三次函数切线斜率

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三次函数

第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

证明：设函数的对称中心为（m，n）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。

此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。

当时，三次函数在上的极值点要么有两个。

当时，三次函数在上不存在极值点。

5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。

三次函数图象切线问题的探究

三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。

一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。

所以斜率为k的切线有两条。

当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。

2.a＜0时，读者自己证明。

二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。

若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。

证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。

1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。

三次函数性质探述

三、三次函数的极值
三次函数的极值情况如何呢？由推论３及函数ｆ ′（ｘ）
的符号不难得到：
定理４当ｂ２－３ａｃ＜０时，ｆ（ｘ）无极值；当ｂ２－３ａｃ＞０
时，（ｆｘ）在ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２处有两个极值．推论４（１）当ａ＞０且ｂ２－３ａｃ＞０时，（ｆｘ）在ｘ＝ｘ１处有
至此可知，当ｂ２－３ａｃ＞０时，三次函数（ｆｘ）图象上有两
个极值点Ｐ（１ｘ１，（ｆｘ１））、Ｐ（２ｘ２，（ｆｘ２）），那么，这两个点Ｐ１，Ｐ２与函数图像对称中心点有何关系呢？我们可以发现：
定理５当ｂ２－３ａｃ＞０时，三次函数图象上的两个极
备课参考
三次函数性质探述
□ 管宏斌
（通州高级中学，江苏通州２２６３００）
中学数学已对二次函数性质作出了系统、严格而“近乎完美”的研究，但是关于三次函数性质的讨论则几乎没有涉及．三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体．通过它可以考察学生的探究能力和创新能力．但是，对于它的图像性质，比如它是否具有对称性等，广大师生往往不甚了解．翻阅各种资料、杂志，我们发现不少的研究者仅从怎样求导、求极值、求单调区间等角度进行一些浅表的
６
１５
求的分配方法种数共有Ａ６－Ａ２Ａ５＝（６－２） ×５！＝４８０；
解法４：运用位置排除法．先不考虑限制条件，每人分
６
担一种工作，共有Ａ６种方法，而从除甲外的５人中每次任

三次函数性质总结_S

已知函数
.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间
内是减函数，求的取值范围.
【题型 2】不等式与恒成立问题例题 2 （08 安徽文）
设函数
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式
对任意
都成立，求实数的取值范围。
7
【题型 3】三次方程根问题
例题 3 （05 全国）设为实数，函数
,若在
上的最大值为 20，求它在
变式 8 当
【2012 高考北京文第 19 题改编】已知函数
，
时，若函数
在区间上的最大值为，求的取值范围。
g(x) x3 bx 。
例题 11. 【2014 高考北京文第 20 题改编】已知函数的取值范围
.若过点
存在 3 条直线与曲线
相切，求
变式 9 (1)已知函数 (2)已知函数 (3）问过点
.若过点
存在 2 条直线与
相切，求的取值范围；
.若过点
存在 1 条直线与
相切，求 t 的取值范围
，
，
分别存在几条直线与曲线
相切？
变式 10 已知函数
在
处有极值.
（Ⅰ）求函数（Ⅱ）若函数
的单调区间；
在区间
上有且仅有一个零点，求的取值范围。
例题 12. 设变式 11 已知函数
围．
例题 13. 已知函数例题 14. 已知函数例题 15. 已知函数
是可导函数，若
的图象关于点
对称，则
图象关于直线
对称.
(5)
是可导函数，若
的图象关于直线
对称，则
图象关于点

