第20讲6电子自旋算符1-2
电子自旋算符和自旋函数
得：b = c* (或c = b*)
| c |2 0 0 | c |2
0 c* x c 0
x
2
0 c 0 c c 0 c 0
* *
I
| c |2 1
令c = exp[iα ] α 为实，则
ˆ ˆ ˆ ˆ S i Sx j S y k Sz
自旋角动量满足的对易关系是：
ˆ S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z
2
ˆ ˆ ˆ S S iS
(7.2 1)
ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [ S x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S iS [ S y , S z ] iS x [ S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ y z x
最后得 SZ 的矩阵 形式
1 0 Sz 2 0 1
（7.2-21） （7.2-22）
Pauli算符的矩阵形式 根据定义
2
1 0 ˆ z Sz 0 1
2
1 0 ˆz 0 1
2 2 2 Sx Sy S z2 . 4
(7.2 3)
2
所以，
3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S Sx S y Sz 4
2
(7.2 4)
令 S s(s 1) (7.2 5) 2 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但 这里s只能取一个数值，即s=1/2.
S z 1 2 1
2
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数重点：自旋算符和波函数的引入及意义（一）自旋算符与轨道角动量满足同样的对易关系：（6.2-1a）分量式为：（6.2-1b）及（6.2-2）由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即（6.2-3）的本征值用磁量子数示的式子，可以把的仿照轨道角动量z方向分量算符本征值表为（6.2-4）其中为自旋磁量子数。
因为自旋角动量平方算符：所以的本征值是（6.2-5）仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成（6.2-6）比较（6.2-5）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。
（二）自旋波函数电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量S z，所以电子的波函数庆写为（6.2-7）由于S z只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数（6.2-8）根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。
因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为（6.2-9）和对x、y、z的依赖关系当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时是相同时，我们可以把（6.2-10）是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。
它的自旋变量S z只是取和式中（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即（6.2-13）的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自显然，对于本征值为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为旋为（6.2-14）相似地有（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示（6.2-16）则（6.2-17）分别表示电子处于及的自旋态，而（6.2-18）是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示（6.2-20）其共厄矩阵为（6.2-21）正交归一关系为（6.2-22）当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。
第六章电子自旋
⃗ ·S ⃗ ，⃗ ⃗ 等项。因为电子的自旋是其内禀属性，与轨道部分无直接关系，在不考虑 一般，H 需要包含B r·S 自旋轨道耦合作用时，我们可以作变量分离，令 ψ (⃗ r, Sz ) = ϕ (⃗ r) χ (Sz ) a b 于Sz = /2的几率，|b| 表示处于Sz = − /2的几率，归一化要求|a| + |b| = 1。 3
0 1
2
1 0 0 −1
)
(1 0) − 0 0 0 1 1 0 0 0 ) )
(0 1) =
(0 1) =
(1 0) =
Chapter VI
