人教A版高一数学必修2模块综合测评(一)含解析.docx
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模块综合测评(教师独具)(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β， a ⊂α， b ⊂β， 则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面D ．平行A [满足条件的情形如下：]2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．13C [由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.]3．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值为( ) A ．10－1 B ．102C ．10D ．10－1或10＋1B [因为两圆外切且半径相等，所以|C 1C 2|＝2r .所以r ＝102.] 4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13， 则( )A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OCC [|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .]5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2C [圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直， 则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [由题意知：2a －(a ＋1)＝0，得a ＝1，所以2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得x ＝25，y ＝65.]7．如图， 在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ，P ，C 共线时，PC 1与AA 1相交不垂直，所以A ，B 错误；连接BC 1，DC 1(图略)，可以证AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1，所以PC 1与平面AB 1D 1平行．]8．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， AB ＝2， BC ＝4, AA 1＝6， 则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，连接AC ，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝6，所以CC 1＝AA 1＝6，AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中，sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝626＝12.所以∠C 1AC ＝30°.] 9．已知点A (－1，1)，B (3，1)，直线l 过点C (1，3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切或相离D [因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6，0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．]10．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是( ) A ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB ．若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥nC ．若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥αD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD [若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，A 正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥n ，B 正确；由直线与平面平行的判定定理，若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α，C 正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交， 即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a ，D 不正确．]11．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y )]max . 设b ＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b . 所以圆心(0，1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1, 解得－2－1≤b ≤2－1.所以c ≥2－1.]12．如图， 在△ABC 中， AB ＝BC ＝6， ∠ABC ＝90°， 点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置， 使PC ＝PD ，连接PC, 得到三棱锥P BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形， 由BD ＝3，O 1D ＝1，及OB ＝OD ，得OB ＝72， 所以外接球半径为R ＝72，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π×74＝7π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行，则m ＝________． －2 [由题意知：m ＋1＝2m，解得m ＝1或－2. 当m ＝1时，两直线方程均为2x －y －6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m ＝－2时，直线分别为x ＋y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，两直线平行．]14．如图所示， 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43[平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为2×2×1×13×2＝43.]15．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]16．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，PA ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．12(2－2)m [由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，PA ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P ABCD ＝V O ABCD ＋V O PAD ＋V O PAB ＋V O PBC ＋V O PCD ，即13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12· 2 m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是12(2－2)m .]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)与直线l 关于y 轴对称．[解] (1)因为l ∥l ′， 所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0，3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4，0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4，0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2，0)，且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程； (2)若直线l 与圆C 相离， 求k 的取值范围．[解] (1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1，2)， |CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0, (m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意． 21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0<b <1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b ).设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b1－b 2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b2b.所以l 1的方程是y －b ＝1－b2b(x ＋1－b 2).化简得l 1的方程为－1－b 2x ＋by ＝1. 同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程为 1－b 2x ＋by ＝1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .(2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ， 则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数， 即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0. 化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.①联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b.故在y 轴上存在一点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。
高中数学 模块综合评价(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l1：2x＋my＝2，l2：m2x＋2y＝1，且l1⊥l2，则m的值为()A．0B．－1C．0或1 D．0或－1解析：因为l1⊥l2，所以2m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1.答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A.2π B．22πC．2π D．4π解析：设底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r＝h＝22l，则12(2r)2＝1，r＝1，l＝ 2.所以圆锥的侧面积为πrl＝2π.答案：A3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：当三棱锥DABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC.取AC的中点O，则∠DBO即为直线BD和平面ABC所成的角．易知△DOB是等腰直角三角形，故∠DBO＝45°.答案：C4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x解析：由题意知，圆心(1，0)到点P的距离为2，所以点P在以(1，0)为圆心、2为半径的圆上．所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B5．下列命题中，正确的是() A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为() A.5B ．2 2 C ．23D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3， 故NF 的方程为y ＝－3(x －1)， 即3x ＋y －3＝0.所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：C7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A ．16π B．20π C ．24π D．32π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：C8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，且与直线x －2y ＋5＝0相切，则圆C 的面积的最小值为()A.45π B．3－5π C.3－52π D．(6－25)π 解析：由题可知，(0，0)到直线x －2y ＋5＝0的距离为|5|12＋22＝ 5.又因为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，圆C 的直径的最小值为5－1，圆C 的面积的最小值为π（5－1）24＝3－52π.答案：C9．已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是() A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β B ．若m ∥n ，α∩β＝m ，则n ∥α，n ∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β 解：由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α. 又n ⊂β，所以α⊥β，故A 正确． 在B 项中，m ∥n ，α∩β＝m ，则n ⊂α，n ∥β或n ∥α，n ⊂β或n ∥α，n ∥β. 所以选项B 不正确．由线面垂直，面面垂直的判定，C 、D 正确． 答案：B10．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 到平面AB 1C 的距离是()A.32B. 3 C.33D ．4 解析：由正方体的性质，易知AC ＝B 1C ＝AB 1＝2，所以S △AB 1C ＝34×(2)2＝32. 又S △ABC ＝12×12＝12.知V 三棱柱B 1-ABC ＝13×12×1＝16.设点B 到平面AB 1C 的距离为h ， 从而V 三棱锥B-AB 1C ＝13·h ×32＝16，所以h ＝13＝33. 答案：C11．已知直线(1＋k )x ＋y －k －2＝0恒过点P ，则点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是()A ．(3，－2)B ．(2，－3)C ．(1，3)D ．(3，－1)解析：由(1＋k )x ＋y －k －2＝0得k (x －1)＋(x ＋y －2)＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故点P 的坐标为(1，1)．设点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b ＋12－2＝0，b －1a －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，所以点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(3，－1)． 答案：D12．如图，多面体ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，则下面结论正确的是()A ．A 1B ∥B 1CB ．平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1 C ．平面CB 1D 1∥平面A 1BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为30°解析：若A 1B ∥B 1C ，因为A 1B ∥CD 1，所以B 1C ∥CD 1，矛盾，故A 错误．因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面BB 1D 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，则平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1也是错的，故B 错误．