高考复习用导数研究三次函数的性质

专题：用导数研究三次函数的性质★★★教学目标1、掌握三次函数的定义和解析式；2、掌握用导数求三次函数的切线方程、单调区间、极值和最值；3、能利用三次函数的图象和性质解决与三次函数有关的问题．知识梳理1．三次函数的定义：形如的函数叫做三次函数． 2．三次函数的几种表达式：（1）一般形式：；（2）已知函数的对称中心为),(n m ，则()f x = ；（3）已知函数图象与x 轴三个交点的横坐标)(,,γ<β<αγβα，则()f x = ；（4）已知函数图象与x 轴的一个交点的横坐标0x ，则()f x = ． 3．三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：2()32(0)f x ax bx c a '=++>，则2()320f x ax bx c '=++=的判别式222124(4)b ac b ac =-=-△()．（1）函数的定义域为，值域为；（2）单调性：①若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在上是增函数；②若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在上单调递增，在上单调递减；（3）极值：①若，此时函数无极值；②若0△>，且2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，此时函数()f x 在处取极大值，在处取极小值．答案：１．)0(23≠+++=a d cx bx ax y ．2．（1）32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠；（2）3()()(0)A x m B x m n a -+-+≠；（3）()()()(0)a x x x a αβγ---≠；（4）20()()(0)x x ax mx n a -++≠．3．（1）R ， R ；（2）①R ；②12(,),()x x -∞+∞，12(,)x x ；（3）①0≤△，②1x x =，)(1x f ，2x x =，)(2x f ．思维升华：1．三次函数d cx bx ax x f +++=23)(当且仅当时是奇函数？2．三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象是对称图形吗？如果是，那么对称中心或对称轴是什么？答案：1． 0==d b ．2．图象关于点))3(,3(abf a b --中心对称．证明如下：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+32[()()a m x b m x +++ ()]2c m x d n +++=，整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++，据多项式恒等对应系数相等，可得a b m 3-=且d mc bm am n +++=23=)3()(abf m f -=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(abf a b --．典例精讲30 min.例1（★★★）（全国卷2文）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1．（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；（Ⅱ）设f （x ）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求的取值范围．分析：（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间．（2）求出函数的导数'()f x ，在（2，3）内有极值，即为'()f x 在（2，3）内有一个零点，即可根据'(2)'(3)0f f <，即可求a 出的取值范围．解：当2a =时，32()631f x x x x =-++，'()3(23)(23)f x x x =--，当(,23)x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在(,23)-∞单调增加；当(23,23)x ∈时，'()0f x <，()f x 在(23,23)单调减少；当(23,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(23,)+∞单调增加．综上所述，()f x 的单调增区间是(,23)(23,)-∞+∞和．()f x 的单调减区间是(23,23)．（II ））22'()3[()1]f x x a a =-+-．当210a -≥时， '()0f x >，()f x 为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，'()0f x =有两个根12x a x a ==+由题意知，23a << ①或23a < ② ①式无解，②式的解为5543a <<，因此a 的取值范围是5543⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点评：三次函数的单调性判定与一般函数一样，利用函数的导数来求解，求极值时，要注意函数取得极值时的充要条件．巩固练习（★★★）已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ，（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解析：（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-(2)2,(2)22,(2)(2)f a f a f f -=+=+∴>-，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．例2（★★★）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围．分析：先求切点坐标，再利用导数求出切线斜率，可得切线方程；再利用三次函数的图象求解函数的极值来解不等式．解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=323x x 12-+，f （2）=3；'()f x =233x x -， '(2)f =6．所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9．（Ⅱ）'()f x =2333(1)ax x x ax -=-．令'()f x =0，解得x=0或x=1a．以下分两种情况讨论：（1）若110a 2<≤≥，则，当x 变化时，'()f x ，f （x ）的变化情况如下表：当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即解不等式组得-5<a<5．因此0a 2<≤．（2）若a>2，则11<<．当x 变化时，'()f x ，f （x ）的变化情况如下表：当11x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即25811->0.2a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,解不等式组得52a <<或2a <-．因此2<a<5．综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5．点评：三次函数的切线问题，要看清问题是在某点处的切线，还是过某点的切线，确定切线的切点是关键点．利用函数的图象来求解不等式也是常用之法．巩固练习（★★★）已知函数xxxxf3231)(23+-=（Rx∈）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点的切线的倾斜角的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；解析：（1）34)(2+-='xxxf，则11)2()(2-≥--='xxf，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[)+∞-,1；故倾斜角取值范围为3[0,)[,)24πππ⋃．（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk解得01<≤-k或1≥k，由03412<+-≤-xx或1342≥+-xx．得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22,x；例3（★★★）设Ra∈，讨论关于x的方程0323=-+axx的相异实根的个数？分析：讨论三次方程的根的问题，可化为讨论三次函数的极值点与x轴之间的关系问题．解：0,263)()(212=-==+='xxxxxfxf的两根为导函数函数，，fxffxf0)0()(,4)2()(==-∴的极小值是的极大值是函数如图所示，（1）当0<a或4>a时，函数)(xf与)(xg只有一个交点，即方程只有一个根．（2）当0=a或4=a时，函数)(xf与)(xg只有两个交点，即方程只有两个根．（3）当40<<a时，函数)(xf与)(xg有三个交点，方程有三个根．点评：讨论三次函数的极值的大小与0的关系，可以解决三次方程根的个数问题．可以总结如下的经验：从数形结合的视角看三次方程320(0)ax bx cx d a+++=>的实数根：（1）若22120b ac =-≤△()，方程有且只有一个实数解；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， ①若0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个不同的实数解)(,,γ<β<αγβα，且有γ<<β<<α21x x ，②若0)(0)(21==x f x f 或，则方程有两个不同的实数解，③若0)()(21>⋅x f x f ，则方程有且只有一个实数解α，且21x x >α<α或，巩固练习（★★★）若函数()33f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是．答案：()2,2- 解析：2'()33f x x =-，则'()0f x =可得1x =±，则有(1)0(1)0f f <⎧⎨->⎩，可解得22x -<<．回顾总结4 min.1．容易忽视三次函数的切线的特殊性而出错．例如3()2f x x x =-+经过(1,2)P 有几条切线？常见的错解有：把P 点当做切点，判定经过P 点只有一条，而实际上要分是否为切点两种情况来看． 2．容易忽视三次函数的图象的特殊性而出错．例如在讨论三次方程有三个根的问题时，不知道函数的极大值大于0且函数的极小值小于0．典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径．请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：。