在二次量子化以后， |+⟩ =⇒ c+ i↑ 因此 ni S
+ + = c+ i↑ ci↑ + ci↓ ci↓
6.1 电 子自 旋 态 矢 量
S-G 实验清楚地告诉我们电子自旋z 方向的分量只有两个值，ms = ±1/2，可以用量子数Sz = ± /2来标注， 因此描述电子波函数应当写成二分量的形式 ψ (⃗ r, /2) ψ (⃗ r, − /2)
Ψ (⃗ r , Sz ) = 是一个旋量(spinor )波函数。
a b a b
a b
=λ
−1/2 λ
=0
λ =
1 1 1/2, a = b =⇒ χ′ + = √ 2 1 ⟩ 1 1 −1/2, a = −b =⇒ χ′ − = √ 2 −1 ⟩
( 2 ) 1 Example：在 S , Sz 表象中，有一个自旋向上的电子 → χ+ ，求测量Sx 的值和几率。 0 测量Sx 的值只能是sx = ± /2， 几率： χ′ + |χ+ ⟨ ⟨ ⟩
电子的自旋算符与自旋波函数
e 2c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算 符描写，记为 ˆ
S
自旋角动量 轨道角动量
与坐标、动量无关 同是角动量
ˆ r p
不适用
异同点
1 s 2
自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电 子的含自旋的波函数需写为： ( x ,y , z , S , t ) ( r t ) ( x ,y ,z , ,t ) z 1 , 2 ( r ,t ) ( x ,y ,z , ,t ) 2 2 由于 SZ 只取 ±/2 两个值，
x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
3 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S x y z 4
电子自旋--理论物理导论
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
C
1s
y
1s22s22p2
36
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
N
1s
y
1s22s22p3
37
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
O
1s
y
1s22s22p4
38
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
F
1s
y
1s22s22p5
39
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pzEຫໍສະໝຸດ 2s2px2p
2pz
Ne
1s
y
1s22s22p6
40
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
由于粒子为全同粒子，粒子位置互换对整个空间的粒子分 布几率密度无影响：
( xx t ) ( x xt)
2
2
19
故波函数必满足以下条件之一：
(1) (2)
( xxt ) ( x xt) ( xxt ) ( xxt)
满足条件（1）的微观粒子称玻色子，其波函数为粒子 的对称函数。 如光子、基态氢原子、粒子等。其自旋 角动量为0或的整数倍。
电子自旋
电子自旋1引言自旋是基本粒子的固有内禀属性，其来源尚不清楚，但性质类似于轨道角动量与轨道磁矩，【2】 并可以相互耦合，在研究电子的运动状态时，应该将自旋作为一种内禀自由度，质子和中子也都有自旋，它们的自旋角动量在任何方向的投影，与电子一样，只取量子化数值±ħ/2，本文将着重从其具有的性质从发讨论各种实验现象及其相关的应用。
2自旋的发现自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。
电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。
Stern-Gerlach 实验说明了量子力学中的测量是必定要改变微观客体的状态的。
【3】关于自旋已经有下列实验事实，（i ）自旋在任何方向的投影只能取量子化数值±ħ/2；（ii ）电子的轨道磁矩与轨道角动量的比值为cm e 2e e -=γ。
他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为ħ/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±ħ/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是eħ/2mc 。
当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。
3.1自旋的性质3.1.1 泡利矩阵 我们一般用算符ŝ表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。
因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ⨯s =iħs 。
在这里我们引入泡利算符s =σħ/2。