因为A 1B ∥CD 1，A 1D ∥CB 1，所以平面CB 1D 1∥平面A 1BD ，故C 正确．因为ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体．所以∠BCB 1＝45°，又AD ∥BC ，所以AD 与CB 1所成的角为45°，故D 错误．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：114．已知直线l 1的方程为y 1＝－2x ＋3，l 2的方程为y 2＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线l ：y ＝kx 与曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2有两个不同交点，则k 的取值X 围是________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34 16．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以三棱锥S ABC 的体积为 V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33， 即r 33＝9.所以r ＝3.所以S 球表＝4πr 2＝36π. 答案：36π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0， 因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3， 即l 2：2x －y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)． (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x .当l 3不过原点时，设l 3的方程为x a ＋y2a ＝1.又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2a ＋12a ＝1，得a ＝52，l 3的方程为2x ＋y －5＝0.综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0.18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3. (1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， 所以AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，又PA ⊥平面ABCD ，所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32.19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫0，－23.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值X 围．解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5， 所以|MN |的最小值为5－1＝4.(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，所以直线l 的方程为y ＝43x －23. 即4x －3y －2＝0. 因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则|4a －2|42＋32＞|a |. 又a ＜0，所以2－4a ＞－5a ，解得a ＞－2. 所以a 的取值X 围是(－2，0)．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1， 因为DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD .(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1. 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD .又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ， 所以CD ⊥平面ABB 1A 1， 因为CD ⊂平面CDB 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1. 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若直线l 过点(－2，0)且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解：(1)x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝－2，易求得直线l 与圆C 的交点为A (－2，1)，B (－2，3)，|AB |＝2，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋2k |k 2＋1＝（ 2）2－12＝1， 解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (2)如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ， 则CM ⊥PM ，所以△PMC 为直角三角形． 所以|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设点P 为(x ，y )，由(1)知点C 为(－1，2)，|MC |＝2， 因为|PM |＝|PO |，所以（x ＋1）2＋（y －2）2－2＝x 2＋y 2， 化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，也即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |的最小值为3510.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)解：由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角． 因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ， 所以AD ⊥PD .word - 11 - / 11 在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5，故cos ∠DAP ＝ADAP ＝55. 所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明：如图，由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC .又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ，所以PD ⊥平面PBC .(3)解：过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1.由已知，得CF ＝BC －BF ＝2.又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC .在Rt △DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝25；在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PDDF ＝55. 所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55.。
【人教A版】高一数学必修2模块综合测评(一)(Word版,含解析)
模块综合测评一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是( )A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点思路解析:根据公理1判断,只要当直线上有两点在一个平面内,则这条直线就在平面内;反之,只要直线上有一个点不在平面内,则这条直线就不在平面内. 答案:C2过点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.23-B.32-C.52D.2思路解析:用两点式得到过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3.令y=0,得x=23-. 答案:A3在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与AD 成异面直线的棱共有( ) A.4条 B.5条 C.6条 D.7条思路解析:其余11条棱中,有4条与AD 异面,有三条与它相交,其他4条异面. 答案:A4点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a<-1或a>1 D.a=±1 思路解析:解不等式(1-a)2+(1+a)2<4. 答案:A5球的面积膨胀为原来的3倍,膨胀后的球的体积为原来的( ) A.3倍 B.32倍 C.33倍 D.4倍思路解析:球的面积变为原来的3倍,球的半径就变为原来的.3倍,则它的体积就变为原来的33倍.答案:C6下列命题:①一条直线在平面内的射影是一条直线. ②在平面内射影是直线的图形一定是直线. ③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行. 其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3思路解析:各个命题,都可以举出反例说明它们不成立,如:命题①一条直线的射影可以为一个点;命题②和此平面垂直的平面在此平面内的射影也可以是一条直线;命题③与此平面所成不同角的斜线射影长相等,但斜线长不相等;命题④两斜线与平面所成角相等,则他们也可能相交或异面. 答案:A7已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m),则AB 的最小值是( ) A.179 B.173C.17173D.17179思路解析:AB 2=(1-2m)2+(2-3m)2+(-2+2m)2=17m 2-24m+9=17(m-172)2+179=179, ∴AB min =17173179=. 答案:C8正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列结论不成立的是( ) A.AC ⊥BDB.△ADC 为正三角形C.AB 、CD 所成角为60°D.AB 与面BCD 所成角为60°思路解析:AB 与面BCD 所成的角应为45°. 答案:D9从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A.π B.2π C.4π D.6π 思路解析:将圆的方程配方得: x 2+(y-6)2=9,圆心在(0,6),半径为3.如图1,Rt △PAO 中,OP=6=2PA,图1从而得到∠AOP=30°, 即∠AOB=60°.可求∠BPA=120°. ∴P 的周长为2π×3=6π, 劣弧长为周长的31,可求得劣弧长为2π. 答案:B10a 、b ∈N *,则同时过不同三点(a,0)、(0,b)、(1,3)的直线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.多于3 思路解析:过(a,0)与(0,b)的直线为by a x +=1,于是ba 31+=1, 故3a=b(a-1).若b=3m,m ∈N *,则a=m(a-1),于是m≤2,代入逐个验证可知,m=2,a=2,进而b=6; 若b≠3m,则必有a-1=3n,n ∈N *,则1=n(b-3),于是只有n=1,b=4,进而a=4, 故满足条件的直线最多有2条. 答案:B11图2,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB,EF=23,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为…( )图2A.29 B.5 C.6 D.215 思路解析:分别取AB 、CD 的中点G 、H 连EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积29,进而整个多面体的体积为215. 答案:D12光线从点A(-1,1)射出经x 轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程是( ) A.26-2 B.8 C.64 D.10 思路解析:点A(-1,1)关于x 轴的对称点是A′(-1,-1). 圆心C(5,7),最短路程是A′C -r=2286+-2=8.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上) 13过P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为___________.思路解析:过P 点且垂直于OP 的直线为所求,方程为x+2y-5=0. 答案:x+2y-5=014已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=1,则球面面积为___________-.思路解析:由于球心在截面ABC 上的射影是△ABC 的外心(即小圆的圆心),则小圆的半径、球的半径及球心到截面的距离组成一个直角三角形,求出球的半径为32,最后利用球的面积公式得S=916π为所求. 答案:916π15在xOy 平面上,四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3),则这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为__________.思路解析:几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、3,高为2)的体积减去一个圆锥的体积(底为1,高为1). 答案:32516如图3,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图3思路解析:上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱.它的高为21(a+b).所求体积为它的一半. 答案:21πr 2(a+b)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)如图4,A 、B 分别是异面直线a 、b 上两点,自AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行,M 、N 分别是a 、b 上的任意两点,MN 与α交于点P.图4求证:P 是MN 的中点.思路分析:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,从而在△ABN 和△AMN 中利用中位线的性质求解. 证明:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,∵b ∥α,OQ 是过直线b 的平面ABN 与α的交线, ∴b ∥OQ.同理PQ ∥a.在△ABN 中,O 是AB 的中点,OQ ∥BN, ∴Q 是AN 的中点. 又∵PQ ∥a,∴P 是MN 的中点.18(本题满分12分)画出方程|xy|+1=|x|+|y|的图形,并求图形所围成的面积S. 思路分析:关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0这种易于求解的形式. 解:将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0,由它得到|x|=1或|y|=1x=±1或y=±1.它的图形(如图5)是四条直线围成的正方形ABCD,它的边长为2,面积为S=22=4.图519(本题满分12分)如图6所示,在正△ABC 中,E 、F 依次是AB 、AC 的中点,AD ⊥BC,EH ⊥BC,FG ⊥BC, D 、H 、G 为垂足.若将正△ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值为多少？图6思路分析:阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算. 解:设圆锥的高为h,底面半径为r, 则圆柱的高为2h ,底面半径为2r . 所以,85312)2(1122=∙∙-=-=-h r hr VV VV V ππ柱柱. 20(本题满分12分)圆C:x 2+y 2-x-6y+F=0与直线l:x+2y-3=0交于两点P 、Q,且OP ⊥OQ,求F 的值.思路分析:P,Q 两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方程的解.但没有必要求两点坐标的具体值,F 的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解. 解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+--+.23,0622xy F y x y x 5x 2+2x+4F-27=0. 