江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)

三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值；（2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-，即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>；当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线，则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线；（2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评：（1）本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2）本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条一条 a b ac k 332->两条零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=，故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题：第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。

三次函数图像与性质(解析版)

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

三次函数图象切线问题归类分析

三次函数图象切线问题归类分析作者：郑金来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期有关三次函数图象的切线问题，涉及到切线的斜率、函数的导数、图象、极值、单调性以及三次方程的根的个数判断等知识.下面从六个方面进行分析.一、利用切线斜率和导数的几何意义求取值范围曲线上某点切线倾斜角的正切值表示该点处切线的斜率.函数的导函数表示曲线切线斜率的变化，导函数在某点的数值表示该点处切线的斜率.若已知函数图象或关系式，则可求满足一定条件的区间或切线截距的变化范围.例1 如图1所示为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f ′（x）为f（x）的导函数，则不等式xf ′（x）.解f ′（x）表示切线的斜率，当f ′（x）>0时，f（x）为增函数；当f ′（x）0.已知图象的极值点，结合图象的单调区间可知满足条件的区间即不等式的解集为（-∞，-3）∪（0，3）.例2 已知曲线y=x3-6x2+11x-6，求切点在x∈[0，2]弧段上的切线在y轴上的截距b的取值范围.解法1 函数f（x）的导函数为y′=3x2-12x+11，切线在切点M（x，y）处的切线方程为Y-y=y′（X-x），变形为截距式方程，由此可知切线在y轴上的截距为b=y-y′x=-2x3+6x2-6.该式在x∈[0，2]上的值域即为所求. 可利用函数图象和极值点来求某一区间上的值域.其导函数为b′=-6x2+12x=-6x（x-2）.大致画出函数b的图象形状如图2所示，由b′=0可知极值点为x1=0，x2=2，可见在区间[0，2]上是增函数，所以b∈[-6，2].解法2 由于函数y=x3-6x2+11x-6的高次项系数大于零，可大致画出f（x）的图象形状如图3所示. 由y′=3x2-12x+11可知极值点为x1=2-233，x2=2+233.由于233>1，则03.因此三次函数的极大值点x1在区间[0，2]上，可知这段凸起的曲线上的切线倾斜角（切线与x轴正方向所成的角）逐渐减小，由0只要求出区间[0，2]的两个端点处切线的方程，即可求得截距.由导函数y′=3x2-12x+11求得区间[0，2]的两个端点处切线的斜率分别为k1=11，k2=-1.由y=x3-6x2+11x-6求得区间[0，2]的两个端点的坐标即切点坐标为（0，-6），（2，0）.因此写出点斜式切线方程分别为y+6=11x，y=-（x-2），可知截距分别为b1=-6，b2=2.所以b∈[-6，2].二、利用切线斜率和导数的几何意义求切线方程例3 求曲线y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.解设切点为m（x0，y0），则过切点的切线的斜率为k=f ′（x0）=3-3x20，又由斜率公式得k=y0+2x0-2，因切点在曲线上，则y0=3x0-3x30.联立得x30-3x20+4=0，解得x0=2，x0=-1，因此有两个切点A（2，-2）与B（-1，-2），则斜率分别为-9和0.所以切线方程分别为9x+y-16=0与y=-2.三、利用切线斜率和导数的几何意义求切点坐标例4 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 .解析曲线C的导数为y′=3x2-10，表示切线的斜率，已知斜率为2，则有3x2-10=2，解得x=2或x=-2.再由第二象限的条件知x=-2，因此f（-2）=15，所以点P的坐标为（-2，15）.四、利用切线方程和切点坐标求三次函数的解析式例5 已知函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b 的值.解由于切点（1，-11）在曲线上，因此f（1）=-11，即1-3a+3b=-11.由切线方程可知斜率为k=-12，则f ′（1）=-12，而导函数为f ′（x）=3x2-6ax+3b，表示斜率，则3-6a+3b=-12.联立解得a=1，b=-3.五、利用函数图象和极值判断切线的条数例6 已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，证明：-a（3）问过点（1，0）可以向曲线y=f（x）作多少条切线？说明理由.解（1）由于导函数f ′（x）=3x2-1，则曲线在点M（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f ′（t）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3.（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2-1）a-2t3.于是，若过点（a，b）可作曲线的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个不同的实数根.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.令g（t）=2t3-3at2+a+b，可画出大致图象如图3所示.导函数为g′（t）=6t2-6at=6t（t-a），则极值点为t1=0，t2=a.可知极大值为a+b，极小值为g（t）=-a3+a+b=b-f（a）.若a+b0，即x轴在极大值点的上方或极小值点的下方，图象与x轴有一个交点；若a+b=0或b-f（a）=0，即x轴在极值点处相切，图象与x轴有两个交点；若a+b>0且b-f（a）所以如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，必有-a（3）如果有一条切线过点（1，a），则存在t，使a=（3t2-1）-2t3.令g（t）=2t3-3t2+a+1，可画出大致图象如图3所示.只要判断方程2t3-3t2+a+1=0有多少个不同的实数根，即可判断过点（1，a）能作多少条切线.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.导函数为g′（t）=6t2-6t，由此可知原函数的极值点为t1=0，t2=1.因此极大值为g（0）=1+a，极小值为g（1）=a.对a的取值可由-1和0分为三个区间进行讨论：若-10，极小值f（1）若a>0或a。