由于s 沿任何表象的投影都只能取±ħ/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2⨯2的矩阵来表示。
我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示：i i z y x ,1001,00,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσσ 这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。
【精品】第2章-原子结构-电子自旋PPT课件
2.3.4 Pauli原理
2.3.4.1 原理
完全波函数
n,l,m ,m s n,l,m m s
为不使完全波函数的符号与轨道波函数的符号相 混淆，将轨道波函数改用φ表示。
i i i
全同粒子
在多电子体系中，各个电子是完全等同的，即它 们具有完全相同的静质量、电荷和自旋这些与运 动情况无关的固有性质，因此不能利用这些性质 来区分它们。由于微观粒子具有统计性质，我们 也不能通过追踪它们的运动轨迹来区分、辨认它 们，这就是全同粒子的不可区分性，在量子力学 中，这类体系为全同粒子体系。
取负号，表示两粒子交换坐标后，完全波函数绝对值 不变而符号改变，称为反对称波函数。
Pauli原理
对于包含两个或两个以上粒子的体系的完全波函数， 交换体系中任意两个粒子的坐标或自旋。
如果自旋量子数为取整数的粒子，如光子，介子，K 介子，称为玻色子(Bosons)，其波函数必须是对称波 函数。
凡是自旋量子数为取半整数的粒子，如电子，质子， 中子，介子，各种超子，称为费米子(Fermions)，其 波函数必须是反对称波函数。
银或碱金属的原子束通过一
个不均匀磁场射到屏幕上时，
Stern
射线束会偏转而分为对称分 布的两束。
1888～1969，美国 1943年Nobel物理奖
碱金属原子的1个s电子：l＝0，m＝0
l(l1)B0 zmB0
s电子不与外加磁场发生作用，原子束不应偏转 和分裂。
基态氢原子束实验也发生同样的现象。
原子中的电子除轨道运动外，还存在有其它运 动方式。
1925年，Uhlenbeck和Goudsmit提出电子自旋运动假 设：电子具有不依赖于轨道运动的、固有的磁矩。
量子物理—电子自旋
3. 自旋算符与泡利矩阵
1 0 z 0 1
0 1 x 1 0
0 i y i 0
所有泡利矩阵的本征值都是 1 单位矩阵加上泡利自旋矩阵可以构成任何2乘2矩阵 任何2乘2矩阵
M a1 0
16
实验事实1：任何方位的正 负方向的本征态正交。此 即要求在任何方位，
0
事实2：任何两个方位， 若其正向夹角为 那发 现其中一个方位的正向 本征态是另一个方位正 负向本征态的概率分别 为 cos2 / 2 , sin2 / 2。
17
若选定
x 1 2
事实2：任何两个方位， 若其正向夹角为 那发 现其中一个方位的正向 本征态是另一个方位正 负向本征态的概率分别 为 cos2 / 2 , sin2 / 2 。
F ( B) z
8
Stern Gerlach 实验 B Oven
真实观测结果
经典物理预言
S,z
据计算，z方向磁矩的两个值为，
B e /(2me )
为解释此实验结果，Uhlenbeck和Goudsmit提出自 旋角动量：
9
电子自旋的基本性质： （1）电子具有自旋角动量 S ，量子数为1/2 电子自旋在空间任何方向上的投影值（分量 测量值）仅取两个值，例如 z 方向
2
z
J J 本征值为j ( j 1) m ; m j, j 1,... j
2
J 2 J J J 2 0
ˆ p ˆ， 以上对易关系可以验证 对于轨道角动量 r
28
4 在均匀静均匀静磁场中的自旋进动
进动就是指在外磁场作用下自旋态的 演化。如过去所说，我们需要哈密顿 量及其本征值与本征态。
如何计算物体的电子自旋
如何计算物体的电子自旋电子自旋是量子力学中的一个重要概念，它是电子在磁场中旋转的量子化表现。
电子自旋的计算涉及到量子数和泡利不相容原理。
以下是计算物体电子自旋的步骤：1.确定电子的量子数：电子的量子数包括主量子数n、角动量量子数l和磁量子数m。
主量子数n表示电子所处的能级，角动量量子数l表示电子在能级内的轨道形状，磁量子数m表示电子在轨道上的角动量方向。
2.确定电子自旋量子数：电子自旋量子数s有两种取值，分别为+1/2和-1/2。
根据泡利不相容原理，一个原子轨道上最多容纳两个电子，且这两个电子的自旋量子数必须相反。
3.计算电子自旋磁矩：电子自旋磁矩的大小由公式μ = gμ_B * S计算得出，其中g是电子自旋的朗德因子，μ_B是玻尔磁子，S是电子自旋量子数。
对于自由电子，g约为2。
4.考虑电子所处的磁场：在计算电子自旋时，需要考虑电子所处的磁场B。
电子自旋在磁场中的能量E由公式E = μ * B计算得出，其中μ是电子自旋磁矩，B是磁场强度。
5.计算电子自旋的角动量：电子自旋的角动量L = S * h / 2π，其中h是普朗克常数。
角动量的单位是弧度/秒。
6.分析电子自旋的极化：电子自旋可以在磁场中被极化，即电子的自旋方向趋向于与磁场方向一致。
电子自旋极化的程度可以用极化率ρ表示，ρ = (N_e * S) / (V * μ_0 * B)，其中N_e是电子数，V是体积，μ_0是真空磁导率。
通过以上步骤，可以计算出物体中电子的自旋。
