高中数学新定义类型题

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亮点纷呈,凸显能力——“新定义型”中考数学试题评析

寅点纷呈，凸显链力
“新定义型 ” 中考数学试题评析
王佳珩（江苏省靖江市斜桥中学）
摘要：综观近年全国各地中考数学试卷，均体现出以能力Ｊ司题．
立意为目标，突出考查学生的数学意识和数学能力，关注社会
猜想，总结规律；第（３）问提醒教师在教学时对数学性质的探索不可包办代替，数学知识的应用切勿生搬硬套，能力训练功夫
在平时．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要求学生完成某种推理证明或指定要求的问题，并以此考查学
生学习新数学知识的能力和综合利用所学知识解决新问题的能
力，其背景相对公平，正是中考所追求的理想题型之一．
在一个新型的数学情境中，学生应该在阅读理解的基础上，
充分理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质的基础上做出解答，问题往往涉及 “ 数与代数 ” 、“ 空间与图形” 、“ 统计与概率 ”等多个学习领域．下面对部分试题作以评析，供大家
参考．
一
识出发，建构新知的能力．
二、新定义整式模型
例３（浙江省课改实验区）如果一个正整数能表示为两个
连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “ 神秘数” ．如：４＝２ｚ
一
、
新定义运算法则
０，１２＝４一２，２０＝６一４。，因此４、１２、２０都是 “ 神秘数 ” ．（１）２８和２０１２这两个数是 “ 神秘数 ”吗？为什么？

高中数学——集合新定义题目(教案)

集合新定义题目1.（已知集合22{(,)3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A2211311x x y y -≤≤⎧+≤⎨-≤≤⎩，解得，又因为x Z y Z ∈∈，，所以1,0,11,01x y =-=-；，339⨯=，故A 中的元素有9个.2.已知集合{}1,2,3,4,5A =，,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 解：,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，{}1,2,3,4,5A =，2x ∴=，1y =；3x =，1,2y =；4x =，1,2,3y =；5x =，1,2,3,4y =.()()()()()()()()()(){}2,13,13,24,14,24,35,15,,,,,,25,,,3,5,4,B ∴=，B ∴中所含元素的个数为10.3.已知集合A ，B 满足运算{|A B x x A *=∈且}x B ∉，若集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则A B *=( )A.{}1,2,3B.{}2,4C.{}1,3D.{}2【答案】C4.在集合{},,,a b c d 上定义两种运算⊕和⊗如下：a b c d a a b c d b b b b b c c b cbddb b d⊕ a b c d a a a a a b a b c d c accada d a d⊗ 那么()d a c ⊗⊕=( )A. aB. bC. cD. d 【答案】A5.若集合,1{}1A =-，{}0,2B =，则集合{|}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C6.集合M 中的元素都是正整数，且若a M ∈，则6a M -∈，则所有满足条件的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B7.已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-．（1）若{22}S -⊆，，求使元素个数最少的集合S ；（2）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．【答案】（1）1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭；解：（1）2S ∈，则1S -∈，12S ∈，可得2S ∈；2S -∈，则13S ∈，32S ∈，可得2S -∈，∴{22}S -⊆，，使元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．（2）非空有限集S 的元素个数是3的倍数．证明如下：①设a S ∈则0a ≠，1且a S ∈，则11S a ∈-，11111a S a a-=∈--，111a S a a=∈--，假设11a a =-，则2101a a a -+=≠（）无实数根，故11a a≠-.同理可证a ，11a -，1a a-两两不同．即若有a S ∈，则必有11,,1a a S a a -⎧⎫⊆⎨⎬-⎩⎭． ②若存在()b S b a ∈≠，必有11,,1b b S b b -⎧⎫⊆⎨⎬-⎩⎭1111,,,,11a b a b a a b b --⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭于是1111,,,,,11a b a b S a ab b --⎧⎫⊆⎨⎬--⎩⎭．上述推理还可继续，由于S 为有限集，故上述推理有限步可中止，∴S 的元素个数为3的倍数． 8.已知集合(){}22,1A x y xy =+≤，{}()|,11,11B x y x y =≤≤-≤≤-，则集合()()(){}12121122,,,,,,x y x x x y y y x y A x N y B =+=∈=+∈表示的区域的面积是________．【答案】12π+解：由N 解得1212,x x x y y y =-=-，代入221x y +≤，得()()22221x x y y -+-≤，该解析式表示圆心在区域{()|,}1111x y x y ≤≤-≤≤-，内变动，变动过程中形成如图所示的平面区域，这个区域含有1个边长为2的正方形区域，以及4个四分之一圆形(半径为1)区域，个边长分别为2，1的矩形区域，故其面积是2242112ππ⨯+⨯⨯=+＋9. 设整数4n ≥，集合1,2,3,},{X n =⋯．令集合{(),,,|,S x y z x y z X =∈，且三个条件：x y z <<，y z x <<，z x y <<中恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是( )A ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∉B ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈C ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∈D ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∉ 【答案】B解：方法一：(一般方法)因为,,()x y z S ∈，,,()z w x S ∈，所以x y z <<①，y z x <<②，z x y <<③三个式子中恰有一个成立；z w x <<④，w x z <<⑤，x z w <<⑥三个式子中恰有一个成立．则x ，y ，z ，w 的大小有四种情况．第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈.综合上述四种情况，可得,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈.方法二：(特殊值法)不妨令2x =，3y =，4z =，1w =，则()(),1,4,,3y z w S =∈，()(),1,3,,2x y w S =∈，故选B.10.已知集合{(),|,}A x y x y R =∈，若,x y A ∈，已知()()1122,,,x x y y x y ==，定义集合A 中元素间的运算x y *，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律： ①任意,x y A ∈有x y y x *=*；②任意,,x y z A ∈有()x y z x z y z +*=*+*，其中1212(),x x x y y y +=++；③任意,x y A ∈，a R ∈有()()ax y a x y *=*；④任意x A ∈有0x x *≥，且0x x *=成立的充分必要条件是)0(0x =，．如果()()1122,,,x x y y x y ==，那么下列运算满足“*”运算的是( ) A ．11222x y x y x y *=+ B ．1122x y x y x y *=- C ．11221x y x y x y *=++ D ．12122x y x x y y *=+ 【答案】D易知A 、B 选项中的运算均不满足规律①；C 选项中，若令)0(0x =，，则0011x x *=++=，不满足规律④.故选D。

高中数学新定义型问题(解析版)

