ACD①①ACF（AAS），①AD=AF，①AE=AF+EF=AD+BE2、如图，已知在①ABC中，①C=2①B,①1=①2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC，连接DE,①AE=AC,①1=①2，AD=AD，①①ACD①①AED，①CD=DE,①C=①3①①C=2①B，①①3=2①B=①4+①B，①①4=①B，①DE=BE,CD=BE①AB=AE+BE，①AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,①B+①E=180°，求证：AD平分①CDE.解析：延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF，AC①①1+①2=180°，①E+①1=180°，①①2=①E①AB=AE,①2=①E,BF=DE，①①ABF①①AED，①F=①4，AF=AD①BC+BF=CD，即FC=CD又①AC=AC，①①ACF①①ACD，①①F=①3①①F=①4，①①3=①4，①AD平分①CDE.4、已知四边形ABCD中，①ABC+①ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,①ADC求证：①PBQ=90°-12解析：如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°①①BCD+①BCK=180°，①①BAD=①BCK在①BAP和①BKC中AP =CK ，①BAP =①BCK ，AB =BC ，①①BP A ①①BKC （SAS ），①①ABP =①CBK ,BP =BK①PQ =AP +CQ ，①PQ =QK①在①BPQ 和①BKQ 中，BP =BK ，BQ =BQ ，PQ =KQ①①BPQ ①①BKQ (SSS )，①①PBQ =①KBQ ，①①PBQ =12①ABC ①①ABC +①ADC =180°，①①ABC =180°-①ADC①12①ABC =90°-12①ADC ，①①PBQ =90°-12①ADC5、如图，在①ABC 中，①B =60°，①ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE +CD =AC .解析：由题意可得①AOC =120°①①AOE =①DOC =180°-①AOC =180°-120°=60°在AC 上截取AF =AE ，连接OF ，如图在①AOE 和①AOF 中，AE =AF ，①OAE =①OAF ，OA =OA①①AOE ①①AOF （SAS ），①①AOE =①AOF ，①①AOF =60°，①①COF =①AOC -①AOF =60°又①COD =60°，①①COD =①COF同理可得：①COD ①①COF （ASA ），①CD =CF又①AF =AE ，①AC =AF +CF =AE +CD ，即AE +CD =AC6、如图所示，AB ①CD ,BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC =AB +CD .解析：在BC 上取点F ，使BF =AB①BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，①①ABE =①FBE ,①BCE =①DCE①AB ①CD ，①①A +①D =180°在①ABE和①FBE中，AB=FB，①ABE=①FBE，BE=BE①①ABE①①FBE（SAS），①①A=①BFE，①①BFE+①D=180°①①BFE+①EFC=180°，①①EFC=①D在①EFC和①EDC中，①EFC=①D，①BCE=①DCE，CE=CE ①①EFC①①EDC（AAS），①CF=CD①BC=BF+CF，①BC=AB+CD7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE①BC,BD平分①ABC （1）证明：①BAD+①BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.【解析】（1）过点D作BA的垂线，得①DMA①DEC（HL）①①ABC+①MDE=180°，①ADC=①MDE①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°（2）S四边形ABCD=2S①BED=188、已知：在①ABC中，AB=CD-BD,求证：①B=2①C.【解析】在CD上取一点M使得DM=DB则CD-BD=CM=AB①①AMD=①B=2①C模型二：倍长中线法模型分析：①ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，作CF①AD于F，作BE①AD的延长线于E，连接BE方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD例题精讲：1、已知，如图①ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是．【解答】1＜AD＜4．2、如图，①ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，DE ①DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小．【解答】解：BE +CF ＞FP ＝EF ．延长ED 至P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP ，①D 是BC 的中点，①BD ＝CD ，在①BDE 和①CDP 中，{DP =DE∠EDB =∠CDP BD =CD①①BDE ①①CDP （SAS ），①BE ＝CP ，①DE ①DF ，DE ＝DP ，①EF ＝FP ，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在①CFP 中，CP +CF ＝BE +CF ＞FP ＝EF ．3、已知：在①ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．【解答】证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ．①AD 是BC 边上的中线（已知），①DC ＝DB ，在①ADC 和①GDB 中，{AD =DG∠ADC =∠GDB(对顶角相等)DC =DB，①①ADC ①①GDB （SAS ），①①CAD ＝①G ，BG ＝AC又①BE ＝AC ，①BE ＝BG ，①①BED ＝①G ，①①BED ＝①AEF ，①①AEF ＝①CAD ，即：①AEF ＝①F AE ，①AF ＝EF ．