三次函数的图象和性质

三次函数的图象和性质曹一洪【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2016(000)007【总页数】3页(P57-59)【作者】曹一洪【作者单位】广东省中山市中山纪念中学 528454【正文语种】中文二次函数由顶点坐标、对称轴、开口方向(即凸凹)可以比较准确地作出它的图象.对于三次函数，它的导函数是二次函数，利用其导函数性质可以比较准确地作出三次函数的图象.下面着重研究当a>0时，函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象和性质，对于a<0的图象和性质可以由函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称而得到.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的导函数是二次函数，导函数f′(x)的对称轴，导数的几何意义是切线斜率，所以函数y=f(x)图象上的切线斜率的最小值是).因为3a>0，二次函数f′(x)在区间上是减函数，所以函数f(x)的图象在区间上是凸的；导函数f′(x)在区间上是增函数，所以函数f(x)图象在区间上是凹的;在处导数取最小值的点是函数f(x)图象的拐点(如图1).三次函数的图象是关于这个拐点成中心对称图形的.证明如下：设点P(x0,y0)是f(x)图象上任意一点，所以，设点P关于点M的对称点为P1(x1,y1)，由中点坐标公式有⟹又,所以).下面我们证明点P1(x1,y1)在函数f(x)的图象上.因为,所以).将(1)式代入得,由(2)式得f(x1)=y1，所以点P1(x1,y1)在函数f(x)的图象上.因此,f(x)图象上任意一点P(x0,y0)关于点的对称点P1(x1,y1)也在f(x)的图象上，所以函数f(x)的图象关于它的拐点是成中心对称图形的，图象在其对称中心两侧,一侧是凸，另一侧是凹.设函数f(x)在处的切线为l，由(*)式可知直线l过点，斜率为，直线l的方程设为y=k0x+n0.设g(x)=f(x)-k0x-n0.由于g′(x)=f′(x)-k0≥0,所以g(x)在(-∞,+∞)上是增函数，又点是直线l和f(x)公共点，，所以当时，g(x)在上是增函数，故.所以f(x)-(k0x+n0)<0,即f(x)<k0x+n0.所以在区间上，直线l在函数f(x)图象的上方.当时，g(x)在上是增函数，所以.故f(x)-(k0x+n0)>0,即f(x)>k0x+n0,所以在区间上,直线l在函数f(x)图象的下方.当时，也是导函数二次式f′(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4b2-12ac≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，没有极值点.当Δ>0时，f′(x)=0有两根x1,x2(x1<x2)，则f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，又3a>0，当x<x1或x>x2时，f′(x)>0，函数f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上都是增函数；当x1<x<x2时，f′(x)<0，函数f(x)在(x1,x2)上是减函数，f(x1)是f(x)的极大值，f(x2)是f(x)的极小值，两极值点的中点，也就是拐点的横坐标.综合以上对三次函数图象性质的研究，我们可以像作二次函数图象一样，利用函数图象特征量，比较准确地作出三次函数的图象.例1 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.当x=1时，切线斜率的最小值是k0=f′(1)=1，此处切线的倾斜角取最小值，过点作出斜率为k0=1的直线l.当x<1时，函数f(x)的图象在直线l的下方，且上凸；当x>1时，函数f(x)的图象在直线l的上方，且下凹.参考f(0)=1和点(0,1)关于拐点的对称点，可以作出f(x)的图象(图2).