根据根与系数的关系,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∙-=+.5274,522121F x x x x根据题意,有PO ⊥OQ 2211x y x y ∙⇒=-1⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+⇒=-∙-0232321x x5x 1x 2-3(x 1+x 2)+9=0⇒5×52109)52(35274=⇒=+-⨯--F F . 21(本题满分12分)如图7,已知多面体ABCDE 中,AB ⊥平面ACD,DE ⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为CE 的中点.图7(1)求证:BF ⊥面CDE.(2)求多面体ABCDE 的体积.(3)求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小.思路分析:(1)如图6,取CD 的中点G ,DE 的中点H,连接FG,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF ⊥面CDE 证明成立的话,则必然有BF ⊥CE,考虑到F 为CE 的中点,我们的目标就是要证明△BCE 是等腰三角形.另外由于BF 在平面ACD 上的射影AG 是△ADC 的边CD 上的高,所以BF ⊥CD.这样BF 就垂直于平面ACD 上的两条相交直线,从而BF ⊥面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到△BCE 在平面ACD 上的射影就是△ADC,有结论:两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解. 解:(1)证明:∵AB ⊥平面ACD,∴AB ⊥AC, 由AB=a,AC=2a,得BC=5a.同理,在直角梯形ABDE 中,AB ⊥AD,DE ⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=5a. 又F 是CE 的中点,∴BF ⊥CE.∵BF 在面ACD 上的射影是等边△ADC 的边CD 上的高, ∴BF ⊥CD.∴BF ⊥平面CDE.(2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥B —ACD 与三棱锥B —CDE. V B —ACD =31AB·S ACD =31·a·43(2a)2=33a 3.∵CE=22a,CF=2a, 而BC=5a,∴BF=3a,∴V B —CDE =31BF·S CDE =31·3a·21·(2a)2=3323a .故所求多面体ABCDE 的体积为3a 3.(3)解:设面BCE 与面ACD 所成的角为θ. ∵△BCE 在面ACD 上的射影为△ACD,∴cosθ=2232221)2(432=∙∙=∆∆a a a s S BCE CDA , ∴θ=4π 22(本题满分14分)已知圆C:x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.思路分析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A 和B 的坐标值.但不必解出A 和B 坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB 为直径的圆可表示为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. 解:假设直线存在,设l 的方程为y=x+m, 由⎩⎨⎧=-+-++=,0442,22y x y x m x y得2x 2+2(m+1)x+m 2+4m-4=0.(*) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+y 2=-(m+1),x 1x 2=2442-+m m .∵以AB 为直径的圆(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0, 若它经过原点,则x 1x 2+y 1y 2=0. 又y 1·y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2. ∴2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=0, ∴m 2+3m-4=0,m=-4或m=1.∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ>0, ∴所求直线l 的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.。
高中人教A版数学必修二模块综合测评 Word版含答案
模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．过点(，－)，(－，)的直线的斜率为－，则的值为( )．．．．【解析】由题意知＝＝－，∴＝.【答案】．在轴、轴上的截距分别是－、的直线方程是( )．－－＝．－－＝．－＋＝．－＋＝【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝，即－＋＝.【答案】．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )．【解析】设正方体的棱长为，球的半径为，则π＝π，∴＝.又∵＝＝，∴＝.【答案】．关于空间直角坐标系中的一点()有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③与点关于轴对称的点的坐标为(－，－，－)；④与点关于坐标原点对称的点的坐标为(，－)；⑤与点关于坐标平面对称的点的坐标为(，－)．其中正确的个数是( )．．．．【解析】点到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点关于轴对称的点的坐标为(，－，－)，故③错；与点关于坐标原点对称的点的坐标为(－，－，－)，故④错；⑤正确，故选.【答案】．如图，在四面体中，，分别是与的中点，若＝＝，⊥，则与所成的角为( )图．°．°．°．°【解析】取的中点，连接，，则∠为所求，可证△为直角三角形，⊥，＝，＝，从而可得∠＝°.【答案】．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )图．π．π【解析】由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积＝柱－半球＝π××－×××＝，选.【答案】．已知圆＋＋＋＋＝和定点(，－)，若过点的圆的切线有两条，则的取值范围是( )．(－∞，)．(－，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－)【解析】因为方程＋＋＋＋＝表示一个圆，所以＋－＞，所以＜.由题意知点(，－)在圆外，所以＋(－)＋×＋×(－)＋＞，解得＞－，所以－＜＜.【答案】．如图，在斜三棱柱的底面△中，∠＝°，且⊥，过作⊥底面，垂足为，则点在( )。
【测控设计】高一数学人教A版必修2模块综合测评.doc
模块综合测评（时间:120分钟满分:150分）一、选择题（本大题共12小题,釦卜题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.己知点A（3,a）在直线2x+y-7=0上，则a=（）A. 1B.-lC.2D.-2解析：:'2x3+a・7=0,•:Q=1.答案:A如图SBCD-AbCQi为正方体，异面直线AD与CB\所成的角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析:异面直线AD与C®所成的角为上BCB\,而厶BCB、为等腰直角三角形，所以Z BCB、=45。
.答案:B3. 用若干块相同的小正方体搭成一个儿何体，该儿何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（）A.8B.7C.6D.5解析:由正视图和侧视图可知,该几何体由两层小正方体拼接成;由俯视图可知，最下层有5 个小正方体;由侧视图可知，上层仅有一个小正方体,则共有6个小正方体.答案:C4. 若球的半径扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（）A.64 倍 B.16 倍 C.8 倍 D.4 倍4解析:设球原来的半径为尸，体积为匕则7=%/,当球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的2匸8倍.答案:c5•已知m 是平面<z 的一条斜线，点A 却,1为过点A 的一条动直线，那么下列情形屮可能出 现的是（）A./〃加，/丄aB./丄加，/丄a C?丄 m.l // a D.l// m,l// a 答案:C6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7,圆台的侧面积为84兀则圆台 较小底面的半径为（）A.7B.4C.9D.3解析:设圆台较小底面的半径为厂，则S 同台便=兀（尸+3厂”=84兀,又/=7,• */*=3. 答案:D7. 直线宀+1=0与圆（x+l ）2+y 2=l 的位置关系是（） A. 相切B. 直线过圆心C. 直线不过圆心，但与圆相交D. 相离卜 1 + 1|解析:圆（x+l ）2+/=l 的圆心为（-1,0）,圆心到直线疋y+l=0的距离d= A /2 =0.・：直线x-y+l=0过圆心. 答案:B 8.圆F+j?・8x+6y+16=0与圆X 2+J ^2=16的位置关系是（） A.相交 B.相离 C.内切 D.外切解析:设圆X 2+/=16的圆心为O,则0（0,0）,n=4.设圆H+y2_8x+6y+16=0的圆心为C,半径为◎则C （4,-3）/2=3..\\OC\ =V （4 - o ）2 4- （- 3 - 0）2=5,•：|厂im|V|OC|<n+厂2, •:两圆相交. 答案:A 9.正视图 侧视图俯视图一个几何体的三视图如图所示,其屮止视图是边长为2的止三角形，俯视图是正方形，那么 该儿何体的侧视图的面积是（） A.2\〃 B.SC.4D.2 答案:B解析:由题意可知侧视图与正视图形状完全一样是正三 角形，面枳10.如图，在正四棱柱ABCD-A,B X C X D X中,Ef分别是AB^BC,的中点，则以下结论中不成立的是()A. EF 与35垂直B. EF 与BD 垂直C. EF 与CD 异面D. EF 与4G 异面解析:连接43,：込是力5中点，•:ES\B,・・・EF 是SBC 、的中位线，•:EF//AC, 故D 不成立. 答案:D11. EZ 知圆C 的圆心是直线x+y+l=O 与直线x-y-1 = 0的交点，直线3x+4y-11 =0与圆C 相 交于两点，且|肋|=6,则圆C 的方程为( ) A.X 2+0；+ 1 尸=18 B.H+o 1 尸=3 Q C. (X -1)2+/=18 D. (x-1F+F=3解析:直线兀+y+l=0与直线x-y-]=0的交点为(0,-1),所以圆C 的圆心为(0,-1),设半径为r, (|3 X0 + 4x(・ 1)・ 11|)2由题意可得【 倍+ 4? ) +32=/,解得尸2=1&所以圆C 的方程为X 2+(J +1)2=18. 答案:A12. 若直线y=kjc+\与圆x 2+y 2=\相交于只0两点，且乙戶00=120。
高一数学人教A版必修2练习模块测试卷 Word版含解析
模块综合检测卷
(本部分在学生用书中单独成册)
(测试时间：分钟评价分值：分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
．直线－＝的倾斜角是()
．°．°
．°．不存在
．已知点(，，)和点(，，)，且＝，则实数的值是()
．－或．－或
．或－．或－
．圆＋－＝与圆＋－－－＝的位置关系是()
．相交．相离
．外切．内切
．在同一个直角坐标系中，表示直线＝与＝＋正确的是()
．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()
．直线－＋＝与圆＋－－＝相切，则实数＝()
或－．－或
．－或．－或
.在下列命题中，不是公理的是()
．平行于同一个平面的两个平面相互平行
．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条线上所有的点都在此平面内
．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
．已知两直线：＋＋＝和：＋－＝，若⊥且在轴上的截距为－，则，的值分别为()
．，．，
．－，．，－
．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，。
高中数学人教A版高一必修2模块综合检测试卷(1)(Word版,含解析)
数学人教A 必修2模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y ＋1＝0 D ．2x －3y －1＝02．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．45-D ．453．已知点M (－2,1,3)关于坐标平面xOz 的对称点为A ，关于y 轴的对称点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．C ．D ．84．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′，那么原△ABC 中∠ABC 的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 6．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －2y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0( )A B ．5 C ． D ．58．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．D ．9．把直线3y x =绕原点逆时针转动，使它与圆x 2＋y 2＋－2y ＋3＝0相切，则直线转动的最小正角是( )A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π10．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A ．3 B ．3 C ．3 D ．311．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．B ．C ．D ．12．若直线y ＝x ＋b 与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－1,B ．[1-1+C ．[1-3]D ．[1，3]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ．其中真命题的序号是__________．14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3．15．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为__________．16．将一张坐标纸折叠一次，使得点P (1,2)与点Q (－2,1)重合，则直线y ＝x －4关于折痕对称的直线为__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ．(1)证明P A⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．18．(12分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直．(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．19．(12分)已知线段AB的端点B的坐标为(1,3)，端点A在圆C：(x＋1)2＋y2＝4上运动．(1)求线段AB的中点M的轨迹；(2)过B点的直线l与圆C有两个交点E，D，当CE⊥CD时，求l的斜率．20．(12分)请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北方有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界OAB内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？21．(12分)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△P AD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积．(2)求证：P A∥平面MBD．(3)试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．22．(14分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面P AD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△P AD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面P AB．