2020年高考物理总复习专题突破(四) 天体运动中的信息题

专题突破(四) 天体运动中的信息题 【p 73】 天体运动与现代科技、科学前沿结合较紧密，因此这一部分经常会出现以某些信息背景为依据来命题，这一类题目中往往会出现一些比较不常见的物理背景或物理名词，使题目从表面上看比较困难、复杂，但去掉这些“信息”载体，从内容上看考查的仍然是开普勒定律、万有引力定律、圆周运动规律，对于这类问题，一定要仔细审题，提取题干关键信息，建立物理模型，再利用上述规律求解．

例12016年2月11日，美国自然科学基金召开新闻发布会宣布，人类首次探测到了引力波，2月16日，中国科学院公布了一项新的探测引力波的“空间太极计划”，计划从2016年到2035年分四个阶段进行，将向太空发射三颗卫星探测引力波，在目前讨论的初步方案中，将采用三颗完全相同的卫星构成一个等边三角形阵列，地球恰处于三角形中心，卫星将在以地球为中心，高度约为10万千米的轨道上运行，针对确定的引力波进行探测，下列有关三颗卫星的运动描述正确的是( )

A ．三颗卫星一定是地球同步卫星

B ．三颗卫星具有相同大小的加速度

C ．三颗卫星线速度比月球绕地球运动的线速度大且大于第一宇宙速度

D ．若知道万有引力常量G 以及三颗卫星绕地球运转周期T 可估算出地球的密度

【解析】同步轨道卫星的半径约为42 400千米，是个定值，而三颗卫星的半径约为10

万千米，所以这三颗卫星不是地球同步卫星，故A 错误；根据G Mm r 2＝ma ，解得：a ＝GM r 2，由于三颗卫星到地球的距离相等，则它们的加速度大小相等，故B 正确；第一宇宙速度是绕地球运动的最大速度，则三颗卫星线速度都小于第一宇宙速度，故C 错误；若知道万有引力常量G 及三颗卫星绕地球运转周期T 可以求出地球的质量，但不知道地球半径，所以不能求出地球的密度，故D 错误．

【答案】B

例2人造地球卫星绕地球旋转(设为匀速圆周运动)时，既具有动能又具有引力势能(引力势能实际上是卫星与地球共有的，简略地说此势能是人造卫星所具有的)．设地球的质量为M ，以离地无限远处时的引力势能为零，则质量为m 的人造卫星在距离地心为r 处时的引力

势能为E p ＝－GMm r

(G 为万有引力常量)． (1)试证明：在大气层外任一轨道上绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所具有的机械能的绝对值恰好等于其动能．

(2)当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度，用v 2表示．用R 表示地球的半径，M 表示地球的质量，G 表示万有引力常量．试写出第二宇宙速度的表达式．

(3)设第一宇宙速度为v 1，证明：v 2＝2v 1.

【解析】(1)设卫星在半径为r 的轨道上做匀速圆周运动的速度为v ，地球的质量为M ，

卫星的质量为m ，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力有：G Mm r 2＝mv 2r

所以，人造卫星的动能：E k ＝12mv 2＝12GMm r

卫星在轨道上具有的引力势能为：E p ＝－GMm r

所以卫星具有的机械能为：

E ＝E k ＋E p ＝12GMm r －GMm r ＝－12GMm r

所以：|E|＝|－12GMm r |＝12GMm r

(2)设物体在地球表面的速度为v 2，当它脱离地球引力时r →∞，此时速度为零，由机械

能守恒定律得：12mv 22－GMm R

＝0 得：v 2＝2GM R

(3)第一宇宙速度即为绕地球表面做匀速圆周运动的速度，故有：G Mm R 2＝m v 21R

得v 1＝GM R ，所以有：v 2＝2GM R ＝2GM R

＝2v 1 例3如图所示是“神舟”十号宇宙飞船控制中心的大屏幕上出现的一幅卫星运行轨迹图，它记录了飞船在地球表面垂直投影的位置变化；图中表示在一段时间内飞船绕地球圆周飞行四圈，依次飞经中国和太平洋地区的四次轨迹①、②、③、④，图中分别标出了各地点的经纬度(如：在轨迹①通过赤道时的经度为西经157.5°，绕行一圈后轨迹②再次经过赤道时经度为180°……)，若地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力恒量为G.请完成以下问题：

(1)飞船轨道平面与赤道平面的夹角为______________；

(2)飞船绕地球运行的周期(写出分析原因及计算过程)；

(3)飞船运行轨道距地球表面的高度(写出计算过程用字母表示)．

【解析】(1)卫星轨道平面与赤道平面的夹角为42.4°

(2)飞船每运行一周，地球自转角度为180°－157.5°＝22.5°，则神舟飞船运行的周期

T ＝22.5360

×24×3 600 s ＝5 400 s ＝90 min (3)由GMm r 2＝m4π2T 2r 和h ＝r －R 得h ＝3GMT 24π2

－R. 【答案】(1)42.4° (2)90 min (3)h ＝3GMT 2

4π2－R

【归纳总结】从以上例题可以看出这类题目往往是“高起点、低落点”，除了对本章知识内容的考查，还对学生的信息提取能力、物理建模能力、理解能力有一定的要求，一定要通过对题干信息的审读，把题目转化成常见的物理模型．

针对训练

1．如图，A 为太阳系中的天王星，它绕太阳O 运行的轨道视为圆时，运动的轨道半径为R 0，周期为T 0.长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔t 0时间发生一次最大偏离，即轨道半径出现一次最大．根据万有引力定律，天文学家预言形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知的行星(假设其运动轨道与A 在同一平面内，且与A 的绕行方向相同)，它对天王星的万有引力引起天王星轨道的偏离，由此可推测未知行星的运动轨道半径是(D)

A.t 0t 0－T 0R 0

B ．R 0⎝⎛⎭⎫t 0t 0－T 03

C ．R 03⎝⎛⎭⎫t 0－T 0t 02

D ．R 03⎝⎛⎭⎫t 0t 0－T 02

【解析】依T 20T 2＝R 30R 3，∴R ＝R 03T 2T 20，又依题意有：t 0T 0－t 0T ＝1，∴t 0－T 0t 0＝T 0T

，∴R ＝R 03⎝ ⎛⎭

⎪⎫t 0t 0－T 02

，D 对．