例2 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，当x=1时，f′(x)的最小值为0，此处切线倾斜角取最小值为0°，又，过点作斜率为0的直线l.当x<1时，图象在直线l下方，且上凸；当x>1时，图象在直线l上方，下凹，参考f(0)=2和点(0,2)关于拐点的对称点，可以作出函数f(x)的图象(图3).例3 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1，所以当x=1时，f′(x)的最小值为-1，即f(x)在x=1处的切线l斜率的最小值为-1.当x<0或x>2时，f′(x)>0，f(x)的增区间是(-∞,0)∪(2,+∞)；当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)的减区间是(0,2).所以当x=0时，f(x)有极大值f(0)=1；当x=2时,f(x)有极小值,又，从而可以作出f(x)的图象(图4). 所以作三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象时，先求出f′(x)，它是二次函数，求出它的最小值点，得到拐点的横坐标和拐点处的切线斜率，从而作出这条切线l，当判别式Δ≤0时，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，在切线的左、右两侧图象分别上凸下凹作出图象，适当取两个关于拐点的对称点，作图可以更准确.当导函数f′(x)的判别式Δ>0时，方程f′(x)=0的两根x1,x2(x1<x2)分别是f(x)的极大值点和极小值点，利用f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上是增函数，在(x1,x2)上是减函数作出图象，描出两个极值点和注意拐点处切线两侧图象分别上凸下凹，作图可以更准确.以上三个例子分别代表了三次函数图象的三种情况，即其导函数的二次式的判别式小于零、等于零、大于零.当a>0,x→+∞时，f(x)的值与ax3同号，值都趋向于正无穷大；当a>0,x→-∞时，f(x)的值与ax3同号，值都趋向于负无穷大.设E(m,n)是平面内任一点，过点E的直线与f(x)的图象相切于点H(x0,f(x0))，所以切线方程为，点E(m,n)在切线上，点E(m,n)的坐标代入上式,得，整理得,所以过点E有几条切线等价于这个方程有几个根，也等价于函数g(x)=2ax3+(b-3am)x2-2bmx+n-d-cm有几个零点，由前面三次函数的图象和性质可知，g(x)至少有一个零点，最多有三个.例4 设函数f(x)=x3-x，过点(1,b)有三条直线与曲线y=f(x)相切，求b的取值范围. 解因为f′(x)=3x2-1，设切点为(x0,f(x0))，所以切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).即).点(1,b)代入上式,得.设g(x)=2x3-3x2+1+b. 因为过点(1,b)与曲线y=f(x)相切的直线有三条⟹方程g(x)=0有三个实根⟹函数g(x)有三个零点.g′(x)=6x2-6x=6x(x-1).令g′(x)=0得x=0或x=1.当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)是增函数；当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以g(x)是减函数.g(0)和g(1)分别是g(x)的极大值和极小值，g(x)的大致图象如图5所示，常数b决定了g(x)图象的上下平移量.当g(0)=1+b>0且g(1)=b<0时，即当-1<b<0时，此时有g(-1)=-4+b<0,g(2)=5+b>0，从而g(x)有三个零点.因此,当-1<b<0时，过点(1,b)有三条直线与曲线y=f(x)相切.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象有对称中心，它的导函数f′(x)=3ax2+2bx+c是有对称轴的二次函数.这个二次函数的导函数f″(x)=6ax+2b的图象有对称中心.而这个一次函数的导函数f‴(x)=6a是有对称轴的常函数.。