新定义型问题1(新高考北京卷)生物丰富度指数d =S -1ln N是河流水质的一个评价指标，其中S ,N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A.3N 2=2N 1B.2N 2=3N 1C.N 22=N 31 D.N 32=N 21【答案】D【分析】根据题意分析可得S -1ln N 1=2.1,S -1ln N 2=3.15，消去S 即可求解.【详解】由题意得S -1ln N 1=2.1,S -1ln N 2=3.15，则2.1ln N 1=3.15ln N 2，即2ln N 1=3ln N 2，所以N 32=N 21.故选：D .2(新高考上海卷)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P 1,P 2,P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3，使得λ1OP 1+λ2OP 2 +λ3OP 3 =0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.0,0,0 ∈Ω B.-1,0,0 ∈ΩC.0,1,0 ∈ΩD.0,0,-1 ∈Ω【答案】C【分析】首先分析出三个向量共面，显然当1,0,0 ,0,0,1 ,0,1,0 ∈Ω时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量OP 1,OP 2 ,OP 3 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A ，由空间直角坐标系易知0,0,0 ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当-1,0,0 ,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A 错误；对B ，由空间直角坐标系易知-1,0,0 ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当0,0,0 ,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A 错误；对C ，由空间直角坐标系易知1,0,0 ,0,0,1 ,0,1,0 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由1,0,0 ,0,1,0 ∈Ω能推出0,0,1 ∉Ω，对D ，由空间直角坐标系易知1,0,0 ,0,0,1 ,0,0,-1 三个向量共面，则当0,0,-1 (1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故D 错误.故选：C ．3(新高考上海卷)已知函数f (x )的定义域为R ，定义集合M =x 0x 0∈R ,x ∈-∞,x 0 ,f x <f x 0 ，在使得M =-1,1 的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x =2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x =-1处取到极小值【答案】B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【详解】对于A ，若存在 y =f (x ) 是偶函数, 取 x 0=1∈[-1,1],则对于任意 x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而 f (-1)=f (1), 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .4(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．【答案】q ≥2【分析】当n ≥2时，不妨设x ≥y ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，结合I n 为闭区间可得q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，故可求q 的取值范围.【详解】由题设有a n =a 1q n -1，因为a 1>0,q >1，故a n +1>a n ，故a n ,a n +1 =a 1q n -1,a 1q n ，当n =1时，x ,y ∈a 1,a 2 ，故x -y ∈a 1-a 2,a 2-a 1 ，此时I 1为闭区间，当n ≥2时，不妨设x ≥y ，若x ,y ∈a 1,a 2 ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ，若y ∈a 1,a 2 ,x ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈a n -a 2,a n +1-a 1 ，若x ,y ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈0,a n +1-a n ，综上，x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，又I n 为闭区间等价于0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n 为闭区间，而a n +1-a 1>a n +1-a n >a 2-a 1，故a n +1-a n ≥a n -a 2对任意n ≥2恒成立，故a n +1-2a n +a 2≥0即a 1q n -1q -2 +a 2≥0，故q n -2q -2 +1≥0，故q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，因q >1，故当n →+∞时，-1qn -2→0，故q -2≥0即q ≥2.故答案为：q ≥2.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.5(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．【答案】(1)1,2 ,1,6 ,5,6 (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据i ,j -可分数列的定义即可；(2)根据i ,j -可分数列的定义即可验证结论；(3)证明使得原数列是i ,j -可分数列的i ,j 至少有m +1 2-m 个，再使用概率的定义.【详解】(1)首先，我们设数列a 1,a 2,...,a 4m +2的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形a k =a k -a 1d+1k =1,2,...,4m +2 ，得到新数列a k =k k =1,2,...,4m +2 ，然后对a 1,a 2,...,a 4m +2进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设a k =k k =1,2,...,4m +2 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和j i <j ，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的i ,j 就是1,2 ,1,6 ,5,6 .(2)由于从数列1,2,...,4m +2中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,4,7,10 ,3,6,9,12 ,5,8,11,14 ，共3组；②15,16,17,18 ,19,20,21,22 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -3组.(如果m -3=0，则忽略②)故数列1,2,...,4m +2是2,13 -可分数列.(3)定义集合A =4k +1 k =0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m +1 ，B =4k +2 k =0,1,2,...,m =2,6,10,14,...,4m+2.下面证明，对1≤i<j≤4m+2，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定是i,j-可分数列：命题1：i∈A,j∈B或i∈B,j∈A；命题2：j-i≠3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果i∈A,j∈B，且j-i≠3.此时设i=4k1+1，j=4k2+2，k1,k2∈0,1,2,...,m.则由i<j可知4k1+1<4k2+2，即k2-k1>-14，故k2≥k1.此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+1和j=4k2+2后，剩余的4m个数可以分为以下三个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k1，共k1组；②4k1+2,4k1+3,4k1+4,4k1+5,4k1+6,4k1+7,4k1+8,4k1+9,...,4k2-2,4k2-1,4k2,4k2+1，共k2-k1组；③4k2+3,4k2+4,4k2+5,4k2+6,4k2+7,4k2+8,4k2+9,4k2+10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共m-k2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)故此时数列1,2,...,4m+2是i,j-可分数列.第二种情况：如果i∈B,j∈A，且j-i≠3.此时设i=4k1+2，j=4k2+1，k1,k2∈0,1,2,...,m.则由i<j可知4k1+2<4k2+1，即k2-k1>14，故k2>k1.由于j-i≠3，故4k2+1-4k1+2≠3，从而k2-k1≠1，这就意味着k2-k1≥2.此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+2和j=4k2+1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k1，共k1组；②4k1+1,3k1+k2+1,2k1+2k2+1,k1+3k2+1，3k1+k2+2,2k1+2k2+2,k1+3k2+2,4k2+2，共2组；③全体4k1+p,3k1+k2+p,2k1+2k2+p,k1+3k2+p，其中p=3,4,...,k2-k1，共k2-k1-2组；④4k2+3,4k2+4,4k2+5,4k2+6,4k2+7,4k2+8,4k2+9,4k2+10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共m-k2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k2-k1-2个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：4k1+3,4k1+4,...,3k1+k2，3k1+k2+3,3k1+k2+4,...,2k1+2k2，2k1+2k2+3,2k1+2k2+3,...,k1+3k2，k1+3k2+3,k1+3k2+4,...,4k2.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍4k1+1,4k1+2,...,4k2+2中除开五个集合4k1+1,4k1+2，3k1+k2+1,3k1+k2+2，2k1+2k2+1,2k1+2k2+2，k1+3k2+1,k1+3k2+2，4k2+1,4k2+2中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的4k1+2和4k2+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m+2是i,j-可分数列.至此，我们证明了：对1≤i<j≤4m+2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定是i,j-可分数列.然后我们来考虑这样的i,j的个数.首先，由于A∩B=∅，A和B各有m+1个元素，故满足命题1的i,j总共有m+12个；而如果j-i=3，假设i∈A,j∈B，则可设i=4k1+1，j=4k2+2，代入得4k2+2-4k1+1=3.但这导致k2-k1=12，矛盾，所以i∈B,j∈A.设i=4k1+2，j=4k2+1，k1,k2∈0,1,2,...,m，则4k2+1-4k1+2=3，即k2-k1=1.所以可能的k1,k2恰好就是0,1,1,2,...,m-1,m，对应的i,j分别是2,5,6,9,..., 4m-2,4m+1，总共m个.所以这m+12个满足命题1的i,j中，不满足命题2的恰好有m个.这就得到同时满足命题1和命题2的i,j的个数为m+12-m.当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j时，总的选取方式的个数等于4m+24m+12=2m+14m+1.而根据之前的结论，使得数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的i,j至少有m+12-m个.所以数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率P m一定满足P m≥m+12-m2m+14m+1=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.6(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...，过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n.(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意的正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C的不同于P n的交点为Q n2ky n-x n-k2x n1-k2,y n+k2y n-2kx n1-k2，而注意到Q n的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n-kx n2-91-k2x n，故Q n一定在C的左支上.所以P n+1x n+k2x n-2ky n1-k2,y n+k2y n-2kx n1-k2.这就得到x n+1=x n+k2x n-2ky n1-k2，y n+1=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以x n+1-y n+1=x n+k2x n-2ky n1-k2-y n+k2y n-2kx n1-k2=x n+k2x n+2kx n1-k2-y n+k2y n+2ky n1-k2=1+k2+2k1-k2x n-y n=1+k1-kx n-y n.再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明Sn 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.7(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．【答案】(1)ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接按照ΩA 的定义写出ΩA 即可；(2)利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；(3)分充分性和必要性两方面论证.【详解】(1)由题意得ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10；(2)假设存在符合条件的Ω，可知ΩA 的第1,2项之和为a 1+a 2+s ，第3,4项之和为a 3+a 4+s ，则a 1+2 +a 2+6 =a 1+a 2+sa 3+4 +a 4+2 =a 3+a 4+s，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；(3)我们设序列T k ...T 2T 1A 为a k ,n 1≤n ≤8 ，特别规定a 0,n =a n 1≤n ≤8 .必要性：若存在序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，使得ΩA 为常数列.则a s ,1=a s ,2=a s ,3=a s ,4=a s ,5=a s ,6=a s ,7=a s ,8，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.根据T k ...T 2T 1A 的定义，显然有a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....所以不断使用该式就得到，a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，必要性得证.充分性：若a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8.由已知，a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，而a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，所以a 2+a 4+a 6+a 8=4a 1+a 2 -a 1+a 3+a 5+a 7 也是偶数.我们设T s ...T 2T 1A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA 中，使得a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 最小的一个.上面已经证明a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....从而由a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8可得a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.同时，由于i k +j k +s k +t k 总是偶数，所以a k ,1+a k ,3+a k ,5+a k ,7和a k ,2+a k ,4+a k ,6+a k ,8的奇偶性保持不变，从而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j ≥2.假设存在，根据对称性，不妨设j =1，a s ,2j -1-a s ,2j ≥2，即a s ,1-a s ,2≥2.情况1：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 =0，则由a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，知a s ,1-a s ,2≥4.对该数列连续作四次变换2,3,5,8 ,2,4,6,8 ,2,3,6,7 ,2,4,5,7 后，新的a s +4,1-a s +4,2 +a s +4,3-a s +4,4 +a s +4,5-a s +4,6 +a s +4,7-a s +4,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 减少4，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 >0，不妨设a s ,3-a s ,4 >0.情况2-1：如果a s ,3-a s ,4≥1，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7 ,2,4,6,8 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2-2：如果a s ,4-a s ,3≥1，则对该数列连续作两次变换2,3,5,8 ,2,3,6,7 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有a s ,2j -1-a s ,2j ≤1.假设存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j =1，则a s ,2j -1+a s ,2j 是奇数，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8都是奇数，设为2N +1.则此时对任意j =1,2,3,4，由a s ,2j -1-a s ,2j ≤1可知必有a s ,2j -1,a s ,2j =N ,N +1 .而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，故集合m a s ,m =N 中的四个元素i ,j ,s ,t 之和为偶数，对该数列进行一次变换i ,j ,s ,t ，则该数列成为常数列，新的a s +1,1-a s +1,2 +a s +1,3-a s +1,4 +a s +1,5-a s +1,6 +a s +1,7-a s +1,8 等于零，比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 更小，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.综上，只可能a s ,2j -1-a s ,2j =0j =1,2,3,4 ，而a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8，故a s ,n =ΩA 是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.8(新高考上海卷)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x 取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【详解】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -02=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x2=1x2即x=1时取等号，故对于点M0,0，存在点P1,1，使得该点是M0,0在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x-1)2+e x-02=(x-1)2+e2x，则s x =2x-1+2e2x，因为y=2x-1,y=2e2x均为R上单调递增函数，则s x =2x-1+2e2x在R上为严格增函数，而s 0 =0，故当x<0时，s x <0，当x>0时，s x >0，故s x min=s0 =2，此时P0,1，而f x =e x,k=f 0 =1，故f x 在点P处的切线方程为y=x+1.而k MP=0-11-0=-1，故k MP⋅k=-1，故直线MP与y=f x 在点P处的切线垂直．(3)设s1x =(x-t+1)2+f x -f t +g t2，s2x =(x-t-1)2+f x -f t -g t2，而s 1x =2(x-t+1)+2f x -f t +g tf x ，s 2x =2(x-t-1)+2f x -f t -g tf x ，若对任意的t∈R，存在点P同时是M1,M2在f x 的“最近点”，设P x0,y0，则x0既是s1x 的最小值点，也是s2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R，则x0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s1 x0=s2 x0=0，即s1 x0=2x0-t+1+2f x0f x0-f(t)+g(t)=0①s2 x0=2x0-t-1+2f x0f x0-f(t)-g(t)=0②由①②相等得4+4g(t)⋅f x0=0，即1+f x0g(t)=0，即f x0=-1g(t)，又因为函数g(x)在定义域R上恒正，则f x0=-1g(t)<0恒成立，接下来证明x0=t，因为x0既是s1x 的最小值点，也是s2x 的最小值点，则s1x0≤s(t),s2x0≤s(t)，即x0-t+12+f x0-f t +g t2≤1+g t2，③x0-t-12+f x0-f t -g t2≤1+g t2，④③+④得2x0-t2+2+2f x0-f(t)2+2g2(t)≤2+2g2(t)即x0-t2+f x0-f t2≤0，因为x0-t2≥0,f x0-f t2≥0则x0-t=0f x0-f t =0，解得x=t，则f t =-1g(t)<0恒成立，因为t的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.一、单选题1(2024·湖南怀化·二模)给定整数n ≥3，有n 个实数元素的集合S ，定义其相伴数集T =a -b a ,b ∈S ,a ≠b ，如果min T =1，则称集合S 为一个n 元规范数集．