4、已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且①BAE ＝①CDE ．求证：AB ＝CD ．【解答】证明：延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF ，①E 是BC 的中点，①BE ＝CE ，①在①BEF 和①CED 中{BE =CE ∠BEF =∠CED EF =DE，①①BEF ①①CED ．①①F ＝①CDE ，BF ＝CD ．①①BAE ＝①CDE ，①①BAE ＝①F ．①AB ＝BF ，又①BF ＝CD ，①AB ＝CD ．5、如图，①ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．【解答】证明：如图，过点D 作DG ①AE ，交BC 于点G ；则①DGF ①①ECF ，①DG ：CE ＝DF ：EF ，而DF ＝EF ，①DG ＝CE ；①AB ＝AC ，①①B ＝①ACB ；①DG ①AE ，①①DGB ＝①ACB ，①①DBG ＝①DGB ，①DG ＝BD ，①BD ＝CE ．模型三：角平分线四大模型1、角平分线的性质2、角平分线的对称性3、角平分线+平行线，等腰现4、角平分线+垂线，等腰归例题精讲：1、如图，D是①EAF平分线上的一点，若①ACD+①ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N，则①CMD＝①BND＝90°，①AD是①EAF的平分线，①DM＝DN，①①ACD+①ABD＝180°，①ACD+①MCD＝180°，①①MCD＝①NBD，在①CDM和①BDN中，①CMD＝①BND＝90°，①MCD＝①NBD，DM＝DN，①①CDM①①BDN，①CD＝DB．2、如图，BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：①BDC=12∠BAC；（2）若AB＝AC，请判断①ABD的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①①ABC＝2①DBC，①ACE＝2①DCE，①①ACE＝①BAC+①ABC，①DCE＝①BDC+①DBC，①2①DCE＝2①BDC+2①DBC，①①BAC＝2①BDC，即①BDC=12①BAC；（2）①ABD是等腰三角形，证明：①AB＝AC，①①ABC＝①ACB，过D作DQ①AB于Q，DR①BC于R，DW①AC于W，①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①DQ＝DR，DW＝DR，①DQ＝DW，①DQ①AB，DW①AC，①①GAC＝2①GAD＝2①CAD，①①GAC＝①ABC+①ACB，①①GAD＝①ABC，①AD①BC，①①ADB＝①DBC，①①ABD＝①DBC，①①ADB＝①ABD，①AB＝AD，即①ABD是等腰三角形．3、如图，在①ABC中，①ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．【解答】解：过点P作PD①AB于D，PE①BC于E，PF①AC于F，①点P是①ABC三条角平分线的交点，①PD＝PE＝PF①S ①ABC ＝S ①P AB +S ①PBC +S ①P AC =12PD •AB +12PE •BC +12PF •AC =12PD •（AB +BC +AC ）=12PD •（7+25+24）＝28PD 又①①ABC ＝90°，①S ①ABC =12AB •BC =12×7×24＝7×12，①7×12＝28PD ，①PD ＝3 答：点P 到AB 的距离为3．4、如图，AD 是①ABC 中①BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB −AC ＞PB −PC ．【解答】证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAD ＝①CAD ，在①AEP 和①ACP 中，{AE =AC ∠BAD =∠CAD AP =AP，①①AEP ①①ACP （SAS ），①PE ＝PC ，在①PBE 中，BE ＞PB −PE 即AB −AC ＞PB −PC ．5、在①ABC 中，AD 是①BAC 的外角平分线，P 是AD 上的任意一点，试比较PB +PC 与AB +AC 的大小， 并说明理由．【解答】解：PB +PC ＞AB +AC如图，在BA 的延长线上取一点E ，使AE ＝AC ，连接EP ．由AD 是①BAC 的外角平分线，可知①CAP ＝①EAP ，又AP 是公共边，AE ＝AC ，故①ACP ①①AEP从而有PC ＝PE ，在①BPE 中，PB +PE ＞BE而BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，故PB +PE ＞AB +AC ，所以PB +PC ＞AB +AC6、已知：如图，在①ABC 中，①A ＝2①B ，CD 平分①ACB ，且AC ＝6，AD ＝2．求BC 的长．【解答】解：如图，在BC 上截取CE ＝CA ，连接DE ，①CD平分①ACB，①①1＝①2，在①ACD和①ECD中{CA=CE∠1=∠2CD=CD，①①ACD①①ECD（SAS），①AD＝ED，①A＝①CED，①①A＝2①B，①①CED＝2①B，①①CED＝①B+①BDE，①①BDE＝①B，①BE＝ED，①AC＝6，AD＝2，①AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，①BC＝BE+CE＝2+6＝8．7、如图，①AOB=30°，OD平分①AOB，DC①OA于点C，DC=4cm，求OC的长.【解答】过点D作DE//OB，交OA于点E.OC=CE+OE=CE+DE=8+43.8、（1）如图①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACB，过点D作EF①BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．（2）如图，①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACG，过D作EF①BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．【解答】解：（1）①BD平分①ABC，①①ABD＝①CBD，①EF①BC，①①EDB＝①DBC，①①ABD＝①EDB，①BE＝ED，同理DF＝CF，①BE+CF＝EF；（2）BE−CF＝EF，由（1）知BE＝ED，①EF①BC，①①EDC＝①DCG＝①ACD，①CF＝DF，又①ED−DF＝EF，①BE−CF＝EF．