过三次函数图象上一点能作几条切线

Ｂ口Ｙ＝（３ａｘ；＋２ｂｘ。＋ｃ）ｘ一２一ｂｘ＋ｄ．
・．
・
‘ ．．
ｃ宦作２条或３条切线
Ｄ．能作１条或２条或３条切线
且口ａｍ。＋ｂｍ＋ｃｍ＋ｄ＝（３＋２ｂｘ０＋ｃ）ｍ一２ｎ一＋ｄ，
— — — 一
４ｄ
．
’ ｙ’ ＝３ａｘ＋２ｂｘ＋ｃ，
．
下面的问题供同学们练习．
・．
切线斜率ｋ＝３锻＋２ｂｘ０＋ｃ，
１．过曲线Ｙ＝一３ｘ上一点（１，＿２舴切线，求切线方程．２．过曲线Ｙ＝Ｘ一３ｘ＋＋ｌ上一点Ａ（１，１）作切线，求切线
用综合除法分解因式得
解
设切点为Ｐ（ｘ。，Ｙ。），因为Ｙ ’ ＝３ｘ，所以，以Ｐ为切点的
（一［２ａｘｏ＋（ａｍ＋６）］＝０．
ａｍ＋ｂ
切线的斜率＝３，切线方程为Ｙ— Ｙ。＝ｋ（ｘ — 。），即
方程．
切线方程为Ｙ — Ｙ。＝（３ａｘ＋２撕。＋ｃ）一Ｘｏ），
‘
．
‘ ｙ０＝
＋ｈ＋“ ０＋ｄ，
’ ．
Ｙ＝（３．４＋２ｂｘ０＋ｃ）ｘ一（３＋２ｂｘ０＋ｃ）ｘｏ＋Ｙ０
３．过曲线Ｙ＝一９ｘ＋２上一点（３，２）作切线，求切线方程．４．（选择题）过三次函数Ｙ＝上任一点作曲线的切线，则

三次函数切线条数结论

三次函数切线条数结论1. 三次函数的基本概念说到三次函数，大家一定不会感到陌生吧？就是那种形状好像大波浪的数学函数，通常写成 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d)。

你可以想象它在平面上画出一道美丽的曲线，就像一条自由自在的河流，时而蜿蜒，时而飞腾。

这个函数的特点就是，它能有最多三个根，也就是说，它能和x轴相交最多三次，哇，想想都觉得很酷呢！而且，三次函数的图像往往有个山头和个山谷，简直像一场精彩的冒险，随时都有惊喜。

2. 切线的含义好了，咱们再来说说切线。

切线就是那条与曲线在某一点上"亲密接触"的直线，直截了当地说，就是在那一点的斜率与曲线的斜率一模一样。

想象一下，你在海边玩耍，突然来了个朋友，他跑得飞快，想要跟你肩并肩，你们就这样一瞬间保持一致，那种感觉就是切线的美妙之处！对于三次函数来说，切线的数量可是个挺有意思的话题。

2.1 三次函数的切线数量要知道，三次函数的切线条数可不是一成不变的。

根据它的根的个数和性质，切线的数量也是千变万化！如果你有一个三次函数的图像，假设它有三个不同的根，那么它与x轴的交点多得很，切线的数量也就可以达到最多三条。

这就像你在朋友聚会上，三个人同时想要跟你聊天，你当然是热闹非凡了！2.2 重根与切线的关系不过，话说回来，如果这三根中有重根，那情况就不同了。

比如说，如果有一个重根，那么在那一点上，切线就会出现重叠的现象。

简单来说，就是你和那个朋友“并肩跑”的时候，他可能跟你说：“哎呀，我这次不想跟你并排了，我就贴着你走吧！”这样的话，切线的数量就会减少。

3. 结论与应用最后，我们来总结一下：三次函数的切线条数跟根的情况密切相关。

如果根都是不同的，最多可以有三条切线；如果有重根，那就少了一条，甚至可能只有一条。

这个规律简直就像生活中的一些道理：有时候，朋友之间的相处就是这样，有的人来了又走，有的人却会一直陪在身边，温暖而坚定。

3.1 日常生活中的应用那么，这个结论在生活中有什么用呢？比如说，当我们在做一些数据分析时，可能会用到三次函数来拟合一些复杂的现象。

三次函数的性质

三次函数的性质2015年11月13日意琦行数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解（1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1）根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。

三次函数对称中心

e(2)s:^=4aM 3+2bN 2+Mc+d = 2b 327?三次函数的再探索一一对称中心问题三次函数凶已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题，而/(x) = 3ax 2 + 2&x + c 为二次函数，利用/(x)来研究三次函数的身性.极值等三次函数的性质己成为常用工具，而三次函数的对称中心(/(^) = °处)，虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重视。