参考答案1答案：A 2答案：B 3答案：C 4答案：D 5答案：C 6答案：A 7答案：A 8答案：C 9答案：B 10答案：C 11答案：B 12答案：C 13答案：①④ 14答案：6 15答案：216答案：x ＋7y ＋20＝017答案：(1)证明：过D 作DF ⊥AB 于F ，因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，所以∠ADF＝30°，DF a =，32FB a =，所以∠FDB ＝60°.故BD ⊥AD .又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD .所以BD ⊥平面P AD .故P A ⊥BD . (2)解：如上图，作DE ⊥PB ，垂足为E . 已知PD ⊥底面ABCD ， 则PD ⊥BC .由(1)知BD ⊥AD ，又BC ∥AD ，所以BC ⊥BD . 故BC ⊥平面PBD ， 所以BC ⊥DE . 则DE ⊥平面PBC .由题设知PD ＝1，则BD =，PB ＝2.根据DE ·PB ＝PD ·BD ，得2DE =，即棱锥D －PBC 的高为2. 18答案：解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，ab＝1－a ，1a b a =-故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋4(1)a a -＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋1aa-＝0.∵原点到l 1与l 2的距离相等， ∴141a a a a -=-，a ＝2或23a =. 因此2,2ab =⎧⎨=-⎩或2,32.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩19答案：解：(1)设A (x 1，y 1)，M (x ，y )，由中点公式得111,232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ⇒ 1121,2 3.x x y y =-⎧⎨=-⎩因为A 在圆C 上，所以(2x －1＋1)2＋(2y －3)2＝4，即223=12x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.点M 的轨迹是以30,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆.(2)设l 的斜率为k ，则l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0. 因为CE ⊥CD ，△CED 为等腰直角三角形，圆心C (－1,0)到l=.=，所以4k 2－12k ＋9＝2k 2＋2.即2k 2－12k ＋7＝0，解得32k =±. 20答案：解：如图建立坐标系，可知AB 所在直线方程为=12020x y+，即x ＋y ＝20.设G (x ，y )，由y ＝20－x 可知G (x ,20－x ) .∴S ＝[39－5－(20－x )][25－(5＋x )]＝(14＋x )(20－x )＝－x 2＋6x ＋20×14＝－(x －3)2＋289.由此可知，当x ＝3时，S 有最大值289平方米.故在线段AB 上取点G (3,17)，过点G 分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大.21答案：解：(1)∵Q 为AD 的中点，△P AD 为正三角形，∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且面P AD ∩面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .∵AD ＝4，∴PQ =四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13S 正方形ABCD ·PQ ＝21433⨯⨯=.(2)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，由正方形ABCD 知O 为AC 的中点，∵M 为PC 的中点， ∴MO ∥P A .∵MO ⊂平面MBD ，P A ⊄平面MBD ， ∴P A ∥平面MBD .(3)存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PQB ⊥平面PNC ，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点， ∴BQ ⊥NC .由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，NC ⊂平面ABCD ， ∴PQ ⊥NC .又BQ ∩PQ ＝Q ， ∴NC ⊥平面PQB . ∵NC ⊂平面PCN ，∴平面PCN ⊥平面PQB . 22答案：(1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ；因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD ，又平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)解：因为E 为PB 的中点，所以E 点到平面ABCD 的距离为11=22PH ，S △BCF ＝12×CF ×AD ＝1122⨯=.所以三棱锥E －BCF 的体积V ＝1132212⨯⨯=. (3)证明：取AB 的中点M ，连接MF ，EM ，取P A 的中点N ，连接NE ，DN .因为AB ∥CD ，DF ＝12AB ，所以NE AM DF，所以四边形DNEF为平行四边形，所以EF DN.因为PD＝AD，所以DN⊥P A.又因为AB⊥平面P AD，所以DN⊥AB.又P A∩AB＝A，所以DN⊥平面P AB，所以EF⊥平面P AB.。
高一数学人教A版必修2试题综合学业质量标准检测 Word版含解析
本册综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分分．考试时间分钟．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·泰安二中高一检测)直线＝与直线＝＋垂直，则等于( )．－．．．－[解析]由题意，得＝－，∴＝－.．空间中到、两点距离相等的点构成的集合是( )．线段的中垂面．线段的中垂线．一个圆．过中点的一条直线[解析]空间中线段的中垂面上的任意一点到、两点距离相等．．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( )．②④．③④．①②．②③[解析]垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选．．如图，在同一直角坐标系中，表示直线＝与＝＋正确的是( )[解析]当>时，直线＝的斜率＝>，直线＝＋在轴上的截距等于>，此时，选项、、、都不符合；当<时，直线＝的斜率＝<，直线＝＋在轴上的截距等于<，只有选项符合，故选．．已知圆＋＋－＋＝截直线＋＋＝所得弦的长度为，则实数的值是( )．．．．[解析]圆＋＋－＋＝的圆心(－)，半径＝(<)．圆心(－)到直线＋＋＝的距离＝＝，由题意，得＝.．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )[解析]如图所示，由图可知选．．(·天水市高一检测)圆＋－＋＝和圆＋－＝交于、两点，则的垂直平分线的方程是( )．＋＋＝．－－＝．－－＝．－＋＝[解析]圆＋－＋＝的圆心(，－)，圆＋－＝的圆心()，的垂直平分线过圆心、，∴所求直线的斜率＝＝，所求直线方程为＝(－)，即－－＝.．(·南平高一检测)已知直线与直线－＋＝关于直线＝对称，则直线的方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．＋－＝[解析]由(\\(－＋＝＝))，得(\\(＝＝)).由题意可知直线的斜率与直线－＋＝的斜率互为相反数，∴＝－，故直线的方程为－＝－(－)，即＋－＝.．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是( )．．．．[解析]该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积＝××＋×××＝.．(～·郑州高一检测)过点()的直线与圆：(－)＋(－)＝交于，两点，为圆心，当∠最小时，直线的方程是( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．－＋＝[解析]由圆的几何性质知，圆心角∠最小时，弦的长度最短，此时应有⊥.∵＝，。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：学期综合测评(一) Word版含解析
姓名，年级：时间：必修2 学期综合测评（一)对应学生用书P103 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知两直线y＝ax－2和y＝(a＋2）x＋1互相垂直，则a等于（)A．2 B．1 C．0 D．－1答案 D解析由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝（a＋1）2＝0,∴a＝－1，也可以代入检验．2．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( ）A．（1，－2)，5 B．(1，－2），错误!C．（－1，2），5 D．(－1，2)，错误!答案D解析圆的方程化为标准方程为（x＋1)2＋（y－2)2＝5，其圆心是(－1，2）,半径为错误!．3．已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|＝（)A．3 B．7 C．10 D．5答案A解析因为直线l的方程为2x－5y＋10＝0，所以令y＝0，得x＝－5，即a＝－5，令x＝0，得y＝2，即b＝2，所以|a＋b|＝｜－5＋2|＝3．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( )A．12B．错误! C．错误! D．错误!答案C解析由三视图，知该几何体的直观图如图所示．平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A－BCDE 的高为1．四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED＝错误!×1×1＝错误!,S△ABC＝S△ABE ＝错误!×1×错误!＝错误!，S△ACD＝错误!×1×错误!＝错误!，故选C．5．某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m,四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( ）A．4 cm，1 cm，2 cm，1．6 cmB．4 cm,0．5 cm，2 cm,0．8 cmC．4 cm,0．5 cm，2 cm，1．6 cmD．2 cm，0．5 cm，1 cm，0．8 cm答案C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm,1．6 cm，再结合斜二测画法,则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0．5 cm,2 cm，1．6 cm．6．直线l：y＝kx－1与曲线错误!＝错误!不相交，则k的取值是( )A．错误!或3 B．错误! C．3 D．错误!答案A解析曲线错误!＝错误!表示直线x－2y＋3＝0（去掉点(1,2）)，则直线l:y＝kx －1与曲线错误!＝错误!不相交，即直线l与x－2y＋3＝0平行或直线l过点（1，2）,所以k的取值为错误!或3．7．如图，三棱台ABC－A′B′C′中，AB∶A′B′＝1∶2，则三棱锥A′－ABC，B －A′B′C，C－A′B′C′的体积之比为（)A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4答案 C解析设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A′B′C′＝4S．所以V A′－ABC＝错误!S△ABC·h＝错误!Sh，V C－A′B′C′＝错误!S△A′B′C′h＝错误!Sh，又V台＝错误!h(S＋4S＋2S)＝错误!Sh，而V B－A′B′C＝V台－V C－A′B′C′－V A′－ABC＝错误!Sh,所以V A′－ABC∶V B－A′B′C∶V C－A′B′C′＝1∶2∶4．8．直线2x－y－错误!＝0与y轴的交点为P，点P把圆（x＋1）2＋y2＝25的直径分为两段,这两段长度之比为( ）A．错误!或错误! B．错误!或错误!C．错误!或错误! D．错误!或错误!答案A解析数形结合法:点P的坐标是（0,－3），圆心坐标为C（－1，0),半径长为5．因为｜PC|＝－1－02＋0＋32＝2〈5，所以点P在圆内．设点P在直径AB上,则｜PA｜＝5－2＝3，｜PB|＝5＋2＝7．所以分成的两线段之比为错误!或错误!．故选A．9．如图，三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是（）A．AC＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO答案B解析因为VA＝VB,AD＝BD，所以VD⊥AB．因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB．又VO∩VD＝V,所以AB⊥平面VCD．又CD⊂平面VCD ,VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC ，AB⊥CD．又AD＝BD，所以AC＝BC（线段垂直平分线的性质)．因为VO⊥平面ABC，所以V V－ABC＝错误!S△ABC·VO．因为AB⊥平面VCD,所以V V－ABC＝V B－VCD＋V A－VCD＝错误!S△VCD·BD＋错误!S△VCD·AD＝错误!S△VCD·（BD＋AD）＝错误!S△VCD·AB,所以错误!S△ABC·VO＝错误!S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO．综上知，A，C，D正确．10．如右图,定圆半径为a，圆心为(b，c），则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案 B解析解方程组错误!得错误!观察题设中圆的位置，可知a〉0，b<0，c〉0,且a＋b<0，b＋c<0,a－c〉0，所以x＝－错误!〈0，y＝错误!〈0．11．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1,则点A到平面A1BC的距离为( ) A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!答案B解析因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，AB＝2，所以底面三角形ABC的面积为错误!，所以VA1－ABC＝错误!×错误!×1＝错误!．如图，在△A1BC中，A1B＝A1C＝错误!＝错误!，所以BC的中点M到A1的距离为错误!＝2，所以S△A1BC＝错误!×2×2＝2．设点A到平面A1BC的距离为h，所以错误!·S△A1BC·h＝VA1－ABC,解得h＝错误!．12．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b)所作的圆的切线长的最小值是（)A．2 B．3 C．4 D．6答案C解析将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为标准方程为(x＋1）2＋(y－2)2＝2,∴圆心C（－1,2），半径r＝2．∵圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，∴直线2ax＋by ＋6＝0过圆心，将x＝－1，y＝2代入直线方程得－2a＋2b＋6＝0，即a＝b＋3．∵点（a，b)与圆心的距离d＝a＋12＋b－22,∴由点(a，b)向圆C所作切线长l＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!≥4，当且仅当b＝－1时切线长最小，最小值为4．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,且AB＝4，AC＝3，BD＝12，则CD＝________．答案13解析连接BC（图略），因为AC⊥l，AC＝3，AB＝4，所以BC＝5．因为BD⊥l，l＝α∩β，α⊥β，BD⊂β，所以BD⊥α．又BC⊂α，所以BD⊥BC．在Rt△BDC中，CD＝BD2＋BC2＝13．14．四边形ABCD中，A（0,0),B(1,0)，C（2，1），D（0，3），若四边形ABCD绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案5π解析如右图所示，V圆锥＝错误!πr2h1＝错误!π×22×2＝错误!，V圆台＝错误!πh2(r2＋R2＋Rr）＝错误!π×1×（22＋12＋2×1）＝错误!π，∴V＝V圆锥＋V圆台＝5π．15．在△ABC中，高AD与高BE所在直线的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A________；B________;C________．