(注：min X 表示数集X 中的最小数)．对于集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 、N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，则()A.M 是规范数集，N 不是规范数集B.M 是规范数集，N 是规范数集C.M 不是规范数集，N 是规范数集D.M 不是规范数集，N 不是规范数集【答案】C【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.【详解】集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 中，2∈M ,2.5∈M ，则|2-2.5|=0.5<1，即M 的相伴数集中的最小数不是1，因此M 不是规范数集；集合N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，|-1.5-(-0.5)|=1,|-0.5-0.5|=1,|0.5-1.5|=1，|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3，即N 的相伴数集中的最小数是1，因此N 是规范数集.故选：C2(2024·四川绵阳·模拟预测)一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin α=y ；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos α=x ；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即csc α=1y ；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即sec α=1x.下列结论错误的是()A.sin α⋅csc α=1B.sec2π3=-2C.函数f x =sec x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z D.sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α≥5【答案】C【分析】根据定义可判断A ；利用定义转化为余弦求解可判断B ；转化为余弦表示，根据分母不为0求解可判断C ；转化为正弦和余弦，利用平方关系和二倍角公式化简，由正弦函数性质可判断D .【详解】由题知，csc α=1sin α,sec α=1cos α，对于A ，sin α⋅csc α=y ⋅1y=1，A 正确；对于B ，sec2π3=1x =1cos 2π3=1cos π-π3 =1-cos π3=-2，B 正确；对于C ，函数f x =sec x =1cos x ，由cos x ≠0得x ≠k π+π2,k ∈Z所以f x 的定义域为x x ≠k π+π2,k ∈Z ，C 错误；对于D ，sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α=1+1cos 2α+1sin 2α=1+1sin 2αcos 2α=1+4sin 22α≥5，当sin2α=±1时，等号成立，D 正确.故选：C .3(2024·河北邯郸·二模)对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：a ⊕b =a ⋅ba 2+b2，a ⊙b=a ⋅bb2．若平面向量a ,b 满足a >b >0，且a ⊕b 和a ⊙b 都在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，则a ⊕b +a ⊙b =()A.1B.32C.1或74D.1或54【答案】D【分析】根据a >b >0，得到a 2+b 2>2a b ，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到a ⊕b <12，a ⊙b >12，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为n 4|n ∈Z ,0<n ≤4=14,12,34,1，设向量a 和b 的夹角为θ，因为a >b >0，所以a 2+b 2>2a b，得到a⊕b =a ⋅b a 2+b 2=a b cos θa 2+b 2<a b cos θ2a ⋅b=cos θ2，又θ∈0,π ，所以cos θ2≤12，又a ⊕b 在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，所以cos θ2>14，即cos θ>12，得到a ⊕b =14，又因为a ⊙b =a ⋅b b 2=a ⋅b cos θb 2=a b cos θ>cos θ>12，所以a ⊙b =34或1，所以a ⊕b +a ⊙b =1或54，故选：D .4(2024·上海杨浦·二模)平面上的向量a 、b 满足：a =3，b =4，a ⊥b.定义该平面上的向量集合A ={x ||x +a |<|x +b |,x ⋅a >x ⋅b}.给出如下两个结论：①对任意c ∈A ，存在该平面的向量d ∈A ，满足c -d=0.5②对任意c ∈A ，存在该平面向量d ∉A ，满足c -d =0.5则下面判断正确的为()A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误【答案】C【分析】根据给定条件，令a =(3,0)，b =(0,4)，设x =(m ,n )，利用向量模及数量积的坐标表示探求m ,n 的关系，再借助平行线间距离分析判断得解.【详解】由|a |=3，|b |=4，a ⊥b ，不妨令a =(3,0)，b =(0,4)，设x=(m ,n )，|x +a |<|x +b |，得|x +a |2<|x +b |2，而x +a =(m +3,n )，x +b =(m ,n +4)，则(m +3)2+n 2<m 2+(n +4)2，整理得6m -8n -7<0，由x ⋅a >x ⋅b，得3m -4n >0，平行直线6m -8n -7=0和3m -4n =0间的距离为d =0-(-7)62+82=0.7，到直线6m -8n -7=0和直线3m -4n =0距离相等的点到这两条直线的距离为0.35，如图，阴影部分表示的区域为集合A ，因此无论d 是否属于A ，都有c -d=0.5，所以命题①②都正确.故选：C【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.5(2024·甘肃兰州·一模)球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆)．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于北纬45°西经60°，则甲、乙两地的球面距离为()A.2π6R B.2π3R C.π2R D.2π2R 【答案】C【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解.【详解】甲、乙两地在北纬45°线上，所对圆心角为120°+60°=180°，即甲、乙两地在北纬45°线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径r =R sin45°=22R ，则R 2+R 2=2R 2，所以甲、乙两地的球心角为π2，故甲、乙两地的球面距离为π2R .故选：C .二、多选题6(2024·安徽芜湖·二模)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点M a ,b ，OM =m m ≠0 ，定义f θ =b +a m ，g θ =b -am，则()A.f π6 +g π6 =1 B.f θ +f 2θ ≥0C.若f θg θ=2，则sin2θ=35 D.f θ g θ 是周期函数【答案】ACD【分析】根据题意分别求出cos θ=a m ，sin θ=b m ，则f θ =2sin θ+π4 ，g θ =2sin θ-π4，从而可对A 判断求解，利用换元法令t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ∈-2,2 可对B 判断求解，由f θ g θ=tan θ+1tan θ-1=2求出tan θ=3，并结合sin2θ==2tan θtan 2θ+1从而可对C 判断求解，由f θ g θ =-cos2θ可对D 判断求解.【详解】由题意得M a ,b 在角θ的终边上，且OM =m ，所以cos θ=a m ，sin θ=b m，则f θ =b +a m =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ，g θ =b -a m =sin θ-cos θ=2sin θ-π4，对A ：f π6+g π6 =sin π6+cos π6+sin π6-cos π6=1，故A 正确；对B ：f θ +f 2θ =sin θ+cos θ+sin θ+cos θ 2，令t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4∈-2,2 ，所以f θ +f 2θ =t +t 2=t +122-14≥-14，故B 错误；对C ：f θ g θ =sin θ+cos θsin θ-cos θ=tan θ+1tan θ-1=2，解得tan θ=3，又由sin2θ=2sin θcos θ=2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=2tan θtan 2θ+1=2×332+1=35，故C 正确；对D ：f θ g θ =sin θ+cos θ sin θ-cos θ =sin 2θ-cos 2θ=-cos2θ，因为y =cos2θ为周期函数，故D 正确.故选：ACD .7(2024·全国·模拟预测)已知函数f x 和实数m ，n ，则下列说法正确的是()A.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =1时，函数的图象有对称轴B.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =-1时，函数具有周期性C.若m =1，n =2，f x =-3x 2+2x ,x ≤13f m -nx ,x >13，则∀t ∈-∞,13 ，f t >f 23-t 恒成立D.若m =4，n =1，f x =ln x -a ,x ∈0,2 f m -nx ,x ∈2,4，且f x 的4个不同的零点分别为x 1,x 2,x 3x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-14【答案】ACD【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB ；求出x >13时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C ；将问题转化为直线y =a 与函数g x =ln x ,x ∈0,2ln 4-x ,x ∈2,4 有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D .【详解】对于A ，若n =1，则f x =f m -x ，所以函数f x 的图象的对称轴为直线x =m2，故A 正确.对于B ，当n =-1时，f x =f m +x .若m =0，则f x =f x ，函数不具有周期性，故B 错误.对于C ，若m =1，n =2，则f x =-3x 2+2x ,x ≤13f 1-2x ,x >13，当x >13时，1-2x <13，则f x =-31-2x 2+21-2x =-34x 2-4x +1 +21-2x =-12x 2+8x -1，即当x >13时，f x =-12x 2+8x -1.当t ∈-∞,13 时，23-t ∈13,+∞ ，所以f t -f 23-t=-3t 2+2t --1223-t 2+823-t -1 =9t 2-6t +1=3t -1 2>0，所以f t >f 23-t恒成立，C 正确.对于D ，当x ∈2,4 时，4-x ∈0,2 ，则f x =ln x -a ,x ∈0,2ln 4-x -a ,x ∈2,4 ，令g x =ln x ,x ∈0,2ln 4-x ,x ∈2,4，作出函数g x 的图象和直线y =a ，如图.要使f x 有4个不同的零点，则函数g x 的图象与直线y =a 有4个不同的交点.又x 1<x 2<x 3<x 4，则-ln x 1=ln x 2=ln 4-x 3 =-ln 4-x 4 ，所以ln x 1+ln x 2=0，ln 4-x 3 +ln 4-x 4 =0，所以x 1x 2=1，4-x 3 4-x 4 =1，则16-4x 3+x 4 +x 3x 4=1，所以x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-14，D 正确.故选：ACD .【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.8(2024·浙江绍兴·模拟预测)对于任意的两点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，定义A ,B 间的折线距离d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，反折线距离l AB =x 1-y 2 +x 2-y 1 ，O 表示坐标原点. 下列说法正确的是()A.d AB +d BC ≥d AC .B.若d AB <l AB ，则y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0.C.若AB 斜率为k ，d AB =1+k1+k2AB .D.若存在四个点P x ,y 使得d OP =1，且x 2+y -r 2=r 2r >0 ，则r 的取值范围2-1,12 .【答案】ABD【分析】对于A ，直接使用绝对值不等式即可证明；对于B ，在使用绝对值不等式的同时考虑到绝对值不等式取等的条件(即a +b =a +b ，a +b ≥a -b ，ab ≥0两两等价，对两个不等式两边同时平方即得结论)，即可判断；对于C ，举出一个反例即可否定；对于D ，先将问题转化为方程组的解的个数问题，然后利用解析几何工具直观理解，猜出答案，最后再严格论证结果即可.【详解】对于A ，设C x 3,y 3 ，我们有d AB +d BC =x 1-x 2 +y 1-y 2 +x 2-x 3 +y 2-y 3 =x 1-x 2 +x 2-x 3 +y 1-y 2 +y 2-y 3 ≥x 1-x 2 +x 2-x 3 +y 1-y 2 +y 2-y 3 =x 1-x 3 +y 1-y 3 =d AC ，故A 正确；对于B ，若d AB <l AB ，则l AB >d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ≥x 1-x 2 +y 1-y 2 =x 1-y 2 +y 1-x 2 ，这意味着x 1-y 2 +y 1-x 2 =x 1-y 2 +x 2-y 1 =l AB >x 1-y 2 +y 1-x 2 .从而由x 1-y 2 +y 1-x 2 >x 1-y 2 +y 1-x 2 ，知x 1-y 2 y 1-x 2 <0，即y 2-x 1 y 1-x 2 >0，所以y 2-x 1 +y 1-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 .故y 1-x 1 +y 2-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 =l AB .而d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ≥y 1-y 2 -x 1-x 2 =y 1-x 1 -y 2-x 2 .故y 1-x 1 +y 2-x 2 =l AB >d AB ≥y 1-x 1 -y 2-x 2 .从而由y 1-x 1 +y 2-x 2 >y 1-x 1 -y 2-x 2 ，知y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0，故B 正确；对于C ，考虑A 1,0 ，B 0,1 ，此时k =-1，所以1+k1+k 2AB =0.但d AB =1-0 +0-1 =2>0，故C 错误；对于D ，条件等价于关于x ,y 的方程组x +y =1x 2+y -r 2=r2，即x +y =1x 2+y 2=2ry 有四个解.如下图所示，该方程组可以直观地理解为正方形x +y =1和圆x 2+y 2=2ry 有四个公共点，直观的理解即为圆x 2+y 2=2ry 与矩形上方的两条边所在的直线均相交，且交点都在边的内部，而当r =2-1时，圆与上方的两条边相切，当r =12时，圆与上方的边的交点恰落在端点上，故可猜测取值范围是2-1,12，下面再使用二次方程工具严格证明此结论(也可以使用距离公式等其它方法证明).若x ,y 满足原方程组，则y =x 2+y 22r>0，故x +y =1.而r 2=x 2+y -r 2=x 2+1-x -r 2=2x 2-21-r x +1-r 2，故2x 2-21-r x +1-2r =0，同时还有x =1-y ≤1.由于当x 确定后，y 只有唯一可能的取值1-x ，而方程组有四个解，所以使得相应的y 存在的x 至少有四个.根据前面的讨论，这样的x 必满足2x 2-21-r x +1-2r =0，且x ≤1，所以方程2x 2-21-r x +1-2r =0必定在-1,1 上有四个解.这表明关于t 的方程2t 2-21-r t +1-2r =0在0,1 上一定有两个解，所以首先有判别式为正数，结合Δ=41-r 2-81-2r =41-2r +r 2-2+4r =4r 2+2r -1 ，就有r >2-1.同时，由于两根都在0,1 内，故两根乘积为正数，故1-2r >0，即r <12.这就证明了2-1<r <12.最后，当2-1<r <12时，原方程组的确存在四组不同的解：x =1-r +r 2+2r -12y =1+r -r 2+2r -12，x =-1-r +r 2+2r -12y =1+r -r 2+2r -12，x =1-r -r 2+2r -12y =1+r +r 2+2r -12，x =-1-r -r 2+2r -12y =1+r +r 2+2r -12.所以r 的取值范围是2-1,12，D 正确.故选：ABD .三、填空题9(2024·湖南长沙·三模)已知函数y =f x ，任取t ∈R ，定义集合A t ={y ∣y =f x ，点P t ,f t 、Q x ,f x 满足PQ ≤2 . 设M t ,m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h t =M t -m t ，试解答以下问题:(1)若函数f x =x 2，则h 0 =;(2)若函数f x =sin π2x ，则h t 的最小正周期为.【答案】12【分析】(1)把t =0代入，然后计算A t 的最大值和最小值即可.(2)先表示出P t ,sin π2t 、Q x ,sin π2x ，然后根据P 的位置分类分析M t ,m t 的值.【详解】对于 1 ，因为函数 f x =x 2，当 t =0 时，P 0,0 、Q x ,x 2 且 x -0 2+x 2-0 2≤2，即 x 2+x 4≤2，令 x 2=m ，即 m 2+m ≤2，解得 0≤m ≤1，所以 M t =1，m t =0，所以 h 0 =1-0=1 ；对于 2 ，如图所示，若函数 f x =sin π2x ，此时，函数的最小正周期为 2ππ2=4，点 P t ,sin π2t 、Q x ,sin π2x ，当点 P 在 A 点时，点 Q 在曲线 OAB 上，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;当点 P 在曲线上从 A 接近 B 时，h t 逐渐增大，当点 P 在 B 点时，M t =1，m t =-1h t =M t -m t =2;当点 P 在曲线上从 B 接近 C 时，h t 逐渐减小，当点 P 在 C 点时，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;当点 P 在曲线上从 C 接近 D 时，h t 逐渐增大，当点 P 在 D 点时，M t =1，m t =-1，h t =M t -m t =2;当点 P 在曲线上从 D 接近 E 时，h t 逐渐减小，当点 P 在 E 点时，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;依此类推，发现 h t 的最小正周期为 2 ，故答案为：(1)1；(2)2.10(2024·四川成都·模拟预测)定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A ，B ，C 在半径为1的圆上，角的对边分别为a ，b ，c ，A =π3．分别以△ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC 构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的取值范围是．【答案】3+32,332【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求出A ；(2)利用向量线性运算，结合向量的三角不等式求出区域D 的“直径”关系式，再利用三角恒等变换结合正弦函数性质求出范围即得.【详解】如图，F ，G 是AC ，BC 的中点，E ，F ，G ，H 四点共线，设P ，Q 分别为BC 、AC 上任意一点，PQ =PG +GF +FQ，PQ =PG +GF +FQ ≤PG +GF +FQ=HG +GF +FE =HE =a +b +c2，即PQ 的长小于等于△ABC 周长的一半，当PQ 与HE 重合时取等，同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于△ABC 周长的一半，因此区域D 的“直径”为△ABC 的周长l 的一半，由正弦定理得：a =2sinπ3=3，b =2sin B ，c =2sin C ，则l =3+2sin B +2sin 2π3-B =3+3sin B +3cos B =3+23sin B +π6.由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，即π6<B <π2，则π3<B +π6<2π3，32<sin B +π6≤1，于是3+3<l ≤33，所以平面区域D 的“直径”的取值范围是3+32,332.故答案为:3+32,332.11(2024·广东佛山·二模)近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad /s ，圆上两点A ，B 始终满足∠AOB =2π3，随着圆O 的旋转，A ，B 两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A ，B 两点的竖直距离为A ，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t =0秒时，点A 位于圆心正下方：则t =秒时，A ，B 两点的竖直距离第一次为0；A ，B 两点的竖直距离关于时间t 的函数解析式为f t =.【答案】133sin 2πt +π3【分析】以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点A ,B 的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.【详解】以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由于角速ω=2πrad /s ，设点A cos 2πt -π2 ,sin 2πt -π2 ，圆上两点A 、B 始终保持∠AOB =2π3，则B cos 2πt +π6 ,sin 2πt +π6，要使A 、B 两点的竖直距高为0，则sin 2πt -π2 =sin 2πt +π6 ，第一次为0时，4πt -π3=π，解得t =13，f (t )=sin 2πt +π6 -sin 2πt -π2=32sin2πt +12cos2πt +cos2πt=32sin2πt +32cos2πt=3sin 2πt +π3.故答案为：13；3sin 2πt +π3【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x 轴非负半轴.12(2024·山东枣庄·模拟预测)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为平面上两点，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 、已知点P 为抛物线C :x 2=2py (p >0)上一动点，点Q (3,0),d (P ,Q )的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则d (P ,M )的最小值为．【答案】 232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作PN ⎳x 并构造直角三角形，根据d (P ,M )。