需要注意的是，这些计算是基于量子力学理论的，实际上电子自旋的计算涉及到更复杂的原子和分子结构，以及电子间的相互作用。
习题及方法：1.习题：一个氢原子中有两个电子，求这两个电子的自旋量子数。
方法：根据泡利不相容原理，一个原子轨道上最多容纳两个电子，且这两个电子的自旋量子数必须相反。
因此，这两个电子的自旋量子数分别为+1/2和-1/2。
2.习题：一个碳原子中有六个电子，求这三个电子的自旋量子数。
量子力学第六章
B0
B 0 z
史特恩—盖拉赫实验(1922)
角动量取向量子化
史特恩和盖拉赫的功绩之一，就是制造了一块能在很小线度 内产生不均匀磁场的磁铁，对于这样的一个磁场，磁矩只有在Z 方向受力
B
U B μ B
任何一个力都可以写成势能的负梯度，即 U ˆ U ˆ U ˆ F U x i y j z k 所以，一磁矩在z方向上受到的力就可以写成
3 、 1925 年 1 月 初 ， 德 国 物 理 学 家 克 罗 尼 格 (Ralph De Laer Kronig)根据泡利写给朗德关于第四量子数的信，提出电子内禀 角动量假设并推出了碱金属光谱的双线结构，由于反常旋磁比 的原因，理论值是实验值的两倍。 4、1925年1月8日，克罗尼格请教泡利，电子内禀角动量归结为 电子自转不符合泡利的物理直觉而被否定。加上海森堡的反对， 克罗尼格放弃了！ 5、1925年夏天,莱顿大学艾伦费斯特(Paul Ehrenfest) 的两个 学生乌伦贝克 (George Eugene Uhlenbeck) 和古兹密特 (Samuel Abraham Goudsmit)，将电子内禀角动量理解为第四运动自由度， 提出自旋假设并投稿 Science( 事先不知道泡利和克罗尼格的讨 论)，讨论了反常塞曼效应。 6、1925年秋天，洛伦兹应两人要求算出电子自转违反相对论， 而且反常旋磁比也难解释，两人追回论文未果，于11月发表。 7 、 1925 年 12 月 , 众多物理学家云集莱顿大学庆祝洛仑兹获得博 士学位 50 周年，玻尔请教爱因斯坦，爱因斯坦认为自旋假设是 相对论的必然结果！
三、电子自旋假设
从史特恩—盖拉赫实验只能解释奇数条纹分裂，无法解释偶 数条纹分裂。该实验出现偶数分裂的事实，给人的启示是：要 2l+1为偶数，只有角动量为半整数，而根据轨道角动量理论是 l不可能给出半整数的。 1925 年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据一系列的实 验事实大胆地提出这样一个假设：电子不是点电荷，它除了轨 道角动量以外，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量。
电子自旋
ˆ 则 S zΨ1 = Ψ1 2
ˆ S zΨ 2 = − Ψ 2 2
ˆ S z 的本征态只有 Ψ1 ,Ψ。 2
把两个分量排成一个二行一列的矩阵为：
⎛Ψ1 ( x, y, z, t ) ⎞ Ψ =⎜ ⎟ ⎜Ψ ( x, y, z, t )⎟ ⎠ ⎝ 2
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = - /2。
Ψ = Ψ ( x, y, z, S z , t )
⎧ ⎪Ψ 1 ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , + 2 , t ) ⎪ ⎨ ⎪Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , − , t ) ⎪ 2 2 ⎩
由于 SZ 只取 ± /2 两个值，所以上式可 写为两个分量：
0 ⎞ ⎛ ⎛ 0⎞ ⎟ =Ψ 2 ( x, y, z , t )⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎜1⎟ Ψ 2 ( x, y , z , t ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛1⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 2
ˆ Sz χ 1 =
2
2
χ1
2
Ψ −1/ 2
⎛0⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ − ⎝ ⎠ 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧σ x σ y + σ y σ x = 0 ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨σ y σ z + σ z σ y = 0 ⎪ˆ ˆ ˆ ˆ ⎩σ z σ x + σ x σ z = 0
从 反 对 易 关 系 式 出 发
证明（法一）：（以第一个式子为例）
ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y + σ yσ x
说明：
1. 若已知电子处于 S z =
2
量子力学_8.1电子自旋态与自旋算符
习惯上取相角 a 0, 得出Pauli 算符的下列矩阵表示
0 1 0 i 1 0 x , y , z 1 0 i 0 0 1
（20）
称为Pauli 矩阵.