答案（－2，1) （1,0) （2，5）解析高AD与边AB所在直线的交点即为顶点A，联立错误!得A（－2，1)．高BE 与边AB所在直线的交点即为顶点B，联立错误!得B（1，0）．因为直线AC过点A，且与直线BE垂直，所以直线AC的方程为y－1＝x＋2，即y＝x＋3，同理，直线BC的方程为y＝5(x－1），联立两直线方程得C（2，5）．16．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题:①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′－FED的体积有最大值;④直线A′E与BD不可能垂直．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析对于命题①，由题意,知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G,故DE⊥平面A′FG．又DE⊂平面ABC,所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时,三棱锥A′－FED的体积有最大值,故命题③正确;对于命题④,当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时,易证A′E 与BD垂直，故该命题不正确．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点;(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,且|OA｜＝｜OB|，求k的值．解(1)证法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2）,故无论k取何值，直线l总过定点(2，1)．证法二：设直线过定点(x0，y0），则kx0－y0＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，即（x0－2)k－y0＋1＝0恒成立，所以错误!解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点(2，1)．（2)因直线l的方程为y＝kx－2k＋1,则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－错误!，依题意1－2k＝2－错误!〉0,解得k＝－1或k＝错误!（经检验，不符合题意），所以所求k＝－1．18．（本小题满分12分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位:cm)．（1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解(1）该几何体的俯视图如图所示．（2）该几何体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝4×4×6－错误!×错误!×2×2×2＝错误!（cm3）．19．（本小题满分12分）已知动点M到点A（2，0)的距离是它到点B(8，0）的距离的一半，求：（1)动点M的轨迹方程;(2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．解（1)设动点M(x，y）为轨迹上任意一点,则点M的轨迹就是集合P＝错误!．由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为错误!＝错误!错误!．平方后再整理，得x2＋y2＝16．可以验证，这就是动点M的轨迹方程．(2）设动点N的坐标为(x，y），M的坐标是（x1，y1)．由于A（2，0）,且N为线段AM的中点,所以x＝错误!，y＝错误!．所以有x1＝2x－2,y1＝2y．①由(1)知,M是圆x2＋y2＝16上的点,所以M的坐标（x1,y1)满足x错误!＋y错误!＝16．②将①代入②整理，得（x－1)2＋y2＝4．所以N的轨迹是以(1，0）为圆心，2为半径的圆．20．（本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AC⊥CD，E，F分别是PC，AC的中点．证明:（1）BF∥平面PCD;（2）AE⊥平面PCD．证明（1)因为∠ABC＝60°,AB＝BC，所以△ABC为等边三角形．又F是AC的中点，所以BF⊥AC．又CD⊥AC，且BF，CD，AC都在平面ABCD内，所以BF∥CD．因为CD⊂平面PCD，BF⊄平面PCD,所以BF∥平面PCD．(2）由（1）知，△ABC为等边三角形，且PA＝AB，所以PA＝AC．又E为PC的中点，所以AE⊥PC．因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE．又PC∩CD＝C,所以AE⊥平面PCD．21．（本小题满分12分)如图，圆锥SO中,AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O，且AB⊥CD,SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1）求证：SA∥平面PCD；(2)求圆锥SO的表面积;(3)求异面直线SA与PD所成角的正切值．解(1)证明：连接PO，∵P，O分别为SB,AB的中点，∴PO∥SA，∵PO ⊂平面PCD, SA ⊄平面PCD ， ∴SA∥平面PCD ．(2）∵圆锥的底面半径r ＝2，母线长l ＝SB ＝2错误!， S 底面＝πr 2＝4π，S 侧面＝πlr＝4错误!π， S 圆锥表面＝S 底面＋S 侧面＝4(错误!＋1）π． (3)∵PO∥SA，∴∠DPO 为异面直线SA 与PD 所成的角或其补角， ∵AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O ， ∴CD⊥平面SOB ．∵PO ⊂平面SOB ， ∴OD⊥PO，在Rt△DOP 中，OD ＝2， OP ＝12SA ＝错误!SB ＝错误!，∴tan∠DPO＝错误!＝错误!＝错误!．∴异面直线SA 与PD 所成角的正切值为2．22．(本小题满分12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 是直线l ：x ＝4上的动点． （1）若从点P 到圆O 的切线长为23,求点P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长； （2)若点A （－2，0)，B （2,0)，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N,求证：直线MN 经过定点Q （1，0)．解 （1)依题意,设P(4，t)．设两切点分别为C ，D ，则OC⊥PC，OD⊥PD． 由题意可知｜PO|2＝｜OC ｜2＋|PC ｜2， 即42＋t 2＝22＋(2错误!)2，解得t ＝0， 所以点P 的坐标为（4,0)．在Rt△POC 中，可求得∠POC＝60°， 所以∠DOC＝120°，所以所求两条切线所夹的劣弧长为2π×2×错误!＝错误!．(2）证明：设M （x 1，y 1)，N （x 2，y 2）．依题意，可得直线PA 的方程为y ＝错误!(x ＋2)， 由错误!得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4t 2－144＝0． 因为直线PA 经过点A （－2，0)，M(x 1，y 1)， 所以－2，x 1是上述方程的两个根， 则－2x 1＝错误!,即x 1＝错误!， 代入直线方程y ＝错误!(x ＋2)， 得y 1＝错误!错误!＋2＝错误!．同理,可得直线PB 的方程为y ＝错误!(x －2）． 由错误!得（t 2＋4)x 2－4t 2x ＋4t 2－16＝0． 因为直线PB 经过点B （2，0)，N （x 2,y 2)， 所以2,x 2是上述方程的两个根， 则2x 2＝错误!,即x 2＝错误!， 代入直线方程y ＝错误!（x －2）， 得y 2＝t2错误!－2＝错误!．若x 1＝1，则t 2＝12，此时x 2＝错误!＝1，显然M ，N 在直线x ＝1上，所以直线MN 经过定点Q （1，0）． 若x 1≠1,则t 2≠12，x 2≠1, 由k MQ ＝错误!＝错误!＝错误!，k NQ ＝错误!＝错误!＝错误!，可知k MQ ＝k NQ ，所以M ，Q ，N 三点共线,即直线MN 经过定点Q(1,0)． 综上所述,直线MN 经过定点Q(1，0）．必修2 学期综合测评(二）。
新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章综合测验汇总(共五套,附解析)
高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13， 所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)， 向量AB →＝(－1,1)， 所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)， 所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)， 所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0， 解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)， 所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________． 解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？ 解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去， 故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ， 则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________． 解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________． 解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4， 所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5， 所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。
人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测1(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋1，a1＝1，则此数列的第3项是()A．13B．10C．7D．42．{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12D．2C．123．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝()A．15B．30C．32D．774．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝()A．－63B．－21C．21D．635．函数f(x)＝xx2＋1的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)6．数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．127．函数f(x)＝ln xx＋1的图象大致是()8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程可能是()A ．3x ＋y ＝0B ．24x －y －54＝0C ．9x －y －24＝0D ．12x －y －24＝010．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|<|a 5|11．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{a n }称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等方差数列C ．{(－1)n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列12．设f (x )＝x a ·cos x ，x ∈π6，π3的最大值为M ，则()A ．当a ＝－1时，M <3B ．当a ＝2时，M <33C ．当a ＝1时，M >32D ．当a ＝3时，M <12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________.14.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0，则实数a ＝________.15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)，则q ＝______；若a 1与a 5的等差中项为8，则p ＋q ＝________.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.(1)求该数列中a2的值；(2)求该数列的通项公式a n.18.(12分)(1)求曲线y＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．19.(12分)设f(x)＝a ln x＋12x－32x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．20.(12分)设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)，a3＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)n项和．21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝13，a na n＋1＝2a n＋1(n∈N*且n≥2)．(1)(2)n项和T n.22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，则此数列的第3项是()A ．13B ．10C ．7D ．4A解析：因为a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3a 1＋1＝3×1＋1＝4，所以a 3＝3a 2＋1＝3×4＋1＝13.故选A ．2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝()A ．－2B ．－12C ．12D ．2B解析：∵a 7－2a 4＝－1，∴a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，∴d ＝－12.3．已知函数f (x )＝3x 2＋2，则f ′(5)＝()A ．15B ．30C ．32D ．77B解析：依题意f ′(x )＝6x ，所以f ′(5)＝30.故选B ．4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则S 6＝()A ．－63B ．－21C ．21D ．63B解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，1＋a 1q ＝－1，1－a 1q 2＝－3，1＝1，＝－2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－643＝－21.故选B ．5．函数f (x )＝xx 2＋1的单调递增区间是()A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)B解析：f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝x 2＋1－2x ·x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2＝(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，所以当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(－1,1)．故选B ．6．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是()A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：数列{log 2a n }是以0为首项，公差为1的等差数列，log 2a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，a n＝2n －1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1>1025，2n >1026.因为210＝1024,211＝2048，所以，最小n 值是11.选C ．7．函数f (x )＝ln xx ＋1的图象大致是()C解析：由f (x )＝ln xx ＋1，得f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2(x >0)．