高中数学经典高考难题集锦(解析版)1

2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．116．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．22．〔2007•四川〕设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．〔Ⅰ〕假设P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；〔Ⅱ〕设过定点M〔0，﹣2〕的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角〔其中O为坐标原点〕，求直线l的斜率k的取值范围．23．〔2021•丰台区校级一模〕如图，△OFP的面积为m，且=1．〔I〕假设，求向量与的夹角θ的取值范围；〔II〕设，且．假设以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．24．设、为平面向量，假设存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，那么称、线性相关，下面的命题中，、、均为平面M上的向量．①假设=2，那么、线性相关；②假设、为非零向量，且⊥，那么、线性相关；③假设、线性相关，、线性相关，那么、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的选项是〔写出所有正确命题的编号〕25．〔2005•安徽〕椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，与=〔3，﹣1〕共线．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．26．〔2021•江苏模拟〕如图，D是△ABC的中点，，那么λ1+λ2=．27．〔2021•泗县校级模拟〕单位圆⊙O：x2+y2=1，A〔1，0〕，B是圆上的动点，∥，．〔1〕求点P的轨迹E的方程；〔2〕求过A作直线l被E截得的弦长的最小值．28．〔2021•西安校级模拟〕向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数．〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当时，求的最大值和最小值；〔3〕如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围．29．〔2021•上海〕在直角坐标平面xOy上的一列点A1〔1，a1〕，A2〔2，a2〕，…，A n〔n，a n〕，…，简记为{A n}、假设由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，那么称{A n}为T点列，〔1〕判断，，是否为T点列，并说明理由；〔2〕假设{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状〔锐角三角形、直角三角形、钝角三角形〕，并予以证明；〔3〕假设{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．30．〔2021•临川区校级一模〕设点F〔，0〕〔p为正常数〕，点M在x轴的负半轴上，点P 在y轴上，且，．〔Ⅰ〕当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l1：x=﹣的垂线，对应的垂足分别为A1，B1，求的值；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，记，，，λ=，求λ的值．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣〔a+1〕〕||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．应选：D．点评：此题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：空间向量及应用．分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n≥m 且m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕，由此求得n=3，m=1，从而得到•==的值．解答：解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕．故有n=3，m=1，∴•==，应选C．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈〔，1〕，是解题的关键，属于中档题．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]考点：相等向量与相反向量；平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：压轴题．分析：利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．解答：解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得〔sinα﹣1〕2+〔16t2+18t+2〕=0可得﹣〔16t2+18t+2〕∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．应选A．点评：此题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，表达了化归的思想方法．4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈〔0，〕，∴cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，∴•==，应选：D．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．解答：解：由可得〔c，0〕=λ〔1，0〕，〔d，0〕=μ〔1，0〕，所以λ=c，μ=d，代入得〔1〕假设C是线段AB的中点，那么c=，代入〔1〕d不存在，故C不可能是线段AB 的中点，A错误；同理B错误；假设C，D同时在线段AB上，那么0≤c≤1，0≤d≤1，代入〔1〕得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．应选D点评：此题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积公式表示出，有得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．解答：解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos〔90°±θ〕|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．应选A．点评：此题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：压轴题．分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．解答：解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．应选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的根底上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，此题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：压轴题．分析：根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．解答：解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确应选C．点评：此题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知此题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大局部内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．解答：解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=〔m，n〕与=〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈〔0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．应选C．点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；压轴题．分析：将向量沿与方向利用平行四边形原那么进行分解，构造出三角形，由题目，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，防止出错．解答：解：法一：如下图：=+，设=x，那么=．=∴==3．法二：如下图，建立直角坐标系．那么=〔1，0〕，=〔0，〕，∴=m+n=〔m，n〕，∴tan30°==，∴=3．应选B点评：对一个向量根据平面向量根本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法那么，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；压轴题．分析：此题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法那么，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．解答：解：∵，那么由得：，∴PB⊥AC同理PA⊥BC，PC⊥AB，即P是垂心应选D点评：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点．该点叫做三角形的外心．垂心定理：三角形的三条高交于一点．该点叫做三角形的垂心．内心定理：三角形的三内角平分线交于一点．该点叫做三角形的内心．12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．解答：解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈〔0，]，∴2θ∈〔0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=应选D．点评：此题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点解答：解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点应选D点评：此题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔k，l〕那么据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔﹣m，m〕应选项为A点评：此题考查平移公式的应用．15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法那么作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．解答：解：∵，∴的夹角为120°，设，那么；=如下图那么∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2应选A点评：此题考查向量的数量积公式、向量的运算法那么、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．16．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．考点：平面向量的根本定理及其意义；二元一次不等式〔组〕与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量根本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A〔〕，B〔〕．再设P〔x，y〕．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，那么区域面积为．应选D．点评：此题考查了平面向量的根本定理及其意义，考查了二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0应选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：综合题；压轴题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标．〔2〕由判断出y=f〔x〕的图象是由C按平移得到的；得到C是由f〔x〕左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．〔3〕利用向量的运算法那么将有以P n为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．解答：解：〔1〕设点A0〔x，y〕，A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为〔2﹣x，4﹣y〕，A1为P2关于点的对称点A2的坐标为〔2+x，4+y〕，∴={2，4}．〔2〕∵={2，4}，∴f〔x〕的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，设曲线C是函数y=g〔x〕的图象，其中g〔x〕是以3为周期的周期函数，且当x∈〔﹣2，1]时，g〔x〕=lg〔x+2〕﹣4．于是，当x∈〔1，4]时，g〔x〕=lg〔x﹣1〕﹣4．〔3〕=++…+，由于=，得=2〔++…+〕=2〔{1，2}+{1，23}+…+{1，2n﹣1}〕=2{，}={n，}点评：此题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：〔1〕先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；〔2〕先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；〔3〕先根据定义得到函数f〔x〕取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．解答：解：〔1〕g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=〔4，3〕，g〔x〕∈S．〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx=〔cosxcosα﹣sinxsinα〕+2cosx=﹣sinαsinx+〔cosα+2〕cosx∴函数h〔x〕的‘相伴向量’=〔﹣sinα，cosα+2〕．那么||==．〔3〕的‘相伴函数’f〔x〕=asinx+bcosx=sin〔x+φ〕，其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f〔x〕取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan〔2kπ+﹣φ〕=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0〕∪〔0，]．令m=，那么tan2x0=，m∈[﹣，0〕∪〔0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0〕∪〔0，]．点评：本体主要在新定义下考查平面向量的根本运算性质以及三角函数的有关知识．是对根底知识的综合考查，需要有比拟扎实的根本功．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．考点：向量在几何中的应用．专题：立体几何．分析：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN 的法向量为，推出〔1〕利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM 的长．〔2〕利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，那么各点的坐标为A〔1，0，0〕，A1〔1，0，2〕，N〔，1，0〕，M〔0，1，t〕；所以=〔，1，0〕.=〔1，0，2〕，=〔0，1，t〕设平面DMN的法向量为=〔x1，y1，z1〕，那么，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，那么y1=﹣t，x1=2t所以=〔2t，﹣t，1〕，设平面A1DN的法向量为=〔x2，y2，z2〕，那么，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1那么y2=1，x2=﹣2所以=〔﹣2，1，1〕，〔1〕因为θ=90°，所以解得t=从而M〔0，1，〕，所以AM=〔2〕因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和〔1〕的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：此题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔1〕由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；〔2〕当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．当切线斜率不存在时，代入检验即可．〔3〕因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．解答：解：〔Ⅰ〕因为a⊥b，所以a•b=0，即〔mx，y+1〕•〔x，y﹣1〕=0，故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．当m=0时，该方程表示两条直线；当m=1时，该方程表示圆；当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；当m＜0时，该方程表示双曲线．〔Ⅱ〕当时，轨迹E的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，所以，即t2=r2〔1+k2〕．①因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，即x1x2+〔kx1+t〕〔kx2+t〕=0，整理得〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0．②由方程组消去y得〔1+4k2〕x2+8ktx+4t2﹣4=0．③由韦达定理代入②式并整理得〔1+k2〕，即5t2=4+4k2．结合①式有5r2=4，r=，当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，故所求圆的方程为x2+y2=．〔Ⅲ〕显然，直线l的斜率存在，设l的方程y=k1x+t1，B1〔x3，y3〕轨迹E的方程为．由直线l与圆相切得t12=R2〔1+k12〕，且对应③式有△=〔8k1t1〕2﹣4〔1+4k12〕〔4t12﹣4〕=0，即t12=1+4k12，由方程组，解得当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．由韦达定理x32===，又B1在椭圆上，所以，因为l与圆C相切，所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2===≤，其中，等号成立的条件，。

高中数学新题型选编(共70个题)(一)

高中数学新题型选编（共70个题）（一）1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a L 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥L L 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +L 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故 ()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证： 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++L L …………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++L令'()0g x =得12ka a a x k+++=L …………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++L 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++L≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=L L故12()[0,]k a a a g x k +++L 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞L 在递增所以12()k a a a x g x k +++=L 当时，的最小值为12()ka a a g k+++L ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++L L L L L=1121212(1)[()()(1)()]n n n n n n n k k k nk k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++L K L=11212(1)[()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k -++++-+++L L =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++L L 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥L L 故12()0k a a a g k+++≥L1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥L Q故112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L即: 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L .…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =••••3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则K ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第1章集合培优课1集合中的新定义问题课件苏教版必修第一册

含有三个元素的奇子集为 {, , } .
故所有奇子集的容量之和为 + + + × + × + × + × × = .故答
案为47.
题后反思对重新定义新模型问题，要读懂题意，用列举法分情况讨论.
跟踪训练3 已知集合 = {1,2,3,4} , ⊆ ，集合中所有元素的乘积称为集合的
“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的
累积值为0，设集合的累积值为 .
2
（1）若 = 3 ，则这样的集合共有___个；
[解析] 若 = ，由“累积值”的定义，得 = {} 或 = {, } ，这样的集合共有2个.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
集合中的新定义问题的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出
几个新模型来创设全新的问题情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，
联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应
1
−
6
+
5
进
3
跟踪训练2 设全集 = {1,2,3,4,5,6} ，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，
如： {2,4} 表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字
符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000.对于任意两个集合，，我们定
题后反思掌握新概念的特点，确定 , 中一个集合中的元素，对另一个集合进行讨论.

(完整word版)高中数学新定义类型题

同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110分）1.定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（）（A ）[8,10]- （B ） [7,10]-（C ）[6,8]- （D ）2.对于复数a,b,c,d ,若集合{}S=a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S ∈,必有xy S ∈”,则当22a=1b =1c =b ⎧⎪⎨⎪⎩时,b+c+d 等于 ( ) A 、1 B 、-1 C 、0 D 、i 3.在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．关于函数1()()x x f x e e=*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中正确说法的序号为（） A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③4.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 5.对于集合∈+==k k x x S ，12{N }和集合}{S b a b a x x T ∈⊕==，，，若满足S T ⊆，则集合T 中的运算“⊕”可以是A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法 6.设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()(g x ax a =为常数），使得)()(x g x f ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 已知对于任意(0,1)k ∈，()g x ax =是函数()e x kf x =的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合M ，则有（）A. 1e ,e M M -∉∉B. 1e ,e M M -∉∈C.1e ,e M M -∈∉ D.1e ,e M M -∈∈ 7.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A . 若}2,1{=A ，2{|23|}B x x x a =+-=，且|A-B|=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48.对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝3x ， x ∈R}，B ＝{y |y ＝－122++x x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A ．[0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)9.在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中所有正确说法的个数为( ) A ．0B．1C ．2．310.给出定义:（其中m 则m 叫做与实数x “亲密的整数”, 记作{}x m =,数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数;②函数()y f x =的图象关于直线称;③函数()y f x =是周期函数,最小正周期为1;④当(0,2]x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.A ．②③④B ．①③C ．①②D ．②④ 11.定义运算a b ad bc c d=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ． (,2]-∞-12.对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x xe tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]213.对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=；（ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=；（ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法；②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法；③{}A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( ) A ①②B ①③C ②③D ①②③14.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( )A. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[－1,0] C ．(－∞，－2] D. 9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭ 15.设函数()f x 的定义域为D，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+= 成立（其中C 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为C ，现在给出下列4个函数： ①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2x y = ，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（）A. ①②B. ③④C. ①③④D. ①③16.对任意实数,a b 定义运算""*如下()()a ab a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩，则函数x x x f 221log )23(log )(*-=的值域为（）A. [)0,+∞B. (],0-∞C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛0,32log 2D. 22log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 17.设B A ,是非空集合，定义},|{B A x B A x x B A ⋂∉⋃∈=⨯且，已知}20|{≤≤=x x A ，}0|{≥=x x B ，则B A ⨯等于（）.A ),2(+∞ .B ),2[]1,0[+∞⋃ .C ),2()1,0[+∞⋃ .D ),2(]1,0[+∞⋃18.设集合A ⊆R ，如果x 0∈R 满足：对任意a ＞0，都存在x ∈A ，使得0＜|x ﹣x 0|＜a ，那么称x 0为集合A 的一个聚点．则在下列集合中：（1）Z +∪Z ﹣；（2）R +∪R ﹣；（3）{x|x=，n ∈N *}；（4）{x|x=，n ∈N *}．其中以0为聚点的集合有（） A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）y ＝2x 2＋1，}2{-∈x ；（2）y ＝2x 2＋1，}2{∈x ；（3）y ＝2x 2＋1，}2,2{-∈x 。

数学创新题的类型及特征

数学创新题的类型及特征近几年高考数学试题越来越重视对数学基本概念及其性质、基本技能和基本方法的考查。

当然，高考数学试题对数学“双基”的考查并非为考“双基”而考“双基”，而是将数学这门基础学科作为一个整体，进行综合的考查，要求考生能够运用数学的思想方法，灵活和正确地运用数学知识解决问题。

纵观近四年我省高考数学试卷，一直在寻求“双基”与“创新”之间的一个平衡。

有许多新颖别致的创新试题，这些试题的编制，是以“双基”为立足点，进行横向类比、纵向加深或陈题开放。

这些数学创新题目以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，其背景新颖，运算量不大，但思维容量大，它没有明确的条件或结论，或解题方向不明，自由度大，具有相当大的不确定性，需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决，靠“题海战术”和大量的重复操练是无法达到的，是训练和考查学生的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力的好题型。

一、探究型创新题主要考查学生的综合素质与创新精神，是创造力的体现。

解答探究型创新题时应注意抓住有限的（或隐含的）题设条件，通过联想创造性地运用知识，设计出解决问题的方法，化归与转化是解决这类问题常用的数学思想。

例1.（2004年高考福建文22）已知f（x）=4x+ax2— x3（x∈R）在区间[—1，1]上是增函数。

（1）求实数a的值组成的集合A。

（2）设关于x的方程f（x）=2x+ x3的两个非零实根为x1、x2。

试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1—x2|对任意a∈A及t∈[—1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。

评析：本题的第二问以方程为“外衣”，综合考查不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

由4x+ax2— x3=2x+ x3，得x=0，或x2—ax—2=0。

x1、x2是方程x2—ax—2=0的两个非零实根，求出|x1—x2|的最大值为3后，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[—1，1]恒成立，即m2+tm—2≥0对任意t∈[—1，1]恒成立。

