矩阵的秩及其应用

矩阵的秩及其应用

摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。 关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式

引言：

阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵 的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。

1．矩阵的秩及其求法

1.1矩阵的秩的定义

定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。

定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。

定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。零矩阵的秩规定为零。

注：由定义可以看出

(1)若A 为n m ⨯矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法

定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。 方法1 按定义

例1.2.1 求矩阵A =⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--413112212228

32的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式

12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式

13

1

2122832--=0，43112122232-=0，41312212

2

8

3

--=0，4

1112222

8

2

-=0 所以

()2r A =

方法2 初等变换法

引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。

例1.2.1求矩阵23822122121314A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦的秩 解 用“→”表示对A 作初等变换，则有

A →13142122122382⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→131406440966⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→131406440000⎡⎤

⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=B ，在矩阵B 中易

知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式

1306

≠0. 所以()2r B =, 可得

()2r A =。即矩阵的秩为2

2矩阵的秩的应用

2．1矩阵的秩在解线性方程组中的应用

解线性方程组常用的方法是消元法和利用矩阵的秩。消元法多用于方程组比较简单时。当方程组的计算量较大时运用矩阵的秩来求解时就显现出其明显的优势。

引理 2.1.1[1] 如果齐次线性方程组111122121122221122...0...0...............0n n n n

s s sn n b x b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪

⎪+++=⎩的系数矩阵

1112

12122

212

n n s s sn b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

的行秩r n <，那么它有非零解。 例2.1.1 求齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解

12345123451234512345202075550320

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪+---=⎪⎨+--+=⎪⎪--+-=⎩ 解 对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得

121111211112112211110533105331175550966606900312110552205140------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由于1112033

1009000

1

4

---≠，可知()45rank B =<.方程组的基础解系含有一个线性无关

的解向量，题目所给方程组的同解方程组为123452345

232342205330 690540

x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪--+=⎪⎨

-+=⎪⎪-++=⎩ ，可以令2

2x =可推出 1

2131

,1,,

23124

η'=（，）

，η是原方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解可以表示为x k η=（k 为任意常数）

引理 2.1.2[2]

判别线性方程组11112211211222221122......

...............n n n n s s sn n s

b x b x b x

c b x b x b x c b x b x b x c +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪

⎪+++=⎩ （1）有解的条件是1112

12122212

n n s s sn b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦ 与增广矩阵1112

112122

2212

n n s s sn s b b b c b b b c B b b b c ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

有相同的秩。这说

明当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1方程组无解。

例2.1.1.1 解方程组123123

12312322355723314x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩

解 用上述引理，将增广矩阵化为阶梯形。

2

1

1

2115

7115710011315019160191601021157024

12001200122

33140113

2800000000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

所以很显然可得123

122x x x =⎧⎪

=⎨⎪=-⎩

例2.1.1.2 解方程组123412341

234221245224

x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪

+++=⎨⎪---+=-⎩