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
8.2 总角动量的本征态
(17)
令
x
矩阵为
a x c b d
(18)
利用 得 z x x z
a c
b a b c d d
(19)
所以a=d=0 ，再根据厄米性 x x 要求， 可得 c b ，因而
d
3
r r , / 2 表示电子自旋向下 sz 2
2
的概率. 归一化条件表示为
(r , / 2) d r (r , sz ) d r ( (r , / 2), (r , / 2)) (r , / 2) sz / 2
（18） （19）
利用归一化条件，并取适当相位，可得出( l2,j2,jz) 的共同本征态
( , , s z ) ( , , s z )
l m 1 Ylm 1 , 2l 1 l m Yl ,m 1 l m Ylm 1 , 2l 1 l m 1 Yl ,m 1 j l 1/ 2 j l 1 / 2(l 0)
2 x 2 y 2 z
（13）
可以证明 的三个分量反对易
x y y x 0 y z z y 0 z x x z 0
（14）
式（11）和（14）联立得
量子物理—电子自旋
形象的说，即为自旋朝上的态和 自旋朝下的态。
12
（2）自旋的态矢量
空间任意方向自旋本征态如何表示？
13
连串实验 Oven Oven SGz SGz
+z
-z +z
+z SGz SG -z No signal + cos2 / 2
sin 2 / 2
-z 想象偏振测量实验。这里磁场方是测量基！ 处于+z的态，发现它是+x态或-x的概率是1/2 添加其他实验还可证明，处于某个方向正向的态， 在一个与其夹角为 的方向测分量值。获得正 值概率为 cos2 / 2 ，获得负值概率为sin 2 / 2 。
x 1 -1 / 2
算符：
z 2
z z z
2
1 0 0 -1
2
2
x+ x+ x- x-
y+ 2
0 i -i 0
y+ y- y-
15
0 1 -1 0
2
对自旋态的数学描述必须与实验事实相符并且自洽。
基本任务：对空间任何 方位（ , ）的正方向 与负方向的自旋本征 态的数学描述。
14
Sx 物理量: Sz（z向自 （x向自旋） 旋）
Sy （Y向自旋）
/2 ， /2 可观测结果： 算符本征值 / 2 ， / 2 本征矢， x+ / 2,
0 z 1 , z 0 1
1 1
/2 /2
y+ 1 i / 2, y 1 -i / 2
z
z ; 则必然要求 y
电子的自旋
ˆ 描写，它无经典对 ③ 自旋角动量用自旋算符 s 应，因为不能写成坐标和动量的函数。
那么，电子的自旋算符该如何表示？计及自
旋后，电子的态函数又该如何表示？
§2 电子的自旋态和自旋算符
（一）电子自旋态的描述
考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：
(r , 2 ) ( r , sz ) ( r , ) 2 第4个变量
【量子计算机中的基本概念 】 比特和昆比特
传统计算机的基本单元是一个用固体设备（晶 体管）代表的二进制数字位（bit，比特）0或者1。 晶体管关闭（输出电压为0V）代表了二进制数0， 晶体管打开（输出电压为5V）代表了二进制数1。 在任意时刻，一个存储器位只能存储和处理一个数 字0或1，不能同时存储和处理0和1。
归一化条件
d 1
共轭态
(r , ) 2 1 * ( r , ) * ( r , ) d 2 2 ( r , ) 2
* ( r , ) * ( r , ) 2 2
(sz ) 2
自旋向上的态 — (4)
(5)
ˆz 1 2 ( r , sz ) 1 2 ( r , sz ) s 2
本征值-ħ/2（自旋向下），本征函数-1/2。
0 , 1 ( r , sz ) ( r , ) 2 2
令
(sz ) 自旋向下的态 2
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值：