令g (x )＝1＋1x－ln x ，则g ′(x )＝－1x 2－1x ＝－1＋x x 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1＋1e 2－ln e 2＝1e 2－1<0，所以存在x 0∈(e ，e 2)，使得g (x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．故选C ．8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝1x＋a＝0，得a≠0，x＝－1a.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－1a<1且a<0，所以a<－1.故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是()A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0C．9x－y－24＝0D．12x－y－24＝0AB解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x20－3，y0＝x30－3x0.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是() A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|<|a5|AC解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．11．在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a n}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列ACD解析：对于A，{a n}是等方差数列，可得a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a2n}是首项为a21，公差为d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a2n－a2n－1＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D,数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k…，a2k，…，数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，….∵a2kn＋k－a2kn＋k－1＝a2kn＋k－1－a2kn＋k－2＝…＝a2kn＋1－a2kn＝p，∴a2kn＋k－a2kn＝(a2kn＋k－a2kn＋k－1)＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k－2)＋…＋(a2kn＋1－a2kn)＝kp，∴a2k(n＋1)－a2kn＝kp,所以，数列{a kn}是等方差数列，故D 正确．故选ACD．12．设f(x)＝x a·cos x，x∈π6，π3的最大值为M，则()A．当a＝－1时，M<3B．当a＝2时，M<33C．当a＝1时，M>32D．当a＝3时，M<12AB解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝cos xx在区间π6，π3上递减，所以M＝cosπ6π6＝33π<3，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－xtanx)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，即M＝π218<33，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，x<tan x恒成立，所以f(x)＝x cos x<tan x cos x＝sin x≤32，所以M<32，故选项C 错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，∴M＝12·>12，故选项D错误．故选AB．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，S99－S55＝－4，则a n＝________.－2n＋11解析：设公差为d，因为S99－S55＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.－2解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.02解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝(a1＋a5)×52＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．－1解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0，当x ＝0时，可得0≤b ≤1，结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0.令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0.又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ′′(x )＝12x 2－6x ，令f ′′(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在0，12上递减，在12，＋∞上递增．又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ＜0，f ′(1)＝1＋a ≥0.又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点．故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1.所以ab ＝－1.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解：(1)由等差数列性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7.(2)设等差数列公差为d ，∴a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2·(a 2＋d )＝7(7－d )(7＋d )＝7(49－d 2)＝231.解得d ＝±4，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ，即a n ＝4n －1或a n ＝－4n ＋15.18.(12分)(1)求曲线y ＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)当x ＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.(2)设切点为x 0，1x 0，则切线的斜率为－1x 20，∴切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，∵切线过点(4,0)，∴－1x 0＝－1x 20(4－x 0)，解得x 0＝2，∴所求切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.19.(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2－32.由f ′(1)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.(2)由(1)可知，f (x )＝2ln x ＋12x －32x ＋1，f ′(x )＝－(3x －1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝1，又因为函数f (x )定义域为(0，＋∞)，所以f (x )(1，＋∞)故f (x )的极大值为f (1)＝0，f (x )的极小值为2－2ln 3.20.(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝1，所以a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知1a n a n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝n 项和S n …＋＋13－12n ＋1－＝13－n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3).21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)(2)n 项和T n .(1)证明：因为a na n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＝a n ＋1＋2a n a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)，且1a 2－1a 1＝2，1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)得1a n ＝2n －1，3na n ＝(2n －1)3n ，则T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)3n ①，3T n ＝1×32＋…＋(2n －3)3n ＋(2n －1)3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋2(32＋…＋3n )－(2n －1)3n ＋1＝3＋2×9×(1－3n －1)1－3－(2n －1)3n ＋1＝2(1－n )3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)3n ＋1＋3.22.(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x 的导数为f ′(x )＝e x (2－x 2)．由f′(x)＞0，解得－2<x<2，由f′(x)＜0，解得x＜－2或x> 2.即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2)．(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·e x的导数为f′(x)＝e x[a－x2＋(a－2)x]．由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，即为a－x2＋(a－2)x≥0，即有x2－(a－2)x－a≤0，则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥3 2，则a的取值范围为3 2，＋。
2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评（时间:120分钟，满分:150分）一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z满足(z－1）i＝1＋i，则z等于（)A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋iC[由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i,所以z＝2－i。
］2．已知向量a与b的夹角为30°,且｜a｜＝1，｜2a－b｜＝1，则｜b｜等于（）A． 6 B．错误!C．错误!D．错误!C[由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝错误!|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－23｜b|＋b2＝1，由此求得｜b|＝错误!，故选C．］3．设z＝错误!＋i，则｜z|等于（)A．错误!B．错误!C．错误! D．2B[∵z＝错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋错误!i,∴|z|＝错误!＝错误!.］4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40），[40，60)，［60，80)，［80，100]．若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是（）A．45 B．50C．55 D．60B［由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0。
01＋0.005）×20＝0.3.∴该班学生人数n＝错误!＝50.]5．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．错误!cmB［S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．］6．已知向量a＝（cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R，则｜a|的最小值为（）A．1 B．2 C．错误!D．3A［因为a＝（cos θ－2,sin θ），所以｜a|＝错误!＝错误!＝错误!，因为θ∈R，所以－1≤cos θ≤1，故｜a|的最小值为错误!＝1.故选A．]7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1B[5件产品中有2件次品，记为a，b,有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，样本点有(a，b)，(a,c),（a，d)，（a，e)，(b,c），（b，d)，（b,e)，（c，d），（c，e），（d，e)共10种．恰有一件次品的结果有6种,则其概率为P＝错误!＝0。
高一数学人教A版必修2模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．过点(，－)，(－，)的直线的斜率为－，则的值为( )．．．．【解析】由题意知＝＝－，∴＝.【答案】．在轴、轴上的截距分别是－、的直线方程是( )．－－＝．－－＝．－＋＝．－＋＝【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝，即－＋＝.【答案】．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )．【解析】设正方体的棱长为，球的半径为，则π＝π，∴＝.又∵＝＝，∴＝.【答案】．关于空间直角坐标系中的一点()有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③与点关于轴对称的点的坐标为(－，－，－)；④与点关于坐标原点对称的点的坐标为(，－)；⑤与点关于坐标平面对称的点的坐标为(，－)．其中正确的个数是( )．．．．【解析】点到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点关于轴对称的点的坐标为(，－，－)，故③错；与点关于坐标原点对称的点的坐标为(－，－，－)，故④错；⑤正确，故选.【答案】．如图，在长方体-中，、分别是棱、的中点，若∠＝°，则异面直线和所成角为( )图．°．°．°．°【解析】因为⊥，⊥，所以⊥平面.所以⊥.因为∥，所以⊥.【答案】．(·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )图．＋．＋．＋．【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．。
2021学年高中数学模块综合检测1含解析新人教A版必修第二册
