第2章_激光工作物质及基本原理

受激吸收
E2 受激吸收跃迁几率
hv E2 E1
E1
W12
(
dn12 dt
)
st
1 n1
W12 B12v
B12 为爱因斯坦受激吸收跃迁系数
v 为辐射场
W12不仅与原子性质有关，还有辐射场成正比
受激辐射
受激辐射跃迁几率
E2
hv E2 E1
E1
hv E2 E1
hv E2 E1
W21
定义为
g%(v, v0 )
P(v) P
x(v) 2 x(v) 2 dv g%N (v, v0 )
均匀加宽——自然加宽
g%(v, v0 )
P(v) P
x(v) 2 x(v) 2 dv
1
[(
/ 2)2
4 2 (v v0 )2 ]
(
/ 2)2
1
4 2 (v
v0 )2
dv
常数A，并由归一化条件得：A=1/
hv
n20hvA21eA21t
P e A21t 0
而谐振子的辐射功率为：
P(t ) P0et
比较两个衰减有：
A21
1
s
自然加宽的谱线宽度 见课本P30划
线部分
vN
2
1 2 s
均匀加宽——自然加宽
自然加宽线型函数为
vN
~
g N (v, v0 ) ( / 2)2 4 2 (v v0 )2
自然加宽的线性函数：
g%N
(v, v0 )
(
/
2)2
4
2 (v
v0 )2
g~N max g~N
vv0
(
/ 2)2
4
vN
2
自发辐射寿命与的关系
前面自发辐射公式可知：自发
dn2 (t)
辐射E2能级粒子数
A21 dt n2 (t)
n2 (t) n20e A21t
自发辐射功率为
P(t)
dn2 (t) dt
对于任意的v和T均成立的条件为：
Amk Bmk
8 2 c3
h
Bmk Bkm
Einstein’s relations
受激吸收系数与受激辐射系数相等，自发跃迁速率与受激辐射系 数之间存在比例关系
三、谱线加宽及谱线宽度
设：辐射是在E2与E1能级之间，因此集中在频率：P(v)
v0 E2 E1 / h
Interaction of Radiation with Matter
Boltzmann Statistics
E2
N2 , g2
A21 B12 B21
E1
N1 , g1
玻尔兹曼统计分布
Boltzmann ratio
When
E2 E1 h21 ? kT
Room temperature
kT ; 61012 Hz ; 50um
第二章 激光工作物质及基本原理
一、黑体辐射普朗克公式
黑体辐射普朗克公式
单位体积内频率处于v附件单位频率间隔中的电磁辐射能量为（单位 Jm-3.s)
v
E
nv
8hv3
c3
1
hv
e KT 1
( )
0
黑体空腔中单位体积频 率在v~v+dv间隔的光 波模式数nv为
nv
P Vdv
8 3v 2
c3
K: 玻尔兹曼常数 1.38062 x 10-23J/0C h:普朗克常数:6.626 068 96(33) x 10-34 J s
单位体积内原子自发辐射功率可以表示为：
P A21n2hv0
但由于分子运动等各种原因，辐射不可能是单一 频率，而是在v0附件一定范围内，因此单位频率间隔 内的辐射具有下式：
P(v) dP dv
总辐射功率为：
P P(v)dv
v0
v
引入归一化的线型函数
g (v, v0 )
~
g(v, v0 )
P( )
P
描述自发辐射的功率分布的线型函数为
0 g%(v, v0 )dv 1
线性函数在v0处有极大值 g%(v0 )
g (v0 )
1 2
g
(v0
)
vN
v0
v
1/2g(0)处对应的频率宽度称为 谱线宽度
g%(v0
v 2
, v0 )
g%(v0, v0 ) 2
1 2
g%(v0 )
谱线加宽分为均匀加宽和非均匀加宽
2
(v
v0
)2
(
vN 2
)2Leabharlann Baidu
谱线宽度为
gN (v, v0 )
g~N Max g~N (v0 , v0 ) 4 s 2 /(vN )
vN
2
1
2 s
gN (v, v0 )
1 2
gN
(v, v0 )
自然加宽的线型 函数为洛仑兹型
vN
v0
v
自发辐射自然加宽的线宽
若E2，E1能级的粒子寿命分别为：1与2，则两能级之间跃迁辐射谱 线的自然加宽产生的谱线宽度为：
11 v
2 2 2 1
如果E1为基态能级，则粒子寿命无限长，则自然加宽的谱线宽度，仅 取决于高能态的寿命
v 1
2 2
2、碰撞加宽