e z B 2m
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中，原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在 z 向投影有2个 值，所以观察到2条个分立线。
自旋1_2
自旋1/2维基百科，自由的百科全书在量子物理中，自旋½表示一粒子所具有的内禀角动量（自旋）为，是普郎克约化常数，其中包括了电子、质子、中子、中微子与亏子(夸克)。
自旋-½粒子在量子统计上属于费米子，并遵守泡利不相容原理。
对自旋½粒子进行自旋性质的量子测量会得到两个值。
有两个结果肇因于所存有的矢量空间的维度。
自旋½粒子的自旋量子态可以用一种两个维度的复数值矢量来描述，称之为二元旋量。
利用这种表示法，量子力学中的算符可写成2乘2(2 x 2)的复数厄米矩阵。
自旋投影算符意义上代表了沿着方向对自旋做的测量：算符有两个本征值——，有各自对应的本征矢量：其构成描述自旋之希尔伯特空间的完整基底，即自旋的态可用这两个态的线性组合来代表。
这两个态方便上称之为“自旋向上”(spin up)与“自旋向下”(spin down)。
自旋算符S有些特质和角动量算符L相同，但其他特质则不相同。
可为自旋½物体建构升降算符；其遵守和其他角动量算符相同的对易关系(交换关系)。
自旋投影算符的旋转的两个本征值与前面相同(相应于测量的可能结果)，但本征矢量则不同——为矢量自旋算符；其中是一个顺沿投影方向的单位矢量，而。
这些为泡利矩阵或称泡利旋量。
参阅自旋-轨道作用外部链接圣地牙哥加州大学物理系关于自旋的视听教学(/courses/spring2003/physics130a/movies/2003-06-04_full.mov)取自“/w/index.php?title=自旋1/2&oldid=25375251”本页面最后修订于2013年3月10日 (星期日) 05:29。
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自旋角动量算符
自旋角动量算符
【最新版】
目录
1.自旋角动量算符的定义
2.自旋角动量算符的性质
3.自旋角动量算符的应用
正文
自旋角动量算符是一种描述电子自旋运动的数学工具，它在量子力学中起着重要的作用。
自旋角动量算符的定义如下：
首先，我们需要了解自旋角动量的概念。
自旋角动量是描述电子自旋运动的量子数，是电子运动状态的第四个量子数。
在实验中，德国科学家施特恩和格拉赫发现，电子在通过不均匀磁场时会发生偏转，这表明电子具有自旋磁矩。
自旋角动量算符是描述这种自旋磁矩的数学工具。
它可以表示为：Sx, Sy, Sz，其中 Sx 和 Sy 是轨道角动量算符，Sz 是自旋角动量算符。
这些算符满足对易关系，即 [Sx, Sy] = 0，[Sy, Sz] = 0，[Sx, Sz] = 0。
自旋角动量算符具有一些重要的性质。
例如，它们的本征值都是正负h/2π，本征矢量分别为 (1,1)、(1,-1)、(1,0) 和 (1,i)、(1,-i)、(0,1)。
这些性质在研究电子自旋运动时非常重要。
自旋角动量算符在实际应用中也起着重要作用。
例如，在核磁共振(NMR) 现象中，原子核的自旋磁矩会在外加磁场中产生旋转。
通过测量旋转频率，我们可以确定原子核的自旋量子数，从而了解原子核的结构。
总之，自旋角动量算符是一种描述电子自旋运动的重要数学工具。
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2 2 L 1 类似
令
S ss 1
2
2
1 s 2
s与l相当，称s为自旋量子数。（l 叫轨道量子
数或角量子数）。
返回
自旋波函数
含自旋的电子波函数 ˆ H 在某些情况下（如：不含自旋量或可表示 为自旋变量部分与空间坐标部分之和）可以分 离变量，即 r , t S z S z ——自旋波函数,描写电子自旋的状态.