模块综合检测(一)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2C ．12D ．－2 D [因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.]2．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4D [∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，f ′(1)＝－2，f ′(0)＝2f ′(1)＝－4，选D.]3．在等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 2－a 1，a 3－a 1，a 4＋a 1成等比数列，则a 5＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2－a 1，a 3－a 1，a 4＋a 1成等比数列，则(a 3－a 1)2＝(a 2－a 1)(a 4＋a 1)，即(2d )2＝d ·(2＋3d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以a 5＝a 1＋4d ＝1＋4×2＝9，故选C.]4．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝xD [因为函数f (x )是奇函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，化简可得y ＝x ，故选D.]5．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( )A ．2盏B ．3盏C ．26盏D ．27盏C [设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有(x ＋8n )盏，x ＋8n ＝13x ，8n ＝13x －x ，8n ＝12x ，x ＝23n ，x ＋(x ＋n )＋(x ＋2n )＋(x ＋3n )＋…＋(x ＋8n )＝126，9x ＋(1＋2＋3＋…＋8)n ＝126，9x ＋36n ＝126，9×23n ＋36n ＝126，6n ＋36n ＝126，42n ＝126，n ＝126÷42＝3，x ＝3×23＝2(盏)，所以最下面一层有灯13×2＝26(盏)，故选C.]6．若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[)2，＋∞B ．[1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－2，＋∞)B [由题意得：f ′(x )＝e x (sin x ＋a )＋e x cos x ＝e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a . ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立． 又e x ＞0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ∈(－1＋a ，2＋a ]，∴－1＋a ≥0，解得a ∈[1，＋∞)．故选B.]7．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( )A ．15B ．35C ．66D ．100 C [易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]8．若函数f (x )＝12x 2－2x ＋a ln x 有唯一一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜0B ．a ＜0或a ＝1C ．a ≤0D ．a ≤0或a ＝1 C [函数f (x )＝12x 2－2x ＋a ln x 有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，f ′(x )＝x －2＋a x ＝0，变形为－a ＝x 2－2x (x ＞0)．画出y ＝x 2－2x (x ＞0)，y ＝－a 的图象，使得两个函数图象有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故－a ≥0或－a ＝－1，化简为a ≤0或a ＝1.因为a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x ≥0不符合题意，所以a ≤0.故选C.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，则下列说法正确的是( )A ．a 5＝－16B ．S 5＝－63C ．数列{}a n 是等比数列D ．数列{}S n ＋1是等比数列AC [因为S n 为数列{}a n 的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，所以S 1＝2a 1＋1，因此a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{}a n 是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C 正确；因此a 5＝－1×24＝－16，故A 正确；又S n ＝2a n ＋1＝－2n ＋1，所以S 5＝－25＋1＝－31，故B 错误；因为S 1＋1＝0，所以数列{}S n ＋1不是等比数列，故D 错误．故选AC.]10．定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，4)单调递增B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0单调递减 C ．函数f (x )在x ＝1处取得极大值D ．函数f (x )在x ＝0处取得极小值ABD [根据导函数图象可知，f (x )在区间(－12，0)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在区间(0，4)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得极小值，没有极大值，所以A 、B 、D 选项正确，C 选项错误．故选ABD]11．已知数列{}a n 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有( )A ．数列{}||a n 是等比数列B ．数列{}a n a n ＋1是等比数列C ．数列{}lg a 2n 是等比数列 D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列 ABD [根据题意，数列{}a n 是等比数列，设其公比为q ，则a n ＋1a n＝q ， 对于A ，对于数列{}|a n |，则有||a n ＋1||a n ＝||q ，为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}a n a n ＋1，有a n a n ＋ 1 a n －1 a n ＝ q 2，为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}lg a 2n ，若a n ＝1，数列{}a n 是等比数列，但数列{}lg a 2n 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，有1a n 1a n －1＝a n －1a n＝1q ，为等比数列，D 正确．故选ABD.] 12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中正确的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．若f (x )有极大值M ，极小值m ，则必有M ＞mC ．若x 0是f (x )极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若f ′(x 0)＝0，则x 0是f (x )的极值点ABC [因为当x →＋∞时，f (x )→－∞，当x →－∞时，f (x )→＋∞，由零点存在性定理知∃x 0∈R ，f (x 0)＝0，故A 正确；因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，若f (x )有极大值M ，极小值m ，则f ′(x )＝0有两根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，易得f (x )在(x 1，x 2)上单调递增，在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)单调递减，所以f (x 2)＝M ＞f (x 1)＝m ，故B 、C 正确；导数为0的点不一定是极值点，故D 错误．故选ABC.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 25 [因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25.]14．已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________． e [∵f (x )＝e x ln x ，∴f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ， ∴f ′(1)＝e 1×(ln 1＋1)＝e.]15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝2S n S n ＋1，则a 2＝________，S n ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)23 S n ＝11－2n[S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝2S n S n ＋1，令n＝1，则a 2＝2a 1(a 1＋a 2)，∴a 2＝－2(－1＋a 2)，解得a 2＝23.又S n ＋1－S n ＝2S n S n ＋1，整理得1S n －1S n ＋1＝2(常数)， 即1S n ＋1－1S n ＝－2(常数)， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝－1为首项，－2为公差的等差数列．所以1S n ＝－1－2()n －1＝1－2n ， 故S n ＝11－2n.] 16．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，且f ′(x )＞f (x )(x ∈R )，f (2)＝e 2(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )＜e x 的解集为________．(－∞，2) [构造F (x )＝f (x )e x ∴F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x . 由于f ′(x )＞f (x )，故F ′(x )＞0 ，即F (x )在R 上单调递增．又f (2)＝e 2，故F (2)＝f (2)e 2＝1，f (x )＜e x ，即F (x )＝f (x )e x ＜1＝F (2)，即x ＜2.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设q (q >0)为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n .(2)S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2.(1)求h (x )＝f (x )－3x 的极值；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)由已知可得h (x )＝f (x )－3x ＝ln x ＋x 2－3x ，h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x(x ＞0)， 令h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝0，可得x ＝12或x ＝1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(1，＋∞)时，h ′(x )＞0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为减函数， 则h (x )极小值＝h (1)＝－2，h (x )极大值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－54－ln 2. (2)g (x )＝f (x )－ax ＝ln x ＋x 2－ax ，g ′(x )＝1x ＋2x －a (x ＞0)，由题意可知g ′(x )≥0(x ＞0)恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ， ∵x ＞0时，2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ＝22， ∴a ≤22，即实数a 的取值范围为(－∞，22]．19．(本小题满分12分)各项均为正数的数列{}a n 前n 项和为S n ，且4S n ＝a 2n ＋2a n ＋1，n ∈N ＋.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)已知公比为q ()q ∈N ＋的等比数列{}b n 满足b 1＝a 1，且存在m ∈N ＋满足b m ＝a m ，b m ＋1＝a m ＋3，求数列{}b n 的通项公式．[解] (1)当n ＝1时，4S 1＝4a 1＝a 21＋2a 1＋1，整理得()a 1－12＝0，∴a 1＝1.∵4S n ＝a 2n ＋2a n ＋1，∴4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1＋1，两式相减得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1－2a n ＝0， 即()a n ＋1＋a n ()a n ＋1－a n －2＝0，∵数列{}a n 各项均为正数，∴a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1－a n ＝2， ∴数列{}a n 是首项为1，公差为2的等差数列，故a n ＝1＋2()n －1＝2n －1.(2)∵b 1＝a 1＝1，∴b n ＝b 1q n －1＝q n －1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧q m －1＝2m －1，q m ＝2m ＋5，相除得q ＝2m ＋52m －1＝1＋62m －1∈N ＋， ∴2m －1＝1或2m －1＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，q ＝7 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，q ＝3，当m ＝1时，b n ＝7n －1；当m ＝2时，b n ＝3n －1.综上所述，b n ＝7n －1或b n ＝3n －1.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋1x －a ，a ∈R ，试讨论函数f (x )的零点个数．[解] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠a }．(1)当x ＞a 时，e x ＞0，x －a ＞0，∴f (x )＞0，即f (x )在(a ，＋∞)上无零点．(2)当x ＜a 时，f (x )＝e x (x －a )＋1x －a ， 令g (x )＝e x (x －a )＋1，则g ′(x )＝e x (x －a ＋1)．由g ′(x )＝0得x ＝a －1.当x ＜a －1时，g ′(x )＜0；当x ＞a －1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(－∞，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (a －1)＝1－e a －1.∴当a ＝1时，g (a －1)＝0，∴x ＝a －1是f (x )的唯一零点； 当a ＜1时，g (a －1)＝1－e a －1＞0，∴f (x )没有零点；当a ＞1时，g (a －1)＝1－e a －1＜0，∴f (x )有两个零点．21．(本小题满分12分)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．(2)设数列{c n }的前n 项和为S n .∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×(1－3n )1－3＝2×(n ＋1)n 2－n ＋3n －12＝n 2＋3n －12.即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n －12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(1＋a )x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对任意的x ∈(e ，＋∞)都有f (x )＞0成立，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝x 2－2x ＋1x，f ′(1)＝0，f (1)＝－32， 所以所求切线方程为y ＝－32.(2)f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x. 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)递增；当a ≤0时，f (x )在(0，1)递减，(1，＋∞)递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，a )递增，(a ，1)递减，(1，＋∞)递增； 当a ＞1时，f (x )在(0，1)递增，(1，a )递减，(a ，＋∞)递增．(3)由f (x )＞0得(x －ln x )a ＜12x 2－x .注意到y ＝x －ln x ，y ′＝x －1x ，于是y ＝x －ln x 在(0，1)递减，(1，＋∞)递增，最小值为1，所以∀x ∈(e ，＋∞)，x －ln x ＞0.于是只要考虑∀x ∈(e ，＋∞)，a ＜12x 2－xx －ln x .设g(x)＝12x2－xx－ln x，g′(x)＝12(x－1)(x＋2－2ln x)(x－ln x)2，注意到h(x)＝x＋2－2ln x，h′(x)＝x－2x，于是h(x)＝x＋2－2ln x在(e，＋∞)递增，h(x)＞h(e)＝e＞0，所以g(x)在(e，＋∞)递增，于是a≤g(e)＝e2－2e 2(e－1).。