固体及气体原子之间、原子与声子、介质原子与腔 壁的直接碰撞；
固体介质的原子之间的间距较小，相邻原子偶极矩 间存在相互作用可以归结为碰撞效应，直接或间接 随机的碰撞造成介质中上下能级原子密度发生随机 起伏，从而造成谱线加宽。
均匀加宽：介质内每一个发光原子对谱线内任一频率 都有贡献
均匀加宽
➢自然加宽：原子固有的自发跃迁， 介质原子的热运动所引起的谱线加宽。
➢碰撞加宽：碰撞造成无辐射能级跃 迁，引起谱线加宽。
➢晶格热振动加宽：由于晶格热振动， 激活离子能级有一定宽度，因而应起 谱线加宽。
1、自然加宽
自发辐射对应的谱线加宽形式，原子谐振运动所致。
transitions
能级差（单位cm-1)
E(cm1)
E(J )
h(J s) c(cm / s)
E h h c
(cm)
1 E (cm 1 )
∵ E hv
(Hz / s) E E(cm1) c 31010 E(cm1) h
即：1cm-1带宽相当于3×1010Hz/s的频率间隔
迁速率Amk的倒数
则受激辐射的频率、位相、偏振方向
将与激发光波完全相同。
爱因斯坦关系式（Einstein Coefficients）
1917年，爱因斯坦推出Amk,Bmk与Bkm三者之间的关系 设，体系由N个粒子组成，Nm,Nk分别为位于Em,Ek能级上的粒子。设体系与辐射场在绝对温度下处于 平衡状态，则体系从光场吸收的能量等于向光场辐射的能量。
vH
~
g
H
(v,
v0 )
(v
v0
2
)2
(
vH 2
)2
vH
1
2
1 (
s
2)
L
vN
L
在晶体介质中， 激活例子和晶格场相互作用 相邻激活离子的耦合作用 均可以视为是一种“碰撞”
产生谱线加宽
若激发态自发辐射跃迁寿命s ，无辐射跃迁寿命 nr ，则激发态能级寿命 ：
1 1 1
s nr
非均匀谱线加宽
非均匀加宽
多普勒加宽：做热运动的发光原子 （分子）所发出的光存在多普勒频 移所造成的。
晶格缺陷加宽：晶体中的缺陷导致 处于晶体不同部位的离子发光频率 不同而产生非均匀加宽。
光学多普勒效应
气体原子相对观察者静止时，发射或吸收的光子频率为v0
0.69m
N2
50
e 0.69
1032
N1
For visible (0.4~0.7um) on NIR (0.8um~ a few um’s)
N E2 E1
e 2
kT
N1
N2 0
N2
;
50um
e um ;
0
N1
N2
g
2
N
2
g E2 E1
e 2
kT
N1
g1 N1
g1
T 0 N2 0
st
或
n2 A21 n2 B21v n1B12 v
v
B12
A21 n1 n2
B21
因为
n1
g1
E2 E1
e KT
n2 g2
c3
8 hv3
hv e KT
1
B21 A21
B12 g1 B21g2
hv
e KT
1
B12 g1 B21g2
A21 B21
8 hv3
c3
nvhv
当统计权重g1=g2时，有 B12 B21
电子谐振运动产生自发辐射，是一个耗能过程，因此可以表示成
x(t )
x0
e
2
t
ei0t
为阻尼系数 0 中心谐振频率，原子发光频率
上式富氏变换的振幅频谱为
x(v)
2
x0
i(v0 v)2
振幅的平方即为辐功率，顾可得在频率 v ~ v dv内的辐射功能分布
P(v)dv x(v) 2 dv
根据线型函数的定义，有
)2
碰撞线宽
vL
1
L
气体的气压极大影响气体分子的碰撞几率，气压越高，碰撞越频繁，谱线 越宽。气压不高，谱线线宽与气压之间的关系为
vL P
压力加宽的比例系数（MHz/Pa） 在CO2 49kHz/Pa, Ne =720kHz/Pa
在气体工作物质中，既有自然加宽，又有碰撞加宽，均匀加宽
谱线线型为洛仑兹函数
(
dn21 dt
)
st
1 n2
W21 B21v
B21 为受激辐射跃迁爱因斯坦系数
v 为辐射场
系数 A21 、B21 、 B12都是原子本身的属性，与原子系统中原子
数密度按能级的分布状况无关。
热平衡条件下，E1，E2能级上的总粒子数密度不变，有
dn21 dt
sp
dn21 dt
st
dn12 dt
c 2.998108 m s
能级与跃迁 E2
能级: Atomic system (atoms, ions,
molecules) can exist only in discrete energy
states.