ˆ x , ˆ y ] ˆ x ˆy ˆ y ˆx 0 [ ˆ y , ˆ z ] 0 [ ˆ ˆ [ z , x ] 0
ˆ xσ ˆ yσ ˆz i σ
泡利(Pauli)算符—本征值
ˆ x , ˆ y , ˆ z的本征值都是
种］，即它们是空间量子化的。
实验进一步的测量得磁场 B 方向(设为Z方向)的两个投 影值是： M Z
e 2
(这个值正是乌伦贝克等人在自旋假设中所提及的量。)
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自旋假设
荷兰科学家乌伦贝克和哥德斯密特为了解释碱金属光谱的 精细结构（即具有双线结构）、反常塞曼效应（弱磁场中原子 光谱线分裂成偶数条光谱线的现象），P-B效应，于1925年提
量子力学
主讲：林洁丽
alishalin@
电子与信息工程学院光信息工程系
2012年9月
第六章 电子自旋和角动量
• §6.1 • §6.2 • §6.3
提纲
电子自旋 电子的自旋算符和自旋函数 自旋单态和自旋三重态
第20讲
引言 §6.1 §6.2
第六章 自旋和角动量
电子自旋 电子的自旋算符和自旋函数
0 b ˆx σ b 0
2 2 2 ˆx ˆy ˆz 1
0 0 2d
0 1 ˆx σ 1 0
ˆ y iσ ˆ xσ ˆz σ
0 i ˆy σ i 0
泡利(Pauli)算符—矩阵表示
自旋角动量算符—对易关系
ˆ ˆ ˆ S S iS
ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S x y z ˆ ˆ ˆ [ S y , S z ] iS x ˆ ˆ ˆ [ S z , S x ] iS y
ˆ2 ˆ S ,Si 0
引言
教学内容： §1 电子自旋 §2 电子自旋算符和自旋函数 §3 自旋单态和三重态 重点难点： 电子自旋假设，自旋算符与自旋函数。 基本要求： 电子具有自旋角动量和自旋磁矩，是根据实验事实引进的 假设，成为电子的第4个自由度。实验证明自旋角动量在 空间任意方向上的投影只能取两个值，因而自旋函数用二 行一列矩阵表示，而自旋算符则用二行二列矩阵表示。要 求学生在自旋实验事实基础上理解自旋函数和自旋算符和 矩阵表示（Pauli矩阵），并懂得相应的计算。对自旋与 外磁场、自旋与轨道耦合所产主的效应也要有所了解。
自旋波函数
ˆ S z 1 1 2
ˆ S z 1 S z 1 S z 2 2 2
ˆ S z 2 - 2 2
ˆ S z 1 S z 1 S z 2 2 2
自旋算符的本征波函数
• 本征：当我们仅研究自旋性质时，系统的空间部分 波函数可以视为常数，选择 Sz 表象，则算符的两 个本征态为：
Ms z
e M B 2μ
(
，
MB
是玻尔磁子)
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讨论
• 1. 电子自旋是电子本身的内禀属性(内在属性)，自旋标志着
电子除了在普通空间的三个自由度外，还有一个新的自由度， 这是量子力学中特有的量，无经典对应。 • 起初乌伦贝克和哥德斯密特认为“与地球绕太阳的运动相似， 电子一方面绕原子核运动，一方面又自旋转。”（“自旋”此
结束
引言
前几章我们只处理了单个粒子在力场中 运动的问题，而实验发现：前几章的理论是 有局限性的。下面两方面的事实有待进一步 讨论： （1）实验发现所有微观粒子都有自旋；而 薛定谔方程并未涉及。（本章学习） （2）实际存在的体系一般都是多粒子体系， 描写多粒子体系状态的波函数的构成又与自 旋的情况有关。（本课程要求略）
讨论
• 3. 除了电子以外，实验(后来的)又证明其它粒子也有自旋。
本章仅讨论电子，因而如无特别说明，所讲的自旋都是指电子 自旋。 • 4. 到了1928年，狄拉克(Dirac)建立了电子的相对论性波动方 程，在那里，自旋自然地包含于方程之中，所以电子自旋本质
上是一种相对论效应，由于本书只讨论非相对论量子力学，理
1 1 S z 0 2
z 时，由前面基 • 一般态：当体系自旋处在一般态 本假设，为自旋算符本征函数的线性组合，记为：
0 1 S z 1 2 S
a S z a 1 S z b 1 S z a b b 2 2
1 1 r , , t 1 r , t 1 S z 2 2 对应于 S z 2
Ψ Ψ r , S z , t
2 2 r , , t 2 r , t 1 S z 对应于 S z 2 2 2