9、如图，在①ABC ，AD 平分①BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ，求证：EF ①AB ．【解答】解：过E 作AC 的平行线于AD 延长线交于G 点， ①EG ①AC在①DEG 和①DCA 中，{∠ADC =∠GDE CD =ED ∠DEG =∠DCA，①①DEG ①①DCA （ASA ）， ①EG ＝EF ，①G ＝①CAD ，又EF ＝AC ，故EG ＝AC ①AD 平分①BAC ，①①BAD ＝①CAD ，①EG ＝EF ，①①G ＝①EFD ，①①EFD ＝①BAD ，①EF ①AB ．10、已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．①B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD ＝2CE ．【解答】证明：如图，分别延长CE ，BA 交于一点F ． ①BE ①EC ，①①FEB ＝①CEB ＝90°， ①BE 平分①ABC ，①①FBE ＝①CBE ， 又①BE ＝BE ，①①BFE ①①BCE （ASA ）． ①FE ＝CE ．①CF ＝2CE ．①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①ABD +①ADB ＝90°，①ADB ＝①EDC ， ①①ABD +①EDC ＝90°．又①①DEC ＝90°，①EDC +①ECD ＝90°，①①FCA ＝①DBC ＝①ABD ． ①①ADB ①①AFC ．①FC ＝DB ，①BD ＝2EC ．11、如图．在①ABC 中，BE 是角平分线，AD ①BE ，垂足为D ，求证：①2＝①1+①C ．【解答】证明：如图，延长AD 交BC 于点F ，①BE 是角平分线，AD ①BE ，①①ABF 是等腰三角形，且①2＝①AFB ， 又①①AFB ＝①1+①C ，①①2＝①1+①C ．12、（1）如图（a ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的外角平分线，过点A 作AD ①BD ，AE ①CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE ，求证：DE ①BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）①如图（b ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的内角平分线，其他条件不变；①如图（c ）所示，BD 为①ABC 的内角平分线，CE 为①ABC 的外角平分线，其他条件不变；则在图（b ）、图（c ）两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与①ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中一种情况进行证明．【解答】解：（1）如图1，分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK ，①①BAD ①①BKD （ASA ）， ①AD ＝KD ，AB ＝KB ，同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK +BC +CH ＝AB +BC +AC ，①DE =12（AB +AC +BC ）； （2）①猜在想结果：图2结论为DE =12（AB +AC −BC ）． 证明：分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB ， 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK －BH ＝AB +AC －BC ，①DE =12（AB +AC −BC ）； ①图3的结论为DE =12（BC +AC −AB ）．证明：分别延长AE 、AD 交BC 或延长线于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12KH又①KH ＝BC －BK +HC ＝BC +AC －AB ．①DE =12（BC +AC −AB ）．模型四：手拉手模型模型：如图，①ABC 是等腰三角形、①ADE 是等腰三角形，AB =AC ，AD =AE ， ①BAC =①DAE = 。
初中数学几何公式大全和九大几何模型
初中数学几何公式和九大几何模型1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中数学中考常见几何模型
初中数学中考常见几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置OC DE图 1OABCD E图 2OABC DE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2OB COCDE【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
2024年中考数学总复习初中数学常考10个几何模型汇总
2024年中考数学总复习初中数学常考10个几何模
型汇总
模型一：“12345”模型
模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角形角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。
结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。
模型五：“将军饮马”模型
模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°
【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形
模型十：费马点。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型-、手拉手模型(1)等边三角形D【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形;【结论】：①△ OAC B/OBD :②/AEB=60 ° ;^OE 平分Z AED(2 )等腰直角三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形;DE【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形;且/COD= ZAOB【结论】：①厶OAC也/OBD ;②/AEB= Z AOB ;③OE平分Z AED【结论】：①右图中△ OCD sJOAB mOAC S Q BD；②延长AC交BD于点E,必有Z BEC= /BOA ;③——=――=——=tan /OCD :④ BD _LAC; AC OC OA⑤连接AD、BC,必有AD2 BC2二AB 2 CD2；® S三、模型三、对角互补模型将△OCD旋转至右图的位置△BCD图i2(2)全等型-120【条件】：①Z AOB=2 ZDCE=120 °;3OC 平分Z AOB【结论】：-:3 2①CD=CE :②OD+OE=OC :③S^CE =S^CD S^OC^—OC2证明提示：①可参考“全等型-90。