人教A版高中必修二试题高一综合考试卷(人教版)附答案.docx
高一数学必修模块2综合考试卷（人教A 版）附答案 班级 姓名 座号 分数 一、选择题（每3分，共36分） 1、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交2、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ）Ａ、33- Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、3 ３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线， 则ｍ的值为（ ） Ａ、21 Ｂ、21- Ｃ、－２ Ｄ、２ 5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43C 、 52D 、 5566、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A 、 0B 、 1C 、 2D 、 37、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A 、 1∶7B 、2∶7C 、 7∶19D 、 5∶ 168、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、52 Ｄ、556 ９一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是（ ）Ａ、８Лｃｍ２ Ｂ、１２Лｃｍ２ Ｃ、１６Лｃｍ２ Ｄ、２０Лｃｍ２ 10、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、９００ Ｂ、４５０ Ｃ、６００ Ｄ、３００ 11、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A 、 x+y+3=0B 、2x-y-5=0C 、 3x-y-9=0D 、4x-3y+7=012、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A 、 2B 、21+C 、221+D 、221+ 二、填空题（每4分，共16分） 1、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是2、已知：A （1，2，1），B （-1，3，4，），C （1，1，1，），PB AP 2=，则PC 长为3、如图：四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度4、已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三、解答题（共48分）1、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
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人教 A 版高一数学必修 2 综合检测试卷高一数学必修二综合测评试题（一）一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5 分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )1 下列命题正确的是 ()A. 因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点思路解析 :根据公理 1 判断 ,只要当直线上有两点在一个平面内,则这条直线就在平面内 ;反之 ,只要直线上有一个点不在平面内,则这条直线就不在平面内 .答案 :C2 过点 (-1,1) 和 (3,9)的直线在 x 轴上的截距为 ()322D.2A. B. C.235思路解析 :用两点式得到过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3. 令 y=0,得 x=3. 2答案 :A3 在正方体 ABCD — A 1 B1C1D1中 ,与 AD 成异面直线的棱共有()A.4 条B.5 条C.6 条D.7条思路解析 :其余11条棱中,有4条与AD异面,有三条与它相交,其他4条异面.答案 :A4 点 (1,1)在圆 (x-a)2+(y+a) 2=4 的内部 ,则 a 的取值范围是 ()A.-1<a<1B.0<a<1C.a<-1 或 a>1D.a= ±1思路解析 :解不等式(1-a)2+(1+a)2<4.答案 :A5 球的面积膨胀为原来的 3 倍 ,膨胀后的球的体积为原来的()A. 3倍B. 2 3倍C. 3 3倍D.4 倍思路解析 :球的面积变为原来的3倍 ,球的半径就变为原来的. 3倍 ,则它的体积就变为原来的 3 3倍 .答案 :C6 下列命题 :①一条直线在平面内的射影是一条直线.②在平面内射影是直线的图形一定是直线.③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等 .④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行 .其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3思路解析 :各个命题,都可以举出反例说明它们不成立,如 :命题①一条直线的射影可以为一个点 ;命题②和此平面垂直的平面在此平面内的射影也可以是一条直线;命题③与此平面所成不同角的斜线射影长相等,但斜线长不相等 ;命题④两斜线与平面所成角相等,则他们也可能相交或异面 . 答案 :A7 已知空间两个动点 A(m,1+m,2+m) 、 B(1-m,3-2m,3m), 则 AB 的最小值是 ()9 3 C. 3 17D. 9 17A.B.17171717思路解析 :AB 2=(1-2m) 2+(2-3m) 2+(-2+2m) 2=17m 2-24m+9=17(m-2 )2+ 9 = 9 ,17 17 179 3 17∴AB min =.1717答案 :C8 正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角后 ,下列结论不成立的是 ()A.AC ⊥ BDB.△ ADC 为正三角形C.AB 、 CD 所成角为 60°D.AB 与面 BCD 所成角为 60°思路解析 :AB 与面 BCD 所成的角应为 45°.答案 :D9 从原点向圆 x 2+y 2-12y+27=0 作两条切线 ,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A. πB.2 πC.4 πD.6 π思路解析 :将圆的方程配方得:22圆心在 (0,6),半径为 3.如图 1,Rt △PAO 中 ,OP=6=2PA,图 1从而得到∠ AOP=30° ,即∠ AOB=60° .可求∠ BPA=120° .∴P 的周长为 2π× 3=6π, 劣弧长为周长的1,可求得劣弧长为 2π.3答案 :B10a 、 b ∈ N * ,则同时过不同三点 (a,0) 、(0,b)、 (1,3) 的直线条数为 ( )A.1B.2C.3D.多于 3思路解析 :过 (a,0)与 (0,b)的直线为x y =1,a b于是 1 3 =1,a b故 3a=b(a-1).若 b=3m,m ∈ N *, a=m(a-1), 于是 m ≤2,代入逐个 可知 ,m=2,a=2, 而 b=6; 若 b ≠3m, 必有 a-1=3n,n ∈N * , 1=n(b-3), 于是只有 n=1,b=4, 而 a=4,故 足条件的直 最多有2 条.答案 :B112,在多面体 ABCDEF 中 ,已知面 ABCD是3 的正方形 ,EF ∥ AB,EF=3 ,EF 与面2AC 的距离 2, 多面体的体 ⋯ ( )29 B.5C.615A.D.22思路解析 :分 取 AB 、 CD 的中点 G 、 H EG,GH,EH, 把 多面体分割成一个四棱 与一个 三棱柱 ,可求得四棱 的体3,三棱柱的体9, 而整个多面体的体15 .22答案 :D12 光 从点 A(-1,1) 射出 x 反射到 C:(x-5) 2+(y-7) 2=4 的最短路程是 ( )A. 6 2 -2B.8C. 4 6D.10思路解析 :点 A(-1,1) 关于 x 的 称点是 A ′(-1,-1).心 C(5,7), 最短路程是 A ′C -r= 62 82 -2=8.答案 :B二、填空 (本大 共 4 小 ,每小 4 分 ,共 16 分 .把答案填在 中横 上)13 P(1,2)且与原点距离最 的直 方程 ___________.思路解析 : P 点且垂直于 OP 的直 所求 ,方程 x+2y-5=0.答案 :x+2y-5=014 已知 球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=1,球面面 ___________-.思路解析 :由于球心在截面 ABC 上的射影是△ ABC 的外心 (即小 的 心 ), 小 的半径、球的半径及球心到截面的距离 成一个直角三角形,求出球的半径2 ,最后利用球的面3公式得 S= 16所求 .9答案 :16915 在 xOy 平面上 ,四 形 ABCD 的四个 点坐 依次 (0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3), 个四形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为__________.思路解析 :几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、 3,高为 2)的体积减去一个圆锥的体积( 底为 1,高为 1).25答案 :316 如图 3,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图3思路解析: 上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱. 它的高为1(a+b).所求体积为它的一半.212答案 :πr2(a+b)三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分 )如图 4,A 、B 分别是异面直线a、b 上两点 ,自 AB 的中点 O作平面α与 a、b 分别平行 ,M、 N 分别是 a、b 上的任意两点 ,MN 与α交于点 P.图4求证 :P 是 MN 的中点 .思路分析 :连接AN交α于Q,连结OQ、PQ,从而在△ ABN 和△ AMN 中利用中位线的性质求解.证明 :连接 AN 交α于 Q,连结 OQ 、PQ,∵b∥ α,OQ是过直线 b 的平面 ABN 与α的交线 ,∴b∥ OQ.同理 PQ∥ a.在△ ABN 中 ,O 是 AB 的中点 ,OQ∥ BN,∴Q 是 AN 的中点 .又∵ PQ∥ a,∴P 是 MN 的中点 .18(本题满分12 分 )画出方程 |xy|+1=|x|+|y| 的图形 ,并求图形所围成的面积S.思路分析 :关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0 这种易于求解的形式.解: 将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0, 由它得到 |x|=1 或 |y|=1x=±1 或 y=±1.它的图形 (如图 5)是四条直线围成的正方形ABCD, 它的边长为2,面积为 S=22=4.图 519( 本题满分12分)如图6所示,在正△ ABC中,E、F依次是AB 、 AC的中点,AD ⊥ BC,EH ⊥BC,FG ⊥BC,D、H、G 为垂足 .若将正△ ABC 绕 AD 旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值为多少？图6思路分析 :阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算.解: 设圆锥的高为h,底面半径为r,则圆柱的高为h,底面半径为r. 22V V柱V柱( r )2h5 122所以 ,11.V V2h8r320(本题满分12 分 )圆 C:x 2+y 2-x-6y+F=0与直线 l:x+2y-3=0交于两点 P、 Q,且 OP⊥ OQ,求 F 的值 .思路分析 :P,Q两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方程的解.但没有必要求两点坐标的具体值 ,F 的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解.解:设 P(x1,y1),Q(x 2,y2).联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有x 2y 2x 6 y F0,3x5x2 +2x+4F-27=0.y.2x1x22, 5根据根与系数的关系 ,有4F27 .x1x25根据题意 ,有 PO⊥ OQ y1y2=-1x1x2+y 1y2=0 x1x2+ 3 x1 3 x20x1x2225x1 x2-3(x 1+x 2)+9=04F27221 5× 3 ( ) 9 0 F.55521( 本题满分 12分 ) 如图7, 已知多面体 ABCDE中 ,AB ⊥平面 ACD,DE ⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F为 CE 的中点 .图7(1)求证 :BF ⊥面 CDE.(2)求多面体 ABCDE 的体积 .(3)求平面 BCE 和平面 ACD 所成的锐二面角的大小 .思路分析 :(1)如图6,取CD的中点G,DE的中点H,连接FG,FH,容易证明它们也是相应边的垂线 . 再连接 BH. 欲证线面垂直 , 先证线线垂直.如果 BF⊥面 CDE 证明成立的话 ,则必然有BF ⊥CE, 考虑到 F 为 CE 的中点 ,我们的目标就是要证明△BCE 是等腰三角形 .另外由于 BF 在平面 ACD 上的射影 AG 是△ ADC 的边 CD 上的高 ,所以 BF⊥ CD. 这样 BF 就垂直于平面ACD 上的两条相交直线,从而 BF⊥面 CDE.(2) 求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到△ BCE 在平面 ACD 上的射影就是△ADC, 有结论 :两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解 .解:(1) 证明 :∵ AB ⊥平面 ACD, ∴ AB ⊥AC,由 AB=a,AC=2a, 得 BC= 5 a.同理 ,在直角梯形 ABDE中,AB ⊥ AD,DE ⊥AD, 且 AB=a,AD=DE=2a, 所以 BE= 5 a.又F 是 CE 的中点 ,∴ BF⊥ CE.∵BF 在面 ACD 上的射影是等边△ADC 的边 CD 上的高 ,∴B F ⊥ CD.∴B F ⊥平面 CDE.(2)解 :连结 BD, 把原几何体分成三棱锥 B— ACD 与三棱锥 B — CDE.V B—ACD =1AB·S ACD =1·a·3(2a)2 =3a3.3343∵CE= 2 2 a,CF= 2a,而 BC= 5 a,∴BF= 3 a,∴V B—CDE=1BF·S CDE =11223a 3 3·3 a· ·(2a) =.323故所求多面体ABCDE 的体积为 3 a3.(3)解 :设面 BCE 与面 ACD 所成的角为θ.∵△ BCE 在面 ACD 上的射影为△ ACD,S ∴cosθ=s CDABCE3(2a)2241,2a3a222∴θ=422(本题满分14 分 )已知圆 C:x 2+y 2-2x+4y-4=0, 是否存在斜率为 1 的直线 l,使以 l 被圆 C 所截得的弦 AB为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程 ;若不存在 ,请说明理由 .思路分析 :设A(x1,y1),B(x2,y2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是 A 和 B 的坐标值 .但不必解出 A 和 B 坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以 AB 为直径的圆可表示为(x-x 1 )(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.解: 假设直线存在 ,设 l 的方程为 y=x+m,y x m,由2y 22x 4 y 4 0,x得2x2+2(m+1)x+m 2+4m-4=0.(*)设 A(x 1,y1),B(x 2,y2),m 24m 4则 x1+y 2=-(m+1),x 1x2=.2∵以 AB 为直径的圆 (x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0,若它经过原点 ,则 x1x2+y1y2=0.又y1·y2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x2+m(x 1 +x 2)+m 2.∴2x 1x2+m(x 1+x 2)+m 2=0,∴m2 +3m-4=0,m=-4 或 m=1.∵当 m=-4 或 m=1 时 ,可验证 (*) 式的>0,∴所求直线l 的方程是x-y-4=0 或 x-y+1=0.。