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同步练习学校 :___________姓名： ___________班级： ___________考号：___________第 I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（本题共22 道小题，每小题 5 分，共 110分）a, a b x 2 1.定义max{a, b} ，设实数 x, y 满足约束条件y ，则b, a b 2z max{4 x y,3 x y} 的取值范围是（）（A）[ 8,10] （ B）[ 7,10] （ C）[ 6,8] （D）2.对于复数a,b,c,d ,若集合S= a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S,必有 xy S”,则当a=1b2=1时 , b+c+d等于( )c2 =bA、 1 B 、 -1 C 、 0 D 、 i3.在实数集 R 中定义一种运算“”，a, b R ，a b 为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a R ， a 0 a ；（ 2）对任意a, b R ，a b ab (a 0) (b 0) ．关于函数 f ( x) (e x ) 1 的性质，有如下说法：①函数 f (x) 的最小值为 3 ；②函数e xf ( x) 为偶函数；③函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ,0] ．其中正确说法的序号为（）A．①B．①②C．①②③D．②③4.设A 是整数集的一个非空子集，对于∈ ，如果k － 1? A 且k ＋1? ，那么称k 是集k A A合 A的一个“好元素”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8} ，由 S 的3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A ．2 个B ． 4 个C ．6 个D．8个5.对于集合S { x x 2k 1，k N} 和集合 T { x x a b， a， b S} ，若满足 T S ，则集合 T 中的运算“”可以是A．加法 B ．减法 C ．乘法 D ．除法6. 设函数f ( x)的定义域为 R，如果存在函数g (x) ax(a为常数），使得f ( x)g (x)对于一切实数x都成立，那么称g( x)为函数f (x)的一个承托函数. 已x知对于任意k(0,1) ， g(x) ax 是函数f (x) e k 的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合 M，则有（）A. e 1 M , e MB. e 1 M , e MC. e 1 M , e MD. e 1 M , e M7. 用C( A) 表示非空集合 A 中的元素个数，定义| AC( A) C(B), C( A) C( B)B |C( A), C( A).C(B) C( B)若 A {1,2} ，B { x | x2 2x 3| a} ，且|A-B|=1 ，由 a 的所有可能值构成的集合为S，那么 C( S) 等于 ( )A．1 B．2C．3D．48. 对于集合M、 N，定义M －N＝ { x|x∈ M 且 x N} ， M⊕ N＝(M－N)∪ (N－ M)，设 A ＝ { y|y＝ 3x， x∈ R} ， B＝ { y|y＝－x2 2x 1，x∈R}，则A⊕B等于()A ． [0,2)B ．(0,2]C． (－∞， 0]∪(2，＋∞ ) D ． (－∞， 0)∪ [2，＋∞)9.在实数集R中定义一种运算“”，a, b R， a b 为唯一确定的实数，且具有性质：（ 1）对任意aR ， a 0 a ；（2）对任意a, b R，ab ab (a 0) (b0) ．f ( x) (e x )1f (x)的最小值为3；②函数关于函数e x 的性质，有如下说法：①函数f ( x)为偶函数；③函数f ( x)的单调递增区间为 ( ,0] ．其中所有正确说法的个数为 ()A ．B ． 1C ． 2则称集合 A 对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“ ”：① A整数，运算“”为普通加法；② A复数，运算“”为普通减法；③A正实数，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有()A ①②B ①③C ②③ D①②③ D ．3x (m1, m 1]10.给出定义 : 若22 （其中m为整数） , 则m叫做与实数 x“亲密的整数” , 记作 { x}m , 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) x { x} 的四个命题 : ①函14.设f (x) 与g( x)是定义在同一区间在 x [ a, b]上有两个不同的零点，则称间[ a, b]称为“关联区间”．若f ( x)联函数”，则 m 的取值范围是 ()[a ， b] 上的两个函数，若函数y f ( x) g( x)f ( x) 和 g( x) 在 [ a,b] 上是“关联函数”，区x 2 3x 4 与 g(x) 2xm在 [0,3] 上是“关数yf ( x) 在 x(0,1)上是增函数 ; ②函数yf (x)的图象关于直线 xk(kZ )2对称 ; ③ 函数yf ( x)是周期函数 , 最小正周期为 1; ④ 当x(0, 2] 时，函数g( x)f ( x)ln x有两个零点 . 其中正确命题的序号是 ____________.A ．②③④ B．①③ C ．①② D ．②④a b bc ，若函数 fxx 12在 (, m) 上单调递减，11.定义运算cad xx 3d则实数 m 的取值范围是A ． ( 2, )B ． [ 2, )C ． ( , 2)D ． ( , 2]12.对于函数 fx ，若 a,b,c R ，fa , fb , fc 为某一三角形的三边长，则称fxf x e x t为“可构造三角形函数”，已知函数e x1 是“可构造三角形函数”，则实数 t的取值范围是1A ．0,． 0,1． 1,2[ , 2]B C D． 213.对于集合 A ，如果定义了一种运算“ ”，使得集合A 中的元素间满足下列4 个条件：（ⅰ） a, b A，都有ab A ；（ⅱ）e A，使得对aA，都有ea a e a ；（ⅲ） aA ，aA，使得 a aaa e ；（ⅳ） a, b, cA ，都有abc a b c ，9 ,29 ,A.4B ． [ － 1,0]C ．( －∞，－ 2]D.415.设函数f ( x)的定义域为 D ，如果对于任意的 x 1D，存在唯一的x 2 D，使得f ( x 1 ) f ( x 2 )Cy f ( x)在 D 上的均值为2C 为常数），则称函数成立（其中 C ，现在给出下列 4 个函数： ① y x 3 ② y4sin x③ylg x④y 2x ，则在其定义域上的均值为 2 的所有函数是下面的（）A. ①②B. ③④C.①③④D.①③16.对任意实数 a, b 定义运算 " " 如下 a ba a bb a ，则函数bf ( x) log 1 (3x 2) log 2 x 的值域为（）2A. 0,B. ,0C. log 2 2D.2,0 log 2 ,33 17.设 A, B 是非空集合，定义 A B { x | x A B , 且 x A B} ，已知 A { x | 0 x 2} ， B { x | x 0} ，则 AB 等于（）A. (2,)B. [0,1][ 2, )C . [ 0,1) (2,)D. [ 0,1](2, )18.设集合 A ? R ，如果 x ∈R 满足：对任意 a ＞ 0，都存在 x ∈A ，使得 0＜ |x ﹣ x |＜a ，那么称 x 0 为集合 A 的一个聚点．则在下列集合中：（ 1） Z +∪ Z ﹣ ；（ 2）R +∪ R ﹣；（3） {x|x= ，n ∈N *} ；（ 4） {x|x=， n ∈N *} ．其中以 0 为聚点的集合有（）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝ 2x 2＋ 1，值域为 {9} 的“孪生函数”三个：（ 1） y ＝ 2x 2＋ 1， x {2} ；（ 2） y ＝ 2x 2＋1， x { 2} ；（ 3） y ＝ 2x 2＋ 1，x { 2,2} 。

浅谈数学高考题中定义新符号运算类问题

浅谈数学高考题中定义新符号运算类问题胡文文【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】2页(P10-11)【作者】胡文文【作者单位】山东省淄博第七中学【正文语种】中文定义新符号运算类问题是指题目中给出与高中数学教材里的内容和含义不同的符号及与之有关的运算规则,或给出教材中很少出现的符号及与之有关的运算规则,或给出教材中没有出现过的具有全新意义的符号及与之有关的运算规则,让答题者明白符号的内涵和运算法则,并应用所获得的规则解决问题．1) 创新性. 定义新符号运算类问题的内容围绕着高中生所学的知识设置,但不拘泥于高中生所学的知识形式和方法,问题的解答过程充分体现高中生思维的创新意识．2) 灵活应用性. 定义新符号运算类问题的解决方法不局限于常规题型的解法,考查答题者灵活应用所学知识处理问题的能力．3) 迁移性. 定义新符号运算类问题的解答需要答题者将所学基础知识和常规方法迁移到新的问题情境中，并进行正确的应用．例(2014年安徽卷) 已知2个不相等的非零向量a、b,2组向量x1、x2、x3、x4、x5和y1、y2、y3、y4、y5均由2个a和3个b排列而成．记S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5, Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．① S有5个不同的值;②若a⊥b,则Smin与|a|无关;③若a∥b,则Smin与|b|无关;④若|b|>4|a|,则Smin>0;⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则〈a,b〉=π/4．本题给出了符号S的运算式子,通过读题,标记出“x1、x2、x3、x4、x5和y1、y2、y3、y4、y5均由2个a和3个b排列而成”和“S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5” 2处关键信息．观察S的运算式发现，要想写出S的具体内容,需要先确定xi和yi (i=1、2、3、4、5)的内容,而xi和yi“由2个a和3个b排列而成”,需注意“排列”一词主要是说明“顺序不同,结果不同”.接下来需要写出xi和yi分别与2个a和3个b的对应关系,这里使用列举法．由此可得出本题的本质就是:利用列举法按照S的运算式写出S的所有值,再根据S的所有值求出Smin,进而联系向量的相关知识对给出的说法是否正确进行判断．为了更好地做到列举过程中的不重不漏,可采用如下方式:先写出2行上下对齐的2个a和3个b,然后保持一行不动,另一行按照一次错一位的对应,经过5次后即可循环一周,这样就可以把情况列举全面,具体过程如图1～5所示.在上述图中,每个图的第1行为xi,第2行为yi,上下2行通过中间的黑线进行对应求数量积,然后再将求得的数量积相加即可得到一个S的值．特别注意,在写数量积的时候,先从短线的对应开始书写,再写长线的对应．每个小图中的S的值的运算过程与结果如下:图1中,S=aa+aa+bb+bb+bb=2a2+3b2；图2中,S=aa+ba+bb+bb+ab=a2+2ab+2b2；图3中,S=ba+ba+bb+ab+ab=4ab+b2；图4中,S=ba+ba+ab+ab+bb=4ab+b2；图5中,S=ba+aa+ab+bb+bb=a2+2ab+2b2．综上所述,S有3个不同的值,即S=2a2+3b2,S=a2+2ab+2b2及S=4ab+b2,故①错．而②、③、④、⑤的判断都与Smin有关,选择作差法对S的所有值进行大小比较,进而求得Smin．由可得Smin=4ab+b2．对②,若a⊥b,则ab=0,所以Smin=b2=|b|2与|a|无关,故②正确.对③,若a∥b,则存在实数λ,使得a=λb,所以Smin=4ab+b2=(4λ+1)|b|2与|b|有关,故③错误.对④,Smin=4ab+b2=|b|(4|a|cos〈a,b〉+|b|),因为|b|>4|a|,所以故④正确.对⑤,若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则可得,所以,故⑤错误．综上可得出②、④正确．解决新定义型问题的一般过程如下:1) 认真阅读新定义或新信息的内容,标记关键词,找出新定义或新信息的典型特征;2) 分析典型特征,弄清新定义或新信息的本质内容;3) 将新定义或新信息的本质内容与已学过的知识进行联系;4) 结合问题确定新定义或新信息使用的数学符号或图形语言;5) 选取合适的方法求解问题;6) 遇到求解不顺再补充完善对新定义或新信息的理解;7) 求解彻底不能进行再从第一步重新开始,充分挖掘已知条件;8) 结合新定义或新信息检查结果．为提高高中生解决定义新符号运算类问题的能力,主要是提高学生自学新符号运算的能力,结合教学实际,笔者提出以下几点教师需要注意的教学建议:1) 引导学生熟练掌握常用的字母符号等表示的涵义;2) 引导学生区别相同符号的不同含义;3) 指导学生规范书写数学符号语言,防止符号混用;4) 在分析问题时,指导学生辨识清楚题中符号对应的运算法则,按照给出的法则形式进行思考;5) 在讲解问题时,给学生提供有针对性的变式训练,主要是涉及相同符号、但运算法则和知识背景不同的题目,防止学生形成思维定势．。

高中数学：新定义题型新高考新结构

大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。

2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。

新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

新高考高中数学必修四课件+类型题10.3 复数的三角形式及其运算

（对应的 z a bi 称为复数的代数形式），其中称为 z 的辐角.
显然，任何一个非零复数 z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差 2π的整数倍.
特别地，在［0，2π）内的辐角称为 z 的辐角主值，记作 arg z.
练：
1.写出复数z＝1+
i的三角形式.
1
3
解：方法1：因为|z|＝ 1 ( 3) ＝2，cos θ＝
3.写出下列复数的辐角主值
（1） 3 i
（2） ai
解：（1）因为r＝ ( 3) (1) ＝2，所以cos θ＝
2
2
又因为θ∈［0，2π），所以其辐角主值θ＝
1
3
sin θ＝
2
2
7
π.
6
（2）当a>0时，r＝a，cos θ＝0，sin θ＝-1，其辐角主值θ＝
3
；
2
当a＝0时，其辐角主值θ＝0；
求 r 得值，并写出的任意一个值，探讨 r , 与 z 1+ 3i 的实部、虚部之间的关系.
答案：（1） Z (1,3)
（2） r 2,

,1 r cos , 3 r sin
3
一般地，如果非零复数 z a bi (a,b R ) 在复平面内对应点 Z (a, b) ，且 r 为向
二、复数的乘法的三角表示
例2、设z1＝r1（cos θ1+isin θ1），z2＝r2（cos θ2+isin θ2），试求出z1z2.
解：z1z2＝r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）
＝r1r2［（cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2）+i（sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］

【高中数学考点精讲】考点五集合的新定义问题

考点五集合的新定义问题48．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，.(1)求；(2)定义，求.【解析】(1)，，；(2)，，，.49．（2022·全国·高一专题练习）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a ∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【解析】根据题意得，，则中有6个元素，∴的真子集个数为26﹣1＝63个．故选：B．50．【多选】（2022·全国·高一单元测试）设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（）A．9 B．8 C．7 D．6【解析】因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，所以a有3种选法，b有3种取法，可得P⊗Q中元素为.所以P⊗Q中元素的个数是9（个）．故选：BCD．51．（2022·全国·高一专题练习）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合A＝{0}为闭集合；②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中所有正确结论的序号是__．【解析】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正确；②当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误；③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确；④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误．正确结论的序号是①③．故答案为：①③.。