”证法一；②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△ OCF为等边三角形。
(1)全等型-90【条件】：①/AOB= ZDCE=90 ° ;^DC 平分Z AOB【结论】：① CD=CE :② OD+OE= ... 2 OC ;③ S^DCE证明提示:①作垂直, 如图2，证明△ CDM也zCEN②过点C作CF JOC，如图3，证明△ ODC ^zEEC※当ZDCE的一边交AO的延长线于D时(如图4):以上三个结论：①CD=CE :② OE-OD= .. 2 OC ；③ S^OCE - S^oCD②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别;(3) 全等型-任意角a【条件】：①/A0B=2 a,Q CE=180-2 a;②CD=CE ;【结论】：①0C 平分Z AOB :②OD+OE=2OC cos a;2③ S A DCE - S A OCD S A OCE - OC Sin a C0S a※当ZDCE 的一边交AO 的延长线于 D 时(如右下图)：原结论变成：①对角互补模型总结:①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线;可参考上述第②种方法进行证明。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB COACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型之欧阳学创编
初中数学九大几何模型一、二、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ；OAB CDE 图 1OAB CD E图 2OABC DE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ；②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=OBCOA B CDEO BCDEOCDACD三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE△OCD △DCEOC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD △OCEOC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCEOC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCFA OBCDE M N 图 2A O BCDE F 图 3A OBCDEMN图 4为等边三角形。
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初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
（3）全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ；【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ； ③αcos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ⋅⋅=+=※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）：原结论变成：① ； ② ； ③ 。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
AOBCEF AOBCEFF AOBEDCAOBECD对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③注意OC 平分∠AOB 时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导？四、模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°---1【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE ；②△CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半； 也可以这样：【条件】：①正方形ABCD ；②EF=DF+BE ；【结论】：①∠EAF=45°；（2）角含半角模型90°---2【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE ；AO BCDE A BDEF AB CDEFG ABCDE F ABCDE F ABCDE F【条件】：①Rt △ABC ；②∠DAE=45°；【结论】：222DE CE BD =+（如图1）若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论222DE CE BD =+仍然成立（如图2）（4）角含半角模型90°变形【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：△AHE 为等腰直角三角形； 证明：连接AC （方法不唯一） ∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE ，又∵∠ACB=∠ADB=45°； ∴△DAH ∽△CAE ，∴AEACAH DA =∴△AHE ∽△ADC ，∴△AHE 为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型 （1）倍长中线类模型---1 【条件】：①矩形ABCD ；②BD=BE ； ③DF=EF ； 【结论】：AF ⊥CF模型提取：①有平行线AD ∥BE ；②平行线间线段有中点DF=EF ； 可以构造“8”字全等△ADF ≌△HEF 。