这样的列矩阵形式称为旋量，2行1列的矩 阵二分量旋量，实际上也是二维Hilbert Space的一 个矢量。
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泡利(Pauli)算符—定义
为简便起见，引进无量纲的泡利(Pauli)算符
2ˆ ˆ σ S
ˆ ˆx Sx σ 2
ˆ ˆ S σ 2
ˆ ˆy Sy σ 2
ˆ ˆz Sz σ 2
2 x 2 y
1
2 z
ˆ ˆ ˆ 1
ˆ ˆ ˆ 3
2 x 2 y 2 z
泡利(Pauli)算符—矩阵表示
ˆ z 表象中的矩阵表示 σ
1 0 a b a b ˆz σ ˆx σ 0 1 c d b d ˆ x , ˆ y ] ˆ x ˆy ˆ y ˆx 0 [ 1 0 a b a b 1 0 2a ˆ y , ˆ z ] 0 [ 0 1 b d ＋ b d 0 1 ＝ ˆ ˆ 0 [ z , x ] 0
泡利(Pauli)算符—对易关系
ˆ ˆ ˆ 2i
ˆ x ˆy - ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆz - ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 i z x x z y
σ ˆ xσ ˆ y -σ ˆ yσ ˆ x iσ ˆz ˆ yσ ˆ z -σ ˆzσ ˆ y iσ ˆx σ ˆ ˆ ˆ xσ ˆ z iσ ˆy σ z σ x -σ
狭缝BB进入不均匀磁场，最后射到照相底片P上。实验结果
在底片上出现两条分立的线。实验说明： 1. 氢原子具有磁矩。 这样原子束通过非均匀磁场受力作用而偏转。原子处于s 态(l=0)，轨道角动量L=0，原子的偏转说明原子中电子具 有内禀磁矩；
实验证据
2. 原子的磁矩在磁场中取向只有两种［任何方向上都只有两
自旋角动量算符—定义
自旋角动量是电子的内禀属性，无经典对 ˆ 的函数， 应，即不能象角动量一样写成 r 和 P 而是描述电子状态的又一个新的力学量。象其 它力学量一样，自旋角动量也用一个算符表示。 ˆ ˆ ˆ 利用角动量的定义： L L iL ˆ ： 引入 S ˆ ˆ ˆ S S iS 跟经典角动量的共性就是它们各自的对易 关系一致。
i x, y,z
2 2 2 2 S S S S 角动量平方算符 x y z
自旋角动量算符—本征值
由于在空间任何方向上的投影只能取两个数值， 所以三个算符的本征值都是两个 ，它们 2 的平方就都是 ：
2 2 2 S2 S S x y z 4
2 3 2 2 S 2 Sx Sy S z2 4
返回
§6.1
电子自旋
一、实验证据（电子自旋的实验验证） （在历史上，电子自旋的概念是在原子光谱的研 究中提出来的。近代物理学中详细介绍。） 二、自旋假设 三、讨论 返回
实验证据
许多实验事实证明了电子具有自旋。其中最原始最简单 的实验是：斯特恩(Stern)-盖拉赫(Gerlach)实验。 如课本P231图所示，由k射出处于s态的氢原子束通过
论本身不包括自旋。故我们象乌伦贝克等人于1925年那样把自 旋作为一个基本假设引入。但作为整个量子力学体系，它不是 基本假设。 返回
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
• • • • • • 自旋角动量算符 自旋波函数 泡利(Pauli)算符(不要求，学生可以自学) 完整的电子波函数 力学量平均值公式 自旋的上升、下降算符、氢原子能级的简 并度 (不要求，学生可以自学) 返回
（1）每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任何方向(取为z
轴)上的投影只能取
Sz 2
出了电子具有自旋的概念。假设如下：
自和自旋角动量 S 的关系是：
e
Ms -
S
（
e
为电子的“荷质比”)
M S 在任意方向(取z轴)的投影只能取两个值：
名字由此来）但是这种看法是不正确的。因为如果把电子自旋
视为象地球的自转，则要使电子产生 M s z M B 表面线速度要大大于光速C。 • 2. 为了区别起见，以后把电子由于在普通空间运动而具有的 ，其
ˆ 角动量轨道角动量记为 L
ˆ 角动量(简称自旋，记为 S
，而把电子的内禀角动量叫自旋
。)
2
0 0
完整的电子波函数 C Ψ r ,t