一.三次函数必定存在对称中心吗？结论：三次函数肯定存在对称中心。

证明：假设三次函数的对称中心为即证/(x)曲线上的任意一点(心刃，关于(M,“)的对称点(2M-x,2N-y)必在/(x)曲线上。

因为 2N-y =a(2M- x)'+b(2M- x)2 +c(2M-x) + d2Ny = a(8M 36 曲-12M 2x) 4 b(AM 2 4 F - 4 呦 4 2Mc-cx \-d y = a?? 1-? ( 6aM i)4 (12^M 2 -14M -I c)x- 8^ - AbS - X2N -泌对比y = a^+bx 2 +cx+db = -6aM _ b有 < \2aM 2 +AMb+c =c -2aM 3 - 4bM 2 - d + 2M- 2M: = dM = _——由（l ）有力代入⑶有 2N = 2d + SaM 3 + 4bM 2 + 2Mc说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即对称中心为z b 2护厂b 、小 z b “ b 、、「HR *(苏W) %药八訝)【例1】求/ (x)=产一 3* + 6x —7的对称中心解:令Cg AQ 为尹=/(X)的对称中心刃为y =)曲线上任意一点，则BQM-x.2N-莎也在y = f(x)曲线上，即2"-尹= (2M-窃一3(2M-X)2+6(2M-X)-7= 8M3-/ +6加2 一12必2兀一12必2 +12尿一3/ +12M— 6才一7整理徉^=2^-8Af3 + x3-6^2+12M2x + 12M2-12A^ + 3x2-12M+6x + 7^ = x3+x2(-6M + 3)+x(12M2+6-12M)+(7-12M + 12M2-8M3 + 2X) 对比y=x i-3x2+6x-7 -6Af + 3 = -3< 12M2+6-12M = 6有［7-12M + l2M2-8M3 + 22V = -7旅=1q解得［^ = -3所以，/(XI = X3-3X2+6X-7的对称中心为0,-3)二.三次函数对称中心的几何位置问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性，其实三次函数对称中心在圈象上还有它的独特位置. /(x) = 3ax2 +2bx + c (4)结论y=f(x)是可导函数，若》= / (%)的閨象关于点(加,«)对称，则刀二/ (x)图彖关于直线x = m对称. 匹明：尹二/W 的图彖关于(％«)对称,则f W + /(2w-x) = 2n./(x+g-/(x)Ax对照上述证明和①，②两图，不难发现A，B两处分别为y= /«的极大值，极小值处，而从底肪的曲线是单调递減的,但注意到对称中心C （M，N）处两侧附近的曲线形式（凹.=_b_凸性）发生变化，即c为V = JW的拐点（/'（M） = 0）,而c的横坐标是X~~3^恰为广0）的对称轴.. ^ 5=_竺=2（丄）令4（可，必）,0（X2，乃）则虫（可,0） , B\X2,0）,这祥由④得®花- ‘汗，所以对称中心C（M，E也是A, B的申点.__b_综上所述：三次函数的对称中心（M、N）是必定存在的，就是国象中的拐.点处，橫坐标X~~3^就是/'W的对称釉。

三次函数切线问题)

三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。

设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。

若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

证明设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。

1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223 即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ ab x x 22112--=代入（1）式得c ab bx ax k +-+=4214321212 讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c a b bx ax +-+421432121，得a b x 31-=， ∴ 当ab x 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。

当ab x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。

其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=- ))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则ab x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。

3次函数曲线-概念解析以及定义

3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。

三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。

三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。

它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。

理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。

本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。

接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。

最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。

通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。

接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。

1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。

通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。

本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。

2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。

我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。

此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。

2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。

我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。

此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。

三次函数零点切线斜率的关系

《三次函数零点切线斜率的关系》哎呀呀，咱今儿个来唠唠三次函数零点切线斜率的那点事儿，可有意思啦！先得知道啥是三次函数吧，就是那种函数表达式里最高次项是三次方的函数呀，比如y = ax³ + bx² + cx + d （a≠0）这样的式子。

这三次函数的图像呢，那可真是千变万化，有的像小山包，有的像大峡谷，各种各样的形状都有。

再说说零点吧，零点就是函数值等于零的时候，自变量x的值呀。

换句话说呢，就是三次函数的图像和x轴相交的那些点啦。

这零点可重要啦，它能告诉咱们好多关于函数的信息呢。

然后就是切线斜率啦，切线斜率是啥呢？想象一下啊，你在三次函数的图像上找一个点，然后在这个点上画一条刚好和图像相切的直线，这条直线的斜率就是切线斜率啦。

它能反映出函数在这个点附近的变化快慢呢。

那这三次函数的零点和切线斜率之间有啥关系呢？嘿，这关系可不简单哦！当三次函数有一个零点的时候，在这个零点处的切线斜率可能是各种各样的情况。

有时候切线斜率是正的，那就说明在这个零点附近，函数是往上走的趋势，就好像你在爬山，刚到山脚下那个零点，然后接下来要往上爬啦。

要是切线斜率是负的呢，那就表示在这个零点附近，函数是往下走的趋势，就好比你站在山顶，这个零点就是山顶那个点，接下来要往下走咯。

要是三次函数有两个零点呢，这两个零点处的切线斜率又有不同的情况啦。

可能一个零点处切线斜率是正的，另一个零点处切线斜率是负的，这就意味着函数在这两个零点之间的变化是先往上走然后再往下走，或者先往下走然后再往上走，就像坐过山车一样，一会儿上一会儿下的。