高中数学新定义问题

高中数学新定义问题稿子一：嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊高中数学里那些让人又爱又恨的新定义问题。

你说这新定义问题啊，就像是数学世界里突然冒出来的小怪兽，乍一看可把咱们给吓一跳。

但别怕，咱们鼓起勇气来和它斗一斗。

比如说，有那种给了一个全新的运算符号，让咱们根据它给的规则去计算。

哎呀，这时候可别慌，先静下心来，仔细琢磨琢磨那规则，就像破解密码一样。

其实呢，很多时候就是换了个马甲，本质的数学原理还是咱们熟悉的那些。

还有那种给出一个新的概念，然后让咱们判断或者运用。

这就像是给了你一把新钥匙，得自己去试试能不能打开那扇神秘的数学之门。

可能一开始会觉得有点懵，咋跟以前学的不一样呢？但多琢磨几遍，说不定就能发现其中的奥妙。

我记得有一次做新定义的题，我也是抓耳挠腮半天，感觉走进了一个迷宫。

但我没放弃，一点点分析，一点点尝试，最后居然做出来啦！那种成就感，简直爆棚！所以呀，小伙伴们，遇到新定义问题别害怕，大胆去探索，说不定会发现数学的新大陆呢！稿子二：嘿，朋友们！今天咱们好好唠唠高中数学的新定义问题。

这新定义问题啊，就像是数学老师给咱们出的新花样儿。

有时候真让人有点摸不着头脑。

你看啊，它不像平常的那些题目，有固定的套路和模式。

新定义问题常常是独树一帜，得让咱们开动脑筋，重新理解和思考。

比如说，给一个从没见过的函数定义，然后让求最值或者值域啥的。

刚开始可能会觉得，这是啥呀？但别着急，咱就从它给的条件入手，一点点分析，看看能找到什么线索。

还有那种关于新的几何图形的定义，要咱们去证明一些性质或者计算相关的量。

这就像是走进了一个陌生的城堡，得自己去摸索里面的结构和规律。

不过呢，每次解决一个新定义问题，都会感觉自己好像又强大了一点。

就像打游戏升级一样，虽然过程有点艰难，但一旦成功，那满足感简直没谁了！我有个同学，以前特别怕新定义问题，后来专门找了好多这样的题来练，现在可厉害了，遇到新定义都不怵。

所以呀，咱们也别被它吓住，多练练，多琢磨，新定义问题也能被咱们拿下！。

新高考高中数学必修二课件+类型题5.1.3数据的直观表示

【归纳总结】柱形图的作法和应用（1）在柱形图中，通常沿水平轴组织类别，而沿竖直轴组织数值. （2）用于显示一段时间内的数据变化或显示各项之间的比较情况.
练：1. 某企业产值在2010年~2019年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图如图所示（单
位：万元），下列说法正确的是（） A.2011年产值比2010年产值少 B.从2013年到2017年，产值年增量逐年减少 C.产值年增量的增量最大的是2019年 D.2018年的产值年增长率可能比2014年的产值年增长率低
典型例题
类型一对柱形图的理解及应用
例1. 如图所示的是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位：万元）
及其构成比例，则下列判断正确的是（） A.乙企业支付的工资占成本的比重在三个企业中最大 B.由于丙企业生产规模最大，故它的其他费用占成本的比重也最大 C.甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用降到了最低 D.乙企业用于工资和其他费用的支出额比甲、丙都高
类型二对折线图的理解及应用
例2［2019·河南开封高三模拟］空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状
况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（） A.该地区在该月2日空气质量最好 B.该地区在该月24日空气质量最差 C.该地区从该月7日到12日AQI持续增大 D.该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关
练：2、某商场一年中各月份的收入、支出情况如图所示，下列说法中正确的是 A.支出最高值与支出最低值的比是8∶1 B.4至6月份的平均收入为50万元 C.利润最高的月份是2月份 D.2至3月份的收入的变化率与 11至12月份的收入的变化率相同

【高中数学考点精讲】考点五新定义题

考点五新定义题
40．【多选】（2022·全国·高一课时练习）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（）
A．B．C．D．
【解析】AC
【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.
【详解】∵，∴，若，则，所以
，故A符合条件；
，故B不符合条件；
，即，又，∴，故C符合条件；
，即，又，∴，故D不符合条件.
故选：AC.
41．（2022·江苏·连云港高中高一期中）对于角的集合和角，定义：
为集合相对角的“余弦方差”，则集合相对角的“余弦方差”为__________.
【解析】
【分析】利用两角和差余弦公式化简已知等式，结合诱导公式和同角三角函数平方关系即可
求得结果.
【详解】
. 故答案为：.。

高中数学平面向量新定义问题(解析版)

平面向量新定义问题求解“新定义”题目，主要分如下几步：1.对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；2.对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；3.对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。