E E2 E1 h 21
E1
h 6.6261034 JS
Planck’s constant
dNm Bmk Nm (v)dt
处于低能态Ek的粒子，吸收 外部hv＝Em-Ek光子的激励 （光场的能量密度为p(v)）， 由Ek能级跃迁到Em能级的粒 子数为dN，则定义受激吸收 系数Bkm为：
dNk Bkm Nk (v)dt
Em能级上停留的平均时间，为自发跃
如果粒子外部激发光波为单色平面波，
Nk Nm 0
t
t
Bmk ( )Nm Amk Nm Bkm( )Nk
代入Planck辐射公式以及Boltzmann能量分布公式
( )
8 n3 2
c3
h
h
e kT 1
N Em Ek
e m
kT
Nk
令： 8 n3hv3 / c3
hv Em Ek
( Bkm Amk )ehv / kT ( Bmk Amk ) 0
自发辐射
受激辐射
受激吸收
Em Amk
Ek
Nm , gm hvmk Nk , gk
Em
hvmk,ρ(v)
Bmk
Ek
Nm , gm hv21 Nk , gk
Em
hvmk,ρ(v)
Bmk
Ek
Nm , gm Nk , gk
高能态粒子数为Nm，在dt时间 内由Em能级跃迁到Ek能级的 粒子数为dN，则定义自发跃
W12 W21
介质中自发辐射，受激辐射过程的光强之比可以表示为：
I sp I st
n2 A21hv
n2 B21v hv
A21
B21v
B12 g1 B21g2
hv
e KT
hv 1 eKT
1
要产生激光必须受激辐射占优，即： 所谓：粒子数反转
n2
g2 g1
n1
自发辐射、受激辐射和受激吸收小结
Absorption
Nk t
Bkm( )Nk
Bkm [cm3 / s2 J ]
Em
hvmk,ρ(v) Ek
Nm , gm
Amk Bkm Bmk hvmk
Nk , gk
Spontaneous Emission
N m t
Amk Nm
t
Nm (t) Nm (0)e mk
mk
1 Amk
Amk [s1]
二、光与物质的作用，爱因斯坦关系
光和物质的三种相互作用
自发辐射 受激辐射
受激吸收
自发辐射 E2
E1
E2
hv E2 E1
E1
自发辐射跃迁几率
A21
(
dn2 dt
) sp
1 n2
A21 为爱因斯坦自发辐射跃迁系数 只与原子本身兴致有关
可证得 A21为自发辐射寿命 s 的倒数，即
A21
1
s
dn2 A21n2dt n2 (t) n20e A21t n2 (t) n20et /s
迁速率Amk为：
Amk
1 Nm
dNm
dt
Nm Nm0 exp( Amk t) Nm0 exp(t / tm )
tm为激发态的自发寿命，表示粒子在
处于高能态Em的粒子，在hv＝ Em-Ek外部光子的激励或感应下 （光场的能量密度为p(v)），由 Em能级跃迁到Ek能级的粒子数 为dN，则定义受激辐射系数Bmk 为：
碰撞的结果导致粒子的能量损失，出离高能态，因 此在高能态的寿命减短， 寿命减短导致能带增宽
碰撞加宽与自然加宽都属于等效能级寿命问题
碰撞加宽
平均碰撞时间：L来描述碰撞的频繁程度，等同平均长
度为L 波列，等同于振幅衰减系数为L指数变化的波列
线型函数
vL
~
g
L
(v, v0
)
(v
2
v0 )2
( vL 2
Transition probability
mk
Lifetime for spontaneous radiation of level 2
Stimulated Emission
Nm t
Bmk ( )Nm
Nk t
Nm t
Bmk ( )Nm Bkm( )Nk
Amk Nm
Combining all three processes: In thermal equilibrium,