要是有三个零点呀，哎呀，那情况就更复杂啦。

这三个零点处的切线斜率可能有的是正的，有的是负的，而且它们的大小也各不相同。

这就使得函数在这三个零点周围的变化更加多样化啦，可能这边是缓缓上升，那边是急剧下降，各种情况都有可能出现呢。

而且哦，三次函数的零点和切线斜率的关系还和函数的系数有关呢。

不同的系数会导致函数图像的形状不同，进而影响到零点的位置和切线斜率的大小。

过三次函数图象上一点能作几条切线

过三次函数图象上一点能作几条切线作者：雷元明来源：《神州·下旬刊》2013年第02期例1 过原点作三次函数■的图象的切线，能作几条？写出其方程.解设切点为■，因为■，所以，以■为切点的切线的斜率■，切线方程为■，即■，由于切线过原点，所以，■，∴■，从而■，■，∴只能作一条切线，其方程为■.例2 过曲线■上一点■作曲线的切线，能作几条？写出其方程.解设切点为■，则■.∵ ■，∴切线斜率■，切线方程为■，整理得■，∵切线过■，∴ ■，■，■，当■时切线方程为■，切点为■，当■时切线方程为■，切点为■.做完这两题，自然想到下面的问题：过三次函数■的图象上一点■作切线，究竟能作几条？下面进行探索.设切点为■，则■.∴切线斜率■，切线方程为■，■即■.∵切线过点■，∴ ■，即■，整理得■.因为■可以是切点，所以猜测上述方程有根■，用综合除法分解因式得■.此方程有解■或■又■，于是有定理设■是三次函数■的图象上一点，则（1）当■时，过■仅能作一条切线，这时切点为■，切线方程为■；注因为■，所以，■，这正是三次函数的拐点，因此，上述结论也可如下记忆：三次函数图象上，只有过拐点才能作唯一切线.（2）当■时，过■恰能作两条切线：以为切点的切线方程为■，不以■为切点的切线方程为即■.下面的问题供同学们练习.1. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.2. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.3. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.4.（选择题）过三次函数■上任一点作曲线的切线，则下列说法正确的是（）.A.只能作一条切线B.能作1条或2条切线C.能作2条或3条切线D.能作1条或2条或3条切线。

函数斜率公式

函数斜率公式函数斜率公式，作为数学中重要的概念之一，用来描述函数在某一点的变化率。

在微积分中，我们通过函数的导数来计算函数在某一点的斜率，从而可以对函数的性质和行为进行深入研究。

让我们来看一下函数斜率公式的基本定义。

对于函数y=f(x)，在点x=a处的斜率可以表示为f'(a)，即函数在点a处的导数。

导数的定义是函数在某一点处的切线斜率，也就是函数在该点的变化率。

通过计算导数，我们可以得到函数在不同点处的斜率，从而了解函数在整个定义域内的变化情况。

函数斜率公式在实际应用中有着广泛的用途。

比如，在物理学中，我们可以利用函数斜率公式来描述物体的运动状态。

通过对位置函数关于时间的导数，我们可以得到物体在不同时间点的速度，进而可以分析物体的运动轨迹和加速度等信息。

这对于工程师设计运动系统或者物理学家研究物体运动规律都具有重要意义。

除了在物理学中的应用，函数斜率公式在经济学、生态学、生物学等各个领域也有着重要作用。

比如在经济学中，通过对收入函数的导数进行分析，我们可以了解企业在不同销售额下的利润变化率，从而做出合理的经济决策。

在生态学中，通过对种群数量随时间变化的函数进行求导，可以得到种群的生长速率，帮助科学家研究生态系统的平衡和演化规律。

除了上述应用领域外，函数斜率公式还在工程学、医学等领域有着广泛的应用。

比如在工程学中，通过对电路中电流随时间变化的函数求导，可以得到电压的变化率，帮助工程师设计高效稳定的电路系统。

在医学中，研究人员可以通过对患者体温随时间变化的函数求导，了解患者的发热速率，从而及时采取措施治疗疾病。

函数斜率公式作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论中有着重要的地位，也在各个学科的实际应用中发挥着关键作用。

通过计算函数在某一点的斜率，我们可以深入研究函数的性质和行为，帮助我们更好地理解和解决实际问题。

希望通过本文的介绍，读者能对函数斜率公式有更深入的了解，并在实际应用中发挥其作用。