题型一与线性运算有关的新定义1对于n 个向量a 1 ,a 2 ,a 3 ,⋯,a n ，若存在n 个不全为0的实数k 1,k 2,k 3,⋯,k n ，使得k 1a 1 +k 2a 2+k 3a 3 +⋯+k n a n =0 成立，则称向量a 1 ,a 2 ,a 3 ,⋯,a n 是线性相关的.按此规定，能使向量a 1 =(1,0)，a 2 =(1,-1)，a 3=(2,2)是线性相关的实数为k 1,k 2,k 3，则k 1+4k 3的值为()A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】因为向量a 1 =(1,0)，a 2 =(1,-1)，a 3 =(2,2)是线性相关的，所以k 1a 1 +k 2a 2 +k 3a 3 =0 ，即k 1(1,0)+k 2(1,-1)+k 3(2,2)=0 ，即k 1+k 2+2k 3,-k 2+2k 3 =0 ，所以k 1+k 2+2k 3=0,①-k 2+2k 3=0.② 由①加②得k 1+4k 3=0.故选B【跟踪训练】2定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a =m ,n ，b =p ,q ，令a ⊙b=mq -np ，对于如下说法：①若a 与b 共线，则a ⊙b =0；②a ⊙b =b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有λa ⊙b =λa ⊙b；④a ⊙b 2+a ⋅b 2=a 2b 2.正确的是.【答案】①③④【解析】对于①，若a 与b 共线，则mq -np =0，即a ⊙b =0，故①正确；对于②，因a ⊙b =mq -np ，b ⊙a =np -mq ，所以a ⊙b ≠b ⊙a，故②错；对于③，λa ⊙b =λmq -λnp ，λ(a ⊙b ) =λmq -λnp ，所以λa ⊙b =λa ⊙b，故③正确；对于④，因a ⊙b 2+a ⋅b 2=mq -np 2+mp +nq 2=m 2+n 2 p 2+q 2 ，a 2b 2=m 2+n 2 p 2+q 2 ，所以a ⊙b 2+a ⋅b 2=a 2b 2，故④正确.题型二运算法则的新定义3定义：a ，b 两个向量的叉乘a ×b =a ⋅b ⋅sin a ,b ，则以下说法正确的是()A.若a ×b =0，则a ∥bB.λa ×b =λa×bC.若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积等于AB ×ADD.若a ×b =3，a ⋅b =1，则a +b 的最小值为7【解析】对于A ，a ×b =a ⋅b ⋅sin a ,b =0，若a ，b 至少有一个为零向量，则满足a ⎳b ；若a ，b 均不为零向量，则sin ‹a ,b ›=0，即a ，b 同向或反向，即a ∥b ，故A 正确，对于B ，λ(a ×b )=λ|a |⋅|b |⋅sin ‹a ,b ›，(λa )×b =|λa |⋅|b |⋅sin ‹λa ,b›，若λ≥0，则(λa )×b =λ|a |⋅|b |⋅sin ‹a ,b ›，此时λ(a ×b )=(λa)×b ；若λ<0，(λa )×b =-λ|a |⋅|b |⋅sin ‹a ,b ›，此时λ(a ×b )≠(λa)×b ，故B 错误；对于C ，若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积等于|AB |⋅|AD |⋅sin ‹AB ,AD ›，即AB ×AD，故C 正确；对于D ，a ×b =|a |⋅|b |⋅sin ‹a ,b›=3，a ⋅b =|a |⋅|b |⋅cos ‹a ,b ›=1，两式平方后相加得(|a |⋅|b |)2=4，即|a |⋅|b |=2，又|a +b |=a 2+2a ⋅b +b 2=|a |2+|b |2+2≥2|a |⋅|b|+2=6，当且仅当|a |=|b |=2时等号成立，故|a +b|的最小值为6，故D 错误，故选：AC【解题技法】与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．【跟踪训练】4对于非零向量a ，b ，定义a ⊕b =a ⋅b ⋅tan <a ,b >.若a ⊕b =a +b =3a -b=3，则tan <a ,b >=.【解析】∵a ⊕b =a ⋅b ⋅tan a ,b =3，∴tan <a ,b >=3a ⋅b．由a +b =3a -b =3可得a 2+2a ⋅b +b 2=3a 2-2a ⋅b +b 2=1，两式相减得a ⋅b =12，∴tan <a ,b>=312=23．题型三向量与三角结合的新定义5给出定义：对于向量b =sin x ,cos x ，若函数f x =a ⋅b ，则称向量a为函数f x 的伴随向量，同时称函数f x 为向量a的伴随函数.(1)设向量m =3,1 的伴随函数为g x ，若g α =1013，且α∈-π6,π3 ，求cos α的值；(2)已知A -1,32 ，B 1,3 ，函数h x 的伴随向量为n =0,1 ，请问函数h x 的图象上是否存在一点P ，使得AP +BP =AB，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【解】(1)由题意，g x =3sin x +cos x =2sin x +π6，由g α =2sin α+π6 =1013，得sin α+π6 =513，因为α∈-π6,π3 ，所以α+π6∈0,π2 ，所以cos α+π6=1-sin 2α+π6 =1213，所以cos α=cos α+π6 -π6=cos α+π6 cos π6+sin α+π6 sin π6，即cos α=1213×32+513×12=123+526.(2)由题意，h x =cos x ，设P x ,cos x ，因为A -1,32，B 1,3 ，所以AP =x +1,cos x -32 ，BP =x -1,cos x -3 ，AB =2,32，所以AP +BP =2x ,2cos x -92，由AP +BP =AB ，得2x 2+2cos x -92 2=22+32 2，即cos x -942=2516-x 2，因为-1≤cos x ≤1，所以-134≤cos x -94≤54，所以2516≤cos x -942≤16916，又2516-x 2≤2516，所以当且仅当x =0时，cos x -942和2516-x 2同时等于2516，此时cos x -942=2516-x 2成立，所以在函数h x 的图象上存在一点P 0,1 ，使得AP +BP =AB.【跟踪训练】6已知对任意平面向量AB =(x ,y )，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(x cos θ-y sin θ,x sin θ+y cos θ)，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点A (1,2)，点B 1+3,4 ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π3后得到点P ，则点P 的坐标为()A.323+1,32B.-323+1,32C.52,323D.52,12 【解析】O 为坐标原点，由已知AB=(3,2)，AP =3cos -π3 -2sin -π3 ,3sin -π3 +2cos -π3 =332,-12，又A (1,2)，所以P 点坐标为OP =OA +AP =(1,2)+332,-12 =332+1,32，故选：A ．7如果向量a ，b 的夹角为θ，我们就称a ×b 为向量a 与b 的“向量积”，a ×b还是一个向量，它的长度为a ×b =a ⋅b sin θ，如果a =10，b =2，a ⋅b =-12，则a ×b=()A.-16B.16C.-20D.20【解析】由于a ×b =a ⋅b sin θ，a =10，b =2，a ⋅b =-12，则a ⋅b =a b cos θ=10×2cos θ=-12，则cos θ=-35,所以sin θ=45，则a ×b =a b sin θ=10×2×45=16.故选：B8定义a ⊗b =a 2-a ⋅b .若向量a =1,-2,2 ，向量b 为单位向量，则a ⊗b的取值范围是()A.0,6B.6,12C.0,6D.-1,5【解析】由题意可知a =12+-2 2+22=3,b =1，设a 与b 的夹角为θ∈0,π ，则a ⊗b =a 2-a ⋅b =a 2-a bcos θ=9-3cos θ，又因为θ∈[0,π]，则cos θ∈-1,1 ，所以a ⊗b=9-3cos θ∈[6,12]，故选：B .9若向量a =x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积S 可以用a 、b 的外积a×b 表示出来，即S =a ×b =x 1y 2-x 2y 1 .已知在平面直角坐标系xOy 中，A cos α,3 、B sin2α,2cos α ，α∈0,π2，则△OAB 面积的最大值为()A.1B.2C.2D.3【解析】已知在平面直角坐标系xOy 中，A cos α,3 、B sin2α,2cos α ，α∈0,π2，因为S △OAB =12OA ×OB =122cos 2α-3sin2α =123sin2α-2cos 2α=123sin2α-1+cos2α =123sin2α-cos2α-1 =122sin 2α-π6-1 ，因为0≤α≤π2，则-π6≤2α-π6≤5π6，则-12≤sin 2α-π6≤1，则-2≤2sin 2α-π6 -1≤1，则S =122sin 2α-π6-1 ∈0,1 ，当2α-π6=-π6时，即当α=0时，△OAB 面积取最大值1.故选：A .10记min x ,y =y ,x ≥yx ,x <y，设a ，b为平面内的非零向量，则()A.min a +b , a -b ≤min a , bB.min a +b |2, a -b |2 ≥a 2+b 2C.min a +b , a -b ≥min a , bD.min a +b |2, a -b |2 ≤a 2+b2【解析】对于A 选项：考虑a ⊥b ，根据向量加法减法法则几何意义知：|a +b |=|a -b |>min |a |,|b| ，所以A 错误；B 选项：根据平面向量数量积可知：不能保证±a ⋅b ≥0恒成立，|a +b |2=a 2+b 2+2a ⋅b ,|a -b |2=a 2+b 2-2a ⋅b ，所以它们的较小者一定小于等于a 2+b2，所以B 错误D 正确；C 选项：考虑a ⎳b ,a =5,b =4min |a +b |,|a -b | =1,min |a |,|b | =4，所以C 错误.故选：D11定义两个非零平面向量a ，b 的一种新运算：a *b =a ⋅b sin a ,b ，其中a ,b 表示向量a ，b的夹角，则对于非零平面向量a ，b ，则下列结论一定成立的是()A.a +b *a +b =a *a +2a *b +b *bB.(a *b )2+(a ⋅b )2=a 2⋅b 2C.a *b =0，则a ⎳bD.λa *b =λa *b【解析】对于A 项，a +b *a +b =a +b 2=a 2+b 2+2a b cos a ,b，a *a +2a *b +b *b =a 2+b 2+2a b sin a ,b ，故A 项错误；对于B 项，a *b 2+a ⋅b 2=a *b 2+a ⋅b 2=a 2b 2sin 2a ,b +a 2b 2cos 2a ,b =a 2b 2，故B 项正确；对于C 项，由已知可得，a *b =a ⋅b sin a ,b =0，所以sin a ,b =0.因为0≤a ,b ≤π，所以a ,b =0或a ,b =π，所以a ⎳b ，故C 项正确；对于D 项，因为λa ,b 与a ,b 相同或互补，所以sin λa ,b =sin a ,b .λa *b =λa ⋅b sin a ,b ，λa *b =λa b sin λa ,b =λ a ⋅b sin a ,b ，故D 项错误.故选：BC .12已知两个单位向量e 1 、e 2 的夹角为θθ≠π2，若c =x e 1 +y e 2 ，则把有序数对x ,y 叫做向量c 的斜坐标，若a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，则()A.a -b=x 1-x 2,y 1-y 2 B.a =x 21+y 21C.λa=λx 1,λy 1D.a ⋅b=x 1x 2+y 1y 2【解析】由已知a=x 1e 1 +y 1e 2 ，b =x 2e 1 +y 2e 2 ，因此a -b =(x 1-x 2)e 1 +(y 1-y 2)e 2 ，所以a -b的斜坐标为(x 1-y 1,x 2-y 2)，A 正确；λa =λx 1e 1 +λy 1e 2 ，因此λa的斜坐标是(λx 1,λy 1)，C 正确；a =(x 1e 1 +y 1e 2 )2=x 21+y 21+2x 1y 1e 1 ⋅e 2 ，a ⋅b=x 1x 2+y 1y 2+(x 1y 2+x 2y 1)e 1 ⋅e 2 ，在e 1 与e 2 不垂直时，BD 错；故选：AC ．13若非零向量a ，b 的夹角为锐角θ，且ab=cos θ，则称a 被b“同余”．已知b 被a “同余”，且a =2,b =1则a -b 在a上的投影=【解析】b 被a “同余”，则b =a cos θ.所以a (a -b )=a 2-a b cos θ=a 2-|b |2，a -b 在a 上的投影为a (a -b )a =a 2-b 2a=2-12=22.14已知对任意平面向量AB =x ,y ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=x cos θ-y sin θ,x sin θ+y cos θ ，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ，已知平面内点A 1,2 ，点B 1+2,2-22 ，把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π4角得到点P ，则点P 的坐标.【解析】由题意可得AB =2,-22 ，因为点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π4角得到点P ，所以AP =2cos π4--22 sin π4,2sin π4+-22 cos π4=3,-1 ，设P 点坐标为a ,b ，则AP=a -1,b -2 =3,-1 ，解得a =4，b =1，即点P 的坐标为4,115我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e 1 ，e 2 两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向量OP =x e 1 +y e 2，则把实数对x ,y 叫做向量OP 的“@未来坐标”，记OP =x ,y ，已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 分别为向量a ,b 的@未来坐标．(1)证明：x 1,y 1 ⋅x 2,y 2 =x 1x 2+y 1y 2+12x 1y 2+x 2y 1 (2)若向量a ,b 的“@未来坐标”分别为sin x ,1 ,cos x ,1 ，已知f x =a ⋅b，x ∈R ，求函数f x 的最值．【解】(1)证明：因为e 1 ，e 2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且夹角为60°，所以e 1 ⋅e 2 =e 1 e 2 cos60°=12，所以x 1,y 1 ⋅x 2,y 2 =x 1e 1 +y 1e 2 ⋅x 2e 1 +y 2e 2=x 1x 2e 1 2+x 1y 2e 1 ⋅e 2 +x 2y 1e 1 ⋅e 2 +y 1y 2e 2 2=x 1x 2e 1 2+12x 1y 2+12x 2y 1+y 1y 2e 2 2=x 1x 2+y 1y 2+12x 1y 2+x 2y 1 ，即x 1,y 1 ⋅x 2,y 2 =x 1x 2+y 1y 2+12x 1y 2+x 2y 1 ，(2)因为向量a ,b的“@未来坐标”分别为sin x ,1 ,cos x ,1 ，所以f x =a ⋅b=sin x e 1 +e 2 ⋅cos x e 1 +e 2=sin x cos x e 1 2+sin x e 1 ⋅e 2 +cos x e 1 ⋅e 2 +e 22=sin x cos x +1+12(sin x +cos x )，令t =sin x +cos x =2sin x +π4 ，则sin x cos x =12(t 2-1)，因为x ∈R ，所以-2≤2sin x +π4≤2，即-2≤t ≤2，令g (t )=12(t 2+t +1)(-2≤t ≤2)，因为对称轴为t =-12，函数图象开口向上，所以当t =-12时，g (t )取得最小值g -12 =12×14-12+1 =38，当t =2时，g (t )取得最大值g 2 =12×2+2+1 =3+22，所以f x 的最小值为38，最大值为3+22.16记所有非零向量构成的集合为V ，对于a ,b ∈V ,a ≠b ，定义V (a ,b )=x ∈V ∣x ⋅a =x ⋅b ，(1)若a =-1,3 ,b =2,-6 ，求出集合V a ,b中的三个元素；(2)若V a ,b =V a ,c ，其中b ≠c ，求证：一定存在实数λ1,λ2，且λ1+λ2=1，使得a =λ1b +λ2c .【解】(1)设x =(m ,n )，由x ⋅a =x ⋅b 得-m +3n =2m -6n ，即m =3n ，不妨令n 取1，2，3，则m 取3，6，9，故V a ,b中的三个元素为(3,1),(6,2),(9,3)；(2)先证明V a ,b中向量都是共线向量，不妨设a=a 1,a 2 ,b =b 1,b 2 ，因为a ≠b ，所以a 1-b 1,a 2-b 2中至少有一个不为0，若a 2-b 2≠0，记e =1,-a 1-b 1a 2-b 2，显然e ⋅a -b =0，即e ⋅a =e ⋅b ，故e ∈V a ,b ，任取v =x ,y ∈V a ,b ，因为v ⋅a =v ⋅b ，所以v ⋅a -b =0，故x a 1-b 1 +y a 2-b 2 =0，则y =-a 1-b 1a 2-b 2x ，故v =x ,y =xe ，则V a ,b ={v |v =λe ,λ∈R }，则问题得证；若a 2-b 2=0,a 1-b 1≠0，同理可证明V a ,b ={v |v =λe ,λ∈R ，其中e =-a 2-b 2a 1-b 1,1；故综合上述V a ,b中向量都是共线向量，因为V a ,b =V a ,c ，所以不妨设v 1 ,v 2 ∈V a ,b ,v 1≠v 2 ，则由V a ,b定义知v 1 ⋅a =v 1 ⋅b ，即v 1 ⋅a -b =0，同理v 2 ⋅a -b =0，故v 1 ⋅a -b =v 2 ⋅a -b ，则a -b ∈V v 1 ,v 2 ，同理可得a -c ∈V v 1 ,v 2 ，故a -b ,a -c 为共线向量，即存在实数λ，使a -c =λa -b ，即1-λ a =-λb +c ，因为b ≠c ，所以λ≠1，所以a =-λ1-λ b +11-λc，记λ1=-λ1-λ ,λ2=11-λ，则λ1+λ2=1，即一定存在实数λ1,λ2，且λ1+λ2=1，使得a =λ1b +λ2c.17对于一个向量组a 1 ，a 2 ，a 3 ，⋅⋅⋅，a n n ≥3，n ∈N * ，令b n =a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a n ，如果存在a tt ∈N * ，使得a t ≥a t -b n ，那么称a t是该向量组的“好向量”(1)若a 3 是向量组a 1 ，a 2 ，a 3 的“好向量”，且a n=n ，x +n ，求实数x 的取值范围；(2)已知a 1 ，a 2 ，a 3 均是向量组a 1 ，a 2 ，a 3 的“好向量”，试探究a 1 ，a 2 ，a 3的等量关系并加以证明．(2)由“好向量”的定义得三个不等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理后可得．【解析】(1)由题意a 3 ≥a 1 +a 2 ，而a 1 =(1,x +1)，a 2 =(2,x +2)，a 3=(3,x +3)，a 1 +a 2=(3,2x +3)，所以9+(x +3)2≥9+(2x +3)2，解得-2≤x ≤0，所以x 的范围是[-2,0]；(2)a 1 ，a 2 ，a 3 的等量关系是a 1 +a 2 +a 3 =0 ，证明如下：由题意a 1 是向量组a 1 ，a 2 ，a 3的“好向量”，所以a 1 ≥a 2 +a 3 ，则a 1 2≥a 2 +a 3 2，即a 1 2≥(a 2 +a 3 )2，所以a 1 2≥a 2 2+2a 2 ⋅a 3 +a 3 2，同理a 2 2≥a 1 2+2a 1 ⋅a 3 +a 3 2，a 3 2≥a 2 2+2a 2 ⋅a 1 +a 12，三式相加并整理得0≥a 1 2+a 2 2+a 3 2+2a 1 ⋅a 2 +2a 2 ⋅a 3 +2a 1 ⋅a 3，所以(a 1 +a 2 +a 3 )2≤0，a 1 +a 2 +a 3 ≤0，所以a 1 +a 2 +a 3 =0．。