ABDABCD EFA BCDEABCDEFABC D GHFEABCD GHFEABCEFDH ABEFDH【条件】：①平行四边形ABCD ；②BC=2AB ；③AM=DM ；④CE ⊥AB ； 【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB ∥CD ，有中点AM=DM ，延长EM ，构造△AME ≌△DMF ，连接CM 构造 等腰△EMC ，等腰△MCF 。
（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360°旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法 【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF ； 【结论】：①DF=BF ；②DF ⊥BF辅助线：延长DF 到点G ，使FG=DF ，连接CG 、BG 、BD ，证明△BDG 为等腰直角三角形； 突破点：△ABD ≌△CBG ； 难点：证明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法 【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF ； 【结论】：①DF=BF ；②DF ⊥BF 辅助线：构造等腰直角△AEG 、△AHC ； 辅助线思路：将DF 与BF 转化到CG 与EF 。
ABCDME ABCD ME FAEBDFC AEBDFCHGABDFCABDFCG（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ； 【结论】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长BA 到G ，使AG=AB ，延长CD 到点H 使DH=CD ，补全△OGB 、△OCH 构造旋转模型。
转化AE 与DE 到CG 与BH ，难点在转化∠AED 。
（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ； 【结论】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长DE 至M ，使ME=DE ，将结论的两个条件转化为证明△AMD ∽△ABO ，此为难点， 将△AMD ∽△ABC 继续转化为证明△ABM ∽△AOD ，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决； 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定OA BDCEOABDCEGHOAB DCEOA BDCEMl（2）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：①OC 平分∠AOB ；②M 为OB 上一定点；③P 为OC 上一动点；④Q 为OB 上一动点； 【问题】：求MP+PQ 最小时，P 、Q 的位置？辅助线：将作Q 关于OC 对称点Q ’，转化PQ ’=PQ ，过点M 作MH ⊥OA ，则MP+PQ=MP+PQ ’≥MH(垂线段最短）（3）最短路程模型二（点到直线类2） 【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n ） 【问题】：n 为何值时，PA 55PB +最小？ 求解方法：①x 轴上取C(2,0),使sin∠OAC=55；②过B 作BD ⊥AC ，交y 轴于点E ，即为所求；③tan ∠EBO=tan ∠OAC=21，即E （0，1）l 2AA'PQBB'll 1l 2PA+PQ+BQAPOQMBQ'HPA（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB 绕点O 在平面内360°旋转； 【问题】：AB 的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点O 为圆心，OB 为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
最大值：OA+OB ；最小值：OA-OB【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O 为圆心，OB ，OC 为半径作圆； ③点P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若PA 的最大值为10，则OC= 6 ；若PA 的最小值为1，则OC= 3 ； 若PA 的最小值为2，则PC 的取值范围是 0<PC<2【条件】：①Rt △OBC ，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④点P 为BC 上动点（可与端点重合）； ⑤△OBC绕点O 旋转【结论】：PA 最大值为OA+OB=321+；PA的最小值为13OA OB 21-==如下图，圆的最小半径为O 到BC垂线段长。
OAB最小值位置最大值位置BC模型八：二倍角模型【条件】：在△ABC 中，∠B=2∠C ；辅助线：以BC 的垂直平分线为对称轴，作点A 的对称点A ’，连接AA ’、BA ’、CA ’、 则BA=AA ’=CA ’(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。
模型九：相似三角形模型 （1）相似三角形模型--基本型 平行类：DE ∥BC ；A 字型 8字型 A 字型 结论：BCDEAC AE AB AD ==(注意对应边要对应）（2）相似三角形模型---斜交型 【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°； 【结论】：AE ×AB=AC ×AD【条件】：如右图，∠ACE=∠ABC ； 【结论】：AC 2=AE ×AB第四个图还存在射影定理：AE ×EC=BC ×AC ；BC 2=BE ×BA ；CE 2=AE ×BE ；A B C AB CA'ABCDEADEBCADECABCDEABCDE斜交型斜交型ABCEABCE斜交型双垂型（3）相似三角形模型---一线三等角型【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；（3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【结论】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。