高中数学【新高考新题型】专题练习

高中数学【新高考新题型】专题练习新题型一多选题多选题常对多个对象(知识点)进行考查，也可对同一对象从不同角度进行考查，解法灵活，如直推法、验证法、反例法、数形结合法等均可使用，但必须对每个选项作出正确判断，才能得出正确答案.【例1】 (1)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )，c 为非零常数，则( ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同(2)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN ⊥OP 的是( )(3)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1，0)，则( ) A.|OP 1→|＝|OP 2→| B.|AP 1→|＝|AP 2→|C.OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→D.OA →·OP 1→＝OP 2→·OP 3→答案 (1)CD (2)BC (3)AC解析 (1)∵y －＝1n (y 1＋y 2＋…＋y n ) ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋c ，∴y －＝x －＋c 且c ≠0，因此A 错误；显然第一组数据与第二组数据的中位数相差c ，B 错误；因为D (y )＝12·D (x )＝D (x )，故两组样本数据的方差相同，C 项正确；由极差的定义知：若第一组的极差为x max －x min ，则第二组的极差为y max －y min ＝x max －x min ，故两组样本数据的极差相同，D 项正确. (2)设正方体的棱长为2.对于A ，如图(1)所示，连接AC ，则MN ∥AC ，故∠POC (或其补角)为异面直线OP ，MN 所成的角.在直角三角形OPC 中，∠POC 为锐角，故MN ⊥OP 不成立，故A 错误；图(1)对于B ，如图(2)所示，取MT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ ⊥MT ，PQ ⊥MN .由正方体SBCN-MADT 可得SM ⊥平面MADT ，而OQ ⊂平面MADT ，故SM ⊥OQ ，又SM ∩MT ＝M ，SM ，MT ⊂平面SNTM ，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，所以OQ ⊥MN ，又OQ ∩PQ ＝Q ，OQ ，PQ ⊂平面OPQ ，所以MN ⊥平面OPQ ，又OP ⊂平面OPQ ，故MN ⊥OP ，故B 正确；图(2) 图(3)对于C ，如图(3)，连接BD ，则BD ∥MN ，由B 的判断可得OP ⊥BD ，故OP ⊥MN ，故C 正确；对于D ，如图(4)，取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接AC ，PQ ，OQ ，PK ，OK ，则AC ∥MN .因为DP ＝PC ，故PQ ∥AC ，故PQ ∥MN ，所以∠QPO (或其补角)为异面直线PO ，MN 所成的角，图(4)因为正方体的棱长为2，故PQ ＝12AC ＝2，OQ ＝AO 2＋AQ 2＝1＋2＝3，PO ＝PK 2＋OK 2＝4＋1＝5，QO 2<PQ 2＋OP 2，故∠QPO 不是直角，故PO ，MN 不垂直，故D 错误.故选BC. (3)由题意可知，|OP 1→|＝cos 2α＋sin 2α＝1，|OP 2→|＝cos 2β＋（－sin β）2＝1，所以|OP 1→|＝|OP 2→|，故A 正确；取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，则|AP 1→|≠|AP 2→|，故B 错误；因为OA →·OP 3→＝cos(α＋β)，OP 1→·OP 2→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→，故C 正确；因为OA →·OP 1→＝cos α，OP 2→·OP 3→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，则OA →·OP 1→＝22，OP 2→·OP 3→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1→≠OP 2→·OP 3→，故D 错误.故选AC. 新题型二多空题与开放型填空题 1.多空题分为三类：(1)并列式(两空相连).根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单.会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解；(2)分列式(一空一答).两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问；(3)递进式(逐空解答).两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键，也是解答第二空的基础. 2.开放型填空题的特点是正确的答案不唯一，一般可分为： (1)探索型(一是条件探索型，二是结论探索型)； (2)信息迁移型； (3)组合型等类型.【例2】 (1)已知a ＝(2，1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0，1)，则(a ＋b )·c ＝________；a ·b ＝________.(2)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm ×12 dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm ×12 dm ，20 dm ×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240 dm 2，对折2次共可以得到5 dm ×12 dm ，10 dm ×6 dm ，20 dm ×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180 dm 2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑nk ＝1S k ＝________ dm 2.答案 (1)0 3 (2)5 240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n解析 (1)计算可得(a ＋b )·c ＝(4，0)·(0，1)＝0，a ·b ＝4－1＝3.(2)依题意得，S 1＝120×2＝240(dm 2)； S 2＝60×3＝180(dm 2)；当n ＝3时，共可以得到5 dm ×6 dm ，52 dm ×12 dm ，10 dm ×3 dm ，20 dm ×32 dm 四种规格的图形，且5×6＝30，52×12＝30，10×3＝30，20×32＝30，所以S 3＝30×4＝120(dm 2)；当n ＝4时，共可以得到5 dm ×3 dm ，52 dm ×6 dm ，54 dm ×12 dm ，10 dm ×32 dm ，20 dm ×34 dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，52×6＝15，54×12＝15，10×32＝15，20×34＝15，所以S 4＝15×5＝75(dm 2)； ……所以可归纳S k ＝2402k ·(k ＋1)＝240（k ＋1）2k(dm 2). 所以∑nk ＝1S k ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，① 所以12×∑nk ＝1S k＝240×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，② 由①－②得，12·∑nk ＝1S k＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122＋123＋124＋…＋12n －n ＋12n ＋1 ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－12n ×121－12－n ＋12n ＋1＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－n ＋32n ＋1，所以∑nk ＝1S k ＝240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n dm 2.【例3】 (1)若P (cos θ，sin θ)与Q ⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值________.(2)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )：________. ①f (x 1x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0；③f ′(x )是奇函数. 答案 (1)5π12⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＝5π12＋k π，k ∈Z ，答案不唯一(2)f (x )＝x 4(答案不唯一，f (x )＝x 2n (n ∈N *)均满足)解析 (1)由题意知，点P ，Q 都在单位圆上，且θ＋θ＋π6＝π＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝5π12＋k π，k ∈Z . (2)取f (x )＝x 4，则f (x 1x 2)＝(x 1x 2)4＝x 41x 42＝f (x 1)f (x 2)，满足①；f ′(x )＝4x 3，x >0时有f ′(x )>0，满足②； f ′(x )＝4x 3的定义域为R ，又f ′(－x )＝－4x 3＝－f ′(x )，故f ′(x )是奇函数，满足③. 新题型三结构不良型解答题(1)结构不良型解答题多出现在三角函数和解三角形、数列两部分内容，但有时也出现在其他章节，有三选一和三选二两种类型.(2)解答此类题型，要注意仔细审视条件，切忌浅尝辄止，反复变更条件解答. 【例4】在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝ 3sin B ，C ＝π6，________？(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3. 由②c sin A ＝3，解得c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 【例5】已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度.①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC ＝334.(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解(1)由正弦定理bsin B＝csin C，得sin C＝c sin Bb，又c＝2b cos B，所以sin C＝2sin B cos B＝sin 2B，又A，B，C为△ABC的内角，C＝2π3，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π，即B＝π6.(2)由(1)知，c＝3b，故不能选①.选②，由(1)知A＝π－2π3－π6＝π6，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故周长为(4＋23)x＝4＋23，解得x＝1.从而BC＝AC＝2，AB＝2 3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝12＋1－AD243＝32，解得AD＝7.故BC边上的中线长为7. 选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故S△ABC ＝12·2x·2x·sin2π3＝3x2＝334，解得x＝32，从而BC＝AC＝3，AB＝3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝9＋⎝⎛⎭⎪⎫322－AD233＝32，解得AD＝212.故BC边上的中线长为212.。

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同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110分）1.定义,max{,},a a b a b b ab，设实数,x y 满足约束条件22x y，则max{4,3}zxy xy 的取值范围是（）（A ）[8,10]（B ）[7,10]（C ）[6,8]（D ）2.对于复数a,b,c,d ,若集合S=a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S ,必有xy S ”,则当22a=1b =1c =b时,b+c+d 等于 ( ) A 、1 B 、-1 C、0 D、i3.在实数集R 中定义一种运算“”，R b a,，a b 为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ，0a a ；（2）对任意,R a b ，(0)(0)a b ab a b ．关于函数1()()xxf x e e的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]．其中正确说法的序号为（）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③4.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1?A 且k ＋1?A ，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个5.对于集合kk x x S ，12{N }和集合}{S b a b a x x T ，，，若满足S T，则集合T 中的运算“”可以是A ．加法 B．减法 C．乘法D．除法6.设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()(g x ax a 为常数），使得)()(x g x f 对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 已知对于任意(0,1)k ，()g x ax 是函数()e xk f x 的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合M ，则有（）A.1e,e M M B. 1e,eM M C.1e,e M MD. 1e ,eM M7.用C (A )表示非空集合A中的元素个数，定义)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A .若}2,1{A ，2{|23|}Bx xx a ，且|A-B|=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48.对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x|x ∈M 且xN}，M ⊕N ＝(M －N)∪(N －M)，设A＝{y|y ＝3x ， x ∈R}，B ＝{y|y ＝－122x x，x ∈R}，则A ⊕B 等于()A ．[0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[2，＋∞）9.在实数集R 中定义一种运算“”，R ba,，a b 为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a，0a a ；（2）对任意,R a b ，(0)(0)a b ab a b ．关于函数1()()xxf x e e 的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]．其中所有正确说法的个数为( )A ．B ．1C ．2D ．310.给出定义:若11(,]22xm m（其中m 为整数）,则m 叫做与实数x “亲密的整数”, 记作{}x m ,在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x 的四个命题:①函数()yf x 在(0,1)x 上是增函数;②函数()yf x 的图象关于直线()2k xk Z 对称;③函数()yf x 是周期函数,最小正周期为1;④当(0,2]x时，函数()()ln g x f x x 有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.A ．②③④B ．①③ C．①② D．②④11.定义运算a b ad bc cd，若函数123x f xxx 在(,)m 上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)B ．[2,)C ．(,2)D ．(,2]12.对于函数f x ，若,,a b cR ，,,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称f x 为“可构造三角形函数”，已知函数1x xe tf xe是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．0, B ．0,1 C ．1,2D ．1[,2]213.对于集合A ，如果定义了一种运算“”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ）,a b A ，都有abA ；（ⅱ）e A ，使得对aA ，都有ea a e a ；（ⅲ）aA ，aA ，使得aaaae ；（ⅳ）,,a b cA ，都有ab c a bc ，则称集合A 对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①A 整数，运算“”为普通加法；②A 复数，运算“”为普通减法；③A正实数，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( )A ①②B ①③C ②③D ①②③14.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数()()y f x g x 在[,]x a b 上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x xx与()2g x xm 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( )A.9,24B ．[－1,0]C ．(－∞，－2] D.9,415.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ，存在唯一的2x D ，使得12()()2f x f x C成立（其中C 为常数），则称函数()y f x 在D 上的均值为C ，现在给出下列4个函数：①3y x②4sin yx③lg y x④2xy，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（）A. ①②B. ③④C. ①③④D.①③16.对任意实数,a b 定义运算""如下a a b a bb ab，则函数x xx f 221log )23(log )(的值域为（）A.0,B.,0 C.0,32log 2 D.22log ,317.设B A,是非空集合，定义},|{B AxB Axx BA 且，已知}20|{x x A ，}0|{x x B ，则B A 等于（）.A ),2(.B ),2[]1,0[.C ),2()1,0[.D ),2(]1,0[18.设集合A ?R ，如果x 0∈R 满足：对任意a ＞0，都存在x ∈A ，使得0＜|x ﹣x 0|＜a ，那么称x 0为集合A 的一个聚点．则在下列集合中：（1）Z +∪Z ﹣；（2）R +∪R ﹣；（3）{x|x=，n ∈N *}；（4）{x|x=，n ∈N *}．其中以0为聚点的集合有（）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）y ＝2x 2＋1，}2{x ；（2）y ＝2x 2＋1，}2{x；（3）y ＝2x 2＋1，}2,2{x 。

那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个20.已知12345{,,,,}{1,2,3,4,5,6},a a a a a 若21234345,,,a a a a a a a a ，称排列12345,,,,a a a a a 为好排列，则好排列的个数为.20.72.96.120A B C D 21.若1,xA A x且，则称A 是“伙伴关系集合”，在集合11{1,0,,,1,2,3,4}32M的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为A ．117B ．151C ．7255D ．425522.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“”：对于n N ，满足以下运算性质：①221；②(22)2(22)3n n 。

则10202的数值为（）A.1532B.1533C.1528D.1536第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、解答题（本题共15道小题，每小题5分，共75分）23.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集=,,,D a ax y x R yR r r 上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量111222a =(x ,y ),a =(x ,y )u u r u u r，“12a >>a u u r u u r”当且仅当“12x x ”或“1212x x y y 且”。

按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若12e (1,0),(0,1),0(0,0)e u r u u r r ，则12e >>e >>0u r u u r r ；②若1223a >>a ,a >>a u u r u u r u u r u u r ，则13a >>a u u r u u r ；③若12a >>a u u r u u r ，则对于任意12a D,a +a >>a +a r u u r r u u r r ；④对于任意向量a >>0,0=(0,0)r r r，若12a >>a u u r u u r ，则12a a >a a r u u r r u u r 。

其中真命题的序号为__________24.给定数集A ,对于任意A b a,，有A b a 且A b a ，则称集合A 为闭集合．①集合}4,2,0,2,4{A 为闭集合；②集合},3{Z k k n n A 为闭集合；③若集合1A ,2A 为闭集合，则1A 2A 为闭集合；④若集合1A ,2A 为闭集合，且1A R ，2A R ，则存在R c,使得c 1(A )2A ．其中，全部正确结论的序号是________．25.定义：如果函数)(x f y 在定义域内给定区间][b a ，上存在)(00b x ax ，满足aba fb f x f )()()(0，则称函数)(x f y是][b a ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．例如y=| x |是]22[，上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数1cos )(x x f 是]22[，上的“平均值函数”．②若)(x f y是][b a ，上的“平均值函数”，则它的均值点x 0≥2ba ．③若函数1)(2mx xx f 是]11[，上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是)20(，m．④若x x f ln )(是区间[a ，b] (b>a ≥1)上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，则abx 1ln 0．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）26.下图展示了一个由区间1,0到实数集R 的映射过程：区间1,0中的实数m 对应数轴上的点m ，如图①：将线段AB 围成一个圆，使两端点B A,恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为1,0，如图③，图③中直线AM 与x 轴交于点0,n N ，则m 的象就是n ，记作n m f ．下列说法中正确命题的序号是（填出所有正确命题的序号）①141f②x f 是奇函数③x f 在定义域上单调递增④x f 是图像关于点0,21对称．27.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=1212x x y y 为两点1122,,,P x y Q x y之间的“折线距离”，则坐标原点O 与直线2230xy 上任意一点的“折线距离”的最小值是_________. 28.设T S,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y 满足；(i)}|)({S x x f T ；(ii)对任意S x x 21,，当21x x 时,恒有)()(21x f x f ．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：①,{1,1}S R T ；②*,S N TN ；③{|13},{|810}Sx x Tx x；④{|01},S x x TR 其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是_________(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．29.若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y 的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称(,)P Q 是函数)(x f y的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,0k x x f x xx有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是__ ▲ _．30.已知有限集123,,,,2,n Aa a a a n n N.如果A 中元素1,2,3,,i a i n满足1212nn a a a a a a ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合1515,22是“复活集”；②1212,,,a a R a a 若且是“复活集”，则124a a ；③*1212,,,a a N a a 若则不可能是“复活集”；④若*i a N ，则“复活集”A 有且只有一个，且3n .其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）31.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m 和2ykx m ，使得对任意x D 都有12()kx m f x kx m 恒成立，则称函数()()f x x D 有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：①1()f x x；②()sin f x x ；③2()1f x x；④ln ()x f x x其中在区间[1,)上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).32.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,yS ，都有xy,x y,xyS ，则称S为封闭集。